Контрольная работа: Решение задач по эконометрике

СОДЕРЖАНИЕ

Задание 1

Задание 2

Задание 3

Задание 4

Список использованной литературы

Задание 1

Имеются данные за 12 месяцев года по району города о рынке вторичного жилья (y – стоимость квартиры (тыс. у.е.), x – размер общей площади (м²)). Данные приведены в табл. 1.4.

Таблица 1

Задание:

1.   Рассчитайте параметры уравнений регрессий

 и .

2.   Оцените тесноту связи с показателем корреляции и детерминации.

3.   Рассчитайте средний коэффициент эластичности и дайте сравнительную оценку силы связи фактора с результатом.

4.   Рассчитайте среднюю ошибку аппроксимации и оцените качество модели.

5.   С помощью F-статистики Фишера (при ) оцените надежность уравнения регрессии.

6.   Рассчитайте прогнозное значение , если прогнозное значение фактора увеличится на 5% от его среднего значения. Определите доверительный интервал прогноза для .

7.   Расчеты должны быть подробны, как показано в примере 1, и сопровождены пояснениями.

Решение

Составим таблицу расчетов 2.

Все расчеты в таблице велись по формулам

.

Таблица 2

Тогда

,

и линейное уравнение регрессии примет вид: .

Рассчитаем коэффициент корреляции:

.

Связь между признаком  и фактором  заметная.

Коэффициент детерминации – квадрат коэффициента или индекса корреляции.

R² = 0,606² = 0,367

Средний коэффициент эластичности  позволяет проверить, имеют ли экономический смысл коэффициенты модели регрессии.

Для оценки качества модели определяется средняя ошибка аппроксимации:

,

допустимые значения которой 8 - 10 %.

Вычислим значение -критерия Фишера.

,

где

 – число параметров уравнения регрессии (число коэффициентов при объясняющей переменной );

 – объем совокупности.

.

По таблице распределения Фишера находим

.

Так как , то гипотеза  о статистической незначимости параметра  уравнения регрессии отклоняется.

Так как , то можно сказать, что 36,7% результата объясняется вариацией объясняющей переменной.

Выберем в качестве модели уравнения регрессии , предварительно линеаризовав модель. Введем обозначения: . Получим линейную модель регрессии .

Рассчитаем коэффициенты модели, поместив все промежуточные расчеты в табл. 3.

Таблица 3

Рассчитаем параметры уравнения:

,

,

.

Коэффициент корреляции

.

Коэффициент детерминации

,

следовательно, только 9,3% результата объясняется вариацией объясняющей переменной .

,

,

следовательно, гипотеза  о статистической незначимости уравнения регрессии принимается. По всем расчетам линейная модель надежнее, и последующие расчеты мы сделаем для нее.

.

Используем для этого t-распределение (Стьюдента). Выдвигаем гипотезу  о статистической незначимости параметров, т.е.

.

.

Определим ошибки .

,

,

,

,

,

.

Полученные оценки модели и ее параметров позволяют использовать ее для прогноза.

Рассчитаем

.

Тогда

.

Средняя ошибка прогноза

,

где

,

.

Строим доверительный интервал с заданной доверительной вероятностью :

,

,

.

Найденный интервальный прогноз достаточно надежен (доверительная вероятность ) и достаточно точен, т.к. .

Оценим значимость каждого параметра уравнения регрессии

.

Используем для этого t-распределение (Стьюдента). Выдвигаем гипотезу  о статистической незначимости параметров, т.е.

.

.

Определим ошибки .

,

,

, ,

, .

Следовательно,  и  не случайно отличаются от нуля, а сформировались под влиянием систематически действующей производной.

1.          , следовательно, качество модели не очень хорошее.

2.          Полученные оценки модели и ее параметров позволяют использовать ее для прогноза.

Рассчитаем . Тогда .

3.         Средняя ошибка прогноза

,

где

,

.

Строим доверительный интервал с заданной доверительной вероятностью :

,

,

.

Найденный интервальный прогноз достаточно надежен (доверительная вероятность ) и достаточно точен, т.к. .

Задание 2

Имеются данные о деятельности крупнейших компаний в течение двенадцати месяцев 199Х года. Данные приведены в табл. 4.

Известны – чистый доход (у), оборот капитала (х₁), использованный капитал (х₂) в млрд у.е.

Таблица 4

у

х₁

х₂

Задание:

1. Рассчитайте параметры линейного уравнения множественной регрессии.

2. Дайте оценку силы связи факторов с результатом с помощью средних коэффициентов эластичности.

3. Оцените статистическую зависимость параметров и уравнения регрессии в целом с помощью соответственно критериев Стьюдента и Фишера (α=0,01).

4. Рассчитайте среднюю ошибку аппроксимации. Сделайте вывод.

5. Составьте матрицы парных и частных коэффициентов корреляции и укажите информативные факторы.

6. Оцените полученные результаты, выводы оформите в аналитической записке.

Решение

Результаты расчетов приведены в табл. 5.

Таблица 5

Рассматриваем уравнение вида:

.

Параметры уравнения можно найти из решения системы уравнений:

Или, перейдя к уравнению в стандартизированном масштабе:

, где

 – стандартизированные переменные,

 – стандартизированные коэффициенты:

Коэффициенты  определяются из системы уравнений:

, ;

 ;

, ;

, ;

, ;

, ;

, ;

.

Стандартизированная форма уравнения регрессии имеет вид:

.

Естественная форма уравнения регрессии имеет вид:

.

Для выяснения относительной силы влияния факторов на результативный признак рассчитываются средние коэффициенты эластичности:

,

,

.

Следовательно, при увеличении оборота капитала (x₁) на 1% чистый доход (y) уменьшается на 0,14% от своего среднего уровня. При повышении использованного капитала на 1% чистый доход повышается на 0,73% от своего среднего уровня.

Линейные коэффициенты частной корреляции для уравнения определяются следующим образом:

,

.

Линейный коэффициент множественной корреляции рассчитывается по формуле

.

Коэффициент множественной детерминации .

,

где

 - объем выборки,

 - число факторов модели.

В нашем случае

.

Так как , то  и потому уравнение незначимо.

Выясним статистическую значимость каждого фактора в уравнении множественной регрессии.

Для этого рассчитаем частные -статистики.

.

Так как , то  и следует вывод о нецелесообразности включения в модель фактора  после фактора .

.

Так как , то следует вывод о нецелесообразности включения в модель фактора  после фактора .

Результаты расчетов позволяют сделать вывод :

1)      о незначимости фактора  и нецелесообразности включения его в уравнение регрессии;

2)         о незначимости фактора  и нецелесообразности включения его в уравнение регрессии.

Задание 3

1. Используя необходимое и достаточное условие идентификации, определить, идентифицировано ли каждое уравнение модели.

2. Определите тип модели.

3. Определите метод оценки параметров модели.

4. Опишите последовательность действий при использовании указанного метода.

5. Результаты оформите в виде пояснительной записки.

Модель денежного и товарного рынков:

R_t = a₁+b₁₂Y_t+b₁₄M_t+e₁,

Y_t = a₂+b₂₁R_t+ b₂₃I_t+ b₂₅G_t+e₂,

I_t = a₃+b₃₁R_t+e₃,

где

R – процентные ставки;

Y – реальный ВВП;

M – денежная масса;

I – внутренние инвестиции;

G – реальные государственные расходы.

Решение

1. Модель имеет три эндогенные (R_tY_tI_t) и две экзогенные переменные (M_tG_t).

Проверим необходимое условие идентификации:

1-е уравнение: D=1, H=2, D+1=H - уравнение идентифицировано.

2-е уравнение: D=1, H=1, D+1=2 - уравнение сверхидентифицировано.

3-е уравнение: D=1, H=2, D+1=H - уравнение идентифицировано.

Следовательно, необходимое условие идентифицируемости выполнено.

Проверим достаточное условие:

В первом уравнении нет переменных I_t, G_t

Строим матрицу:

det M = det , rank M =2.

Во втором уравнении нет переменных M_t

det M ¹ 0

В третьем уравнении нет переменных Y_t, M_t, G_t

Строим матрицу:

det M /

Следовательно, достаточное условие идентифицируемости выполнено.

Система точно идентифицируема.

2. Найдем структурные коэффициенты модели.

Для этого:

Запишем систему в матричной форме, перенеся все эндогенные переменные в левые части системы:

R_t-b₁₂Y_t=a₁+b₁₂M_t

Y_t-b₂₁R_t-b₂₃I_t=a₂+b₂₅G_t

I_t-b₃₁R_t=a₃

откуда

, и , , , .

Решаем систему относительно : . Найдем

, где  –

алгебраические дополнения соответствующих элементов матрицы ,  – минор, т.е. определитель, полученный из матрицы  вычеркиванием i-й строки и j-го столбца.

,

,

,

.

Поэтому

В данном случае эти коэффициенты можно найти значительно проще. Находим  из второго уравнения приведенной системы и подставим его в первое уравнение этой системы. Тогда первое уравнение системы примет вид: , откуда  , . Из третьего уравнения системы находим  и подставляем во второе уравнение системы, получим: , решая его совместно с уравнением  и, исключая , получим . Сравнивая это уравнение со вторым уравнением системы получим . Выражая  из второго уравнения, и подставляя в третье системы (3.2), получим . Сравнивая это уравнение с третьим уравнением системы, получим .

Задание 4

Имеются данные за пятнадцать дней по количеству пациентов клиники, прошедших через соответствующие отделения в течение дня. Данные приведены в табл. 6.

Таблица 6

Требуется:

1. Определить коэффициенты автокорреляции уровней ряда первого и второго порядка.

2. Обосновать выбор уравнения тренда и определите его параметры.

3. Сделать выводы.

4. Результаты оформить в виде пояснительной записки.

Решение

Определим коэффициент корреляции между рядами  и . Ррасчеты приведены в таблице 7:

Результат говорит о заметной зависимости между показателями и наличии во временном ряде линейной тенденции.

Определим коэффициент автокорреляции второго порядка:

 ,

Результат подтверждает наличие линейной тенденции. Выбираем линейное уравнение тренда: .

Параметры определим, используя МНК. Результаты расчетов приведены в табл. 8.

Таблица 8

.

Уравнение тренда примет вид: , коэффициент корреляции

.

Расчетное значение критерия Фишера равно ,

,

уравнение статистически значимо и прогноз имеет смысл.

Список использованной литературы

1. Айвазян С.А., Мхитарян В.С. Прикладная статистика и основы эконометрики. – М.: ЮНИТИ, 1998.

2. Катышев П.К., Пересецкий А.А. Сборник задач к начальному курсу эконометрики. – М.: Дело, 1999.

3.  Магнус Я.Р., Катышев П.К., Пересецкий А.А. Эконометрика: начальный курс. – М.: Дело, 2000.

4. Практикум по эконометрике. Под ред. И.И. Елисеевой. – М.: Финансы и статистика, 2001.

5. Эддоус М., Стэнсфилд Р. Методы принятия решения. – М.: ЮНИТИ, 1997.

6. Эконометрика. Под ред. И.И. Елисеевой. – М.: Финансы и статистика, 2001.