Курсовая работа: Семейства решений с постоянной четной частью
Министерство образования Республики Беларусь
Учреждение образования Гомельский государственный университет имени Франциска Скорины
Курсовая работа
"Семейства решений с постоянной четной частью"
Гомель, 2005
Реферат
В данной курсовой работе 17 листов. Работа состоит из пяти разделов. Ключевые слова: ДУ, решение, система, общее решение, четность, функция.
В работе содержится исследование семейства решений линейной системы. Выясняется связь семейства решений этой системы с её отражающей функцией и её свойствами. Устанавливаются условия, при которых линейная система имеет общее решение, четная часть которого не зависит от времени.
Библиография – 5 названий.
Содержание
Введение
1. Определение и свойства отражающей функции
2. Простейшая система
3. Система чет-нечет
4. Примеры систем, семейства решений которых имеют постоянную четную часть
5. Семейства решений с постоянной четной частью
Заключение
Литература
Введение
Основным инструментом нашего исследования является понятие «отражающей функции».
При изучении вопросов существования периодических решений дифференциальных систем и уравнений используются свойства симметричности (четность, нечетность и т.п.) как функций, задающих изучаемую систему, так и самих решений.
В данной работе мы будем изучать семейства решений с постоянной четной частью, когда четная часть будет представлена в виде константы.
Исследования с помощью отражающей функции позволяет получить новые результаты даже для уже хорошо изученных линейных систем.
1. Определение и свойства отражающей функции
Рассмотрим систему
, (1.1)
считая, что
её правая часть непрерывна и имеет непрерывные частные производные по 
. Общее решение этой
системы в форме Коши обозначим через 
. Через 
обозначим интервал
существования решения 
Пусть
.
Определение:
Отражающей
функцией системы (1.1) назовем дифференцируемую функцию 
, определяемую формулой 
(*) или формулами 
.
Для отражающей функции справедливы свойства:
1). Для
любого решения 
, системы 
верно тождество
; (1.2)
2). Для
отображающей функции 
любой системы
выполнены тождества:
; (1.3)
3).
Дифференцируемая функция 
будет
отражающей функцией системы (1.1) тогда и только тогда, когда она
удовлетворяет уравнениям в частных производных
(1.4)
и начальному условию
. (1.5)
Уравнение (1.4) будем называть основным уравнением (основным соотношением) для отражающей функции.
► Свойство
1) следует непосредственно из определения (*). Для доказательства
свойства 2) заметим, что согласно свойству 1) для любого решения 
системы (1) верны
тождества 
. Из этих тождеств в силу
того, что через каждую точку 
проходит
некоторое решение 
системы (1.1), и
следуют тождества (1.3).
Приступим к
доказательству свойства 3). Пусть 
– отражающая
функция системы (1.1). Тогда для неё верно тождество (1.2). Продифференцируем
это тождество по 
и воспользуемся
тем, что 
– решение системы (1.1), и
самим тождеством (1.2). Получим тождество
из которого в
силу произвольности решения 
следует,
что 
– решение системы (1.4).
Начальное условие согласно свойству 2) так же выполняется.
Пусть
некоторая функция 
удовлетворяет
системе (1.4) и условию (1.5). Так как этой системе и этому условию
удовлетворяет так же и отражающая функция, то из единственности решения задачи
(1.4) – (1.5) функция 
должна совпадать
с отражающей функцией. Свойство 3) доказано.
Основная
лемма.
Пусть правая часть системы (1.1) 
– периодична
по 
, непрерывна и имеет
непрерывные частные производные по переменным 
.
Тогда отображение за период для системы (1.1) можно найти по формуле
,
и поэтому
решение 
системы (1.1) будет 
– периодическим тогда и
только тогда, когда 
есть решение
недифференциальной системы
(1.6)
В качестве
следствия этой леммы докажем следующее предположение. Пусть непрерывно
дифференцируемая функция 
– периодична и нечетна по 
, т. е. 
и 
. Тогда всякое продолжение
на отрезок 
решение системы (1.1)
будет 
– периодическим и четным
по 
.
Для
доказательства достаточно заметить, что функция 
удовлетворяет
уравнению (1.4) и условию (1.5). Поэтому она согласно свойству 3) является
отражающей функцией рассматриваемой системы. Уравнение (1.6) в нашем случае
вырождается в тождество, и ему удовлетворяет любое 
,
для которого определено значение 
.
Согласно основной лемме любое продолжимое на 
решение
системы (1.1) будет 
– периодическим.
Четность произвольного решения системы
(1.1) следует из тождеств 
,
справедливых в силу свойства 1) отражающей функции.
2. Простейшая система
Простейшей называют систему вида
(2.1),
где 
– отражающая
функция этой системы.
Теорема: Пусть 
(2.2) простейшая
система, тогда 
, где 
- отражающая функция
системы (2.2).
Если система простейшая,
;
.
Замечание. Доказанная теорема
позволяет нам определять, является данная нам система (2.2.) простейшей или
нет. Для этого следует по системе (2.2.) записать соотношение (2.3.), из
него определить функцию ,
обладающую свойством 
и для неё
проверить все соотношения. Если соотношения выполнены, то система простейшая.
3. Система чет-нечет
Рассмотрим систему
(3.1)
Будем считать, что всюду в дальнейшем эта система удовлетворяет условиям:
а.) Функция 
непрерывно
дифференцируема, и поэтому, задача Коши для системы (3.1) имеет единственное
решение;
б.) Правая часть системы
(3.1) 
– периодична по 
.
Лемма. Пусть система (3.1)
удовлетворяет условиям а). и б). Тогда продолжимое на отрезок 
решение этой системы будет 
– периодическим тогда и
только тогда, когда
,
где 
– есть нечетная часть
решения .
Пусть 
– – периодическое решение
системы (3.1). Тогда 
. Необходимость
доказана.
Пусть – решение системы (3.1),
для которого 
. Тогда 
, и поэтому 
. Таким образом, точка 
есть неподвижная точка
отображения за период, а решение – – периодическое.
Доказанная
лемма вопрос о периодичности решения 
,
сводит к вычислению одного из значений нечетной части
. Иногда относительно можно сказать больше, чем
о самом решении . Это позволяет в
таких случаях делать различные заключения относительно существования
периодических решений у систем вида (3.1). Дифференцируемые функции 
; 
, удовлетворяют некоторой
системе дифференциальных уравнений. Прежде, чем выписать эту систему, заметим:
(3.2)
Так как 
решение системы (3.1). Заменяя
в тождестве (3.2) 
на 
и учитывая, что
производная четной функции – функция нечетная, а производная нечетной функции –
функция четная, получаем тождество
(3.3)
Из тождеств (3.2) и (3.3) найдем производные:
;
.
Таким образом, вектор-функция
(3.4)
Удовлетворяет следующей системе дифференциальных уравнений порядка
: 
;
При этом 
. Систему (3.5) будем
называть системой чет-нечет, соответствующей системе (3.1) решение системы
чет-нечет, как следует из условия а), однозначно определяется своими начальными
условиями.
4. Примеры систем, семейства решений которых имеют постоянную четную часть
1
. 
Найдем решение:
;
;
Таким
образом: 
Сделаем
проверку: 
; 
Четная часть
общего решения: 
2.
Найдем решение:
Таким
образом: 
Сделаем
проверку: 
;
;
, четная часть общего
решения 
3. 
Найдем решение:
.
Сделаем проверку:
Таким образом: 
Четная часть общего
решения
Из данных примеров можем заметить, что решения систем записывается в виде:
где 
и 
– нечетные функции, а
четная часть представлена константой.
(4.1)
Системы вида (4.1) будут иметь семейства решений с постоянной четной частью.
5. Семейства решений с постоянной четной частью
Рассмотрим систему
(5.1)
Надо
выяснить, когда и при каких условиях семейства решений этой системы будут иметь
постоянную четную часть 
. Иначе
говоря, когда 
не будет
зависеть от .
Рассмотрим
уравнение 
. Его решение
.
Возьмем отражающую
функцию 
системы (5.1), тогда,
используя (1.2) можем записать четную часть следующим образом:
(5.2)
Если четная часть будет представлена константой, то
. (5.3)
Продифференцируем
(5.2) и прировняем к (5.3). Получаем: 
. Учитывая (5.1),
имеем:
.
Воспользуемся соотношением (1.4)
(5.4)
Таким образом, приходим к теореме:
Теорема: Если
система вида 
(5.1) имеет
семейства решений с постоянной четной частью, то выполнено тождество
(5.4)
Заключение
Мы исследовали понятие «отражающей функции».
Для периодических решений дифференциальных систем и уравнений были использованы свойства симметричности (четность, нечетность и т.д.) как функций, задающих изучаемую систему, так и самих решений.
Были изучены семейства решений с постоянной четной частью.
На примерах мы убедились, что для различных систем, семейства решений которых имеет постоянную четную часть, была получена одинаковая четная часть общего решения.
Таким образом, в работе мы исследовали семейства решений линейной системы. Выяснили связь семейства решений этой системы с её отражающей функцией и её свойствами. Установили условия, при которых линейная система имеет общее решение, четная часть которого не зависит от времени.
Литература
1. Арнольд В.И. «Обыкновенные дифференциальные уравнения», М.: Наука, 1971–240 с.
2. Бибиков Ю.Н. «Общий курс дифференциальных уравнений», изд. Ленинградского университета, 1981–232 с.
3. Еругин Н.П. «Книга для чтения по общему курсу дифференциальных уравнений. 3-е издание», М. изд. Наука и Техника, 1979–744 с.
4. Мироненко В.И. «Отражающая функция и периодические решения дифференциальных уравнений», г. Минск: изд. «Университетское», 1986–76 с.
5. Понтрягин Л.С. «Обыкновенные дифференциальные уравнения», М.: Наука, 1970–331 с.