Курсовая работа: Решетки субнормальных и f-субнормальных подгрупп
Курсовая работа
"Решетки субнормальных и 
-субнормальных
подгрупп"
Введение
В теории конечных групп одним из центральных понятий является
понятие -субнормальной подгруппы.
Изучению свойств субнормальных подгрупп конечных групп положило начало в 1939 г.
известная работа Виландта [10], оказавшая огромное влияние на развитие всей
теории конечных групп в последующие годы.
В первом разделе курсовой работы изучаются основные положения теории субнормальных подгрупп. Важнейшим достижением данной теории является результат Виландта о том, что множество всех субнормальных подгрупп любой конечной группы образует решетку.
Формации, т.е. классы групп, замкнутые относительно фактор-групп и подпрямых произведений, всегда находились в поле деятельности исследователей по теории конечных групп. Однако вплоть до 1963 г. формационное развитие теории конечных групп шло лишь по пути накопления фактов, относящихся к различным конкретным формациям, из которых наиболее популярными были формация разрешимых групп и ее подформации, составленные из абелевых, нильпотентных и сверхразрешимых групп. Хотя теория конечных групп никогда не испытывала недостатка в общих методах, идеях и нерешенных проблемах, все же обилие полученных результатов с неизбежностью привело к необходимости разработки новых общих методов и систематизирующих точек зрения. Толчок, произведенный работой Гашюца [8], вызвал целую лавину исследований и привел к возникновению нового направления – теории формаций.
В теории формаций одним из важнейших понятий является понятие -субнормальных подгрупп,
которое является естественным расширением субнормальных подгрупп. Поэтому,
конечно, возникает задача о построении теории -субнормальных
подгрупп, аналогичной теории субнормальных подгрупп Виландта.
Во втором разделе курсовой работы рассматриваются минимальные не -группы.
В третьем разделе приводится описание локальных наследственных
формаций, обладающих решеточным свойством для -субнормальных
подгрупп.
1. Субнормальные подгпруппы и их свойства
Определение. Пусть 
– подгруппа группы 
. Цепь подгрупп
в которой 
для любого 
, 
,…, 
, называется субнормальной 
-цепью, а число – длиной этой цепи.
Наименьшее , при котором существует
хотя бы одна субнормальная -цепь
длины , называется дефектом
подгруппы в и обозначается через 
.
Определение. Пусть – подгруппа группы . Если существует хотя бы
одна субнормальная -цепь, то
подгруппа называется субнормальной, обозначается 
.
Лемма. Если 
субнормальна в , и субнормальна в , то субнормальна в .
субнормальна
в , следовательно, по
определению субнормальной подгруппы существует субнормальная 
-цепь
субнормальна
в , следовательно, существует
субнормальная -цепь
Таким образом, мы получили субнормальную 
-цепь
то есть субнормальна в по определению. Лемма
доказана.
Теорема. Если подгруппа субнормальна, но не
нормальна в , то существует такой
элемент 
, что
Доказательство. Пусть 
– дефект подгруппы в группе . Рассмотрим субнормальную -цепь длины :
Из того, что не
нормальна в , следует, что 
. не нормальна и в 
, иначе мы получаем
противоречие с тем, что – дефект
подгруппы в группе , так как в этом случае
подгруппу 
в цепи можно было
опустить. Поэтому существует элемент 
такой,
что 
. Теперь имеем
Так как 
, то 
. С другой стороны, 
и 
, откуда получаем 
. Теорема доказана.
Определение. Пусть – субнормальная подгруппа
дефекта в . Субнормальная -цепь
называется канонической, если для любой субнормальной -цепи
имеет место 
, 
, 
,…, .
Другими словами, каноническая субнормальная цепь входит почленно в любую другую субнормальную цепь той же длины.
Теорема. Если субнормальна в , то существует
единственная каноническая субнормальная -цепь.
Доказательство. Пусть – дефект подгруппы в группе . Будем рассматривать все
возможные субнормальные -цепи
длины .
все субнормальные -цепи
длины (
– второй индекс). Положим 
. Так как 
, то для любого , ,…, мы имеем
Таким образом, цепь
является субнормальной -цепью
длины и, следовательно, не имеет
повторений. Так как 
при любых 
и , то теорема доказана.
Теорема. Если субнормальна в и – подгруппа , то пересечение 
есть субнормальная
подгруппа .
Доказательство. Рассмотрим
субнормальную -цепь минимальной
длины :
Положим 
. Получаем цепь
Ясно, что она будет субнормальной, так как 
. Действительно, пусть 
, значит, 
и 
. Тогда для любого 
, так как 
и 
.
Мы получили субнормальную 
-цепь.
Теорема доказана.
Следствие. Пусть и 
– подгруппы группы . Если субнормальна в и – подгруппа , то субнормальна в .
Доказательство. Пусть и цепь
является субнормальной -цепью.
Положив 
, получим
субнормальную 
-цепь
что и требовалось.
Теорема. Пусть субнормальна в и субнормальна в . Тогда пересечение есть субнормальная
подгруппа в.
Доказательство. Пусть – наибольший из дефектов
подгрупп и в группе . Очевидно, существует
(возможно, с повторениями) цепи
Положим 
, , ,…, . Из 
, 
следует, что 
нормальна в 
. Следовательно, цепь
является субнормальной 
-цепью,
что и доказывает теорему.
Лемма. Если субнормальна в , а 
– нормальная подгруппа
группы , то произведение есть
субнормальная подгруппа группы .
Доказательство. субнормальна в , следовательно, существует
субнормальная -цепь
Следовательно, цепь
будет субнормальной.
Действительно, так как и 
, то 
. Лемма доказана.
Лемма. Если подгруппы и субнормальны в и 
, топроизведение 
есть субнормальная подгруппа
группы .
Доказательство. Если нормальна в , то результат следует по
лемме 1.9.
Предположим, что не
нормальна в , то есть 
. Будем считать, что
теорема верна для субнормальных подгрупп с дефектом меньшим . Таким образом, если 
и 
субнормальны в причем 
и 
, то по индуктивному
предположению 
субнормальна в .
Пусть 
– каноническая
субнормальная -цепь. Так как нормализует подгруппу , то для любого цепь
будет субнормальной -цепью.
По свойству канонической субнормальной -цепи
, а значит, 
для любого , ,…, (по определеделению).
Следовательно, содержится
в 
для любого 
. Так как 
и 
, то по индукции 
субнормальна в . По следствию 1.7.1 субнормальна в . Так как 
и , то 
. Таким образом, 
, , а значит, по лемме 1.9
подгруппа субнормальна в . К тому же 
, то мы получаем 
. Лемма доказана.
Теорема. Если и – субнормальный подгруппы
группы , то 
есть также субнормальная
подгруппа .
Доказательство. Положим 
. Среди субнормальных
подгрупп группы , содержащихся в 
, выберем подгруппу 
, имеющю наибольший
порядок. По следствию 1.7.1 субнормальна
в . Докажем, что нормальна в . Предположим противное, то
есть что не нормальна в . Тогда по теореме 1.4
найдется такой элемент 
, что 
, 
и 
. Так как субнормальна в и , то 
субнормальна в . Получается следующая
ситуация: и субнормальны в , . По лемме 1.10 
субнормальна в . Ввиду выбора отсюда следует 
, что противоречит .
Итак, нормальна в , а значит, и нормализуют подгруппу . По лемме 1.10 
и 
субнормальны в . Так как 
и 
, то ввиду выбора получаем 
. Следовательно, 
, откуда вытекает, что 
. Теорема доказана.
Объединим теоремы 1.8 и 1.11 в один результат.
Теорема (Виландт). Множество
всех субнормальных подгрупп группы образует
подрешетку решетки 
.
Отметим одно часто используемое приложение теорем 1.4 и 1.12.
Теорема. Пусть – некоторое непустое множество
субнормальных подгрупп группы ,
удовлетворяющее следующим условиям:
1) если 
и , то 
;
2) если , 
, 
, , то 
.
Тогда 
для любой
подгруппы 
.
Доказательство. Возьмем
произвольную подгруппу из . Если не нормальна в , то по теореме 1.4
найдется такой элемент , что 
, , . По условиям 1) и 2) 
, 
. Если не нормальна в , то найдется 
такой, что 
, 
, 
. Тогда 
и 
. Если не нормальна, то описанную
процедуру применяем к . Так как конечна, то этот процесс
завершится построением нормальной подгруппы 
,
представимой в виде 
, где 
– некоторые элементы из . Очевидно, 
, и теорема доказана.
Следствие. Если – непустой радикальный
класс, то 
содержит все субнормальные
-подгруппы группы .
Доказательство. Пусть – множество всех
субнормальных -подгрупп из . Ввиду теоремы 1.12 легко
заметить, что удовлетворяет
условиям 1) и 2) теоремы 1.13.
Следствие. Для любой
субнормальной подгруппы группы справедливы следующие
утверждения:
1) если – 
-группа, то 
;
2) если нильпотентна, то
;
3) если 
-нильпотентна, то 
;
4) если разрешима, то 
.
2. Минимальные не -группы
Лемма [3]. Пусть 
, где – локальная формация.
Тогда справедливы следующие утверждения:
1) группа 
монолитична с
монолитом
2) 
– -группа для некоторого
простого ;
3) 
– -эксцентральный главный
фактор ;
4) 
;
5) если группа неабелева,
то ее центр, коммутант и подгруппы Фраттини совпадают и имеют экспоненту ;
6) если абелева, то она
элементарна;
7) если 
, то – экспонента ; при 
экспонента не превышает 4;
8) для любой -абнормальной
максимальной подгруппы из имеет место
9) любые две -абнормальные
максимальные подгруппы группы сопряжены
в ;
10) если 
и подгруппа содержит , то 
для любого полного
локального экрана 
формации ;
11) если – -абнормальная максимальная
подгруппа группы и – некоторый полный
локальный экран , то 
– минимальная не 
-группа и либо 
, либо 
.
Доказательство. 1) Пусть 
– минимальная нормальная
подгруппа из такая, что 
. Очевидно, что 
. Противоречие. Итак, 
– минимальная нормальная
подгруппа . Так как – формация, то, нетрудно
заметить, что – единственная
минимальная нормальная подгруппа из . А это
значит, что
Отсюда следует, что
2) Выше мы показали, что 
–
главный 
-фактор. Покажем, что – -группа. Предположим
противное. Пусть простое число 
делит 
, но не делит 
. По лемме 4.4 из [5] 
, где 
– содержащаяся в 
силовская 
-подгруппа из . Тогда
Отсюда и из насыщенности получим
. Но тогда 
, что невозможно.
Пусть 
– главный фактор
группы . Ввиду 2) является -группой и 
. Следовательно, каждая -абнормальная масимальная
подгруппа группы является -нормализатором группы . Так как -нормализатор группы покрывает только -центральные главные
факторы, то мы получаем, что -гиперцентральна в . Согласно следствию 9.3.1
из [5] 
. Отсюда следует, что 
, т.е. 
.
Обозначим через коммутант
группы . Так как 
– -корадикал группы 
, то по теореме 11.6 из [5]
каждый главный фактор группы на
участке от до -эксцентрален. Отсюда и из -гиперцентральности заключаем, что 
. Так как
то мы получаем тaкже рaвенство 
.
Таким образом, утверждения 2) – 6), 9) доказаны.
Докажем 7). Предположим, что неабелева.
Пусть 
– произвольный элемент из . Ввиду 4) 
, причем 
. Следовательно,
для всех элементов ,
из . Это означает, что 
имеет экспоненту . Учитывая это и то, что 
содержится в 
, получаем для любых 
, из при :
Значит, отображение 
является
-эндоморфизмом группы . Так как
то 
-гиперцентральна в 
. Вспоминая, что – -эксцентральный главный
фактор, получаем равенство 
. Так
как 
имеет экспоненту , то утверждение 7) при доказано.
Пусть . Тогда
где 
. Рассматривая
отображение 
как и выше получаем, что 
. Значит имеет экспоненту не больше
4.
Докажем 8). Выше мы доказали, что 
.
Пусть 
. Тогда в найдется такая
максимальная подгруппа , что 
. Так как 
, то 
. Отсюда 
. Противоречие. Итак, 
. По теореме 9.4 из [5]
имеем 
для любой -абнормальной максимальной
подгруппы группы . Нетрудно показать, что 
.
По теореме 7.11 из [5],
Так как 
, то
Ввиду того, что 
и – главный фактор , имеем 
. Итак, 
. Пусть – любая -абнормальная максимальная
подгруппа группы . Тогда 
. Ясно, что
Не ограничивая общности, положим 
.
Тогда – единственная минимальная
нормальная подгруппа . Легко видеть,
что 
и 
. Но – -группа. Значит, 
. По условию 
. Следовательно, ввиду
полноты экрана имеет место
то . Таким образом,
всякая собственная подгруппа группы принадлежит
. Допустим, что 
. Тогда
и поэтому 
. Полученное
противоречие показывает, что 
, т.е. – минимальная не -группа.
Предположим теперь, что 
.
Покажем, что 
. Не теряя
общности, можно положить, что . Тогда 
, 
. Пусть 
, где 
и 
, где 
. Для всякого 
через 
обозначим подгруппу 
. Предположим, что все отличны от . Так как 
, то – дополнение к в . Если 
для всех различных и , то
и поэтому 
.
Противоречие. Значит 
для некоторых
различных и . Из последнего вытекает
что невозможно. Полученное противоречие показывает, что 
для некоторого и, следовательно, 
. Лемма доказана.
Лемма [4]. Пусть – наследственная локальная
формация, – такая нормальная
подгруппа группы , что 
. Тогда 
равносильно 
.
Доказательство. Пусть . Тогда 
, и если – произвольная
максимальная подгруппа , то , а значит, и 
принадлежит . Следовательно, .
Предположим теперь, что .
Понятно, что 
.Пусть – произвольная
максимальная подгруппа , тогда 
. Пусть 
– произвольный -главный фактор из . Обозначим 
. Пусть – максимальный внутренний
локальный экран формации , и
пусть 
. Так как 
, то 
. Покажем, что 
. По лемме 8.7 из [6]
формация 
наследственна.
Следовательно, если 
, то сразу
получим 
. Если же , то вытекает из изоморфизма 
. Итак, всякий -главный фактор из , -централен в . Значит, . Таким образом, . Лемма доказана.
Лемма [3]. Пусть – локальная наследственная
формация, – некоторый ее полный
экран. Группа принадлежит 
тогда и только тогда,
когда выполняются следующие два условия:
1) 
;
2) 
, где – главный -фактор группы , – минимальная не -группа.
Доказательство. Необходимость вытекает из леммы 2.1.
Достаточность. Пусть 
и 
– произвольные
максимальные подгруппы 
. Покажем, что 
. Если 
-абнормальна, то ввиду
леммы 2.1 имеем 
. Значит, . Пусть 
. По условию
Следовательно, 
и по
лемме 2.1 
– -группа. Значит по лемме
8.2 из [6] . Итак, 
. Применяя теперь лемму 2.1
получаем, что . Лемма доказана.
Лемма [3]. Пусть – локальная формация,
имеющая постоянный наследственный локальный экран .
Тогда справедливы следующие утверждения:
1) 
для любого из 
;
2) тогда и только
тогда, когда 
для любого из , 
– главный фактор , .
Доказательство. 1) Пусть – произвольная группа из 
. Покажем, что . Предположим противное.
Пусть – подгруппа наименьшего
порядка из , не принадлежащая . Очевидно, что 
. Так как – постоянный экран, то
ввиду леммы 4.5 из [5] 
для
любого из . Если 
, то из того, что 
следует 
. Получили противоречие.
Итак, – собственная подгруппа из
. Но тогда 
, что невозможно.
2) Пусть . Покажем, что 
. Так как
то, не ограничивая общности, можно считать, что . Пусть – произвольная -абнормальная максимальная
подгруппа группы . Тогда по лемме
2.1 
, где 
. Очевидно, что 
. Отсюда следует, что 
– 
-группа. Так как и – постоянный экран, то 
. Пусть – произвольная собственная
подгруппа из . Так как формация наследственна, то 
. Кроме того, 
. Отсюда 
. Следовательно,
Если теперь 
, то . Отсюда нетрудно заметить,
что . Противоречие. Итак, 
. Из леммы 2.1 следует, что
есть главный -фактор
группы .
Пусть теперь .
Очевидно, что . Пусть – собственная подгруппа из
.Рассмотрим подгруппу 
. Если 
, то тогда
Согласно пункту 1 
. Пусть
. Тогда 
– собственная подгруппа
группы 
. Тогда
Отсюда . А это значит,
что . Итак, . Так как , то по лемме 2.1 . Лемма доказана.
Лемма. Пусть – непустая наследственная
формация. Тогда:
1) если – подгруппа
группы и 
, то -субнормальна в ;
2) если -субнормальна в , – подгруппа группы , то -субнормальна в ;
3) если 
и 
-субнормальные подгруппы , то 
– -субнормальная подгруппа ;
4) если -субнормальна в , а -субнормальна в , то -субнормальна в ;
5) если все композиционные факторы группы принадлежат формации , то каждая субнормальная
подгруппа группы является -субнормальной;
6) если – -субнормальная подгруппа
группы , то 
-субнормальна в для любых .
Лемма. Пусть – непустая формация, – подгруппа группы , – нормальная подгруппа из . Тогда:
1) если -субнормальна в , то 
-субнормальна в и 
-субнормальна в 
;
2) если 
, то -субнормальна в тогда и только тогда,
когда 
-субнормальна в .
3. Формации с решеточным свойством
Лемма [1]. Пусть – наследственная формация.
Тогда следующие утверждения эквивалентны:
1) обладает
решеточным свойством для -субнормальных
подгрупп;
2) группа 
принадлежит , если 
, 
– -субнормальные -подгруппы группы ;
3) – формация
Фиттинга и всякая -субнормальная -подгруппа группы содержится в -радикале этой группы.
Установим, что из 1) следует 2).
Пусть – контрпример
минимального порядка. В этом случае , где 
-субнормальная -подгруппа группы , 
, и не принадлежит . Пусть – минимальная нормальная
подгруппа группы . Все условия
леммы для фактор-групп выполняются, поэтому в силу выбора имеем, что . В виду теоремы 4.3 из [7]
формация является насыщенной.
Поэтому группа имеет
единственную минимальную нормальную подгруппу 
и
.
Если 
, то – простая группа. Так как и – -субнормальная подгруппа
группы , 
, то либо 
, либо 
. Значит, . Противоречие с выбором
группы .
Пусть 
. Рассмотрим
подгруппы 
и 
. Так как – собственная -субнормальная подгруппа и , то нетрудно видеть, что 
– собственная подгруппа , . Покажем, что 
.
Рассмотрим два случая.
1. Пусть – абелева
группа. Тогда – -группа, – простое число. Так как 
и подгруппа -субнормальна в , то по лемме 2.6 получаем , .
2. Пусть – неабелева
группа. В этом случае
есть прямое произведение изоморфных неабелевых простых групп и 
.
Рассмотрим подгруппу 
. Так
как подгруппа -субнормальна в , то ввиду леммы 2.4 и
подгруппа 
-субнормальна в группе . Пусть
Ввиду леммы 2.5 подгруппа 
-субнормальна в для любого из . Так как формация обладает решеточным
свойством для -субнормальных
подгрупп, то 
– -субнормальная подгруппа . Кроме того, из 
следует, что 
. Если 
, то 
. Получили противоречие с 
. Значит, 
. Так как нормальна в , то 
нормальна в . Но
где 
– неабелева
простая группа и 
для всех 
. Поэтому
Из и
наследственности формации следует,
что 
. Но тогда 
. Далее, так как 
, то по лемме 2.5 подгруппа
-субнормальна в . Значит, она -субнормальна и в , . Тогда из получаем что
Пусть – добавление к
подгруппе в группе . Так как , то 
. В силу насыщенности
формации из
и
получаем, что . Итак, 
, и .
Используя тождество Дедекинда, имеем
Если предположить, что 
, то 
. В этом случае
Так как , то не может быть -субнормальной подгруппой в
. Следовательно, можно
считать, что 
, .
Так как подгруппа -субнормальна в группе и , то из наследственности
формации следует, что подгруппа 
-субнормальна в .
Так как формация обладает
решеточным свойством для -субнормальных
подгрупп, то 
– -субнормальная подгруппа
группы . Кроме того, из и наследственности
формации имеем 
. Обозначим 
, , и рассмотрим подгруппу 
. Если 
, то 
, что невозможно ввиду -субнормальности в подгруппы 
.
Пусть 
. Из , нормальности в и нормальности в следует, что нормальна в .
Так как
то
Таким образом получаем
Так как 
, то 
– подгруппа из . Тогда из -субнормальности в подгрупп и 
следует, что подгруппа
-субнормальна
в . Это невозможно ввиду
равенства 
. Значит, . Противоречие.
Докажем, что из 2) следует 3). Пусть 
,
где – нормальная -подгруппа группы , . Так как
и 
, то 
. Из наследственности
формации получаем, что подгруппа 
-субнормальна в 
. Ввиду леммы 2.6 подгруппа
теперь -субнормальна в , . Так как выполняется
условие 2) леммы, то
Следовательно, –
формация Фиттинга.
Пусть 
– -субнормальная -подгруппа группы . Ввиду леммы 2.5 подгруппа
-субнормальна в 
для всех . Так как выполняются
условия 2) леммы, то
Отсюда следует, что
Наконец установим, что из 3) следует 1). Доказательство проведем
индукцией по порядку группы . Пусть и – -субнормальные подгруппы
группы и 
. Если – минимальная нормальная
подгруппа группы , то можно
считать, что . Учитывая лемму 2.6 по
индукции получаем, что 
– -субнормальная подгруппа
группы . На основании леммы 2.6
тогда подгруппа 
-субнормальна в . Если 
, то по индукции подгруппа -субнормальна в , и значит, ввиду леммы 2.5
она -субнормальна.
Будем далее считать, что 
для
любой минимальной нормальной подгруппы группы .
Ясно, что 
. Если 
, то в силу леммы 3.1.3 
субнормальна в . Но тогда ввиду [8]
Это означает, что 
.
Противоречие. Значит 
и . Аналогично доказывается,
что 
. Итак, и .
По условию леммы –
формация Фиттинга и 
, 
. Следовательно,
Пусть 
– минимальная
нормальная подгруппа группы ,
содержащейся в 
. Тогда
Из наследственности формации следует,
что – -субнормальная подгруппа
группы .
Итак, порождение двух -субнормальных
подгрупп и группы -субнормальна в . Ввиду леммы 2.5 – также -субнормальная подгруппа
группы . Значит, формация обладает решеточным
свойством для -субнормальных
подгрупп. Лемма доказана.
Лемма [1]. Пусть – наследственная локальная
формация. Если замкнута
относительно расширений, то формация обладает
решеточным свойством для -субнормальных
подгрупп.
Доказательство леммы следует из теоремы 5 работы [9] и теоремы 3.1.7.
Отметим, что из леммы 3.2 следует, что формации 
и 
обладают решеточным
свойством для -субнормальных
подгрупп.
Пусть 
обозначают
некоторое подмножество множества натуральных чисел. Пусть 
– некоторое семейство
классов групп. Обозначим через 
класс
всех групп , представимых в виде
где 
и 
, 
.
Лемма [1]. Справедливы следующие утверждения:
1) пусть 
– наследственная
локальная формация, обладающая решеточным свойством для -субнормальных подгрупп, . Тогда и формация 
обладает решеточным
свойством для 
-субнормальных
подгрупп;
2) пусть 
– некоторое
семейство наследственных локальных формаций и 
для
любых 
. Тогда и только тогда
формация
обладает решеточным свойством для -субнормальных
подгрупп, когда для каждого 
формация
обладает решеточным
свойством для -субнормальных
подгрупп.
Пусть формация обладает
решеточным свойством для -субнормальных
подгрупп, . Ввиду леммы 3.1 
и 
– формации Фиттинга
поэтому из леммы 2.1.3 следует, что также
является формацией Фиттинга.
Пусть – -субнормальная подгруппа
группы и 
. Ясно, что подгруппа -субнормальна в для любого 
. Так как 
и 
, то ввиду леммы 3.1
получаем, что 
и 
. Следовательно,
Теперь утверждение 1 следует из леммы 3.1.
Докажем утверждение 2). Пусть формация
обладает решеточным свойством для -субнормальных
подгрупп. Отметим, что 
. Отсюда
ввиду утверждения 1) настоящей леммы и леммы 3.2 следует, что формация обладает решеточным
свойством для - субнормальных
подгрупп.
Обратно, пусть для любого формация
обладает решеточным
свойством для -субнормальных
подгрупп. Пусть
Индукцией по порядку группы покажем,
что любая группа 
, где , – -субнормальные -подгруппы группы принадлежат .
Пусть – минимальная
нормальная подгруппа группы . Ввиду
леммы 2.6 из соображений индукции получаем, что .
Так как – насыщенная формация, то имеет единственную
минимальную нормальную подгруппу и . Ясно, что
Отметим также, что
где 
– изоморфные
простые группы для 
.
Докажем, что .
Рассмотрим группу 
. Так как
подгруппа -субнормальна в , то 
. Тогда по индукции
Рассмотрим пересечение 
. Если
то
Отсюда и из того факта, что 
–
нормальная подгруппа и 
следует, что .
Пусть 
. Так как – нормальная подгруппа из 
, то 
– нормальная подгруппа из . А это значит, что
Из наследственности формации и
получаем, что 
. Но тогда .
Из строения и
для любых 
, следует, что 
для некоторого 
. Так как
то нетрудно видеть, что группа имеeт
-холловскую подгруппу 
.
Так как , то – -субнормальная подгруппа
группы . Так как , и , – -субнормальные подгруппы,
то по индукции имеем, что
Отсюда и из ввиду 
получаем 
. Аналогично доказывается,
что 
. Таким образом,
Отсюда и из -субнормальности
и в нетрудно заметить, что , – -субнормальные подгруппы
группы . Из 
и ввиду наследственности 
следует, что 
и 
. Так как по условию
формация обладает решеточным
свойством для - субнормальных
подгрупп, то ввиду леммы 3.1
Итак, содержит
некоторую группу , где , – -субнормальные -подгруппы группы . Следовательно, ввиду
леммы 3.1 формация обладает
решеточным свойством для -субнормальных
подгрупп. Лемма доказана.
Лемма [1]. Пусть – нормально наследственная
разрешимая формация. Тогда справедливы следующие утверждения:
1) если в каждой разрешимой группе все -субнормальные
подгруппы образуют решетку, то имеет
вид
где 
для любых 
из ;
2) если – формация из
пункта 1), то она обладает решеточным свойством для -субнормальных
подгрупп.
1) Покажем, что 
является
либо группой Шмидта, либо группой простого порядка. Очевидно, что 
и .
Пусть – максимальный
внутренний локальный экран формации .
Согласно лемме 2.3
где – единственная
минимальная нормальная подгруппа группы ,
( – простое число), а – максимальная подгруппа
группы , являющейся минимальной не
-группой.
Докажем, что –
циклическая -группа для некоторого
простого числа . Допустим
противное. Тогда в найдутся по
крайней мере две несопряженные максимальные подгруппы 
и 
. Рассмотрим в подгруппу 
, . Ясно, что -субнормальна в , . Из 
, и 
по лемме 3.1 получаем, что
. Получили противоречие с
выбором .
Следовательно, –
циклическая группа порядка 
, где – некоторое простое число,
, 
– натуральное число.
Допустим, что 
. Обозначим через
– регулярное сплетение
циклических групп и соответственно порядков 
и .
По теореме 6.2.8 из [2] изоморфна
некоторой подгруппе группы . Так
как 
и 
, то ввиду теоремы 2.4 из
[5] 
.
Рассмотрим регулярное сплетение 
,
где 
. Тогда 
, где – элементарная абелева -группа. Так как 
, то 
. Из
следует что 
.
Рассмотрим в 
подгруппы
и 
, где 
– база сплетения . Ясно, что 
-субнормальна в , . Кроме того, 
. Отсюда
Так как 
, то 
по лемме 3.1. Получили
противоречие.
Следовательно, 
и – группа Шмидта. Если и 
, то по лемме 1.1.6 также является группой
Шмидта. Таким образом, любая разрешимая минимальная не -группа является либо
группой Шмидта, либо имеет простой порядок. Тогда по лемме 3.1.12 является наследственной
формацией.
Покажем, что формация имеет
такой локальный экран 
, что
p(F)
p'(F)
p(F)
Действительно. Пусть – локальный экран формации
. Так как 
для любого простого числа из , то 
. Покажем обратное.
Пусть – группа
минимального порядка из 
. Так
как – наследственная формация
и – насыщенная формация, то – минимальная не -группа и . Теперь, согласно лемме
2.3
где – единственная
минимальная нормальная подгруппа группы ,
причем – -группа, 
, а – минимальная не -группа. Как показано выше является либо группой
простого порядка, либо группой Шмидта.
Пусть – группа
простого порядка. Так как 
, то
очевидно, что . Противоречие.
Пусть – группа Шмидта.
Тогда – группа простого порядка,
причем 
, 
. Так как , то очевидно, что
Отсюда следует, что .
Получили противоречие. Следовательно 
.
Итак, 
и – полный локальный экран
формации .
Покажем, что 
либо 
для любых простых 
, 
.
Вначале докажем, что из 
следует
. Допустим противное. Пусть
. Рассмотрим точный
неприводимый 
-модуль 
над полем 
, который существует по
лемме 18.8 из [6].
Возьмем группу 
. Так
как 
и имеет единственную
минимальную нормальную подгруппу, то ввиду леммы 18.8 из [6] существует точный
неприводимый 
-модуль 
над полем 
. Рассмотрим группу
Так как
то 
. Ясно, что 
. Так как 
, то найдется 
такой, что 
. Заметим, что 
. Тогда
Так как 
, то 
-субнормальна в 
и 
-субнормальна в . По лемме 3.1 
. Получили противоречие.
Таким образом, если , то 
.
Пусть теперь . Тогда . Предположим, что найдется
такое простое число 
, которое не
принадлежит 
. Рассмотрим точный
неприводимый 
-модуль 
над полем 
.
Группа 
принадлежит ввиду и 
. Теперь рассмотрим точный
неприводимый 
-модуль . Группа 
формации не принадлежит, так как 
. Ясно, что 
. Рассуждая как и выше,
можно показать, что 
для некоторого 
, причем подгруппы 
, 
-субнормальны в 
, причем , принадлежат . Отсюда по лемме 3.1 
. Получили противоречие.
Следовательно, если , то 
, а значит . Более того, если
где 
и 
, то 
и 
, а значит, .
Таким образом, множество можно
разбить в объединение непересекающихся подмножеств, т.е. представить в виде 
, где 
для любых 
из и 
для 
. Покажем, что
Обозначим
Так как для любого имеет
место 
, то включение очевидно.
Допустим, что множество 
непусто,
и выберем в нем группу наименьшего
порядка. Так как – наследственная
формация, то 
. Группа непримарна в силу
равенства 
и локальности формации . Из строения
и 
нетрудно
показать, что – группа Шмидта.
Ясно, что . Тогда по теореме 26.1 из
[5] 
, где – элементарная абелева -группа, – некоторые простые числа.
Так как , то
Как показано выше, 
для
некоторого номера . Но тогда 
. Получили противоречие с
выбором . Следовательно,
где 
для всех .
Утверждение 2) следует из лемм 3.2 и 3.3. Лемма доказана.
Из доказанной леммы следует, что разрешимая наследственная
локальная формация тогда и только
тогда обладает решеточным свойством для -субнормальных
подгрупп, когда
Заключение
В курсовой работе рассмотрены решетки субнормальных и -субнормальных подгрупп.
Для построения теории решеток -субнормальных
подгруп, аналогичной теории решеток субнормальных подгрупп, разработанной
Виландтом, используются свойства минимальных не -групп.
В работе рассматриваются условия, при выполнении которых формация будет обладать решеточным свойством.
Список использованных источников
1. Васильев А.Ф., Каморников С.Ф., Семенчук В.Н. О решетках подгрупп конечных групп // Бесконечные группы и примыкающие алгебраические структуры: Тр./ Институт математики АН Украины. – Киев, 1993. – С. 27–54.
2. Коуровская тетрадь (нерешенные вопросы теории групп). Новосибирск: Институт математики СО АН СССР, 1984. – 144 с.
3. Семенчук В.Н. Минимальные не -группы // Алгебра и
логика. – 1979. – Т.18, №3. – С. 348–382.
4. Семенчук В.Н. Конечные группы с системой минимальных
не -подгрупп //
Подгрупповое строение конечных групп: Тр./ Ин-т математики АН БССР. – Минск:
Наука и техника, 1981. – С. 138–149.
5. Шеметков Л.А. Формации конечных групп. М.: Наука. – 1978. – 267 с.
6. Шеметков Л.А., Скиба А.Н. Формации алгебраических систем. М.: Наука. – 1989. – 256 с.
7. Bryce R.A., Cossey J. Fitting formations of finite solubla groups // Math.Z. – 1972. – V.127, №3. – P.217–233.
8. Gaschьtz W. Zur Theorie der endlichen auflцsbaren Gruppen. – Math. Z., 1963, 80, №4, С. 300–305.
9. Kegel O.H. Untergruppenverbande endlicher Gruppen, die Subnormalteilorverband echt enthalten // Arch. Math. – 1978. – V.30. – P.225–228.
10. Wielandt H. Eine Verallgemeinerung der invarianten Untegruppen // Math.Z. – 1939.-V.45. – P.209–244.