Учебное пособие: Магнітне поле у вакуумі

РЕФЕРАТ

на тему:”МАГНІТНЕ ПОЛЕ У ВАКУУМІ”

План

1. Магнітне поле. Магнітна індукція. Закон Ампера.

2. Закон Біо-Савара-Лапласа та його використання в найпростіших випадках:

а) Магнітне поле прямолінійного провідника із струмом;

б) Магнітне поле кругового провідника із струмом;

в) Магнітне поле соленоїда.

3.       Магнітний момент контуру із струмом.

1. Магнітне поле. Магнітна індукція. Закон Ампера

Дослідним шляхом установлено, що подібно до електричних зарядів, навколо яких виникає електричне поле, в просторі навколо провідників із струмом або постійних магнітів виникає магнітне поле. Магнітне поле – це одна із форм існування матерії, завдяки якій здійснюється взаємодія струмів і постійних магнітів.

Встановлено також, що:

- магнітне поле діє лише на рухомі електричні заряди;

- рухомі електричні заряди створюють у просторі магнітне поле;

- магнітне поле не діє на статичні заряди.

Характер дії магнітного поля на струм залежить:

- від форми провідника, по якому тече струм;

- від розміщення провідника в просторі.

У якості пробного тіла для дослідження магнітного поля використовують замкнутий пробний контур з струмом, лінійні розміри якого досить малі. Магнітне поле такого пробного контуру не повинно створювати зовнішнього магнітного поля. При розміщенні такої рамки у досліджуване зовнішнє магнітне поле, із сторони останнього, на рамку діятиме обертальний момент сил М. Елементарна рамка із струмом займе певний напрям у просторі так, щоб магнітне поле рамки і досліджуваного магнітного поля збігалися (рис 11.1).

Рис11.1

Орієнтація контуру в просторі характеризується напрямком нормалі  до контуру.

Додатний напрям нормалі визначається правилом правого гвинта. За позитивний напрям нормалі приймається напрям поступального руху правого гвинта, обертання якого збігаються з напрямком струму в пробній рамці.

За напрям магнітного поля у даній точці простору приймається напрям, вздовж якого направляється позитивно орієнтована нормаль до контуру.

Момент сил, який створюється зовнішнім магнітним полем у рамці із струмом, визначається векторним добутком вектора магнітного моменту рамки із струмом і магнітної індукції зовнішнього магнітного поля

,                                             (11.1.1)

де  - магнітний момент пробної рамки із струмом I і площею S;  - вектор магнітної індукції – силова характеристика зовнішнього магнітного поля.

Скалярна величина вектора моменту сили  визначається формулою

.                  (11.1.2)

Якщо в дану точку зовнішнього магнітного поля розміщувати елементарні рамки із різними магнітними моментами , то на них з сторони магнітного поля будуть діяти різні обертальні механічні моменти сил . Однак відношення  для кожного випадку буде сталою величиною, яка є силовою характеристикою цього поля. Позначають цю величину буквою  і називають індукцією магнітного поля.

.                                                           (11.1.3)

Індукція магнітного поля вимірюється у теслах (Тл), розмірність якого визначається з (11.1.3)

.

Подібно до електричного поля магнітне поле зображають з допомогою силових ліній магнітного поля, напрям яких у кожній точці поля збігається із напрямком вектора .

Лінії індукції магнітного поля завжди замкнуті й охоплюють провідники із струмом. Замкнутість силових ліній магнітного поля характеризує вихровий характер цього поля.

Природа магнітного поля зводиться або до руху електричних зарядів, або до змінного в часі електричного поля. Про це свідчать рівняння Максвела:

а) ,                               (11.1.4)

де  - циркуляція вектора електростатичного поля вздовж довільного замкнутого контуру;            - потік змінного в часі вихрового магнітного поля крізь довільну замкнуту поверхню;

б) ,         (11.1.5)

де  - струм провідності, який створюється в провіднику вільними електричними зарядами;  - потік змінного в часі електричного поля, що інколи називають струмом зміщення. Струм зміщення не пов’язаний з рухом будь-яких електричних зарядів.

Рівняння Максвелла (11.1.4) і (11.1.5) характеризують взаємозв’язок електричних і магнітних явищ. З рівняння (11.1.4) чітко видно, що змінне в часі магнітне поле є причиною виникнення вихрового електричного поля. Останнє, створює електричний струм у замкнутому провіднику.

З рівняння (11.1.5) випливає, що причиною виникнення магнітного поля може бути або струм провідності, або змінне в часі електричне поле, яке не обов’язково призводить до руху зарядів у провіднику.

Оскільки будь-який струм є причиною виникнення магнітного поля, то це пояснює дослідний факт силової дії магнітного поля на провідник із струмом.

Величину цієї сили знайшов Ампер, тому вона називається силою Ампера

,                                        (11.1.6)

де - вектор елементу струму, що збігається з напрямком струму у провіднику; - індукція зовнішнього магнітного поля.

Рис.11.2

На рис.11.2 струм створюється позитивними зарядами, напрям руху яких збігається з напрямком струму.

Напрям сили Ампера визначається правилом лівої руки. Якщо силові лінії магнітного поля входять в долоню лівої руки, а чотири пальці направлені по напрямку струму у провіднику, то великий палець, відхилений на 90⁰, покаже напрямок сили Ампера.

2. Закон Біо-Савара-Лапласа та його використання у найпростіших випадках

Ще на початку 19-го сторіччя французькі фізики Біо і Савар, обробляючи величезний експериментальний матеріал вивчення характеристик магнітного поля провідників зі струмом за участю математика Лапласа, одержали формулу, яка дістала назву у фізиці закону Біо-Савара-Лапласа.

У векторній формі цей закон має вигляд

,                                       (11.2.1)

де  - відносна магнітна проникність середовища, безрозмірна величина;      _о – магнітна постійна (); I – струм у провіднику; - елемент провідника; - відстань від елемента струму до точки, в якій знаходиться індукція магнітного поля  (рис.11.3).

Рис.11.3

З видно, що вектор індукції магнітного поля  є дотичною до силової лінії магнітного поля, яка охоплює провідник, і проходить через точку, в якій визначається індукція магнітного поля.

Напрям силової лінії визначається за допомогою правила правого гвинта, як це показано на рисунку.

Поряд із індукцією магнітного поля  магнітне поле характеризується напруженістю . Ця величина не залежить від властивостей середовища і дорівнює

.                                                   (11.2.2)

Величина напруженості магнітного поля входить в одне із рівнянь Максвелла. Розмірність напруженості  буде встановлена трохи пізніше.

Закон Біо – Савара - Лапласа для напруженості магнітного поля Н має вигляд

,                                            (11.2.3)

або в скалярній формі

.                                   (11.2.4)

Магнітному полю властивий принцип суперпозиції. Це означає, що поля від кількох джерел магнітного поля накладаються як вектори, тобто

.                                                   (11.2.5)

Знайдемо індукцію магнітного поля біля безмежного прямого провідника із струмом (рис.11.4).

Скористаємось законом Біо – Савара - Лапласа в скалярній формі

,                (11.2.6)

де кут  - це кут між напрямком елемента провідника із струмом  і радіусом-вектором , як це показано на рис.11.4;  - дотичний вектор до силової лінії, напрям якого збігаються з напрямком обертання правого гвинта.

Рис.11.4

З рисунка видно, що

dS=dlsin і dS=rd,

звідки

.

Радіус-вектор  також можна виразити через r_o і кут , тобто

.

З урахуванням цих зауважень закон Біо – Савара - Лапласа набуде вигляду

.                 (11.2.7)

Інтегруємо вираз (11.2.7) в межах зміни кута  від ₁ до ₂, в результаті чого одержимо

.          (11.2.8)

Якщо у виразі (11.2.8) ₁ прямує до 0, а ₂ прямує до , то одержимо безмежний прямий провідник із струмом.

У цьому випадку:

а) індукція магнітного поля буде дорівнювати

 . (11.2.9)

б) напруженість магнітного поля буде дорівнювати

. (11.2.10)

З останньої формули легко встановити розмірність напруженості магнітного поля

.

Знайдемо магнітне поле на осі кругового витка із струмом (рис.11.5).

Рис.11.5

Елемент провідника із струмом dl, створює на осі x індукцію магнітного поля dB. Вектор  є дотичним до силової лінії, зображеної на рисунку пунктирною лінією. Складова вектора індукції магнітного поля dB_y буде скомпенсована аналогічним елементом з протилежної сторони. Результуючу індукцію магнітного поля від кругового витка із струмом слід шукати в напрямку осі x (принцип суперпозиції магнітних полів).

З рисунка видно, що

. (11.2.11)

Закон Біо – Савара - Лапласа запишеться

, (11.2.12)

тут враховано, що .

Підставимо вираз (11.2.12) у (11.2.11), одержимо

. (11.2.13)

Але врахувавши, що

; і         ,

одержимо

.                    (11.2.14)

Інтегруємо цей вираз в межах довжини витка від 0 до 2πR, одержимо

.

Таким чином, магнітна індукція на осі кругового витка дорівнює визначається за допомогою формули

.                                      (11.2.15)

Напруженість магнітного поля у цьому випадку буде дорівнювати

.                                     (11.2.16)

Для індукції та напруженості магнітного поля у центрі колового витка зі струмом одержимо

,                                                  (11.2.17)

      .                                                            (11.2.18)

Знайдемо індукцію і напруженість магнітного поля на осі довгого соленоїда з струмом (рис.11.6).

Рис.11.6

Виділений елемент соленоїда шириною dx, в якому dN витків, що щільно прилягають один до одного, можна розглянути як круговий виток, індукція якого розраховується за формулою (11.2.15)

,                                    (11.2.19)

Кількість витків у виділеному елементі соленоїда дорівнює

dN = ndx,

де n – число витків на одиницю довжини соленоїда.

З урахуванням цих позначень одержуємо

.                                       (11.2.20)

Виконаємо заміну змінних у співвідношенні (11.2.20), тобто

, і              .

З урахуванням цих позначень одержимо, що

.

Інтегруємо цей вираз у межах зміни кута від ₁ до ₂. Після інтегрування одержимо

.      (11.2.21)

Якщо ₁0, а ₂, одержимо соленоїд безмежної довжини. У цьому випадку:

а) індукція магнітного поля на осі довгого соленоїда

.                                                (11.2.22)

б) напруженість магнітного поля на осі довгого соленоїда

.                                                    (11.2.23)

3. Магнітний момент контуру із струмом

Для плоского контуру із струмом I магнітний момент визначається співвідношенням:

,                                                (11.3.1)

де I – струм у контурі; S – площа контуру;  - нормаль до площини контуру, яка збігається з поступальним рухом правого гвинта, якщо його обертати за напрямком струму у витку.

Рис.11.7

Якщо контур із струмом розмістити у зовнішнє магнітне поле, то результуюча сила Ампера, яка діє зі сторони зовнішнього магнітного поля на контур з струмом, буде дорівнювати нулю, тобто

.

У випадку неоднорідного магнітного поля результуючий вектор сили Ампера не буде дорівнювати нулю.

Відповідні розрахунки показують, що в цьому випадку

                                   (11.3.2)

де  - похідна вектора  в напрямку нормалі або градієнт вектора  в напрямку нормалі до контуру;  - магнітний момент контуру.