Курсовая работа: Конгруэнции Фраттини универсальных алгебр

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ

Учреждение образования

"Гомельский государственный университет

имени Франциска Скорины"

Математический факультет

Кафедра алгебры и геометрии

Курсовая работа

КОНГРУЭНЦИИ ФРАТТИНИ УНИВЕРСАЛЬНЫХ АЛГЕБР

Исполнитель:

студентка группы H.01.01.01 М-43

Селюкова Н.В.

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук,

профессор кафедры Алгебры и геометрии

Монахов В. С.

Гомель 2004

Содержание

Введение

1. Основные определения, обозначения и используемые результаты

2. Свойства централизаторов конгруэнции универсальных алгебр

3. Конгруэнция Фраттини, подалгебра Фраттини и их свойства

Список литературы

Введение

Одно из направлений исследований самых абстрактных алгебраических систем, в частности, универсальных алгебр, связано с изучением, определенным образом выделенных подсистем таких систем. Например, в группах - это силовские подгруппы, подгруппа Фраттини, подгруппа Фиттинга, в алгебрах Ли --- это подалгебра Картана, Фраттини и т.д. Разработка новых методов исследований мультиколец, универсальных алгебр, нашедших свое отображение в книге Л. А. Шеметкова и А. Н. Скибы ``Формации алгебраических систем''(1), дает мощный импульс в реализации этого направленияи в универсальных алгебрах. В этой курсовой работе решается задача, связанная с изучением свойств подалгебр Фраттини и конгруэнции Фраттини универсальных алгебр, принадлежащих некоторому фиксированному мальцевскому многообразию. В частности, получены новые результаты, указывающие на связь подалгебры Фраттини с фраттиниевой конгруэнцией (теоремы (4)и(5)). Установлено одно свойство подалгебры Фраттини нильпотентной алгебры (теорема(2)). Как следствие, из полученных результатов следуют аналогичные результаты теории групп и мультиколец.

Перейдем к подробному изложению результатов курсовой работы, состоящей из введения, трех параграфов и списка литературы, состоящего из пяти наименований.

1 носит вспомагательный характер. Здесь приведены все необходимые определения, обозначения и используемые в дальнейшем результаты.

2 носит реферативный характер. Здесь приводятся с доказательствами результаты работ [??], касающееся свойств централизаторов конгруэнций.

3 является основным. На основе введенного здесь понятия --- конгруэнции Фраттини, устанавливаются некотоые свойства подалгебры Фраттини универсальной алгебры. В частности, доказывается, что подалгебра Фраттини нильпотентной алгебры  нормальна в  (теорема(3)).

1. Основные определения и используемые результаты

Определение 1.1[??] Пусть  --- некоторое непустое множество и пусть , отображение -ой декартовой степени  в себя, тогда  называют -арной алгебраической операцией.

Определение 1.2[??] Универсальной алгеброй называют систему  состоящую из некоторого множества  с заданной на нем некоторой совокупностью операций .

Определение 1.3[??] Пусть  --- некоторая универсальная алгебра и  (), тогда  называют подалгеброй универсальной алгебры , если  замкнута относительно операций из .

• Для любой операции , где  и .

• Для любой операции  элемент  фиксируемый этой операцией в  принадлежит .

Определение 1.4 Всякое подмножество  называется бинарным отношением на .

Определение 1.5 Бинарное отношение называется эквивалентностью, если оно:

• рефлексивно           

• транзитивно    и

• симметрично   

Определение 1.6 Пусть  некоторая эквивалентность на , тогда через  обозначают множество . Такое множество называют класс разбиения по эквивалентности  содержащий элемент . Множество всех таких классов разбиения обозначают через  и называют фактормножеством множества  по эквивалентности .

Определим -арную операцию на фактормножестве  следующим образом:

Определение 1.7 Эквивалентность  на алгебре  называется ее конгруэнцией на , если выполняется следующее условие:

Для любой операции  для любых элементов  таких, что  имеет место .

Определение 1.8 Если  и  --- конгруэнции на алгебре , , то конгруэнцию  на алгебре  назовем фактором на .

 тогда и только тогда, когда .

 или  или 1 --- соответственно наименьший и наибольший элементы решетки конгруэнций алгебры .

Лемма 1.1 (Цорна). Если любая цепь частично упорядоченного множества  содержит максимальные элементы, то и само множество  содержит максимальные элементы.

Определение 1.9 Пусть  --- бинарное отношение на множестве . Это отношение называют частичным порядком на , если оно рефлексивно, транзитивно, антисимметрично.

Определение 1.10 Множество с заданным на нем частичным порядком называют частично упорядоченным множеством.

Теорема Мальцев А.И. Конгруэнции на универсальной алгебре  перестановочны тогда и только тогда, когда существует такой тернарный оператор , что для любых элементов  выполняется равенство . В этом случае оператор  называется мальцевским.

Определение 1.11 Алгебра  называется нильпотентной, если существует такой ряд конгруэнций , называемый центральным, что  для любого .

Определение 1.12 Подалгебра алгебры  называется собственной, если она отлична от самой алгебры .

Определение 1.13 Подалгебра  универсальной алгебры  называется нормальной в , если  является смежным классом по некоторой конгруэнции  алгебры .

Определение 1.14 Пусть  и  --- универсальные алгебры с одной и той же сигнатурой, отображение  называется гомоморфизмом, если

1)  и  имеет место ;

2) , где  и  элементы фиксируемой операцией  в алгебрах  и  соответственно.

Определение 1.15 Гомоморфизм  называется изоморфизмом между  и , если обратное к нему соответствие  также является гомоморфизмом.

Теорема Первая теорема об изоморфизмах Пусть  - гомоморфизм,  --- конгруэнция, тогда .

Теорема Вторая теорема об изоморфизмах Пусть  --- есть -алгебра,  --- подалгебра алгебры  и  --- конгруэнция на . Тогда  является подалгеброй алгебры ,  --- конгруэнцией на  и .

Теорема Третья теорема об изоморфизмах Пусть  --- есть -алгебра и  и  --- такие конгруэнции на , что . Тогда существует такой единственный гомоморфизм , что . Если , то  является конгруэнцией на  и  индуцирует такой изоморфизм .

2. Свойства централизаторов конгруэнции универсальных алгебр

Определение 2.1 Пусть  и  --- конгруэнции на алгебре . Тогда  централизует  (записывается: ), если на  существует такая конгруэнция , что:

1) из                                 

всегда следует                       

2) для любого элемента        

всегда выполняется         

3) если                              

то                                              

Под термином "алгебра" в дальнейшем будем понимать универсальную алгебру. Все рассматриваемые алгебры предполагаются входящими в фиксированное мальцевское многообразие .

Следующие свойства централизуемости, полученные Смитом [??], сформулируем в виде леммы.

Лемма 2.1 [??] Пусть . Тогда:

1) существует единственная конгруэнция , удовлетворяющая определению 2.1;

2) ;

3) если                                   

то                                         

Из леммы 2.1. и леммы Цорна следует, что для произвольной конгруэнции  на алгебре  всегда существует наибольшая конгруэнция, централизующая . Она называется централизатором конгруэнции  в  и обозначается .

В частности, если , то централизатор  в  будем обозначать .

Лемма 2.2 [??] Пусть ,  --- конгруэнции на алгебре , , , . Тогда справедливы следующие утверждения:

1) ;

2) , где ;

3) если выполняется одно из следующих отношений:

4) из  всегда следует

Доказательство:

1) Очевидно, что  --- конгруэнция на , удовлетворяющая определению 2.1. В силу пункта 1) леммы 2.1. и .

2)  --- конгруэнция на , удовлетворяющая определению

2.1. Значит                    

3) Пусть                           .

Тогда                               

Применим к последним трем соотношениям мальцевский оператор  такой, что                           

Тогда получим               

т.е.                                            

Аналогичным образом показываются остальные случаи из пункта 3).

4) Пусть                          

Тогда справедливы следующие соотношения:

Следовательно,         

где  --- мальцевский оператор.

Тогда                        

то есть                                 .

Так как                    

то .

Таким образом . Лемма доказана.

Следующий результат оказывается полезным при доказательстве последующих результатов.

Лемма. 2.3 [??] Любая подалгебра алгебры , содержащая диагональ , является конгруэнцией на алгебре .

Доказательство:

Пусть                              

Тогда из   

следует, что            

Аналогичным образом из   

получаем, что

Итак,  симметрично и транзитивно. Лемма доказана.

Лемма 2.4 [??] Пусть . Тогда  для любой конгруэнции  на алгебре .

Доказательство:

Обозначим  и определим на алгебре  бинарное отношение  следующим образом:                 

тогда и только тогда, когда

где  

Используя лемму 2.3, нетрудно показать, что  --- конгруэнция на алгебре , причем                                         

Пусть                                    

то есть                              

Тогда                                    

и, значит                            

Пусть, наконец, имеет место

Тогда справедливы следующие соотношения:

применяя мальцевчкий оператор  к этим трем соотношениям, получаем

Из леммы 2.2 следует, что  

Так как  то   

Значит,

Но , следовательно, .

Итак,

и удовлетворяет определению 2.1. Лемма доказана.

Лемма 2.5 [??] Пусть ,  --- конгруэнции на алгебре ,  и  --- изоморфизм, определенный на .

Тогда для любого элемента  отображение  определяет изоморфизм алгебры  на алгебру , при котором .

В частности, .

Доказательство.

Очевидно, что  --- изоморфизм алгебры  на алгебру , при котором конгруэнции ,  изоморфны соответственно конгруэнциям  и .

Так как

то определена конгруэнция

удовлетворяющая определению 2.1.

Изоморфизм  алгебры  на алгебру  индуцирует в свою очередь изоморфизм  алгебры  на алгебру  такой, что

для любых элементов  и , принадлежащих . Но тогда легко проверить, что  --- конгруэнция на алгебре , изоморфная конгруэнции .

Это и означает, что

Лемма доказана.

Определение 2.2 [??] Если  и  --- факторы на алгебре  такие, что  то конгруэнцию  обозначим через  и назовем централизатором фактора  в .

Определение 2.3 [??] Факторы  и  назыавются перспективными, если либо  либо                  

Теорема [??] Пусть , , ,  --- конгруэнции на алгебре . Тогда:

1) если , то

2) если , то  

3) если ,  и факторы ,  перспективны, то

4) если  - конгруэнции на  и , то

где , .

 Доказательство.

1) Так как конгруэнция  централизует любую конгруэнцию и , то

2) Из первого пункта лемы 2.2 следует, что

а в силу леммы 2.4 получаем, что                                   

Пусть  - изоморфизм . Обозначим

По лемме 2.5 , а по определению

Следовательно,        

3) Очевидно, достаточно показать, что для любых двух конгруэнции  и  на алгебре  имеет место равенство

Покажем вналале, что

Обозначим . Тогда, согласно определению 2.1. на алгебре  существует такая конгруэнция , что выполняются следующие свойства:

а) если , то

б) для любого элемента ,

в) если  

то

Построим бинарное отношение  на алгебре  следующим образом:

тогда и только тогда, когда

и

Покажем, что  --- конгруэнция на .

Пусть

для . Тогда

и

Так как  --- конгруэнция, то для любой -арной операции  имеем

Очевидно, что

и

Следовательно,

Очевидно, что для любой пары                            

Значит,

Итак, по лемме 2.3,  - конгруэнция на . Покажем теперь, что  удовлетворяет определению 2.1, то есть  централизует . Пусть     (??)

Тогда

Так как , и , то . Следовательно,  удовлетворяет определению 2.1.

Если , то

значит,

Пусть, наконец, имеет место (1) и              (??)

 Тогда

Так как  и , то , следовательно, . Из (2) следует, что , а по условию . Значит,  и поэтому

Тем самым показано, что конгруэнция  удовлетворяет определению 2.1, то есть  централизует .

Докажем обратное включение.

Пусть

Тогда на алгебре  определена конгруэнция  удовлетворяющая определению 2.1. Построим бинарное отношение  на алгебре  следующим образом:

                                                                                        (??)

тогда и только тогда, когда

                                                        (??)

и , .

Аналогично, как и выше, нетрудно показать, что  --- конгруэнция на алгебре . Заметим, что из доказанного включения в одну сторону следует, что . Покажем поэтому, что  централизует .

Так как    то

то есть  удовлетворяет условию 1) определения 2.1.

Если , то

следовательно,

Пусть имеет место (3) и .

Так как

то

Из (4) следует, что , следовательно,

то есть

На основании леммы 2.2 заключаем, что

Следовательно, .

А так как , то , то есть

4) Обозначим . Пусть

и удовлоетворяет определению 2.1.

Определим бинарное отношение  на  следующим образом

тогда и только тогда, когда

Аналогично, как и выше, нетрудно показать, что  --- конгруэнция, удовлетворяющая определению 2.1.

Это и означает, что  

Теорема доказана.

Как следствия, из доказанной теоремы получаем аналогичные свойства централизаторов в группах и мультикольцах.

3. Конгруэнция Фраттини, подалгебра Фраттини и их свойства

Определение 3.1 Конгруэнция  универсальной алгебры  называется фраттиниевой, если , для любой собственной подалгебры  из ;

Определение 3.2 Собственная подалгебра  универсальной подалгебры  называется максимальной, если из того, что для некоторой подалгебры  выполняется , всегда следует, что либо , либо .

Будем в дальнейшем рассматривать алгебры с условием максимальности и минимальности для подалгебр.

Теорема Конгруэнция  универсальной алгебры  является фраттиниевой тогда и только тогда, когда для любой максимальной подалгебры  из  имеет место равенство .

Доказательство:

Пусть  --- фраттиниева конгруэнция алгебры  и  --- максимальная подалгебра из .

Так как  и , то .

Обратно. Пусть  удовлетворяет свойству  и пусть  --- любая собственная подалгебра алгебры .

Так как выполняется условие максимальности для подалгебр, то найдется такая максимальная подалгебра  алгебры , что , но .

Тем самым теорема доказана.

Определение 3.3 Пусть  --- конгруэнция на универсальной алгебре , тогда  называется конгруэнцией, порожденной конгруэнцией , если  тогда и только тогда, когда существуют  такие, что .

Определение 3.4 Конгруэнцией Фраттини универсальной алгебры  назовем конгруэнцию, порожденную всеми фраттиниевыми конгруэнциями алгебры  и будем обозначать .

Теорема Конгруэнция Фраттини является фраттиниевой конгруэнцией.

Доказательство:

Из теоремы (??) следует, что достаточно показать выполнимость следующего равенства , где  --- произвольная подалгебра алгебры . Напомним, что

Так как , то существует такая конечная последовательность фраттиниевых конгруэнций , что . Это означает, что существует последовательность элементов, что .

Так как  и , то . Аналогичным образом получаем, что .

Следовательно, .

Теорема доказана.

Напомним следующее определение из книги.

Определение 3.5 Пусть  --- множество всех максимальных подалгебр алгебры ,  --- конгруэнция алгебры , порожденная всеми такими конгруэнциями  на , что , .

Лемма 3.1 [??] Конгруэнция  является фраттиниевой конгруэнцией на  и всякая фраттиниева конгруэнция на  входит в .

Доказательство:

Пусть  --- произвольная собственная подалгебра алгебря . Тогда найдется такая максимальная в  подалгебра , что . Значит,  и тем более . Следовательно,  фраттиниева конгруэнция на .

Пусть теперь  --- произвольная фраттиниева алгебры ,  --- произвольная максимальная подалгебра из . Тогда , т.е. . Следовательно, . Лемма доказана.

Определение 3.6 Подалгебра Фраттини универсальной алгебры  называется пересечение всех максимальных подалгебр из , и обозначается через .

Теорема Пусть  --- алгебра. Тогда .

Доказательство:

От противного. Предположим, что . Тогда существует элемент  такой, что  не принадлежит . Так как , то существует  и, следовательно,  для любой максимальной подалгебры  и  --- фраттиниева. Значит,  принадлежит любой максимальной подалгебре из . Следовательно, . Теорема доказана.

Лемма 3.2 Пусть  --- максимальная подалгебра алгебры  такая, что , где , тогда .

Доказательство:

Определим бинарное отношение  на алгебре  следующим образом:  тогда и только тогда, когда существует элементы  и .

Как показано в работе [??]  --- конгруэнция на алгебре .

Покажем, что , т.е.  является смежным классом по конгруэнции .

Пусть  и пусть . В силу определения  найдутся такие элементы  и , что

Применим мальцевский оператор . Отсюда получаем

Следовательно, .

Лемма доказана.

Лемма 3.3 Пересечение нормальных подалгебр алгебры  является нормальной подалгеброй алгебры .

Теорема Подалгебра Фраттини нильпотентной алгебры  нормальна в .

Доказательство:

Пусть алгебра  --- нильпотентна, тогда она обладает таким рядом конгруэнций, , где . Очевидно, что для любой максимальной подалгебры  алгебры  всегда найдется такой номер , что  и .

По лемме 3.2. . Отсюда следует, что . Так как пересечение нормальных подалгебр является нормальной подалгеброй, то .

Теорема доказана.

Заключение

В данной курсовой работе приведены с доказательствами результаты работ[2], касающееся свойств централизаторов конгруэнций. А также на основе введенного здесь понятия - конгруэнции Фраттини, устанавливаются некотоые свойства подалгебры Фраттини - универсальной алгебры. В частности, доказано, что подалгебра Фраттини нильпотентной алгебры  нормальна в .

Список использованной литературы

[1] Шеметков Л. А., Скиба А. Н., Формации алгебраических систем. --- М.: Наука, 1989. -- 256с.

[2] Ходалевич А. Д., Универсальные алгебры с -центральными рядами конгруэнций// Известия АН Беларуси. Сер. физ.-мат. наук, 1994. N1. с.30--34

[3] Smith J. D. Mal'cev Varieties // Lect. Notes Math. 1976. V.554.

[4] Hodalevich A. D., Maximal Subalgebras of universal algebras --- Manuscript, 1994.

[5] Кон П. М., Универсальная алгебра. М.:Мир, 1968.--351с.