Реферат: Кольца и полукольца частных
Содержание
Введение
Глава 1.Построение классического полукольца частных
Глава 2.Построение полного полукольца частных
Глава 3.Связь между полным и классическим полукольцами частных
Библиографический список
Введение
В настоящее время теория полуколец активно развивается и находит своё применение в теории автоматов, компьютерной алгебре и других разделах математики.
В работе построены полное и классическое полукольца частных, а так же рассмотрена их связь.
Прежде чем начать рассмотрение этих структур, определим коммутативное полукольцо частных следующим образом.
Непустое множество 
с определёнными на нём
бинарными операциями 
и 
называется коммутативным
полукольцом, если выполняется следующие аксиомы:
A1. 
-
коммутативная полугруппа с нейтральным элементом 
,
т.е.
1) 
;
2) 
3) 
А2. 
- коммутативная полугруппа
с нейтральным элементом 1, т.е.
1) 
;
2) 
3) 
А3. умножение дистрибутивно относительно сложения:
, 
.
А4. 
.
Таким образом, можно сказать, что полукольцо отличается от кольца тем, что аддитивная операция в нём необратима.
Глава 1.
Для построения классического полукольца частных можно воспользоваться следующим методом:
Рассмотрим пары
неотрицательных целых чисел 
.
Будем считать пары 
и 
эквивалентными, если 
, получим разбиение
множества пар на классы эквивалентности.
Затем введём операции на классах, превращающие множество классов эквивалентных пар в полуполе, которое содержит полукольцо неотрицательных чисел.
Определение1. Элемент 
назовём
мультипликативно сокращаемым, если для из
равенства 
следует, что 
.
Обозначим через 
множество всех
мультипликативно сокращаемых элементов.
Утверждение1.Мультипликативно сокращаемый элемент является неделителем нуля.
Пусть 
- делитель нуля, т.е. 
для некоторого 
. Тогда 
, но 
не является мультипликативно
сокращаемым. ▲
Пусть - коммутативное полукольцо
с возможностью сокращения на элементы из .
Рассмотрим множество упорядоченных пар 
.
Введём отношение ~ на
: 
для всех 
и 
.
Предложение1. Отношение ~ является отношением эквивалентности
на .
Покажем, что ~ является отношением рефлективности, симметричности и транзитивности.
1.Рефлективность: в силу
коммутативности полукольца 
;
2. Симметричность: 
;
3.Транзитивность: 
Таким образом, отношение ~ является отношением эквивалентности
на .
Полукольцо разбивается на классы
эквивалентности; в каждом классе находятся те элементы, которые находятся в
отношении ~. Обозначим 
класс эквивалентности пары
. Введём операции на
множестве 
всех классов
эквивалентности:
т.к. для 
, 
, 
выполнено 
отсюда т.к. получаем 
и поскольку то следовательно 
.
Покажем корректность введённых операций:
Пусть 
, 
, тогда
▲
Теорема1. 
- коммутативное полукольцо с 1. 
.
Доказательство.
Чтобы доказать, что
множество всех классов
эквивалентности является коммутативным полукольцом с 1, нужно показать
замкнутость на нём операций:
сложение: для 
и
1. 
2.
Так как правые части равны, то левые части тоже равны:
3. покажем, что для 
.
Так как 
Класс 
является нейтральным по +:
Из равенства 
тогда 
.
Для 
составляет отдельный
класс, играющий в роль нуля.
умножение: для и
1. 
2. 
Из равенства правых
частей следует, что 
3. покажем, что для 
.
Пусть 
Класс 
является нейтральным по
умножению (единицей полукольца), т.к. 
,
поскольку из равенства тогда .
4. умножение дистрибутивно относительно сложения:
Следовательно, правосторонний дистрибутивный закон выполняется:
Аналогично доказывается левосторонний закон дистрибутивности.
Таким образом, доказано,
что является коммутативным
полукольцом с 1.
Полукольцо называется классическим
полукольцом частных полукольца .▲
Глава 2
Для построения полного
полукольца частных можно воспользоваться следующим методом. Рассмотрим дробь 
как частичный эндоморфизм
аддитивной полугруппы 
неотрицательных
целых чисел. Его область определения – идеал 
,
и он переводит 
в 
, где 
. Аналогично, дробь 
определена на идеале 
и переводит в 
. Эти две дроби
эквивалентны, т.е. они согласованы на пересечении своих областей определений,
равном идеалу 
, поскольку та и
другая дробь переводят в 
. Отношения определяются
как классы эквивалентных дробей. Варьируя этот метод, можно выбрать в каждом
классе эквивалентности одну «несократимую» дробь. Рассмотренный выше класс
содержит несократимую дробь 
.
Данный метод можно применить к произвольному коммутативному полукольцу для построения «полного полукольца частных», где в качестве областей определения допускаются лишь идеалы определённого типа – плотные идеалы.
Определение2.
Идеал 
коммутативного полукольца называется плотным, если
для и 
выполняется равенство 
тогда и только тогда,
когда .
Свойства плотных идеалов
полукольца :
10 - плотный идеал.
Доказательство:
Пусть для 
выполнено 
. Положим 
, тогда 
. Таким образом - плотный идеал по
определению. ▲
20 Если - плотный идеал и 
, то идеал 
плотный.
Доказательство:
Если - плотный идеал, то для из равенства следует 
. Пусть для 
выполнено 
. Так как по условию 
возьмём 
. Тогда т.к. - плотный идеал получаем отсюда . Таким образом 
- плотный идеал по
определению. ▲
30 Если и - плотные идеалы, то 
и 
- так же плотные идеалы.
Доказательство:
Положим для 
выполняется . Пусть 
, где 
, 
. Элемент 
т.к. 
, тогда верно равенство 
отсюда 
, т.к. - плотный идеал имеем , , и - плотный, . Таким образом - плотный идеал.
Пусть , 
тогда по определению
идеала: 
. С другой стороны 
значит 
. Тогда по 20 - плотный идеал. ▲
40 Если 
, то 0 не является плотным
идеалом.
Доказательство.
Пусть . Для 
и 
выполнено 
отсюда 0 не является
плотным идеалом. ▲
Определение3.
Дробью назовём
элемент 
, где - некоторый плотный идеал.
(
- сокращение от 
-
гомоморфизм, в данном случае: 
-
гомоморфизм 
)
Таким образом, 
- гомоморфизм аддитивных
полугрупп, для которого 
для и .
Введём так же дроби 
, положив 
и 
для .
Сложение и умножение дробей определяются следующим образом:
пусть 
и 
тогда
, 
, 
.
Покажем, что 
является идеалом, где 
т.е. сохраняются операции:
1. Если 
, то 
.
Пусть 
, 
, тогда 
.
2. Если 
и 
, то 
. По условию 
.
Так как - коммутативное
полукольцо, то 
.
. Таким образом, - идеал.
Покажем, что идеал является плотным: надо
доказать, что плотный идеал - 
, т.е. 
.
По определению сложения и
умножения 
, т.е. содержит плотный идеал 
значит, по свойству 20
идеал является плотным.
Дроби образуют аддитивную
коммутативную полугруппу 
с нулём
и полугруппу 
с единицей. То есть
образуют полукольцо.
Доказательство:
1. По определению сложения и умножения:
, 
.
, 
2. Коммутативность:
3. Ассоциативность:
4. Нейтральный элемент.
5. Дистрибутивность:
Правосторонняя дистрибутивность аналогично.
Таким образом, дроби образуют полукольцо.
Определение4. Будем писать 
если 
и 
согласованы на пересечении
своих областей определений, т.е. 
для 
.
Лемма
1. 
тогда и только тогда,
когда и согласованы на некотором
плотном идеале.
Доказательство.
Если то и согласованы на 
. По свойству 30
идеал является плотным.
Следовательно, и согласованы на плотном
идеале.
Обратно, пусть и согласованы на плотном
идеале . Тогда если 
и , то 
отсюда в силу плотности
идеала , для 
, но это равенство
выполняется тогда, когда пересечением областей определений и является отсюда следует, что .▲
Лемма
2. Отношение 
является конгруэнцией на
системе 
.
Доказательство.
Для того чтобы доказать,
что - конгруэнция, нужно
показать:
1. отношение - рефлексивно,
симметрично, транзитивно.
Рефлективность: и согласованы на плотном
идеале 
.
Симметричность: пусть , т.е. и согласованы на 
.
Транзитивность: пусть и 
, т.е. и согласованы на плотном
идеале
и 
согласованы
на плотном идеале 
. Значит и согласованы на идеале 
, являющемся плотным , и согласована с на , тогда 
согласована с на плотном идеале 
по Лемме 1 
Таким образом, - отношение
эквивалентности.
2. отношение сохраняет полукольцевые
операции.
Ø
Пусть и 
, т.е. 
для 
и 
для .
Тогда 
и 
определены и согласованы
на плотном идеале 
отсюда по Лемме
1 
.
Ø
Пусть и , т.е. для 
и для .
Тогда 
и 
определены и согласованы
на плотном идеале 
отсюда по Лемме
1 
.▲
Теорема2.Если -
коммутативное полукольцо то система 
так же
является коммутативным полукольцом. 
. (Будем
называть 
полным полукольцом частных
полукольца )
Доказательство.
- разбивает множество дробей 
на 
непересекающихся классов
эквивалентности.
По Лемме 2 все
тождества выполняющиеся в справедливы
и в .
Чтобы убедится, что коммутативное полукольцо
остаётся проверить справедливость законов дистрибутивности и коммутативности.
1. Дистрибутивность.
Отображения: 
и 
согласованы на идеале 
покажем, что образы
отображений и совпадают на этом идеале:
пусть 
,
где 
.
Тогда 
.
Областью определения 
является . По определению идеала: 
то 
для 
, а идеал 
(свойство 30)
то: 
. Тогда по определению
сложения 
отсюда следует 
. Покажем 
. По определению 
Аналогично 
.
Тогда:
Таким образом, 
где 
. По свойству 30
- плотный идеал значит и согласованы на плотном
идеале 
.
2. Коммутативность.
Отображения 
и 
согласованы на плотном
идеале докажем что их образы
совпадают на этом идеале: 
.
Доказано ранее, что 
пусть элементы 
тогда 
Отсюда следует, что и согласованы на плотном
идеале .
Таким образом, 
по Лемме 1.
Наконец сопоставим
дробь: 
с областью определения при которой 
переходит в 
.
Предложение2. Отображение 
является
гомоморфизмом т.е. сохраняет операции:
Доказательство:
1. Пусть 
,
и 
где 
и 
.
Нужно показать, что 
. Покажем равенство образов
и 
.
Рассмотрим дробь 
, такую что
для 
. (1)
С другой стороны рассмотрим дроби 
и 
, такие что 
для . (2)
Из (1) и (2) следует, что 
.
По свойству сложения смежных классов:
для
2. Пусть ,
и 
где и 
.
Нужно показать, что 
. Покажем равенство образов
и 
.
Рассмотрим дробь 
, такую что
для 
. (3)
С другой стороны рассмотрим дроби и , такие что 
для . (4)
Из (3) и (4) следует, что 
.
По свойству умножения смежных классов:
для .
Таким образом гомоморфизм.
Пусть ,
тогда
т.е. и
согласованы на некотором
плотном идеале значит 
для , так как - плотный идеал, то 
отсюда 
- инъективно.
Поэтому, гомоморфизм 
является мономорфизмом и вкладывается в полное
полукольцо частных.
Гомоморфизм 
будем называть
каноническим мономорфизмом в .▲
Глава 3.
Определение5.Любому мультипликативно сокращаемому
элементу 
сопоставим плотный идеал 
. Если 
, то элемент 
назовём классической
дробью, полагая 
для .
Теорема3.
Множество дробей
образует подполукольцо
полного полукольца частных, изоморфное классическому полукольцу частных полукольца .
Доказательство:
Рассмотрим отображение 
, т.е. 
.
1. Докажем, что - отображение: если и 
, 
, где 
,
, то 
.
Имеем 
Возьмём элемент 
из пересечения плотных
идеалов 
, т.е. 
и 
Тогда 
, домножим на 
получим 
. Так как 
и на выполняется
коммутативность по умножению, то 
, 
отсюда 
для 
.
2. Докажем, что является полукольцевым
гомоморфизмом, т.е. сохраняются полукольцевые операции.
2.1
. Покажем, что дробь 
согласована с 
на плотном идеале 
.
Пусть 
, 
.
для 
.
Следовательно 
.
2.2
.
Идеал 
содержит
, покажем, что 
и 
согласованы на плотном
идеале .
Пусть 
,
. Тогда
для 
.
Значит 
.
Таким образом - полукольцевой
гомоморфизм классического полукольца частных в
полное полукольцо частных .
3. Докажем, что - инъективный гомоморфизм.
Пусть для 
.
Предположим, что дроби 
и 
согласованы на некотором
плотном идеале 
, т.е. для выполнено 
. Но 
, 
. Тогда 
. Домножим обе части
равенства на 
получим:
т.к. -
плотный идеал , что
противоречит условию.
Значит, является
инъективным гомоморфизмом или мономорфизмом в
.
Так как ,
то 
, где 
- элемент подполукольца
полного полукольца частных , т.е. 
и 
. Поскольку - инъективный гомоморфизм,
то по теореме о гомоморфизме существует изоморфизм 
отсюда
следует 
.
Мономорфизм называется вложением
классического полукольца частных в
полное полукольцо частных полукольца
.▲
Библиографический список
1. Вечтомов, Е. М. Введение в полукольца [Текст] / Е. М. Вечтомов. – Киров.: ВГПУ, 2000.
2. Ламбек, И. Кольца и модули [Текст] / И. Ламбек. – Москва.: Мир, 1971. – 288 с.
3. Чермных, В. В. Полукольца [Текст] / В. В. Чермных. – Киров.: ВГПУ, 1997. – 131 с.