Учебное пособие: Метод конечных разностей или метод сеток
Рассмотрим линейную краевую задачу
(2.24)
(2.25)
,
где 
,
, и 
непрерывны
на [a, b].
Разобьем отрезок [a, b] на n равных частей длины, или шага
.
Точки разбиения
, 
называются узлами, а их совокупность – сеткой на отрезке [a, b].
Значения в узлах искомой функции 
и
ее производных 
обозначим
соответственно через
.
Введем обозначения
Заменим производные так называемыми односторонними конечно-разностными отношениями:
(2.26)
Формулы (2.26) приближенно выражают значения производных во внутренних точках интервала [a, b].
Для граничных точек положим
.
(2.27)
Используя формулы
(2.26), дифференциальное уравнение (2.24) при 
,
(i=1,
2,..., n–1)
приближенно можно заменить линейной системой уравнений
(2.28)
Кроме того, в силу формул (2.27) краевые условия (2.25) дополнительно дают еще два уравнения:
.
(2.29)
Таким образом, получена
линейная система n+1 уравнений с n+1 неизвестными 
,
представляющими собой значения искомой функции 
в
узлах сетки. Система уравнений (2.28), (2.29), заменяющая приближенно
дифференциальную краевую задачу (2.24),
(2.25) обычно называется разностной схемой.
Решить эту систему можно каким-либо общим численным методом. Однако схема
(2.28), (2.29) имеет специфический вид и ее можно эффективно решить специальным
методом, называемым методом прогонки. Специфичность системы заключается в том,
что уравнения ее содержат три соседних неизвестных и матрица этой системы
является трехдиагональной.
Преобразуем уравнения (2.28):
.
(2.30)
Введя обозначения
получим
,
(i=0, 1,..., n-2).
(2.31)
Краевые условия по-прежнему запишем в виде
.
(2.32)
Метод прогонки состоит в следующем.
Разрешим уравнение
(2.31) относительно 
:
.
(2.33)
Предположим, что с
помощью полной системы (2.31) из уравнения исключен член, содержащий
.
Тогда уравнение (2.33) может быть записано в виде
,
(2.34)
где 
и 
должны
быть определены. Найдем формулы для этих коэффициентов. При i=0
из формулы (2.33) и краевых условий (2.32) следует, что
Исключая из этих
двух уравнений 
,
найдем
.
Выразим теперь отсюда 
:
(2.35)
Но, согласно формуле (2.34),
(2.36)
Сравнивая теперь (2.35) и (2.36), найдем, что
(2.37)
Пусть теперь i >0,
то есть i=1,
2,..., n–2.
Выражая 
по
формуле (2.34), получим:
.
Подставляя это в формулу (2.33), будем иметь
.
Разрешая полученное
уравнение относительно
,
находим
,
или
.
(2.38)
Отсюда, сравнивая
формулы (2.34) и (2.38), получаем для коэффициентов и
рекуррентные
формулы:
(2.39)
Так как 
и 
уже
определены по формулам (2.37), то, используя формулы (2.39), можно
последовательно определить коэффициенты и до 
и 
включительно.
Эти вычисления называются прямым
ходом метода прогонки.
Из формулы (2.33) при i=n–2 и второго краевого условия (2.32) получаем
Разрешая эту систему
относительно
,
будем иметь
.
(2.40)
Теперь, используя
(2.34) и первое краевое условие (2.32), мы можем последовательно найти 
.
Это − обратный ход метода
прогонки.
Итак, получаем следующую цепочку:
(2.41)
Для простейших краевых
условий 
формулы для 
и упрощаются.
Полагая в этом случае 
из
формул (2.37), (2.40), (2.41) будем иметь
Рассмотренный нами подход сводит линейную краевую задачу к системе линейных алгебраических уравнений. При этом возникает три вопроса.
1) Существует ли решение алгебраической системы типа (2.31)?
2) Как фактически находить это решение?
3) Сходится ли разностное решение к точному при стремлении шага сетки к 0?
Можно доказать, что если краевая задача имеет вид
причем р(x)>0, то решение системы (2.31), (2.32) существует и единственно. Фактическое отыскание решения можно провести, например, методом прогонки. На третий вопрос дает ответ следующая
Теорема
Если
и дважды
непрерывно дифференцируемы,
то разностное решение, соответствующее схеме с заменой
равномерно сходится к точному с погрешностью 
при
Таким образом, схема (2.28), (2.29) дает приближенное решение краевой задачи, но точность ее весьма мала. Это связано с тем, что аппроксимация производной
имеет низкий порядок точности − погрешность этой аппроксимации
Более точную разностную схему можно получить, если при переходе от линейной краевой задачи к конечно-разностным уравнениям воспользоваться центральными формулами для производных:
,
(2.42)
,
(2.43)
i=1, 2,..., n.
Погрешность формулы (2.42) выражается так:
то есть формула (2.42) имеет второй порядок точности относительно шага сетки h. Подставляя выражения (2.42), (2.43) в задачу (2.24), (2.25) и выполняя некоторые преобразования, получим следующую систему:
(2.44)
Где
.
Система (2.44) снова трехдиагональная и ее решение также можно получить методом прогонки. Его алгоритм здесь будет выглядеть так. Сначала находят коэффициенты
(2.45)
Затем определяют
коэффициенты 
по
следующим рекуррентным формулам:
(2.46)
Обратный ход начинается
с нахождения :
(2.47)
После этого находим 
по
формулам:
,
(2.48)
.
(2.49)
Относительно схемы (2.44) можно также доказать, что она имеет единственное решение при
и
,
и это решение может быть найдено описанным методом прогонки. Кроме того, для схемы (2.44) имеет место
Теорема
Пусть решение граничной задачи (2.24), (2.25) единственно и непрерывно дифференцируемо на [a, b] до четвертого порядка точности включительно. Если выполняются условия
, , 
то схема (2.44) будет равномерно сходиться к
решению задачи (2.24), (2.25) с погрешностью 
.
Заметим, что условия, приводимые в теоремах, являются достаточными, а отнюдь не необходимыми. Поэтому в практике численных расчетов нарушение этих условий обычно не вызывает заметного ухудшения расчетных схем.