Контрольная работа: Моделирование макроэкономических процессов и систем

Оглавление

Введение

Задание 1

Задание 2

Задание 3

Задание 4

Задание 5. Динамическая экономико-математическая модель Кейнса

Экономика в форме динамической модели Кейнса как инерционное звено

Нелинейная динамическая модель Кейнса

Заключение

Литература

Введение

В настоящее время математическое моделирование все настойчивее вторгается в область социально-экономических наук. И дело здесь совсем не в том, что математизация является идеалом строгости для всякой науки.

Возможность использования математического моделирования связана с существованием устойчивых тенденций, которые характеризуют многие социально-экономические процессы. В наибольшей степени сказанное относится к экономике, где математические методы активно применяются с прошлого века.

Значение моделирования как метода исследований определяется тем, что модель представляет собой концептуальный инструмент, ориентированный на анализ изучаемых процессов и их прогнозирование. Именно поэтому, например, в современных курсах по экономической теории наряду с содержательным анализом широко применяется метод математического моделирования.

Следует, однако, иметь в виду, что возможности метода математического моделирования при анализе конкретных социально-экономических процессов достаточно ограничены.

В данной курсовой работе будут рассмотрены основные математические модели макроэкономических процессов, такие как мультипликативная производственная функция, кривая Лоренца, различные модели банковских операций, модели межотраслевого баланса Леонтьева, динамическая экономико-математическая модель Кейнса.

Задание 1

Национальная экономика страны может быть описана мультипликативной производственной функцией вида:

,

 где [P]=у.д.е. – объём ВВП страны, [K]=у.д.е – объём национальных производственных фондов (капитал), [L]=чел. – численность населения страны, занятого в производственной сфере (труд). В развитие национальной экономики инвестируется S у.д.е. Считается, что все средства идут на развитие производства, решить задачу об оптимальном распределении инвестиций по привлечению дополнительных единиц труда и капитала с целью максимального прироста ВВП. Задачу решить методом Лагранжа и графоаналитическим методом, считая, что стоимость одной дополнительной единицы капитала составляет S₁, единицы труда – S₂, а связь между ними носит линейный характер и может быть  описана уравнением S=S₁·K+S₂·L.

Исходные данные:

α₁ = 0.4; α₂ = 0.6; S = 50000; S₁ = 5; S₂ = 15.

Решение:

P = α₀ · K^0.4 · L^0.6

5 · K + 15 · L = 50000

Наиболее рациональным способом решения такой задачи является способ множителей Лагранжа.

P (K, L, λ):

Т.к. K ≠ 0 и L ≠ 0, следовательно:

Графическая иллюстрация решения задачи:

Если в экономику страны, развитие которой описывается функцией P = α₀ K^0.4 ·L^0.6  инвестировать S = 50000 у.д.е, то для получения максимального прироста ВВП эти средства нужно распределить так чтобы создать дополнительных L = 2000 рабочих мест и привлечь дополнительно K = 4000 у.д.е. производственных фондов, при условии что известны стоимости единицы труда S₂ = 15 и единицы капитала S₁ = 5.

Задание 2

Распределение доходов населения страны может быть описано функцией распределения доходов:

где C – минимально возможный уровень дохода; F(x) – доля населения страны с уровнем дохода, меньшим, чем Х (распределение Парето).

Учитывая, что средний относительный доход тех, чей уровень дохода меньше Х, может быть задан функцией:

Построить кривую Лоренца в системе координат, показывающей неравномерность в распределении доходов населения страны.

Значениями x принять равными:

а) при с<х≤3с       с шагом Δх=0,2С

б) при 3с<х≤6с     с шагом Δх=0,5С

Исходные данные:

α = 1.6; c = 3500.

Решение:

а)                3500<x≤10500, шаг Δх = 700

б)                10500<x≤21000, шаг Δх = 1750

Задание 3

Первоначальный банковский вклад S₀ размещен на n лет под р₁% годовых с начислением процента m₁ раз в год. Сравнить конечную сумму вклада, если условия договора изменятся на р₂% и m₂ раз, и рассчитать для обоих вариантов эффективную ставку процента, а также величину дисконта и дисконт-фактора.

Найти величину разового платежа для погашения долгосрочного кредита на сумму S_n, данного банком под р% на n лет.

Исходные данные:

S₀ = 3500; n = 6; p₁ = 16; m₁ = 3; p₂ = 14; m₂ = 2; p = 25; Sn = 200000.

Решение:

Конечная сумма вклада

Эффективная ставка процента

Дисконт

Дисконт-фактор

а) =8917,70

 = 0.1687

 = 0.1379 %

 = 0.8621

б) = 7882,67

 = 0.1449

 = 0.1228 %

 = 0.8772

Сравнив полученные результаты, видим, что при увеличении учетной ставке процента и количества начислений в год – конечная сумма вклада увеличивается.

в)

= 127156,58

Задание 4

В таблице приведены данные об исполнении баланса за отчетный период (в у.д.е.).

Решить задачу межотраслевого баланса, если конечное потребление первой отрасли не изменилось, второй отрасли увеличилось в 1,5 раза, третьей уменьшилось на 25%.

С учетом изменений строим новый вектор конечного потребления:

Находим матрицу прямых затрат в условиях взаимодействия трех отраслей:

Т.к. a_ij  ≥ 0,  = 0.5 ≤ 1,  = 0.175 ≤ 1,  = 0.167 ≤ 1 –

матрица A продуктивна, следовательно, продуктивна и сама модель.

Находим матрицу  E-A, представляющую собой матрицу полных затрат, каждый элемент которой выражает стоимостные затраты той части валового выпуска которая необходима для выпуска единицы конечного продукта.

Определитель матрицы:

Вычислим матрицу C составленную из алгебраических дополнений матрицы  E-A:

И транспонируем ее:

Находим новый вектор валового выпуска продукции тремя отраслями:

Чтобы машиностроение дало 60 у.д.е., металлургия 120 у.д.е., энергетика 150 у.д.е. конечного продукта идущего на непроизводственное потребление необходимо обеспечить следующие объемы валового выпуска отраслей: Машиностроение - 109,772 у.д.е.

Металлургия – 212,934 у.д.е.

Энергетика – 140,269 у.д.е.

Задание 5. Динамическая экономико-математическая модель Кейнса

Экономика в форме динамической модели Кейнса как инерционное звено

В этой модели предполагается, что ВВП  в следующем году равен совокупному спросу предыдущего (текущего) года, а совокупный спрос, состоящий из спроса на потребительские (C) и инвестиционные (I) товары, зависит только от ВВП текущего года:

При линейной зависимости спроса на потребительские товары от ВВП и примерном постоянстве спроса на инвестиционные товары приходим к соотношению

где  - минимальный объем фонда потребления;

 – склонность к потреблению.

Соотношение, действующее при дискретности времени в один год, при дискретности Δt примет форму:

где (1 – с) – склонность к накоплению. 

При t → 0 приходим к уравнению инертного звена (роль постоянной времени выполняет величина , обратная склонности к накоплению):

Последнее уравнение имеет равновесное (стационарное) решение

Если в начальный момент спрос на инвестиционные товары изменился с величины I₀ до I (I > I₀), то в экономике будет происходить переходный процесс от значения ВВП

до значения y_E (см. рис.1). При этом

.

Нелинейная динамическая модель Кейнса

Рассмотрим нелинейную модель Кейнса как нелинейное динамическое звено первого порядка:

т.е. скорость роста ВВП является функцией ВВП и инвестиций. В линейном случае

Поскольку y(y>0) – ВВП, а x=I(I>0) – инвестиции, то из экономических соображений следует, что

т.е с увеличением ВВП скорость его роста замедляется, а с увеличением инвестиций – возрастает.

Пусть при t=0 инвестиции были равны I₀ и система находилась в некотором равновесном состоянии (y₀,I₀), первая компонента которого определяется из уравнения (инвестиции I₀ считаются известными)

При увеличении инвестиций с I₀ до I=I₀+ΔI (ΔI>0) система будет удовлетворять уравнению

Представим ВВП в виде суммы постоянной и переменной частей:

Переменная часть η(t) удовлетворяет уравнению

Если приращение инвестиций ΔI сравнительно мало, то при эволюторном характере функции f(y,I) переменная часть η(t) также сравнительно мала. Поэтому правую часть можно разложить в окрестности точки (y₀,I₀) в ряд Тейлора, отбросив члены второго и более высоких порядков:

После перенесения члена, содержащего η, в левую часть и деления обеих частей на

получаем уравнение инерционного звена:

где

 – обобщенная предельная склонность к сбережению в начальном состоянии;

Из вышеописанного вытекает, что переменная часть ВВП будет вести себя следующим образом:

а ВВП в целом будет изменяться как функция

При этом новое равновесное состояние ВВП

Заключение

В данной курсовой работе были рассмотрены основные математические модели макроэкономических процессов, такие как мультипликативная производственная функция, кривая Лоренца, различные модели банковских операций, модели межотраслевого баланса Леонтьева, динамическая экономико-математическая модель Кейнса.

Как можно было заключить из вышеизложенного,  математические методы имеют большую степень универсальности. Основой  этой  универсальности является язык математики. Если исследователи различных специальностей часто говорят об одной и той же  проблеме  совершенно по-разному, видят разные ее особенности, и не могут связать их воедино; то перевод проблемы на математический язык  сразу выявляет общие закономерности, и даже может дать  уже  практически готовое решение, полученное ранее где-то в  другой  отрасли знаний и для других целей. То есть предпосылкой использования математики является формализация количественных и качественных сторон проблемы.

Литература

1.       Бережная Е.В., Бережной В.И. Математические методы моделирования экономических систем. М.: Финансы и статистика, 2005. 368 с.

2.       Ильченко А.Н. Экономико-математические методы. М.: Финансы и статистика, 2006 287 с.

3.       Колемаев В.А. Экономико-математическое моделирование: Моделирование макроэкономических процессов и систем. М.: ЮНИТИ, 2005 295 с.

4.       Колемаев В.А. Математическая экономика. М.: ЮНИТИ, 2005. 399 с.

5.       Найденков В.И. Прогнозирование и моделирование национальной экономики: Конспект лекций. М.: ПРИОР, 2004. 156 с.

6.       Орехов Н.А., Левин А.Г., Горбунов Е.А., Математические методы и модели в экономике. М.: ЮНИТИ, 2004. 302 с.

7.       Просветов Г.И. Математические модели в экономике. Спб.: РДЛ, 2006. 151 с.

8.       Федосеев В.В. Экономико-математические методы и прикладные модели. М.: ЮНИТИ, 2005 391 с.

9.       Хазанова Л.Э. Математические методы в экономике. Спб.: Волтерс Клувер, 2005. 132 с.

10.  Шелобаев С.И. Экономико-математические методы и модели. М.: ЮНИТИ, 2005. 286 с.