Контрольная работа: Системы линейных уравнений

Вариант №9

№1. Решить систему линейных уравнений по правилу Крамера, с помощью обратной матрицы

a)         По правилу Крамера.

;

б) С помощью обратной матрицы.

Алгебраические дополнения:

№ 2. Вычислить определитель

а) С помощью теоремы Лапласа. б) Предварительно упростив, получив нули в какой либо строке (столбце).

№3. Найти ранг матрицы

a)         С помощью элементарных преобразований

б) Найти ранг матрицы методом окаймления миноров

Решение. Начинаем с миноров 1-го порядка, т.е. с элементов матрицы А. Выберем, например, минор (элемент) М 1 = 1, расположенный в первой строке и первом столбце. Окаймляя при помощи второй строки и третьего столбца, получаем минор M 2=, отличный от нуля. Переходим теперь к минорам 3-го порядка, окаймляющим М 2. Их всего два (можно добавить второй столбец или четвертый). Вычисляем их:

Таким образом, все окаймляющие миноры третьего порядка оказались равными нулю. Ранг матрицы А равен двум.

№4. Дана система уравнений:

a) исследовать на совместимость б) Найти общее решение методом Гауса и записать два частных.

Частные решения:

№5. Найти фундаментальную систему решений однородной системы уравнений

№ 6

a)         Найти площадь ABC

Найдем векторное произведение :

б) Составим уравнение плоскости ABC:

Объем параллелепипеда, построенного на трёх некомпланарных векторах , равен абсолютной величине их смешанного произведения, т.е. 18. Объем тетраэдра

e) Найти величину плоского угла при вершине С плоскости ABC