Контрольная работа: Методы и модели в экономике

ГОУ ВПО Омский государственный технический университет

Кафедра «Экономика и организация труда»

Контрольная раБОтА

по дисциплине «Методы и модели в экономике»

Вариант 28

Выполнил:

студент гр. ЗУТ-217

Чупраков Д. А.

Проверила:

__________ Е. Н. Казанцева

«___» ___________ 2009 г.

Омск 2009

 


СОДЕРЖАНИЕ

Задача 1

Задача 2

Задача 3


Задача №1


1. Составить математическую модель задачи.

Сельскохозяйственное предприятие обязалось поставить в два магазина 25 и 35 т картофеля соответственно. Предприятие располагает тремя складами с запасами картофеля 15, 20 и 30 т соответственно. Расходы на поставку 1 т картофеля с каждого из складов в оба магазина даны в таблице.

Магазины Склады №1 №2
№1 20 руб. 45 руб.
№2 30 руб. 20 руб.
№3 40 руб. 35 руб.

Составить наиболее дешёвый план перевозок картофеля по каждому из технологических способов, чтобы получить максимум прибыли?

Решение

Введем переменные , представляющие собой количество товара, поставляемого из каждого i-го склада в каждый j-ый магазин.

Поскольку суммарные запасы = 65 (т) и суммарные потребности = 60 (т) не совпадают (т.е. мы имеем дело с открытой транспортной задачей), необходимо ввести фиктивный  пункт потребления . Тогда транспортная матрица будет иметь следующий вид (табл.1).


Таблица 1- Общий вид транспортной матрицы

Пункты производства, i Пункты потребления, j Объем производства
1 2 3
1 20 45 0 15
2 30 20 0 20
3 40 35 0 30
Объем потребления (спрос) 25 35 5 65

Зададим целевую функцию и ограничения, т.е. построим математическую модель транспортной задачи.

Найдем опорный план транспортной задачи методом северо-западного угла (табл. 2).

Таблица 2 – Транспортная матрица с опорным планом северо-западного угла

Пункты

производства, i

Пункты потребления, j Объем производства
1 2 3
1

20

15

45

-

0

-

15/0
2

30

10

20

10

0

-

20/10/0
3

40

-

35

25

0

5

30/5/0
Объем потребления 25/10/0 35/25/0 5/0 65

Опорный план , найденный методом северо-западного угла имеет вид:


 (т) или  = (15; 0; 0; 10; 10; 0; 0;25;5).

Целевая функция, выражающая общие затраты на перевозку, будет иметь вид:  (руб.).

Итерация 1.

Шаг 1.1. Вычисление потенциалов

20

15

45

-

0

-

u1=0

30

10

20

10

0

-

u2=-10

40

-

35

25

0

5

u3=-25

v1=20

v2=10

v3=-25

Система для плана  имеет вид:

Полагая u1=0, находим значения всех потенциалов: v1=20, v2=10, u2=-10, v3= - 25, u3= - 25, т.е. (0; - 10; -25; 20; 10; -25).

Шаг 1.2. Проверка на оптимальность. Составляем таблицу оценок .

0 -35 -25

u1=0

0 0 -15

u2=-10

1=

10 -10 -5

u3=-25

v1=20

v2=10

v3=-25

          Так как имеются >0, то переходим к шагу 3.

Шаг 1.3. Составление нового плана перевозок.  соответствует клетка К31.

-30

10

+20

10

1=

+40

-

-35

25

Θ == 10. Составим новый план перевозки.

Итерация 2.

Шаг 2.1. Вычисление потенциалов

20

15

45

-

0

-

u1=0

30

-

20

20

0

-

u2=-5

40

10

35

15

0

5

u3=-20

v1=20

v2=15

v3=-20

Система для плана имеет вид:

Полагая u1=0, находим значения всех потенциалов: (0; -5; -20; 20; 15; -20).

Шаг 2.2. Проверка на оптимальность. Составляем таблицу оценок .

0 -35 -20

u1=0

-5 0 -15

u2=-5

1=

0 0 0

u3=-20

v1=20

v2=15

v3=-20

Так как все оценки ≤0, следовательно, план - оптимальный.

Х оптим = (0; -5; -20; 20; 15; -20), следовательно, оптимальное значение целевой функции: (руб.).

Ответ: Х оптим = (0; -5; -20; 20; 15; -20), L(X) = 1625 руб.

Задача №2

2. Решить графически задачу: найти экстремумы функции , если , .

Решить симплекс-методом

РЕШЕНИЕ

а) Решим задачу графически при

z = 3x1 – 2x2 → max

, .

Построим на плоскости прямые ограничений, вычислив координаты точек пересечения этих прямых с осями координат (рис.1).

x2

 

16

 

 

 

5

 

Рис.1. Графическое решение задачи при z = 3x1 – 2x2 → max

Строим вектор  из точки (0;0) в точку (3; -2). Точка Е (7;0) – это последняя вершина многоугольника допустимых решений, через которую проходит линия уровня, двигаясь по направлению вектора . Поэтому Е – это точка максимума целевой функции. Тогда максимальное значение функции равно:

.

б) Решим задачу графически при

z = 3x1 – 2x2 → min

, .

Построим на плоскости прямые ограничений, вычислив координаты точек пересечения этих прямых с осями координат (рис.2).


x2

 

16

 

 

 

5

 

Рис.2. Графическое решение задачи при z = 3x1 – 2x2 → min

Строим вектор  из точки (0;0) в точку (-3; 2). Точка Е (0;1) – это последняя вершина многоугольника допустимых решений, через которую проходит линия уровня, двигаясь по направлению вектора . Поэтому Е – это точка минимума целевой функции. Тогда минимальное значение функции равно:

.

Ответ: а) Функция z = 3x1 – 2x2 → max и равна 21 в точке (7;0).

          б) Функция z = 3x1 – 2x2 → min и равна - 2 в точке (0;1).


Задача №3

Решить методом потенциалов транспортную задачу, где  – цена перевозки единицы груза из пункта  в пункт .

Решение

Поскольку суммарные запасы = 35 (ед. груза) и суммарные потребности = 48 (ед. груза) не совпадают (т.е. мы имеем дело с открытой транспортной задачей), необходимо ввести фиктивный  пункт производства . Тогда транспортная матрица будет иметь следующий вид (табл.1).

Таблица 1- Общий вид транспортной матрицы

Пункты производства, i Пункты потребления, j Объем производства
1 2 3 4
1 6 8 4 2 10
2 5 6 9 8 10
3 4 2 3 8 15
4 0 0 0 0 13
Объем потребления (спрос) 5 8 15 20 48

Найдем опорный план транспортной задачи методом северо-западного угла (табл. 2).


Таблица 2 – Транспортная матрица с опорным планом северо-западного угла

Пункты

производства, i

Пункты потребления, j Объем производства
1 2 3 4
1

6

5

8

5

4

-

2

-

10/5/0
2

5

-

6

3

9

7

8

-

10/7/0
3

4

-

2

-

3

8

8

7

15/7/0
4

0

-

0

-

0

-

0

13

13/0
Объем потребления 5/0 8/3/0 15/8/0 20/13/0 48

Опорный план , найденный методом северо-западного угла имеет вид:

 (ед. груза) или  = (5; 5; 0; 0; 0; 3; 7;0;0;0;8;7;0;0;0;13).

Целевая функция, выражающая общие затраты на перевозку, будет иметь вид:  (ден. ед.).

Итерация 1.

Шаг 1.1. Вычисление потенциалов

6

5

8

5

4

-

2

-

u1=0

5

-

6

3

9

7

8

-

u2=2

4

-

2

-

3

8

8

7

u3=8

0

-

0

-

0

-

0

13

u4=16

v1=6

v2=8

v3=11

v4=16

Система для плана  имеет вид:

Полагая u1=0, находим значения всех потенциалов: v1=6, v2=8, u2=2,v3=11, v4=16, u3=8, u4=16, т.е. (0; 2; 8; 16; 6; 8; 11; 16).

Шаг 1.2. Проверка на оптимальность. Составляем таблицу оценок .

0 0 7 14

u1=0

-1 0 0 6

u2=2

1=

-6 -2 0 0

u3=8

-10 -8 -5 0

u4=16

v1=6

v2=8

v3=11

v4=16

         

Так как имеются >0, то переходим к шагу 3.

Шаг 1.3. Составление нового плана перевозок.  соответствует клетка К14.

- 8

5

4

-

+2

-

+6

3

- 9

7

8

-

1=

2

-

+3

8

- 8

7

0

-

0

-

0

13

Θ == 5. Составим новый план перевозки.

Итерация 2.

Шаг 2.1. Вычисление потенциалов

6

5

8

-

4

-

2

5

u1=0

5

-

6

8

9

2

8

-

u2=-12

4

-

2

-

3

13

8

2

u3=-6

0

-

0

-

0

-

0

13

u4=2

v1=6

v2=-6

v3=-3

v4=2

Система для плана  имеет вид:

Полагая u1=0, находим значения всех потенциалов: v1=6, v2=-6, u2=-12,v3=-3, v4=2, u3=-6, u4=2, т.е. (0; -12; -6; 2; 6; -6; -3; 2).

Шаг 2.2. Проверка на оптимальность. Составляем таблицу оценок .

0 -14 -7 0

u1=0

13 0 0 6

u2=-12

1=

8 -2 0 0

u3=-6

4 -8 -5 0

u4=2

v1=6

v2=-6

v3=-3

v4=2

Так как имеются >0, то переходим к шагу 3.

Шаг 1.3. Составление нового плана перевозок.  соответствует клетка К21.

-6

5

8

-

4

-

+2

5

1=

+5

-

6

8

-9

2

8

-

4

-

2

-

+3

13

-8

2

Θ === 2. Возьмем  и составим новый план перевозки.

Итерация 3.

Шаг 3.1. Вычисление потенциалов

6

3

8

-

4

-

2

7

u1=0

5

2

6

8

9

0

8

-

u2=1

4

-

2

-

3

15

8

-

u3=7

0

-

0

-

0

-

0

13

u4=2

v1=6

v2=7

v3=10

v4=2


Система для плана  имеет вид:

Полагая u1=0, находим значения всех потенциалов: (0; 1; 7; 2; 6; 7; 10; 2).

Шаг 3.2. Проверка на оптимальность. Составляем таблицу оценок .

0 -1 6 0

u1=0

0 0 0 -7

u2=1

1=

-5 -2 0 -13

u3=7

4 5 8 0

u4=2

v1=6

v2=7

v3=10

v4=2

Так как имеются >0, то переходим к шагу 3.

Шаг 3.3. Составление нового плана перевозок.  соответствует клетка К43.

-6

3

8

-

4

-

+2

7

+5

2

6

8

-9

0

8

-

1=

4

-

2

-

3

15

8

-

0

-

0

-

+0

-

-0

13


Θ == 0. Составим новый план перевозки.

Итерация 4.

Шаг 4.1. Вычисление потенциалов

6

3

8

-

4

-

2

7

u1=0

5

2

6

8

9

-

8

-

u2=1

4

-

2

-

3

15

8

-

u3=-1

0

-

0

-

0

0

0

13

u4=2

v1=6

v2=7

v3=2

v4=2

Система для плана  имеет вид:

Полагая u1=0, находим значения всех потенциалов: (0; 1; -1; 2; 6; 7; 2; 2).

Шаг 4.2. Проверка на оптимальность. Составляем таблицу оценок .

0 -1 -2 0

u1=0

0 0 -8 -7

u2=1

1=

3 6 0 -5

u3=-1

4 5 0 0

u4=2

v1=6

v2=7

v3=2

v4=2

Так как имеются >0, то переходим к шагу 3.

Шаг 4.3. Составление нового плана перевозок.  соответствует клетка К32.

-6

3

8

-

4

-

+2

7

+5

2

-6

8

-9

-

8

-

1=

4

-

+2

-

-3

15

8

-

0

-

0

-

+0

0

-0

13

Θ == 3. Составим новый план перевозки.

Итерация 5.

Шаг 5.1. Вычисление потенциалов

6

-

8

-

4

-

2

10

u1=0

5

5

6

5

9

-

8

-

u2=-5

4

-

2

3

3

12

8

-

u3=-1

0

-

0

-

0

3

0

10

u4=2

v1=0

v2=1

v3=2

v4=2

Система для плана  имеет вид:

Полагая u1=0, находим значения всех потенциалов: (0; -5; -1; 2; 0; 1; 2; 2).

Шаг 5.2. Проверка на оптимальность. Составляем таблицу оценок .

-6 -7 -2 0

u1=0

0 0 -2 -1

u2=-5

1=

-3 0 0 -5

u3=-1

-2 -1 0 0

u4=2

v1=0

v2=1

v3=2

v4=2

Так как все оценки ≤0, следовательно, план - оптимальный.

Х оптим = (0; -5; -1; 2; 0; 1; 2; 2), следовательно, оптимальное значение целевой функции: (ден. единиц).

Ответ: Х оптим = (0; -5; -1; 2; 0; 1; 2; 2), L(X) = 117 ден. ед.

  • 0

    -0

    13

    Θ == 3. Составим новый план перевозки.

    Итерация 5.

    Шаг 5.1. Вычисление потенциалов

    6

    -

    8

    -

    4

    -

    2

    10

    u1=0

    5

    5

    6

    5

    9

    -

    8

    -

    u2=-5

    4

    -

    2

    3

    3

    12

    8

    -

    u3=-1

    0

    -

    0

    -

    0

    3

    0

    10

    u4=2

    v1=0

    v2=1

    v3=2

    v4=2

    Система для плана  имеет вид:

    Полагая u1=0, находим значения всех потенциалов: (0; -5; -1; 2; 0; 1; 2; 2).

    Шаг 5.2. Проверка на оптимальность. Составляем таблицу оценок .

    -6 -7 -2 0

    u1=0

    0 0 -2 -1

    u2=-5

    1=

    -3 0 0 -5

    u3=-1

    -2 -1 0 0

    u4=2

    v1=0

    v2=1

    v3=2

    v4=2

    Так как все оценки ≤0, следовательно, план - оптимальный.

    Х оптим = (0; -5; -1; 2; 0; 1; 2; 2), следовательно, оптимальное значение целевой функции: (ден. единиц).

    Ответ: Х оптим = (0; -5; -1; 2; 0; 1; 2; 2), L(X) = 117 ден. ед.