Лабораторная работа: Модель рыночной экономики Кейнса

ЛЕНИНГРАДСКИЙ ОБЛАСТНОЙ ИНСТИТУТ ЭКОНОМИКИ И ФИНАНСОВ

Факультет менеджмента

Кафедра высшей математики

ОТЧЁТ

о лабораторной работе №5

по дисциплине: «Экономико-математическое моделирование»

на тему: «Модель рыночной экономики Кейнса»

вариант № 3

Выполнил

студент дневного отделения

факультета менеджмента

II курса 241 группы

Погосян Т.Р.

Гатчина

2006

содержание

Введение

ГЛАВА 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ УСЛОВИЙ РАВНОВЕСИЯ НА РЫНКАХ ДЕНЕГ И ТОВАРОВ

1.1. Постановка задачи

1.2. Алгоритм вычисления показателей и экономический анализ полученных результатов

ГЛАВА 2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ МОДЕЛИ

2.1. Постановка задачи

2.2. Определение параметров уравнения регрессии с использованием КМНК

2.3 Определение параметров уравнения регрессии с использованием МНК

2.4. Экономический анализ полученных результатов

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

ПРИЛОЖЕНИЯ

Введение

Классическая модель давала ответ на задачу поиска равновесия в экономике в условиях полной занятости. В модели Кейнса показано, что равновесие при полной занятости не является общим случаем. Общий случай - это равновесие при наличии безработицы, а полная занятость лишь особый случай. Но как прийти к равновесию, если экономика при определенном стечении обстоятельств далеко отошла от равновесного состояния и характеризуется массовой безработицей? Чтобы достигнуть желаемого состояния полной занятости, государство обязано проводить особую политику по её достиже­нию, поскольку автоматически действующие рыночные силы без этой поддержки не гарантируют её достижения. Рассмотрим, как определяется равновесное состояние экономики в модели, предложенной Кейнсом.

Целью данной работы является определение условий равновесия на рынках денег и товаров, а также определение параметров модели косвенным методом наименьших квадратов.

Данная работа состоит из введения, двух глав, заключения и двух приложений.

Первая глава посвящена определению условий равновесия на рынках денег и товаров, даётся постановка задачи, вычисляются показатели, и даётся экономический анализ полученных результатов.

Вторая глава работы посвящена определению параметров уравнения функции потребления в простой кейнсианской модели формирования доходов, определяются параметры уравнения регрессии косвенным методом наименьших квадратов, а также даётся экономический анализ полученных результатов.

ГЛАВА 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ УСЛОВИЙ РАВНОВЕСИЯ НА РЫНКАХ ДЕНЕГ И ТОВАРОВ

1.1. Постановка задачи

В модели предполагается, что существует три вида активов: деньги, об­лигации, физический капитал. Относительная цена денег, выраженная в облигациях, - это ставка процента по облигациям. Предполагается, что в условиях равновесия норма прибыли на физический капитал (т.е. на имеющийся запас инвестиционных товаров) равна ставке дохода по облигациям.

Таким образом, появляется возможность проследить, как денежно-кредитная политика влияет на производство. Например, увеличение денежной массы путем печатания новых денег изменяет пропорции обмена между деньгами и облигациями. Если денег станет больше, их будут хранить только при снижении нормы процента на облигации (альтернативный вид активов), при этом норма прибыли также должна снизиться, поскольку облигации и капитал – близкие предметы.

Рассмотрим теперь критерий максимума прибыли по отношению к капиталу (фондам) при фиксированном уровне занятости. Прибыль определяется по формуле:

       П = p*F(K, L) – r*К,                            (1.1)
где   р – цена единицы валового внутреннего продукта;

К – капитал, вовлеченный в производство;

L – трудовые ресурсы, вовлеченные в производство;

r – норма прибыли (ставка процента).

Необходимое условие экстремума:

,                             (1.2)

поскольку , то действительно получим условие максимума

                                         (1.3)

т.е. предельная производительность фондов в стоимостном виде равна норме прибыли (ставке процента).

Таким образом, падение нормы прибыли согласно (1.3) означает падение предельного продукта капитала, а поскольку предельный продукт падает с ростом К, то падение нормы прибыли с необходимостью предполагает увеличение спроса на инвестиционные товары, следовательно, и на товары в целом. Проследив всю причинно-следственную цепочку, видим, что сравнительно небольшое увеличение денежной массы приводит к росту спроса на товары, соответственно, к росту предложения товаров, т.е. к увеличению конечного продукта.

Рассмотрим более подробно рынок труда в модели Кейнса. Напомним, что в классической модели равновесие наступало при полной занятости, и равновесное значение реальной заработной  платы    определялось из условия:

                                      (1.4)

При  этом  равновесный  конечный  продукт  определяется  формулой: Y⁰ = F(K, L⁰), где L⁰- число занятых при полной занятости. Предположим теперь, что по определенным причинам спрос Е (на продукцию) оказался меньше предложения Y⁰ при полной занятости. В этом случае, как считал Кейнс, фактически произведённый конечный продукт Y  будет  равен  спросу: Y = E. Таким образом, фактическая занятость будет меньше полной занятости Y < Y⁰. Это немедленно окажет влияние на рынок рабочей силы в связи с тем, что при прочих равных условиях меньший объём продукта можно произвести с помощью меньшего числа рабочих, т.е. L < L⁰.

Таким образом, если в классической модели реальная заработная плата (w/p)⁰ определяла число занятых , то в модели Кейнса  спрос на товары Е определяет уровень занятости L. При этом ∆L = L⁰ - L и есть тот уровень безработицы, который диктуется рынками денег и товаров.

Дело в том, что производители не могут продать столько, сколько они хотели бы, но производят и продают только в объёме спроса. Поэтому кривая спроса на рабочую силу, которая выводилась в предположении максимизации прибыли, не может быть применена.

Следовательно, основные новшества модели Кейнса по сравнению с классической моделью состоят в следующем:

1.   Равновесие на рынке товаров достигается при равенстве планируемого спроса и фактического предложения.

2. Фактический спрос на рабочую силу определяется фактически востребованным продуктом, и, значит, равновесие на рынке рабочей силы может быть достигнуто тогда, когда рынок товаров находится в равновесии.

В целом модель Кейнса можно записать в следующем виде:

Рынок рабочей  силы:

                            L^S  = L^S (w / p),       L^D  = L^D(Y ⁰).                        (1.5)

Рынок денег:

             M ^S = M ^S ;     M ^D = k * p * Y + Lq(r),       < 0,          (1.6)

M ^S = M ^D ,                                        (1.7)

где Lq(r) - спрос на облигации в зависимости от процентной ставки.

Рынок товаров:

Y=Y(L),      E=C(Y)+I(r),                      (1.8)

   Y=E.                                            (1.9)

При исследовании поведения экономики формулы (1.5) – (1.9) должны быть заменены конкретными зависимостями, отражающими поведение рынков.

Рассмотрим равновесие на рынке товаров, полагая, что зависимости C(Y), I (r) линейные. В этом случае спрос на потребительские товары растёт линейно с ростом предложения товаров:

C(Y) = a + b * Y,                                      (1.10)

где а > 0, 0 < b < 1.

Спрос на инвестиционные товары линейно убывает с ростом нормы процента:

I(r) = d – f * r,                                        (1.11)

где d >0, f > 0.

В этом случае условие равновесия (1.9) запишется в следующей форме:

,                       (1.12)

откуда

    ,           (1.13)

т.е. кривая равновесия на рынке товаров (кривая IS) является линейно-убывающей функцией r и, следовательно, при фиксированном зна­чении r имеется единственное равновесное значение Y ^G (r).

Рассмотрим  теперь равновесие на рынке денег в предположении, что спрос на облигации  Lq(r) линеен: 

                                  Lq (r) = h – j*r.                                      (1.14)

Условие равновесия (1.7) при этом запишется в следующем виде:

                         .                                  (1.15)

Таким образом, кривая равновесия на рынке денег (кривая LM) является возрастающей линейной функцией r, следовательно, при фиксированном r име­ется единственное равновесное значение Y ^M (r).

Общее равновесие на рынках денег и товаров достигается в том случае, когда:

                                         Y^G (r₀ ) = Y ^M (r₀) = Y₀,                          (1.16)

причём точка равновесия (Y₀, r₀), т.е. точка пересечения кривых IS и LM единственна.

Общая картина равновесия может быть представлена графически. При этом в первом квадрате изображены кривые IS и LM, а в четвёртом квадрате производственная функция экономики ПФ как функция трудовых ресурсов, в третьем - кривые спроса L^D и предложения L^S на рабочую силу.

          Рис. 1.

На рис. 1. приняты следующие обозначения:

- r₀, Y₀, L₀, (w/p)₀, (w/p)_n – соответственно, процентная ставка, конечный продукт, занятость, максимальный и минимальный уровни реальной заработной платы при неполной занятости;

- r⁰, Y⁰, L⁰, (w/p)⁰ – соответственно, процентная ставка, конечный продукт, занятость, уровень реальной заработной платы при полной занятости.

Причинные связи направлены от рынков товаров и денег к рынку рабочей силы через производственную функцию. Причём рынок труда не является определенным. Совокупное равновесие на рынках денег и товаров однозначно определяет фактическую потребность в рабочей силе Y₀= F(K, L₀) и, если классическая модель предполагает автоматическую тенденцию к полной занятости, то в модели Кейнса таковой нет.

Действительно, пусть равновесие установилось при занятости L₀ < L⁰. Тогда, для того чтобы добиться полной занятости L⁰, надо увеличить выпуск продукции до Y⁰ = F(K, L⁰), что потребовало бы сместить кривую LM в положение LM⁰ . Как это видно из (1.15), такое смещение можно обеспечить при экзогенно заданном предложении денег M^S и фиксированных коэффициентах k и h только путём снижения цен р, но никакого механизма снижения цен при фиксированной ставке заработной платы w₀ в модели Кейнса не заложено. Следовательно, для перехода к полной занятости нужна специальная государственная политика.

И ещё одна особенность: уровень планируемых расходов Е бывает настолько высок, что производство Y не может достигнуть этого уровня. Это происходит тогда, когда точка пересечения кривых IS и LM имеет отрицательное значение нормы процента.

Коррекцией подхода Кейнса является монетаристский подход к анализу эко­номики, развитый в начале 70-х годов XX в. Фридменом. Суть различия в подходах Кейнса и Фридмена в следующем. Кейнс считал, что самое значительное влияние на движение основных макроэкономических показателей оказывает спрос на товары, в то время как, по мнению Фридмена, главное - это контроль над предложением денег.

Монетаристы считают, что спекулятивный спрос на деньги не зависит от ставки процента, поэтому увеличение предложения денег приводит к росту цен, но не объёмов производства, как это следовало бы из модели Кейнса. Моне­таристы считают, что денежно-кредитная политика не может повлиять в долгосрочном плане на реальный объём производства и безработицу, хотя в краткосрочном плане это возможно.

Как свидетельствует опыт России и других стран, иногда оправ­дывался подход Кейнса, иногда подход Фридмена. При малой и контролируемой государством инфляции действует кейнсианский подход. При гиперинфляции и слабом контроле государства действует монетаристский подход.

1.2. Алгоритм вычисления показателей и экономический анализ полученных результатов

В качестве изучаемой системы берётся экономика условного объекта.

Исходные данные приведены в таблице 1:

Таблица 1

По заданным в таблице 1 значениям: a, b, d, f , используя табличный редактор Excel, рассчитываем по формуле (1.13) зависимость Y^G = F₁(r). Значения r задаём в пределах от 0 до 1,0 с шагом ∆r=0,05. Результаты вычислений представлены в таблице 2:

Таблица 2

Аналогично производим расчёты значений функции Y^М = F₂(r), используя формулу (1.15). Численные значения M^S, h, j, k, p приведены в таблице 1.

Результаты вычислений приведены в таблице 3:

Таблица 3

По полученным данным строим графики зависимостей Y^G = F₁(r) и Y^М = F₂(r), применив «Мастер диаграмм» табличного редактора Excel (Приложение 1). По точке пересечения этих графиков находим величиныY₀ и r₀, определяющие равновесие на рынках денег и товаров:

По формуле (1.17) получаем: r₀ = 0,38

Сравнивая полученное значение r₀  со значением r_0, найденным графическим путем, делаем вывод, что они совпадают. Подставляем значение r₀ в формулы (1.13) и (1.15) и находим аналитическое значение Y₀. Аналитическое значение Y₀ = 180134,09. Сравнивая его с Y_0, полученным графическим путем, делаем вывод, что они практически совпадают.

Используя производственную функцию вида:

Y=A*L^,                                    (1.18)

находим величину L₀ по формуле:

                           (1.19)

Значения величин A и берём из таблицы 1. По формуле (1.19) получаем:

 L₀ = 3775,08.

Рассчитываем по формуле (1.18) производственную функцию Y = F₃(L) и строим её график, используя возможности табличного редактора  Excel (Приложение 2). Результаты вычислений приведены в таблице 4:

Таблица 4

По значению Y₀ находим графическим путем величину L_0. Графическое значение L₀ = 3775,08. Сравнивая его со значением L₀, полученным аналитически, делаем вывод, что они совпадают.

ГЛАВА 2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ МОДЕЛИ

2.1. Постановка задачи

В данной работе необходимо определить в простой кейнсианской модели формирования доходов параметры уравнения функции потребления. Исходная система уравнений имеет вид:

C_t = a + b*Y_t + u_t ;                                       (2.1)

  Y_t = C_t + I_t,                                                                               (2.2)

где t – индекс, указывающий на то, что уравнения (2.1), (2.2) являются системой одновременных уравнений для моментов времени t₁-t_n;

u_t – случайная составляющая;

C_t, Y_t – функции потребления и дохода, соответственно являющиеся эндогенными переменными;

I_t – экзогенно заданная функция, отражающая инвестиционный спрос.

Переменные C_t и Y_t являются эндогенными. Эндогенной считается та переменная, значение которой определяется внутри уравнения регрессии, внутри модели. В качестве экзогенной переменной в данной задаче выступают инвестиции I_t. Экзогенной является та переменная, значение которой определяется вне уравнения регрессии, вне модели и поэтому берется как заданная.

Параметры уравнения регрессии необходимо определить двумя способами:

·                                косвенным методом наименьших квадратов;

·                                прямым методом наименьших квадратов.

2.2. Определение параметров уравнения регрессии с

использованием КМНК

Исходные значения величин C_t и I_t представлены в таблице 5:

Таблица 5

Методом наименьших квадратов (МНК) из уравнения (2.1) найти параметры a и b невозможно, так как оценки будут смещёнными. В связи с этим необходимо использовать косвенный метод наименьших квадратов (КМНК).

Для этого эндогенные переменные C_t, Y_t выражаем через экзогенную переменную I_t. С этой целью подставляем выражение (2.1) в  (2.2):

Y_t = a+b*Y_t + u_t   +I_t,                                  (2.3)

отсюда получаем:

                                                                       (2.4)

Подставляем выражение (2.4) в уравнение (2.1) и получаем:

                                (2.5)

Данное уравнение не содержит в правой части эндогенных переменных, а имеет только экзогенную переменную в виде I_t (инвестиций). Экзогенная переменная не коррелирует со случайной составляющей u_t и, следовательно, параметры этого уравнения могут быть найдены с помощью МНК.

Представим это уравнение в следующем виде:

                            (2.6)                                          

где

                          (2.7)

Используя имеющиеся в таблице 5 данные о величинах C_t и I_t, находим с помощью МНК несмещенные оценки a* и b*  из уравнения:

                                                              C_t = a¹+b¹I_t ,                                                        (2.8)

где a¹ - несмещенная оценка a*;

b¹- несмещенная оценка b*.

Для этих целей применяем имеющийся в табличном редакторе  Excel пакет прикладных программ, реализующий определение параметров уравнения регрессии методом наименьших квадратов. Активизация этого метода производится командами: «Сервис» – «Анализ данных» – «Регрессия».

После определения значений a¹ и b¹  необходимо определить несмещенные оценки величин a и b, использовав соотношения:

       ,                                   (2.9)

где a", b" – соответственно несмещенные оценки a, b.

Сами значения величин a", b" определяем по формулам:

                                       (2.10)

Использовав найденные значения a" и b", записываем уравнение функции потребления (2.1):

C(t)= 127811,09 + 0,31*Y_t+u_t.

Сравниваем найденные по формуле (2.10) значения a" и b" с величинами a и b, заданными в таблице 1 (a_табл. = 127500, b_табл. = 0,31) и рассчитываем проценты несовпадения данных величин по формулам:

                         (2.11)

,

.

2.3. Определение параметров уравнения регрессии с использованием МНК

Для определения параметров уравнения регрессии с помощью прямого МНК, необходимо определить по формуле (2.2)значения величин Y_t (для t в пределах от t1 до t14), используя значения C_t и I_t из таблицы 5. Полученные значения заносим в таблицу 6.

Таблица 6

Приняв в качестве исходных данных имеющиеся значения C_t и Y_t, определяем с помощью МНК смещённые оценки a^см и b^см величин a и b, используя уравнение (2.1). Для этого используем имеющийся в табличном редакторе Excel пакет прикладных программ, реализующий определение параметров уравнения регрессии методом наименьших квадратов. Активация этого метода осуществляется командами: «Сервис» - «Анализ данных» - «Регрессия».

В рассматриваемой задаче:

Далее сравниваем полученные значения a^см и b^см с табличными значениями a и b, и находим проценты несовпадения данных величин по формулам:

                    (2.12)

,

.

2.4. Экономический анализ полученных результатов

Сравнивая значения процентов несовпадения параметров модели, полученных в случае определения уравнения регрессии с помощью КМНК (для a – 0,24%, для b –1,15%) и с помощью МНК (для a –3,03%, для b –4,39%), видно, что в первом случае проценты несовпадения значительно меньше, чем во втором. Это говорит о том, что при использовании КМНК полученное уравнение регрессии более точное, чем уравнение регрессии, полученное с помощью МНК.

Оценка достоверности зависимости C_t от a и b производится по величине R² (коэффициент множественной детерминации). Полученное в первом случае значение R² = 0,79 меньше значения R² = 0,90, полученного во втором случае. Но оба эти значения близки к единице и подтверждают достоверность наличия зависимости. Во втором случае достоверность зависимости выше.

Оценка значимости уравнения регрессии в целом дается с помощью F-критерия Фишера. При этом выдвигается нулевая гипотеза Н_о, что коэффициент регрессии b равен нулю. В данной задаче значимость F при нахождении уравнения регрессии методом КМНК равна 2,33E-05, а при нахождении уравнения регрессии методом МНК она равна 2,35E-07. Оба значения близки к нулю, т.е. такова вероятность принятия нулевой гипотезы. Следовательно, в обоих случаях нулевую гипотезу можно отвергнуть, особенно для уравнения регрессии, найденного с помощью МНК.

Оценка достоверности и статистической значимости коэффициентов уравнения регрессии производится по t-критерию Стьюдента. В обоих случаях значение t - критерия Стьюдента превышает его табличное значение, что говорит о достоверности коэффициентов уравнений регрессий.

Заключение

В данной работе была рассмотрена кейнсианская модель в которой предполагается, что существует три вида активов: деньги, облигации, физический капитал.

Были произведены расчеты различных показателей, построение графиков и нахождение графических значений этих показателей и было произведено сравнение графических значений показателей с расчетными. В результате получили, что графические и расчетные показатели практически совпадают.

В данной работе было также произведено определение параметров уравнения регрессии двумя способами:

·                                косвенным методом наименьших квадратов;

·                                прямым методом наименьших квадратов.

Сравнивая полученные результаты, можно сделать вывод о том, что при определении параметров модели с помощью косвенного МНК полученное уравнение регрессии более точное, чем уравнение регрессии, полученное с помощью прямого МНК, и коэффициенты уравнения регрессии являются наиболее достоверными и статистически значимыми.

Список использованной литературы

1.                Венецкий И.Г., Венецкая В.И. Основные математико-статистические понятия и формулы в экономическом анализе.

2.                Колемаев В.А. Математическая  экономика: учебник для вузов. -  М: ЮНИТИ, 1998. - 240 с.

3.                Курицкий, Поиск оптимальных решений в EXCEL – М., 2000, 245 с.

4.           Пучков В.Ф. Математические модели макроэкономики: учебное пособие. –Гатчина: Издательство ЛОИЭФ, 2005. – 157 с.

5.                Экономико-математические методы и прикладные модели: Уч. пособие / В.В. Федосеев, А.Н. Гармаш, Д.М. Дайитбегов и др.; Под ред. В.В. Федосеева. – М.: ЮНИТИ

ПРИЛОЖЕНИЕ 1

ПРИЛОЖЕНИЕ 2