Контрольная работа: Математические уравнения и функции
Варивант №2
Задание 1
Дан треугольник ABC, где А(-3,2), В(3,-1), С(0,3). Найти:
1. Длину стороны АВ;
2. Внутренний угол А с точностью до градуса;
3. Уравнение и длину высоты, опущенной из вершины С;
4. Точку пересечения высот;
5. Уравнение медианы, опущенной из вершины С;
6. Систему неравенств, определяющих треугольник АВС;
7. Сделать чертеж;
Решение:
1. Найдем координаты вектора АВ:
Длина стороны АВ равна:
2. Угол А будем искать как угол между векторами АВ и АС(-3,1)
Тогда
3.
Прямая
СК перпендикулярна АВ проходит через точку С(0,3) и имеет нормалью вектор .
По формуле получим уравнение высоты:
Сокращаем на 3 получим уравнение высоты:
4. Координаты основания медианы будут:
;
Уравнение медианы найдем, пользуясь данной формулой, как уранение прямой, проходящей через 2 точки: С и М
Так как знаменатель левой части равен нулю, то уравнение медианы будет иметь такой вид х=0
5.
Известно
что высоты треугольника пересекаются в одной точке Р. Уравнение высоты СК
найдено, выведем аналогично высоту BD
проходящую через точку В перпендикулярно вектору
Координаты точки Р найдем как решение системы уравнений:
х=11 у=23
6.
Длину
высоты hc будем ее искать как
расстояние от точки С до прямой АВ. Эта прямая проходит через точку А и имеет
направляющий вектор .
Теперь воспользовавшись формулой
Подставляя в нее координаты точки С(0,3)
Задание 2
Даны векторы
Доказать, что
образуют базис
четырехмерного пространства, и найти координаты вектора «в» в этом базисе.
Решение:
1.
Докажем,
что подсистема линейно
независима:
Из четвертого уравнения имеем , что
, тогда из
первого, второго и третьего следует, что
.
Линейная независимость доказана.
Докажем, что векторы можно представить в виде
линейных комбинации векторов
.
Очевидно,
Найдем представление через
.
Из четвертого уравнения находим и подставляем в первые три
Получили , что данная система векторов не может называться базисом!
Задание 3
Найти производные функций:
Задание 4.
Исследовать функцию и построить ее график
1. Область определения:
,
то есть
2. Кривая
имеет вертикальную
ассимптоту х=-1, так как
Находим наклонные асимптоты. а то означает, что есть
вертикальная асимптота у=0.
3.
Функция
общего вида, так как и
4. Функция периодичностью не обладает
5. Находим производную функции
Получаем 3 критические точки х=-1 х=1, и х=5.
Результаты исследования на монотонность и экстремумы оформляется в виде таблицы
х |
|
|
1 |
|
5 |
|
y’ | - | - | 0 | + | 0 | - |
y | убывает | убывыает |
0 min |
возрастает | 0,074 | убывает |
6. Находим вторую производную функции
Получаем критические точки х=-1; х=0,22; х=6,11
Результаты исследований на выпуклость и точки перегиба оформляем в виде таблицы.
х |
|
|
0.22 |
|
6.11 |
|
y” | - | + | 0 | + | 0 | - |
y | выпукла | вогнута |
0,335 перегиб |
вогнута | 0,072 | выпукла |
7. Находим точки пересечения графика с осями координат Ох и Оу
получаем
точку (0;1);
получаем
точку (1;0)
8. При х=-2, у=-9, при х=-5, у=-0,56, при х=-10, у=-0,166
9. Строим график в соответствии с результатами исследований:
Задание 5
Найти неопределенные интегралы и проверить их дифференцированием.
а) ; б)
; в)
; г)
Решение:
а) сделаем подстановку sin3x=t, тогда dt=cos3x dx, следовательно:
Проверка:
б) сделаем подстановку
Проверка:
в) Воспользуемся способом интегрирования по частям
Проверка:
г) воспользуемся способом интегрирования рациональных дробей
Проверка:
Задание 6
Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций:
Решение:
находим координаты точек пересечения заданных графиков функций:
приравнивая правые части, получаем квадратное
уравнение
корни
этого квадратного уравнения
следовательно : ,
и значит координаты точек пересечения А(0,7) и В(5,2). Точка х=2 находится
между точками 0 и 5. Подставляя в уравнения 2 получаем:
т.к получаем:
0,335
перегиб
7. Находим точки пересечения графика с осями координат Ох и Оу
получаем
точку (0;1);
получаем
точку (1;0)
8. При х=-2, у=-9, при х=-5, у=-0,56, при х=-10, у=-0,166
9. Строим график в соответствии с результатами исследований:
Задание 5
Найти неопределенные интегралы и проверить их дифференцированием.
а) ; б)
; в)
; г)
Решение:
а) сделаем подстановку sin3x=t, тогда dt=cos3x dx, следовательно:
Проверка:
б) сделаем подстановку
Проверка:
в) Воспользуемся способом интегрирования по частям
Проверка:
г) воспользуемся способом интегрирования рациональных дробей
Проверка:
Задание 6
Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций:
Решение:
находим координаты точек пересечения заданных графиков функций:
приравнивая правые части, получаем квадратное
уравнение
корни
этого квадратного уравнения
следовательно : ,
и значит координаты точек пересечения А(0,7) и В(5,2). Точка х=2 находится
между точками 0 и 5. Подставляя в уравнения 2 получаем:
т.к получаем: