Курсовая работа: Полунормальные подгруппы конечной группы
Дипломная работа
"Полунормальные подгруппы конечной группы"
Содержание
Введение
1 Силовские подгруппы конечных групп
2 Полунормальные подгруппы
2.1 Свойства супердобавлений
2.2 Супердобавления к максимальным подгруппам
2.3 Супердобавления к силовским подгруппам
3 Факторизации групп дисперсивными и сверхразрешимыми подгруппами
3.1 Силовские множества и их свойства
3.2 Дисперсивность и сверхразрешимость факторизуемых
групп
Заключение
Список использованных источников
Введение
В теории конечных групп видное место занимают результаты,
связанные с исследованием существования дополнений к выделенным системам
подгрупп. В классических работах Шура, Цассенхауза, Гашюца, Л.А. Шеметкова
устанавливаются условия, при которых существует дополнение к нормальной
подгруппе. В 1968 году в работе для получения существования дополнений к
нормальной подгруппе Л.А. Шеметков стал рассматривать добавления. В
настоящее время под минимальным добавлением к подгруппе 
в группе 
понимается такая подгруппа
, что 
, но 
для любой собственной
подгруппы 
из . Очевидно, что любая
подгруппа конечной группы обладает минимальным добавлением. Ясно также, что
дополнение является частным случаем минимального добавления.
Известно, что конечные разрешимые группы можно охарактеризовать
как конечные группы, у которых дополняемы все силовские подгруппы. Эта теорема Ф. Холла
явилась источником развития одного из направлений теории групп, состоящего в
исследовании строения групп с выделенными системами дополняемых подгрупп. Как
отмечает в своей монографии С.Н. Черников: «Изучение групп с достаточно
широкой системой дополняемых подгрупп обогатило теорию групп многими важными
результатами». К настоящему времени выделены и полностью изучены многие новые
классы групп. При этом наметилась тенденция к обобщениям как самого понятия
дополняемой подгруппы, так и способа выделения системы дополняемых подгрупп.
Системы дополняемых подгрупп выделялись, например, с помощью таких понятий как
примарность, абелевость, цикличность, нормальность и других свойств конечных
групп и их комбинаций, а вместо дополняемости рассматривались 
–дополняемость, –плотность подгруппа,
строго содержащаяся между ними), и др.
Однако условие существования дополнений к отдельным подгруппам является достаточно сильным ограничением. Далеко не все подгруппы обладают дополнениями. Вместе с тем каждая подгруппа обладает минимальным добавлением. Поэтому для исследования строения конечных групп с системами добавляемых подгрупп необходимо вводить дополнительные ограничения на минимальные добавления.
Квазинормальной называют подгруппу
группы , которая перестановочна со
всеми подгруппами группы . Ясно,
что нормальные подгруппы всегда квазинормальны.
Минимальное добавление 
к
квазинормальной подгруппе группы обладает следующим
свойством: если 
– подгруппа из , то 
– подгруппа группы . Это наблюдение позволяет
ввести следующее определение: минимальное добавление к подгруппе группы назовём супердобавлением,
если является подгруппой для
любой подгруппы из . Ясно, что нормальные и
квазинормальные подгруппы обладают супердобавлениями. В симметрической группе 
силовская 
–подгруппа обладает
супердобавлением, но не является квазинормальной подгруппой. Кроме того, не
каждая подгруппа группы обладает супердобавлением.
Всякую факторизуемую группу 
можно
рассматривать как группу с подгруппой и
её добавлением , и как группу с
подгруппой и её добавлением . Известно, что группа с нормальными
сверхразрешимыми подгруппами и не всегда является
сверхразрешимой. Отсюда следует, что формация всех сверхразрешимых групп не
является классом Фиттинга. Известны следующие случаи, ведущие к
сверхразрешимости группы с
нормальными сверхразрешимыми подгруппами и
:
– подгруппы и имеют взаимно простые
индексы;
– группа имеет
нильпотентный коммутант;
– подгруппы из перестановочны
со всеми подгруппами из , а
подгруппы из перестановочны со всеми
подгруппами из . Подобная
тематика разрабатывалась и в статье А.Ф. Васильева и Т.И. Васильевой.
В настоящей дипломной работе рассматриваются следующие вопросы: строение группы с максимальной полунормальной подгруппой и группы с полунормальной силовской подгруппой; признаки дисперсивности и сверхразрешимости факторизуемых групп с перестановочными циклическими подгруппами в факторах.
1. Силовские подгруппы конечных групп
По теореме Лагранжа порядок каждой группы делит порядок конечной
группы. Обратное утверждение не всегда верно, т.е. если натуральное число 
делит порядок конечной
группы , то в группе может и не быть подгруппы
порядка .
Пример 1.1 Знакопеременная группа 
порядка
12 не содержит подгруппу порядка 6.
Допустим противное, пусть –
подгруппа порядка 6 в группе . Тогда 
и 
. Группа содержит подгруппы
Если 
, то 
и 
, противоречие. Поэтому 
, а т. к. 
, то 
. Противоречие. Поэтому
допущение не верно и группа не
содержит подгруппу порядка 6.
Вполне естественно возниает вопрос: для каких делителей порядка конечной группы
имеется подгруппа порядка .
Положительный ответ на этот вопросв случае, когда – степень простого числа,
даёт теорема Силова. Для доказательства теоремы Силова потребуется следующая
лемма.
Лемма 1.2 Если порядок конечной абелевой группы делится на простое число 
, то в группе существует элемент порядка
.
Доказательство. Предположим противное, т.е. допустим, что
существует абелева группа порядка
, простое число делит , то в группе существует элемент порядка
. Пусть 
.
Если делит 
для некоторого 
, то 
– элемент порядка , противоречие. Поэтому все
элементы группы имеют порядки,
не делящиеся на .
не делится на .
Так как группа абелева,
то 
– подгруппа, и к
произведению 
можно применить следующее
не делится на .
Затем обозначаем через
и опять получаем, что 
не делится на . Через конечное число
шагов приходим к выводу, что 
не
делится на . Но
и 
, т.е. получаем,
что 
не делит . Противоречие. Значит,
допущение неверно и лемма спарведлива.
Пусть – простое число.
- Группой называют
конечную группу, порядок которой есть степень числа .
Конечная группа называется примарной, если она является -группой для некоторого
простого .
Теорема 1.3 Ошибка!. Пусть конечная группа имеет порядок 
, где – простое число и не делит 
. Тогда спарведливы
следующие утверждения:
в группе существует
подгруппа порядка 
для каждого 
;
если – -подгруппа группы и 
– подгруппа порядка 
, то существует такой элемент
, что 
;
любые две подгруппы порядка сопряжены
в группе ;
число подгрупп порядка в
группе сравнимо с единицей по
модулю и делит .
Доказательство. Доказательство проведём индукцией по . По индукции считаем, что
для всех групп, порядок которых меньше порядка утверждение
теоремы выполняется. Рассмотрим два случая.
Случай 1. Порядок центра 
делится
на .
Так как – абелева
группа, то к применима лемма 1.2. По
этой лемме в есть элемент 
порядка . Так как 
– нормальная подгруппа
группы порядка , то факторгруппа 
имеет порядок 
и по индукции в группе 
имеется подгруппа 
порядка для каждого 
. По теореме о соответствии
в группе имеется подгруппа 
такая, что 
и 
. Теперь 
, где . Итак, в группе 
порядков 
соответственно.
Случай 2. Порядок центра группы
не делится на .
Рассмотрим разложение группы в
объдинение различных классов сопряжённых элементов
где
– класс сопряжённых с 
элементов.
Различные классы сопряжённых элементов имеют пустое пересечение, а число
элементов в классе 
равно индексу
централизатора 
. Пусть
Централизатор каждого элемента из центра совпадает с группой . И обратно, если
централизатор некоторого элемента совпадает с группой, то элемент попадает в
центр . Поэтому из <1>
получаем
где 
для каждого 
. Если все числа 
делятся на , то из <2> следует,
что 
делится на , что противоречит
рассматриваемому случаю. Итак, существует 
,
где 
такое, что не делит . Поскольку 
то
где 
– целое число и не делит 
. Теперь к группе 
применима индукция. По
индукции в группе существует
подгруппа порядка для каждого 
Эта подгруппа будет
искомой для группы .
Рассмотрим разложение группы на
двойные смежные классы по подгруппам и :
Зададим отображение
переводящее элементы двойного смежного класса 
в элементы произведения
подгрупп 
и . Легко проверить, что
отоюражение 
взаимно однозначно,
поэтому, получаем
где 
Так как 
есть подгруппа в , то по теореме Лагранжа 
делит 
и 
– целое число. Из
<3> теперь получаем:
Сокращая обе части на получим:
Так как взаимно просто с
, а 
– целое число, являющееся
степенью , то в правой части
<4> существует слагаемое, равное единице. Пусть например, 
, где 
. Тогда 
.
Пусть 
и 
– подгруппы порядка . По существует элемент такой, что 
. Так как 
, то 
.
Пусть – группа порядка
– подгруппа порядка и 
– нормализатор подгруппы в группе . Рассмотрим разложение
группы на двойные смежные классы
по и 
:
Отображение
будет взаимно однозначным отображением 
на
. Теперь из <5>
получаем:
Положим 
. Элемент 
можно выбрать единичным,
поэтому 
и 
. Теперь
Проверим, что под знаком суммы нет слагаемых равных 1. Допустим
противное, т.е. что для некоторого 
имеем
равенство 
. Это означает, что 
и подгруппа содержит две подгруппы и 
порядка . По существует элемент 
такой, что 
. Но тогда 
, а так как , то и 
. Но это возможно только
при 
, противоречие. Значит,
допущение неверно и в равенстве <6> под знаком суммы все слагаемые
отличны от единицы. Поскольку каждое слагаемое есть степень простого , то из равенства <6>
получаем сравнение 
. По все подгруппы порядка группы сопряжены между собой, а
число подгрупп сопряжённых с равно 
. Поскольку 
, то делит .
Теорема доказана.
Силовской – подгруппой конечной группы называют
такую – подгруппу, индекс
которой не делится на . Непосредственно
из теоремы получаем
Следствие 1.4 Пусть конечная группа имеет
порядок , где – простое число и не делит . Тогда:
существует силовская –подгруппа
и её порядок равен ;
каждая –подгруппа
содержится в некоторой силовской –подгруппе;
любые две силовские –подгруппы
сопряжены;
число силовских –подгрупп
сравнимо с единицей по модулю и делит
.
Теорема 1.5 Для конечной группы и
её силовской –подгруппы справедливы следующие
утверждения:
если 
, то 
– силовская –подгруппа в , а 
– силовская –подгрупппа в 
;
;
если 
и 
, то
и
пусть 
– все простые
делители порядка группы , 
при 
, и пусть 
– соответствующие им
силовские подгруппы. Тогда
а если 
, то 
.
Д о к а з а т.е. л ь с т в о. Так как 
и
не делит 
, то – –группа, а из того, что
следует
и 
не делится на . Значит 
– силовская –подгруппа в .
Поскольку 
, то – –группа, а так как
не делится на , то – силовская –подгруппа в .
Для 
получаем
т.е. 
. Обратно, если 
, то 
. Теперь и 
– силовские подгруппы в 
, которые по следствию 1.4
сопряжены в , т.е. существует элемент 
, такой, что 
. Теперь 
и 
, т.е.
Если
то 
и
Если 
, то пусть 
означает наивысшую степень
, делящую порядок 
. По следствию 1.4 – порядок силовской –подгруппы из . Из следует, что
и
Если
то
и
Обратно, пусть
где 
, 
и 
. Тогда
Поскольку уже доказано, что
то 
, где
Теперь
и
Следовательно,
Пусть
Тогда 
делит 
для каждого 
и поэтому
делит , т.е. 
. Для имеем 
, откуда .
Теорема доказана.
Лемма 1.6 Ошибка!. Если –
нормальная подгруппа конечной группы и – силовская – подгруппа из , то 
.
Доказательство. Пусть 
–
произвольный элемент из . Так
как 
, то 
и по следствию 1.4
подгруппы и 
сопряжены в . Поэтому, существует
элемент 
такой, что 
, откуда
и
Таким образом, .
Лемма доказана.
Лемма 1.7 Каждая подгруппа конечной группы, содержащая нормализатор некоторой силовской подгруппы, самонормализуема.
Доказательство. Пусть –
силовская подгруппа группы и – подгруппа группы , содержащая 
. Так как 
, то по лемме Фраттини
Лемма доказана.
Лемма 1.8 Пусть – –подгруппа конечной группы , 
и не делит 
. Тогда
Доказательство. Ясно, что
По условию подгруппа является
силовской подгруппой в 
. Пусть
Тогда 
и по лемме
Фраттини 
.
Лемма доказана.
Пример 1.9 Симметрическая группа 
степени
6 имеет порядок 
. По теореме
Силова содержит подгруппы
порядков 
. Силовская 2‑подгруппа
имеет порядок 
, силовская 3‑подгруппа
имеет порядок 
и силовская 5‑подгруппа
имеет порядок 5.
Пример 1.10 Группа порядка 15 циклическая.
Пусть – группа порядка
15. В группе имеется подгруппа порядка 3 и подгруппа 
порядка 5. По следствию
1.4 число силовских 3‑подгрупп имеет вид 
для
некоторого неотрицательного целого 
и делит
5. Поэтому в группе имеется только одна подгруппа порядка 3. Так как любые две
силовские 3‑подгруппы сопряжены, то 
.
Аналогично, число силовских 5‑подгрупп равно 
и
делит 3. Поэтому 
. Так как 
и 
– циклические подгруппы
простых порядков, то группа 
. Теперь
для любых 
имеем:
поэтому
и 
. Следовательно,
группа абелева. Теперь ясно, что 
– циклическая группа.
2. Полунормальные подгруппы
2.1 Свойства супердобавлений
Определение 2.1.1 Подгруппу, обладающую супердобавлением, называют
полунормальной подгруппой. Таким образом, подгруппа группы называется полунормальной
подгруппой, если существует такая подгруппа ,
что 
и 
– собственная подгруппа
группы для каждой подгруппы 
из , отличной от .
Пример 2.1.2 Нормальные и квазинормальные подгруппы являются полунормальными и любые их минимальные добавления будут супердобавлениями.
Пример 2.1.3 В симметрической группе силовская
–подгруппа является
полунормальной подгруппой, но не квазинормальной.
Лемма 2.1.4 Если подгруппа полунормальна
в группе и в группе нет собственных добавлений
к , то квазинормальна.
Доказательство. Так как по условию все добавления к подгруппе совпадают с самой группой , то и супердобавлением к будет . Теперь из определения
полунормальной подгруппы следует, что перестановочна
со всеми собственными подгруппами группы .
Лемма доказана.
Введем следующие обозначения. Если –
подгруппа группы , то 
– множество всех
супердобавлений к подгруппе в
группе . Ясно, что 
в точности тогда, когда не является полунормальной
подгруппой.
Пусть и – подгруппы группы , 
и подгруппа нормальна в группе . Введём следующие
обозначения:
–
обычное теоретико множественное включение, то есть любая группа 
содержится в 
.
Запись
означает, что для любой подгруппы существует
подгруппа 
такая, что 
содержится в 
.
Лемма 2.1.5 Если –
полунормальная подгруппа группы и , то 
– полунормальная подгруппа
группы и
Доказательство. Пусть 
. Тогда 
и 
– собственная подгруппа
группы для любой подгруппы из , отличной от . Ясно, что 
для любого элемента 
из , а так как 
можно считать произвольной
в 
подгруппой, отличной от , то 
– собственная подгруппа
группы . Поэтому полунормальна в и – супердобавление к в группе , то есть 
. Отсюда следует, что 
. Группа 
для любого . Так как , то 
, где 
, 
. Теперь 
. Если 
– подгруппа из 
, отличная от , то – подгруппа из , отличная от . Поэтому 
– собственная подгруппа
группы и 
. Значит, 
для всех . Отсюда следует, что 
.
Лемма доказана.
Лемма 2.1.6 Если –
полунормальная подгруппа группы и – подгруппа, содержащая , то полунормальна в и для любой подгруппы пересечение 
содержит супердобавление к
подгруппе в .
Доказательство. Пусть полунормальна
в и . Так как 
, то по тождеству Дедекинда
имеем 
. Пусть – наименьшая подгруппа из 
, для которой 
. Если – собственная подгруппа из
, то 
. Поскольку 
, то 
– подгруппа группы , поэтому полунормальна в и – супердобавление в .
Лемма доказана.
Лемма 2.1.7 Если –
полунормальная подгруппа группы и , то 
– полунормальная подгруппа
группы и любая группа из 
содержит супердобавление к
в .
Доказательство. Пусть полунормальна
в и . Тогда 
. Пусть 
– наименьшая подгруппа из 
такая, что 
. Выберем произвольную
подгруппу 
из , отличную от . Так как 
, то 
. Поскольку 
, то по тождеству Дедекинда
. Теперь 
, а из полунормальности следует, что 
– подгруппа группы и 
– собственная подгруппа
группы . Это означает, что полунормальна в и 
. Так как 
, то лемма доказана.
Лемма 2.1.8 Пусть –
полунормальная подгруппа группы и . Если – полунормальная подгруппа
группы , то 
– полунормальная подгруппа
группы и 
.
Доказательство. По условию 
и
, где 
. Кроме того, – подгруппа группы . Ясно, что 
. Если 
– собственная подгруппа в 
, то – собственная подгруппа в и 
. Ясно, что и перестановочны с , поэтому 
. Так как 
, то 
. Значит, является супердобавлением
к в , то есть , что и требовалось
доказать.
Лемма 2.1.9 Если –
подгруппа группы и – её минимальное
добавление, то следующие утверждения эквивалентны:
полунормальна
в группе и 
;
для каждого элемента и
каждого элемента существуют целое
число 
и элемент 
такие, что 
.
Доказательство. 
. Пусть
подгруппа полунормальна в группе и – ее супердобавление.
Подгруппа 
, где 
пробегает все элементы
группы , причем 
– подгруппа группы , что следует из
полунормальности . Поэтому 
. Теперь выбираем
произвольные элемент и элемент . В силу того, что 
получаем, что для некоторого целого
числа и некоторого элемента .
.
Пусть для каждого элемента и
каждого элемента существуют целое
число и элемент такие, что . Так как из равенства вытекает включение 
, а из равенства 
следует, что 
, значит 
. Ввиду того, что для любой
подгруппы 
из имеем 
, где 
, то получаем равенство 
. Это означает, что полунормальна в и .
Лемма доказана.
Лемма 2.1.10 Пусть 
,
подгруппа нормальна в группе . Подгруппа полунормальна в группе тогда и только тогда,
когда подгруппа 
полунормальна в
группе .
Доказательство. Пусть подгруппа полунормальна
в группе . Тогда по лемме 2.1.7
подгруппа полунормальна в группе .
Обратно, если полунормальна
в , то из определения
полунормальной подгруппы получаем, что существует подгруппа 
из факторгруппы такая, что 
и 
, где 
. Откуда следует, что . Пусть – наименьшая подгруппа из такая, что 
и 
. Рассмотрим произвольную
собственную подгруппу 
из .
Если 
, то 
– собственная подгруппа
группы , поэтому 
– подгруппа группы .
Если не содержит , то 
– подгруппа группы и 
– подгруппа группы . Это означает, что полунормальна в и 
.
Лемма доказана.
Лемма 2.1.11 Пусть подгруппа полунормальна
в , и 
. Тогда для любого подгруппа перестановочна со всеми
сопряженными подгруппами 
.
Доказательство. Если элемент 
,
то , где , . Из полунормальности
подгруппы вытекает, что 
. Имеем 
. Поэтому 
.
Лемма доказана.
Лемма 2.1.12 Произведение квазинормальной и полунормальной подгрупп является полунормальной подгруппой. В частности, произведение нормальной и полунормальной подгрупп есть полунормальная подгруппа.
Доказательство. Пусть –
квазинормальная подгруппа группы и – полунормальная подгруппа
с супердобавлением . Тогда и 
– собственная подгруппа
группы для всех собственных
подгрупп из . Пусть 
– наименьшая в подгруппа, для которой 
. Если 
, то 
, а так как 
– подгруппа группы и квазинормальная, то 
и 
есть подгруппа группы .
Лемма доказана.
2.2 Супердобавления к максимальным подгруппам
Теорема 2.2.1 Пусть –
максимальная подгруппа группы .
Подгруппа обладает супердобавлением
в группе тогда и только тогда,
когда индекс в есть простое число.
Доказательство. Необходимоcть. Пусть –
максимальная подгруппа группы и имеет супердобавление в
группе , т.е. существует такая
подгруппа из , что и есть собственная подгруппа
в для каждой подгруппы из , отличной от . Пусть и 
– две различные
максимальные подгруппы в группе . Тогда 
и 
. Из максимальности следует, что и являются подгруппами . Но тогда 
, противоречие с тем, что и – максимальная в подгруппа. Следовательно,
в имеется единственная
максимальная подгруппа . Если 
, то циклическая подгруппа,
порожденная элементом , не содержится в
, поэтому 
. Кроме того, – примарная группа, то
есть 
. Если – максимальная подгруппа в
, то индекс в есть простое число и – подгруппа в . Поэтому, 
.
Достаточность. Пусть –
подгруппа группы и 
. Пусть – силовская -подгруппа группы . Тогда не содержится в и существует элемент 
. Пусть 
, 
. Ясно, что 
, поэтому
и 
. Теперь 
принадлежит , следовательно, если – собственная подгруппа
циклической группы 
, то – подгруппа в и обладает супердобавлением в группе .
Теорема доказана.
Следствие 2.2.2 Группа сверхразрешима тогда и только тогда, когда все ее максимальные подгруппы имеют супердобавления.
Доказательство. Если –
сверхразрешимая группа, то все ее максимальные подгруппы имеют простые индексы.
По теореме 2.2.1 все максимальные подгруппы обладают супердобавлениями.
Обратно, пусть все максимальные подгруппы имеют супердобавления.
По теореме 2.2.1 все они имеют простые индексы. Следовательно группа сверхразрешима.
Следствие доказано.
Следствие 2.2.3 Пусть 
–
некоторое множество простых чисел. Если в -разрешимой
группе каждая максимальная
подгруппа, индекс которой делится на простое число из , имеет супердобавление, то
– -сверхразрешима.
Доказательство. По теореме 2.2.1 индекс каждой максимальной
подгруппы из либо 
-число, либо равен
некоторому простому числу из . Группа
-сверхразрешима для всех 
. Поэтому -сверхразрешима.
Следствие доказано.
Следствие 2.2.4 Если подгруппа имеет
супердобавление в группе и – подгруппа группы, в
которой является максимальной
подгруппой, то 
– простое число.
Доказательство. По лемме 2.1.6 подгруппа обладает супердобавлением
в , а по теореме 2.2.1 индекс
в – простое число, что и
требовалось доказать.
Следствие 2.2.5 В любой группе пересечение максимальных подгрупп, не обладающих супердобавлениями, является сверхразрешимой подгруппой.
Доказательство. Данное пересечение совпадает с пересечением максимальных подгрупп непростых индексов. Поэтому это пересечение сверхразрешимо.
Следствие доказано.
Пусть 
– формация всех
сверхразрешимых групп. Тогда – проектор
разрешимой группы называется
сверхразрешимым проектором группы или
подгруппой Гашюца. По теореме Гашюца в каждой разрешимой группе существует
единственный сопряженный класс сверхразрешимых проекторов. Кроме того, если – сверхразрешимый проектор
разрешимой несверхразрешимой группы и 
, то 
– не простое число. Из
теоремы 2.2.1 получаем
Следствие 2.2.6 Сверхразрешимый проектор разрешимой группы обладает супердобавлением тогда и только тогда, когда он совпадает со всей группой.
Доказательство. Пусть –
разрешимая группа и – ее
сверхразрешимый проектор. Предположим, что подгруппа обладает супердобавлением
в и 
. Пусть – подгруппа группы , в которой является максимальной подгруппой.
По лемме 2.1.6 подгруппа полунормальна
в , а по следствию 2.2.4
индекс – простое число. Но это
противоречит отмеченному свойству сверхразрешимого проектора. Поэтому . Обратное утверждение
очевидно.
Следствие доказано.
Следствие 2.2.7 В разрешимой несверхразрешимой группе сверхразрешимый проектор не квазинормален.
Доказательство. Пусть группа 
и
– ее сверхразрешимый
проектор. Если подгруппа полунормальна,
то по следствию 2.2.6 подгруппа 
–
противоречие с выбором группы .
Значит, подгруппа не
полунормальна, тем более не квазинормальна.
Следствие доказано.
2.3 Супердобавления к силовским подгруппам
Теорема 2.3.1 Пусть –
наибольший простой делитель порядка группы и
– ее силовская -подгруппа. Если обладает супердобавлением
в , то – нормальная подгруппа
группы .
Доказательство. Докажем вначале утверждение для бипримарных групп.
Пусть и 
– простые числа, 
, и 
– бипримарная группа, где – силовская -подгруппа, а – силовская -подгруппа. По условию обладает супердобавлением
в , поэтому, можно считать,
что является этим
супердобавлением. Если 
и 
– различные максимальные
подгруппы группы , то из
полунормальности следует, что 
и 
– собственные в подгруппы. По лемме 2.1.2
и по индукции получаем, что 
и 
. Поэтому 
и нормальна в .
Пусть теперь в есть
единственная максимальная подгруппа. Тогда –
циклическая примарная группа, а так как 
,
то нормальна в .
Теперь рассмотрим произвольную группу .
По условию теоремы существует супердобавление к
подгруппе в группе , где – силовская -подгруппа для наибольшего
делителя порядка группы . То есть 
и 
для любой собственной
подгруппы из . Пусть – силовская -подгруппа из для 
. Ясно, что силовская в . Так как 
– бипримарная подгруппа, в
которой полунормальна, по
доказанному выше 
. Из того, что – любое простое число,
отличное от , получаем, что нормальна в .
Теорема доказана.
Следствие 2.3.2 Если в группе все
силовские подгруппы обладают супердобавлениями, то дисперсивна
по Оре.
Доказательство сразу вытекает из предыдущей леммы и определения дисперсивной по Оре группы.
Следствие 2.3.3 Если в группе все
силовские подгруппы имеют супердобавления, то сверхразрешима.
Доказательство. Из теоремы 2.3.1 вытекает, что группа дисперсивна по Оре. Пусть – силовская -подгруппа для наибольшего
простого делителя порядка группы и пусть 
и 
. По условию 
, где – силовская 
-подгруппа в , – ее супердобавление. Пусть
– силовская 
-подгруппа из . Так как – силовская -подгруппа в , то полунормальна в . По лемме 2.1.6 полунормальна в , то есть 
, где 
– супердобавление к в . По лемме 2.1.8
произведение 
является полунормальной в подгруппой и 
, причем есть супердобавление к в . Через 
шагов получим, что 
– полунормальная в подгруппа, где 
– силовская 
-подгруппа для 
. Ясно, что 
и 
.
Пусть – подгруппа
простого порядка из , нормальная в . Из того, что полунормальна в следует, что 
– подгруппа группы . Так как , то 
и 
. Итак, в группе имеется нормальная
подгруппа простого порядка . По лемме 2.1.6 условие
доказываемого утверждения распространяется и на факторгруппу 
. По индукции сверхразрешима. Теперь сверхразрешима.
Следствие доказано.
Следствие 2.3.4 Пусть –
группа и – такое множество простых
чисел, что для любых и 
. Если в группе силовская –подгруппа обладает
супердобавлением для всех , то –замкнута и ее –холловская подгруппа
сверхразрешима.
Доказательство. Пусть –
силовская –подгруппа для наибольшего
простого . Тогда – наибольший простой
делитель порядка группы и по
теореме 2.3.1 подгруппа нормальна
в . По индукции 
–замкнута, поэтому –замкнута и в есть –холловская подгруппа 
, которая сверхразрешима по
следствию 2.2.2.
Следствие доказано.
Определение 2.3.5 Конечную группу будем
называть –разрешимой, если
каждый из ее композиционных факторов является либо –группой
порядка 
либо 
–группой.
Группа разрешима в
обычном смысле тогда и только тогда, когда она –разрешима
для всех простых 
Ясно, что группа
–разрешима тогда и только
тогда, когда она обладает нормальным рядом
в котором каждая факторгруппа 
является
либо –группой, либо –группой. Поэтому для такой
группы можно индуктивно определить верхний 
–ряд.
где 
Здесь 
– наибольшая нормальная –подгруппа группы 
– наибольшая нормальная –подгруппа 
Наименьшее натуральное
число 
для которого 
называют –длиной 
группы 
В следующей теореме будет использован результат В.Н. Тютянова:
если для любого простого делителя порядка
группы существуют бипримарные 
–холловские подгруппы, то группа
разрешима. В
доказательстве этого результата использовалась классификация конечных простых
групп.
Теорема 2.3.6 Если в группе силовская
–подгруппа обладает
супердобавлением, то –разрешима и 
для любого 
.
Доказательство. В начале приведём утверждение из работы: пусть – группа и – её полунормальная
подгруппа. Тoгда:
– если – –нильпотентна, то
нормальное замыкание 
подгруппы в группе разрешимо.
– если порядок подгруппы
группы нечетен, то и 
нечетен.
Рассмотрим два случая.
1) Пусть 
. Получаем, что 
нечетен, где – силовская –подгруппа группы . Следовательно, подгруппа 
разрешима. Теперь 
– -группа. И группа –разрешима. Пусть – произвольный элемент из 
, 
. Тогда 
из теоремы 2.3.1 и 
, где 
– силовская –подгруппа группы . Следовательно, теорема
верна в этом случае.
2) Пусть 
. Имеем и 
для любой собственной
подгруппы из . Из полунормальности
силовской –подгруппы группы следует, что в группе существуют – 
–холловы подгруппа группы для каждого 
. Таким образом, в группе существуют бипримарные –холловские подгруппы для
любого нечётного простого делителя ,
поэтому группа разрешима.
Теорема доказана.
Лемма 2.3.7. Пусть – –разрешимая группа.
Если – нормальная
подгруппа в 
то 
Если – подгруппа в то 
Пусть 
и 
– нормальные подгруппы в тогда 
Кроме того, 
Пусть и – нормальные подгруппы в тогда 
Лемма 2.3.8. Пусть – –разрешимая группа такая,
что 
, но 
для всех нормальных
неединичных подгрупп группы . Тогда справедливы
следующие условия:
в группе существует
максимальная -нильпотентная нормальная
подгруппа 
которая является
элементарной абелевой -группой;
–
единственная минимальная подгруппа в группе имеющая
добавление;
Лемма 2.3.9. Если –
наименьшее из чисел, принадлежащих и
силовская –подгруппа 
циклическая, то в группе
существует нормальная подгруппа 
такая,
что 
.
Непосредственно из определения –длины
получаем следующую лемму.
Лемма 2.3.10 В –разрешимой
группе тогда и только тогда 
, когда факторгруппа 
–замкнута.
Лемма 2.3.11 Если в группе все
–подгруппы имеют
супердобавления, то 
.
Доказательство. Из леммы 2.3.5 следует, что группа –разрешима. Применим
индукцию по порядку группы . Тогда
по лемме 2.3.8 можно считать, что 
, в
группе подгруппа Фиттинга 
– минимальная нормальная –подгруппа. Пусть 
– силовская –подгруппа группы . По условию полунормальна. Тогда , где 
. Для любой собственной
подгруппы из верно, что 
– подгруппа группы . По лемме 2.1.6 все –подгруппы имеют
супердобавления в . Так как 
, то по индукции 
. Заметим также, что 
, поскольку 
. Теперь по лемме 2.3.10
подгруппа 
.
Если в подгруппе существуют
две максимальные подгруппы и , то и 
. Следовательно, 
и . Поэтому в существует единственная
максимальная подгруппа и подгруппа примарная
циклическая, то есть 
. Если , то 
по теореме 2.3.1. Значит .
Пусть – подгруппа
порядка из 
. Тогда 
, так как 
. Теперь 
, поэтому . Значит, 
и – циклическая группа
порядка, делящего 
. То есть 
. Теперь .
Лемма доказана.
Из определения –сверхразрешимой
группы вытекают следующие две леммы.
Лемма 2.3.12 Всякая –сверхразрешимая
группа имеет единичную –длину.
Лемма 2.3.13 Если подгруппа ,
или – –группа и факторгруппа –сверхразрешима, то и
группа –сверхразрешима. В
частности, если группа –сверхразрешима, то и
группа –сверхразрешима.
Теорема 2.3.14 Если в группе все
–подгруппы имеют
супердобавления, то –сверхразрешима.
Доказательство проведём индукцией по порядку группы . В силу леммы 2.3.13 можно
считать, что 
.
Из леммы 2.3.9 следует,
что подгруппа нормальна в
группе . Рассмотрим подгруппу 
такую, что 
. Подгруппа 
имеет супердобавления как –подгруппа, поэтому 
есть подгруппа группы . Теперь 
и 
. Следовательно, подгруппа нормальна и в группе . Теперь факторгруппа 
–сверхразрешима по
индукции. Значит и группа –сверхразрешима.
Теорема доказана.
Пример 2.3.15 Если силовская -подгруппа
обладает супердобавлением, то не всегда .
В симметрической группе силовская
–подгруппа полунормальна,
но 
.
Пример 2.3.16 В 
существует
подгруппа порядка 
, не имеющая
супердобавления.
Доказательство. Пусть 
, где
Предположим, что подгруппа 
,
имеющая порядок , имеет
супердобавление в . Тогда
существует подгруппа такая, что 
и 
– собственная подгруппа
группы для каждой подгруппы из , отличной от . Так как 
делится на 
, то можно считать, что
силовская -подгруппа 
группы содержится в . Но теперь
и 
, т.е. 
не является подгруппой
группы , получили противоречие.
Утверждение доказано.
Теперь пусть – класс
групп, у которых все подгруппы имеют супердобавления. По леммам 2.1.6 и 2.1.7
класс – наследственный гомоморф.
Из предыдущего примера вытекает, что не
является радикальным классом и не является формацией. Кроме того, не содержит класс вполне
факторизуемых групп.
Пример 2.3.17 Пусть 
–
сверхразрешимая группа Шмидта. проверим, что в 
все
подгруппы обладают супердобавлениями. Действительно:
1) 
;
2) 
полунормальна в
группе как подгруппа простого индекса;
3) если выбрать произвольную подгруппу 
,
то 
и 
, тем более полунормальна;
4) если – произвольная
непримарная подгруппа группы , то 
, где , и 
.
Таким образом, в все
подгруппы, кроме и ей
сопряженных, нормальны, тем более имеют супердобавления.
Пример 2.3.18 Пусть 
–
группа диэдра порядка 
. Тогда
Проверим, что в все
подгруппы обладают супердобавлениями.
Подгруппа 
полунормальна,
она даже нормальна.
Подгруппа 
полунормальна,
для неё супердобавлением является подгруппа .
Так 
и для единственной
собственной подгруппы 
из имеем 
.
Подгруппа 
полунормальна,
так как и для любой подгруппы
всегда существует минимальное добавление в группе.
Подгруппа 
полунормальна,
для неё супердобавлением является подгруппа .
Так 
и 
.
Подгруппа 
полунормальна,
для неё супердобавлением является подгруппа .
Так 
и 
.
Подгруппа 
полунормальна,
для неё супердобавлением является подгруппа .
Так 
и 
.
Итак, в нильпотентных группах подгруппы, обладающие супердобавлениями, могут быть ненормальными.
3. Факторизации групп дисперсивными и сверхразрешимыми подгруппами
3.1 Силовские множества и их свойства
Определение 3.1.1 Множество 
,
состоящее из попарно перестановочных силовских –подгрупп
из , в точности по одной
подгруппе для каждого 
, вместе с самой
группой , называется силовской
системой группы .
В своей книге Дерк и Хоукс использовали название «силовский базис»
вместо силовской системы . Введем
следующее определение.
Определение 3.1.2 Силовским множеством группы назовем множество силовских подгрупп, взятых по одной для каждого простого делителя порядка группы, вместе с единичной подгруппой.
Таким образом, если –
группа порядка 
, то множество 
будет силовским
множеством. Здесь E – единичная подгруппа группы ,
– силовская 
–подгруппа группы и все числа 
различны.
Из теоремы Силова следует, что каждая группа обладает силовским
множеством . Если дополнительно 
для всех подгрупп из , то силовское множество
превращается в силовскую систему, см.. Известно, что любая разрешимая группа
обладает силовской системой, и наоборот, если в группе имеется силовская
система, то группа разрешима. Кроме того, если и
– силовские системы
разрешимой группы , то 
для некоторого 
.
Пусть 
– некоторое
множество подгрупп группы и – нормальная подгруппа
группы . Воспользуемся следующими
обозначениями:
где 
– некоторый
гомоморфизм группы в некоторую
группу 
.
В разделе 3.1 изучаются свойства силовских множеств, которые необходимы при доказательстве. Для формулировок теорем потребуется следующее
Определение 3.1.3 Пусть –
некоторое множество подгрупп группы .
Подгруппа группы называется –квазинормальной, если 
для всех 
. Если – множество всех подгрупп
группы , то –квазинормальную подгруппу
называют квазинормальной.
Лемма 3.1.4. Пусть –
силовская –подгруппа группы и . Тогда 
– силовская –подгруппа группы , а 
– силовская –подгруппа факторгруппы .
Лемма 3.1.5 Пусть –
нормальная подгруппа группы .
Если – силовское
множество группы , то 
является силовским
множеством факторгруппы .
Если – силовское
множество группы , то 
является силовским
множеством подгруппы .
Если факторгруппа имеет
силовское множество 
, то найдется в
группе такое силовское множество , что 
.
Если нормальная подгруппа группы
имеет силовское множество 
, то найдется в группе такое силовское множество , что 
.
Если – силовское
множество группы и – некоторый гомоморфизм
группы в группу , то 
является силовским
множеством группы .
Доказательство. Пусть 
–
силовское множество группы .
Рассмотрим множество 
, в котором может
оказаться более одной единичной подгруппы, но в этом случае следует оставить
только одну единичную подгруппу. Кроме 
множество
включает силовские
подгруппы факторгруппы по лемме 3.1.4.
Следовательно, есть силовское
множество факторгруппы .
Пусть – силовское
множество группы . Из равенства 
и из того, что по
предыдущей лемме 
является
силовской подгруппой в группе получаем,
что есть силовское множество в
.
Теперь пусть в факторгруппе известно
силовское множество 
. Тогда
существуют силовские подгруппы 
такие,
что 
для 
. Рассмотрим простые числа 
. Для всех таких простых
чисел существуют силовские –подгруппы
, где 
. Теперь 
будет силовским множеством
группы . И выполняется равенство
Если 
– силовское
множество нормальной группы , то по
предыдущей лемме и по теореме Силова найдутся силовские –подгруппы группы , для 
, такие, что 
. Теперь рассмотрим все
простые числа 
и для каждого
такого простого числа в группе возьмем по одной силовской
–подгруппе . Теперь будет силовским множеством
группы и 
.
Рассмотрим –
силовское множество группы и
гомоморфизм группы в группу . По принятому обозначению 
. По свойствам гомоморфизма
подгруппа 
будет силовской подгруппой
группы . То есть есть силовское множество
группы .
Лемма доказана.
Лемма 3.1.6 Пусть –
силовское множество группы и – –квазинормальная подгруппа
группы . Тогда верны следующие
утверждения:
если – гомоморфизм
группы , тогда подгруппа 
–квазинормальна в группе ;
если 
и – нормальная подгруппа
группы , то подгруппа 
–квазинормальна в группе ;
если – произвольная
нормальная подгруппа группы , то в
факторгруппе подгруппа будет –квазинормальной.
Доказательство. По лемме 3.1.5 множество 
является силовским
множеством группы . Так как 
для 
, то имеем 
и есть -квазинормальная подгруппа
в .
По лемме 3.1.5 множество будет
силовским множеством группы . Так
как 
– подгруппа группы , то 
– подгруппа группы . Поэтому 
.
По лемме 3.1.5 множество будет
силовским множеством факторгруппы . И на
основании равенства 
получаем
перестановочность подгруппы с
подгруппами силовского множества факторгруппы
.
Лемма доказана.
Лемма 3.1.7 Пусть группа с
силовским множеством , – подгруппа группы . Если подгруппа –квазинормальна, то сама
подгруппа будет 
–квазинормальной для любого
элемента группы .
Доказательство. По условию 
,
для любой подгруппы , произвольного
элемента . Рассмотрим произведение
Так как 
– подгруппа
группы , то 
– подгруппа, поэтому 
, то есть – –квазинормальная подгруппа
группы .
Лемма доказана.
Пусть – силовское
множество группы . Выше
пересечение определялось для
нормальной подгруппы группы . В этом случае по лемме
3.1.5 пересечение является силовским множеством группы . Если – произвольная, не
обязательно нормальная, подгруппа группы ,
то положим 
. Отметим, что в этом
случае 
может не быть силовским
множеством группы .
Лемма 3.1.8 Пусть –
группа, – ее силовское множество.
Если – –квазинормальная подгруппа
группы , причем 
и индекс в группе примарный, то – примарная группа.
Доказательство. Пусть и
пусть 
. Так как – –квазинормальная подгруппа,
то 
– подгруппа группы для каждого . По теореме об индексах
где 
, 
. Для каждого 
имеем 
, то есть 
и 
. Но по условию , поэтому 
и – 
–группа.
Лемма доказана.
Лемма 3.1.9 Пусть –
нормальная подгруппа группы . Если 
– циклическая –подгруппа факторгруппы , то существует элемент 
такой, что 
– –подгруппа и 
.
Доказательство. Пусть –
минимальное добавление к подгруппе в
группе . Тогда 
по лемме 2.3.23, поэтому является -группой. Так как 
и 
циклическая, тогда – циклическая подгруппа,
то есть подгруппа из для некоторого .
Лемма доказана.
3.2 Дисперсивность и сверхразрешимость факторизуемых групп
Будем использовать запись 
для
обозначения некоторого силовского множества группы .
Теорема 3.2.1 Пусть группа ,
где подгруппы и дисперсивны по Оре. И
пусть и 
– силовские множества
подгрупп и . Если циклические
примарные подгруппы из –квазинормальны, а
циклические примарные подгруппы из –квазинормальны, то группа дисперсивна по Оре.
Доказательство. Предположим, что теорема неверна. Тогда существуют
группы, удовлетворяющие условию теоремы и не удовлетворяющие ее заключению.
Пусть – не дисперсивная по Оре
группа наименьшего порядка, для которой все условия теоремы выполняются. Тогда
для любой неединичной нормальной подгруппы факторгруппа
является произведением
своих подгрупп и 
. Так как 
и 
, то подгруппы и дисперсивны по Оре.
Рассмотрим их силовские множества. Ввиду леммы 2.1.5 силовские множества
подгрупп и соответственно равны
множествам 
и 
.
Пусть – произвольная
циклическая примарная подгруппа факторгруппы .
Рассмотрим произведение циклической подгруппы и
произвольной силовской подгруппы 
. Ввиду
леммы 3.1.9 существует примарный элемент такой,
что 
. Поэтому
Аналогично проверяется перестановочность циклических примарных
подгрупп из с элементами силовского
множества . Таким образом, для
факторгруппы все условия леммы
выполняются, а так как порядок факторгруппы меньше
порядка группы , то по индукции
факторгруппа будет дисперсивна по Оре.
Пусть теперь –
наибольший простой делитель порядка группы и
– силовская -подгруппа подгруппы . Так как дисперсивна по Оре, то
подгруппа нормальна в и 
. Если – некоторый примарный -элемент из , то 
по условию леммы. Теперь нормальная подгруппа в 
и -холловская подгруппа 
из содержится в 
. Поэтому 
. Аналогично, 
, поэтому силовская -подгруппа 
группы нормальна в группе . По индукции факторгруппа 
дисперсивна по Оре, а так
как – наибольший простой
делитель порядка группы , то
группа дисперсивна по Оре.
Теорема доказана.
Пусть и – подгруппы группы . Будем говорить, что квазинормальна в , если перестановочна с каждой
подгруппой из . Тогда можно
сформулировать следующий результат, вытекающий из леммы 3.2.1.
Следствие 3.2.2. Пусть и
– дисперсивные по Оре
подгруппы группы такие, что . И пусть квазинормальна в и квазинормальна в . Тогда группа дисперсивна по Оре.
Теорема 3.2.3 Пусть , – сверхразрешимые
подгруппы группы . И пусть и – силовские системы
подгрупп и , и . Если циклические
примарные подгруппы из –квазинормальны и
циклические примарные подгруппы из –квазинормальны, то группа сверхразрешима.
Доказательство. Допустим, что теорема неверна. Тогда существует
несверхразрешимая группа наименьшего
порядка, для которой все условия теоремы верны.
Проверим, что если –
силовская система группы , то – силовская система
факторгруппы . Пусть 
– силовская система группы
и – нормальная подгруппа
группы . Отметим, что по
определению силовской системы 
для
всех подгрупп из . Тогда в
факторгруппе рассмотрим множество
подгрупп 
. По лемме 3.1.4 
является силовской
подгруппой факторгруппы .
Возьмём две произвольные подгруппы и 
из множества . Рассмотрим их
произведение
Таким образом, по определению 3.1.1 мы получаем, что является силовской
системой факторгруппы .
Теперь легко проверить, что условия теоремы наследуются всеми факторгруппами
группы . По индукции все
нетривиальные факторгруппы группы сверхразрешимы.
Если подгруппа Фраттини 
, то все
условия теоремы переносятся на факторгруппу 
.
И по индукции получаем сверхразрешимость факторгруппы 
. Откуда вытекает
сверхразрешимость и самой группы .
Поэтому подгруппа Фраттини группы единична.
Если в группе найдутся две
минимальные нормальные подгруппы и , то в силу индуктивных
рассуждений факторгруппы 
и 
будут сверхразрешимы.
Поэтому 
будет также
сверхразрешима, то есть сверхразрешима группа .
Значит в группе существует не
более одной минимальной нормальной подгруппы, а подгруппа Фиттинга является
единственной минимальной нормальной подгруппой. Ввиду предыдущей теоремы группа
дисперсивна по Оре, значит
для наибольшего простого делителя порядка
группы силовская –подгруппа из является минимальной
нормальной подгруппой. Допустим, что делит
порядок подгруппы . Так как сверхразрешима, то в имеется нормальная
подгруппа простого порядка . По условию теоремы
произведение 
есть подгруппа группы , где – –холлова подгруппа группы , являющаяся произведением
всех силовских –подгрупп из
силовской системы . Поэтому – нормальная подгруппа
группы , поскольку все подгруппы -замкнутой группы являются –замкнутыми. Теперь 
, поэтому нормальна в и по индукции 
сверхразрешима. Значит и сверхразрешима.
Теорема доказана.
Данная теорема является обобщением следующих результатов.
Следствие 3.2.4. Пусть и
– сверхразрешимые
подгруппы группы такие, что . И пусть квазинормальна в и квазинормальна в . Тогда сверхразрешима.
Следствие 3.2.5. Пусть группа ,
где , – сверхразрешимые
подгруппы группы взаимно простых
порядков с силовскими системами и соответственно. Если и циклические подгруппы из
–квазинормальны, и циклические подгруппы из
–квазинормальны, то группа сверхразрешима.
Следствие 3.2.6. Пусть группа ,
где , – сверхразрешимые
подгруппы группы с силовскими
системами и соответственно. Если
элементы силовских систем и попарно перестановочны,
циклические подгруппы из –квазинормальны,
циклические подгруппы из –квазинормальны, то группа сверхразрешима.
Заключение
В дипломной работе рассмотрены группы с ограничениями на минимальные добавления к выделенным подгруппам. Изучены следующие вопросы:
– критерий существования супердобавления к максимальной подгруппе,
на основе которого устанавливаются новые признаки сверхразрешимости как самой
группы, так и отдельных её подгрупп; в частности доказано, что максимальная
подгруппа группы обладает супердобавлением
в группе тогда и только тогда,
когда индекс в есть простое число;
– изучено строение группы, у которой силовские подгруппы обладают
супердобавлениями; а именно пусть –
наибольший простой делитель порядка группы и
– ее силовская -подгруппа. Если обладает супердобавлением
в , то – нормальная подгруппа
группы ;
– с помощью введенного понятия силовского множества изучены новые признаки дисперсивности и сверхразрешимости факторизуемых групп с перестановочными циклическими подгруппами из факторов:
пусть группа , где
подгруппы и дисперсивны по Оре. И
пусть и – силовские множества
подгрупп и . Если циклические
примарные подгруппы из –квазинормальны, а
циклические примарные подгруппы из –квазинормальны, то группа дисперсивна по Оре.
Список использованных источников
1 Васильев А.Ф. и Васильева Т.И. О конечных группах, у которых главные факторы являются простыми группами // Известия ВУЗов. Серия «Математика». – 1997. – N11. – 10–14 с.
2 Курносенко Н.М. О факторизации конечных групп сверхразрешимыми и нильпотентными подгруппами // Вопросы алгебры. Гомель: Изд-во ГГУ им. Ф. Скорины. Вып. 12. – 1998. – 113–122 с.
3 Монахов В.С. Введение в теорию конечных групп и их классов // Гомель: Гомельский государственный университет им. Ф. Скорины, 2003. – 320 с.
4 Подгоргная В.В. Минимальные добавления к подгруппам конечных групп. Курс лекций // Гомель: Гомельский государственный университет им. Ф. Скорины, 2003. – 65 с.
5 Подгорная В.В. Факторизации конечных групп дисперсивными и сверхроазрешимыми подгруппами // Веснiк Вiцебскага дзяржаунага Унiверсiтэта. – Витебск: ВГУ, 1999. – №4. – С. 80–82.
6 Подгорная В.В. Полунормальные подгруппы и сверхразрешимость конечных групп // Весцi НАН Беларусi. Сер. фiз.–матэм. навук. – Мiнск, 2000. – №4. – 22–25 с.
7 Тютянов В.Н. К гипотезе Холла // Гомель, 2001. – №6. – 5 с. –
8 Черников С.Н. Группы с заданными свойствами системы подгрупп // М.: Наука, 1980. – 384 c.
9 Шеметков Л.А. Факторизации конечных групп // ДАН СССР. – 1968. – 178, №3. – С. 559–562.
10 Шеметков Л.А. Формации конечных групп // М.: Наука, 1978. – 272 c.
11 Assad M., Shaalan, On the supersolvability of finite groups // Arch. Math. – 1989. – 53. – 318–326 p.
12 Baer R. Classes of finite groups and their properties // Illinois J. Math. – 1957. – V.I. – 115–187 p.
13 Doerk K., Hawkes T. Finite soluble groups // Walter de Gruyter, Berlin – New York, 1992. – 889 p.
14 Friesen D.K. Products of normal supersolvable subgroups // Proc. Amer. Math. Soc. – 1971. – 30, №1. – 46–48 p.
15 Hall P. A characteristic property of soluble groups // J. London Math. Soc. – 1937. – 12. – P. 198–200.
16 Huppert В. Endliche gruppen, I // Berlin; Heidelberg; New York: Springer, 1967. – 793 p.
17 Carocca A., Matos H. Some solvability criteria for finite groups // Hokkaido Mathematical Joyrnal. – 1997. – Vol.26. – 157–161 p.