Дипломная работа: Метризуемость топологических пространств
Министерство образования и науки Российской Федерации
Вятский государственный гуманитарный университет
Математический факультет
Кафедра математического анализа и МПМ
Дипломная работа
Метризуемость топологических пространств
Выполнила
студентка 5 курса
математического факультета
Побединская Татьяна Викторовна
_______________________________
(подпись)
Научный руководитель
к.ф.-м.н., доцент кафедры математического анализа и МПМ Варанкина Вера Ивановна
_______________________________
(подпись)
Рецензент
_______________________________
(подпись)
Допущена к защите в ГАК
Зав. кафедрой______________________________к.п.н., доцент Крутихина М.В.
(подпись)
«_____» _______________2004 г.
Декан факультета_________________________к.ф.-м.н., доцент Варанкина В.И.
(подпись)
«_____» _______________2004 г.
КИРОВ
2004
Содержание
Введение. 3
Глава I. Основные понятия и теоремы.. 4
Глава II. Свойства метризуемых пространств. 10
Глава III. Примеры метризуемых и неметризуемых пространств. 21
Библиографический список. 24
Введение
Тема дипломной работы – «Метризуемость топологических пространств».
В первой главе работы вводятся основные определения, связанные с понятиями метрического и топологического пространств.
Во второй главе рассматриваются и доказываются следующие свойства метризуемых пространств:
1. Метризуемое пространство хаусдорфово.
2. Метризуемое пространство нормально.
3. В метризуемом
пространстве
выполняется
первая аксиома счетности.
4. Метризуемое пространство совершенно нормально.
5. Для
метризуемого пространства следующие
условия эквивалентны:
1) сепарабельно,
2) имеет счетную базу,
3) финально компактно.
6. Любое метризуемое топологическое пространство может быть метризовано ограниченной метрикой.
7. Произведение счетного числа метризуемых пространств метризуемо.
В третьей главе рассматриваются примеры метризуемых и неметризуемых пространств.
Глава I. Основные понятия и теоремы
Определение.
Метрическим пространством называется пара 
,
состоящая из некоторого множества (пространства) элементов
(точек) и расстояния, то есть однозначной неотрицательной действительной
функции 
, определенной для любых 
и 
из и удовлетворяющей трем
условиям:
1)
(аксиома тождества);
2)
(аксиома симметрии);
3)
(аксиома треугольника).
Определение.
Пусть – некоторое множество. Топологией
в называется любая
система 
его подмножеств 
, удовлетворяющая двум
требованиям:
1.
Само множество и пустое
множество принадлежат .
2.
Объединение 
любого
(конечного или бесконечного) и пересечение 
любого
конечного числа множеств из принадлежат
.
Множество с заданной в нем топологией
, то есть пара 
, называется топологическим
пространством.
Множества,
принадлежащие системе , называются открытыми.
Множества 
, дополнительные к
открытым, называются замкнутыми множествами топологического пространства
.
Определение.
Совокупность 
открытых
множеств топологического пространства называется базой топологического
пространства , если всякое открытое
множество в может быть представлено
как объединение некоторого числа множеств из 
.
Теорема 1.
Всякая база в топологическом
пространстве обладает следующими двумя
свойствами:
1)
любая точка 
содержится
хотя бы в одном 
;
2)
если содержится в
пересечении двух множеств 
и 
из , то существует такое 
, что 
.
Определение.
Открытым шаром или окрестностью точки 
радиуса
в метрическом пространстве
называется совокупность
точек 
, удовлетворяющих условию 
. При этом – центр шара, – радиус шара.
Утверждение
1. Для любого ,
принадлежащего -окрестности
точки , существует окрестность
радиуса 
, включенная в -окрестность точки .
Доказательство.
Выберем в качестве :
.
Достаточно
доказать для произвольного 
импликацию
. Действительно, если 
, то 
Получаем, что 
, что и требовалось
доказать.
Теорема 2. Совокупность всех открытых шаров образуют базу некоторой топологии.
Доказательство. Проверим свойства базы (теорема 1).
·
Свойство первое очевидно, так как для любого выполняется 
для любого 
.
· Проверим второе свойство.
Пусть 
, 
и 
, тогда, воспользовавшись
утверждением 1, найдем такое 
, что 
Теорема доказана.
Определение.
Топологическое пространство метризуемо,
если существует такая метрика 
на
множестве , что порожденная этой
метрикой топология совпадает с исходной топологией пространства .
Аксиомы отделимости
Аксиома 
. Для любых двух
различных точек топологического пространства окрестность хотя бы одной из них
не содержит другую.
Аксиома 
. Каждая из двух
произвольных точек пространства имеет окрестность, не содержащую вторую точку.
Предложение.
является - пространством тогда и
только тогда, когда для любого множество
замкнуто.
Доказательство.
Необходимость.
Пусть 
. Так как является -пространством, то
существует окрестность 
, не содержащая .
Рассмотрим 
Докажем, что 
. Применим метод двойного
включения:
·
Очевидно, что 
по
построению множества 
.
·
.
Пусть 
отсюда для любого отличного от существует окрестность 
, значит 
, тогда 
.
Множество 
- открыто, как объединение
открытых множеств.
Тогда множество 
- замкнуто, как дополнение
открытого множества.
Достаточность.
Рассмотрим 
. По условию 
замкнутые множества. Так
как , то 
. Множество 
-открыто как дополнение
замкнутого и не содержит .
Аналогично доказывается существование окрестности точки , не содержащей точку
Что и требовалось доказать.
Аксиома 
( аксиома Хаусдорфа). Любые
две точки пространства имеют непересекающиеся окрестности.
Аксиома 
. Любая точка и не
содержащее ее замкнутое множество имеют непересекающиеся окрестности.
Определение.
Пространства, удовлетворяющие аксиомам 
(
) называются -пространствами (-пространства называют
также хаусдорфовыми пространствами).
Определение.
Пространство называется нормальным или 
-пространством, если
оно удовлетворяет аксиоме , и
всякие его два непустые непересекающиеся замкнутые множества имеют
непересекающиеся окрестности.
Определение.
Система окрестностей называется определяющей системой окрестностей
точки , если для любой
окрестности 
точки найдется окрестность из
этой системы, содержащаяся в .
Определение.
Если точка топологического
пространства имеет счетную определяющую систему окрестностей, то говорят, что в
этой точке выполняется первая аксиома счетности. Если это верно для
каждой точки пространства, то пространство называется пространством с первой
аксиомой счетности.
Определение.
Две метрики 
и 
на множестве называются эквивалентными,
если они порождают на нем одну и ту же топологию.
Пример.
На плоскости 
для точек 
и 
определим расстояние тремя
различными способами:
1. 
,
2. 
,
3. 
.
· Введенные расстояния являются метриками. Проверим выполнимость аксиом метрики для введенных расстояний.
1. 1) 
2) так как 
и 
, то вторая аксиома
очевидна: 
3)
рассмотрим точки ,,
и докажем следующее
неравенство:
Возведем это неравенство в квадрат:
.
Так как 
и 
(поскольку 
) и выражение 
есть величина
неотрицательная, то неравенство является
верным.
2. 1) 
2) так как 
и 
, то вторая аксиома
очевидна: 
.
3)
рассмотрим точки ,, и докажем следующее
неравенство: 
.
Тогда и 
.
3. 1) 
2) так как 
и 
, то вторая аксиома
очевидна:
.
3)
рассмотрим точки ,,.
Неравенство: 
-
очевидно.
·
Введенные метрики 
и 
эквивалентны, то есть
задают одну и ту же топологию.
Пусть метрика 
порождает топологию 
, - топологию 
и 
- топологию 
. Достаточно показать два
равенства.
Покажем, что 
.
Рассмотрим
множество, 
открытое в и покажем, что открыто в . Возьмем некоторую точку и
изобразим шар с центром в этой точке, который целиком лежит в . Шар в - квадрат, шар в - круг. А квадрат всегда
можно заключить в круг. Тогда открыто
и в .
Аналогично
доказывается, что 
. А тогда и 
.
Глава II. Свойства метризуемых пространств
Свойство 1. Метризуемое пространство хаусдорфово.
Доказательство.
Пусть . Возьмем 
. Докажем, что 
.
Предположим, что
, тогда существует 
, т.е. 
и 
. Тогда, 
. Получили противоречие. Следовательно,
.
Следствие.
Метризуемое пространство является -
пространством.
Определение.
Расстоянием от точки до
множества 
в метрическом пространстве
называется 
.
Утверждение
2. Пусть множество 
фиксировано;
тогда функция , сопоставляющая
каждой точке 
расстояние 
, непрерывна на
пространстве .
Доказательство.
Воспользуемся определением непрерывности: функция 
называется
непрерывной в точке , если 
.
Из неравенства 
, где 
, получаем 
. Аналогично 
. Из полученных неравенств
следует 
.
Для
произвольного 
возьмем 
. Тогда из неравенства 
следует 
. Непрерывность доказана.
Лемма.
– замкнутое множество в
метрическом пространстве . Для
любого 
расстояние от до множества положительно.
Доказательство.
Множество замкнуто, отсюда следует,
что множество 
- открыто. Так
как точка принадлежит открытому
множеству , то существует такое, что 
. Так как 
, то 
для некоторого 
. Поэтому 
для любого . Следовательно, 
, что и требовалось
доказать.
Свойство 2. Метризуемое пространство нормально.
Доказательство. По доказанному метризуемое пространство является
-пространством. Остается доказать,
что любые непустые непересекающиеся замкнутые множества и имеют непересекающиеся
окрестности.
Так как 
и множество замкнуто по условию, то
для любого 
по лемме 
.
Обозначим 
и 
для произвольных 
и 
.
Множества 
и 
открыты как объединения
открытых шаров в и содержат
соответственно множества и .
Следовательно, - окрестность множества , - окрестность множества .
Докажем, что 
.
Предположим, что
, то есть 
. Тогда из условия 
следует, что 
для некоторого 
. Отсюда 
.
Аналогично
получаем 
для некоторого 
. Для определенности пусть 
. Тогда 
.
Получаем 
, для некоторой точки 
, что невозможно в силу
определения расстояния от точки до множества.
Следовательно 
. Таким образом, является -пространством, а, значит,
нормальным пространством. Теорема доказана.
Свойство
3. В метризуемом пространстве выполняется
первая аксиома счетности.
Доказательство.
Пусть - произвольное открытое
множество, содержащее точку . Так
как открытые шары образуют базу топологии метрического пространства, то содержится в вместе с некоторым
открытым шаром, то есть 
для
некоторых и . По утверждению 1 найдется
такое , что 
.
Возьмем 
, для которого 
. Тогда 
. Таким образом открытые
шары 
, образуют определяющую
систему окрестностей точки .
Очевидно, что множество этих окрестностей счетно. Что и требовалось доказать.
Определение.
Множеством типа 
или просто - множеством
пространства называется всякое
множество 
, являющееся объединением
счетного числа замкнутых (в )
множеств.
Определение.
Множеством типа 
или просто - множеством
пространства называется всякое
множество , являющееся пересечением
счетного числа открытых (в )
множеств.
Очевидно, что
множества типа и являются взаимно
дополнительными друг для друга.
Определение.
Нормальное пространство, в котором всякое замкнутое множество является
множеством типа , называется совершенно
нормальным.
Утверждение
3. Нормальное пространство является совершенно нормальным тогда и
только тогда, когда всякое открытое множество, принадлежащее этому пространству,
является множеством типа .
Свойство 4. Метризуемое пространство совершенно нормально.
Доказательство.
Пусть 
- непустое замкнутое
множество в . Тогда 
для непрерывной функции 
(непрерывность ее
установлена в утверждении 2). Обозначим 
, множества 
открыты в как прообразы открытых
множеств при непрерывном отображении. Докажем, что 
.
Пусть 
, тогда 
. Так как 
для любого 
, то 
для любого . Отсюда 
.
Обратно. Пусть , тогда для любого . Отсюда 
для любого , поэтому 
для любого , тогда , значит . Таким образом множество является множеством типа .
Определение.
Множество 
всюду плотно в , если любое непустое
открытое в множество содержит точки
из .
Определение.
Топологическое пространство называется
сепарабельным, если оно имеет счетное всюду плотное подмножество.
Определение.
Семейство γ открытых
в множеств образуют покрытие
пространства , если содержится в объединении
множеств этого семейства.
Определение.
Топологическое пространство называется
финально компактным, если из любого его открытого покрытия можно
выделить счетное подпокрытие.
Свойство 5.
Для метризуемого пространства следующие
условия эквивалентны:
1) сепарабельно,
2) имеет счетную базу,
3) финально компактно.
Доказательство.
Пусть 
- счетное всюду плотное
множество в , - метрика в . Множество окрестностей 
счетно. Докажем, что 
- база топологии в . Пусть - произвольное открытое в множество, 
. Тогда для некоторого . Рассмотрим рациональное
число 
, для которого 
и точку 
, для которой 
.
Докажем, что 
. Пусть 
. Так как 
, то 
. Тогда 
. Таким образом, для
произвольного и открытого
множества нашелся элемент из 
, такой, что 
. Следовательно - база топологии.
Пусть 
- счетная база в . Рассмотрим произвольное
открытое покрытие множества 
, 
- открыты для любого 
(- индексное множество). Для
любого существует 
, для которого 
. Так как - база, то найдется такое 
, что 
. Тогда 
. Поскольку база счетна, то покрывается счетным числом
соответствующих множеств . Таким
образом, - финально компактно.
Для каждой точки рассмотрим окрестности 
, которые образуют покрытие
пространства . В силу финальной
компактности из этого покрытия можно
выделить счетное подпокрытие 
. В
каждом из этих множеств выберем точку 
.
Множество точек 
счетно, докажем,
что оно плотно в . Пусть - произвольное открытое
множество в , 
, тогда 
для некоторого 
. Существует элемент
подпокрытия 
. Тогда 
, то есть любое непустое
открытое множество в содержит точку
этого множества. Что и требовалось доказать.
Определение.
Диаметром непустого множества в
метрическом пространстве называется
точная верхняя грань множества всех расстояний между точками множества и обозначается 
.
.
Если 
, то множество называют неограниченным.
Определение.
Метрика метрического пространства называется ограниченной,
если 
.
Свойство 6. Любое метризуемое топологическое пространство может быть метризовано ограниченной метрикой.
Доказательство.
Пусть метрика порождает
топологию топологического пространства .
Положим 
для любых 
.
Докажем следующее:
1.
-метрика на ;
2.
метрики и эквивалентны;
3.
.
1. Проверим выполнимость аксиом.
1) 
;
2)
;
: Докажем, что 
.
Известно, что 
.
·
Если 
и 
, то 
и 
, тогда 
. Так как 
, то .
·
Если 
или 
, то 
, а 
, тогда .
2. Пусть - топология, порожденная
метрикой , а 
- топология, порожденная
метрикой 
. Докажем, что 
.
Пусть - открытое множество в , докажем, что множество открыто в . Для любого 
существует такое, что 
. Можно считать, что 
. Тогда 
является окрестностью в 
того же радиуса . Следовательно, открыто в топологии .
В обратную сторону доказательство проводится аналогично.
Из всего выше
сказанного следует, что метрики и 
эквивалентны.
3. Из формулы следует, что 
для любых 
. Отсюда 
.
Определение.
- топологические
пространства, 
. Тихоновским
произведением топологических пространств 
называется
топологическое пространство 
, в
котором базу топологии образуют множества 
,
где 
открыто в 
для любого 
и 
для всех индексов кроме
конечного их числа.
Свойство 7. Произведение счетного числа метризуемых пространств метризуемо.
Доказательство.
Пусть 
- метризуемые
топологические пространства. По лемме на каждом множестве существует ограниченная
метрика 
соответственно.
Рассмотрим 
.
Покажем:
1. является метрикой на и 
.
2. топология,
порожденная метрикой , совпадает с
топологией произведения пространств 
.
1. Проверим выполнимость аксиом метрики.
1) 
(так как - метрика по условию).
2) , 
.
Так как 
(-метрика по условию), то 
, тогда 
.
3) Докажем, что 
.
, , 
. Но так как выполняется
неравенство 
, то будет выполняться
неравенство:
, тогда .
Теперь
докажем, что .
, где 
геометрическая прогрессия,
а 
, тогда 
.
2. 1) Покажем,
что каждое множество 
, открытое в
топологии, индуцированной метрикой ,
открыто и в топологии произведения.
Рассмотрим
произвольную точку 
. Существует
такое , что 
. Далее достаточно найти
положительное число 
и открытые
множества 
, такие, что 
.
Пусть - положительное целое
число, удовлетворяющее условию:
.
Для 
положим 
и 
для 
.
Для каждой точки
. Рассмотрим полученные
суммы. Так как 
, где 
, то 
. Так как 
для любых 
, то 
. Тогда 
, т.е. 
. Таким образом 
. Следовательно, множество открыто в тихоновской
топологии произведения.
2) Пусть
множество 
открыто в топологии
произведения. Докажем, что оно открыто в топологии, порожденной метрикой .
Требуется
доказать, что для любой точки 
найдется
такое , что 
.
Так как
множество открыто в топологии
произведении, то 
для некоторого
множества , где - открыто в и 
для любого и для всех индексов 
кроме конечного их числа.
Поскольку и открыто в , то 
для конечного числа
индексов, для которых 
. Пусть - наименьший из этих
значений 
. Докажем, что 
. Возьмем произвольное 
. Тогда 
. Отсюда 
для любого . Это означает, что 
для любого . Получили 
. Следовательно, множество открыто в топологии,
индуцируемой метрикой . Теорема
доказана.
Глава III. Примеры метризуемых и неметризуемых пространств
1. Дискретное топологическое пространство.
- произвольное непустое
множество. Открытым назовем любое подмножество в .
Очевидно, при этом выполнены все аксиомы топологического пространства.
Рассмотрим 
Для любого множество открыто, так как 
. Следовательно, открыто и
любое подмножество в как объединение
одноэлементных множеств. Вывод: дискретное топологическое пространство –
метризуемо.
2. Двоеточия.
. Рассмотрим топологии на .
1) 
- простое двоеточие.
2) 
- связное двоеточие.
3) 
- слипшееся двоеточие.
- метризуемо, так как
топология - дискретная.
, 
- неметризуемы, так как не
являются хаусдорфовыми.
3. Стрелка (
).
В открытыми назовем 
и множества вида 
, где 
. Очевидно, при этом
выполнены все аксиомы топологического пространства. Топологическое пространство
не является хаусдорфовым,
а значит неметризуемо.
4. Окружности
Александрова (пространство ).
Открытые множества в :
первого рода: интервал на малой окружности 
плюс его проекция на
большую окружность 
, из которой
выброшено конечное число точек.
второго
рода: каждая точка на большой окружности открыта.
1. Множество 
замкнуто в тогда и только тогда,
когда 
- конечно.
Доказательство.
Очевидно, что любое конечное множество замкнуто
как дополнение открытого. Пусть и - бесконечно.
Докажем, что - незамкнуто.
Так как - бесконечно, то
оно содержит счетное подмножество, которое можно рассмотреть как
последовательность точек, принадлежащих .
Эта последовательность ограничена в , по
теореме Больцано-Вейерштрасса из нее можно выделить сходящуюся
подпоследовательность. Так как замкнуто
в , то предел этой
последовательности 
. Пусть 
- точка, для которой является проекцией на . Возьмем произвольное
открытое в множество 
, содержащее точку . Тогда исходя из структуры
открытых множеств первого рода получаем, что содержит
бесконечно много точек множества , т.е. является предельной точкой
множества . При этом 
. Следовательно, - незамкнуто.
2. Множество не совершенно нормально.
Доказательство.
Пусть дуга 
. Множество 
открыто, как объединение
открытых одноэлементных множеств. Замкнутыми в являются
по доказанному лишь конечные множества. Но счетное объединение конечных
множеств счетно. Следовательно открыто
и не является множеством типа . Таким
образом множество неметризуемо.
Библиографический список
1. Александров П.С., Пасынков Б.А. Введение в теорию размерности. – М.: Наука, 1973.
2. Энгелькинг Р. Общая топология – М.: Мир, 1986.
3. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. – М. Наука, 1989.