Учебное пособие: Разностные схемы для уравнений параболического типа
Разностные схемы для уравнений параболического типа
1. Решение задачи Коши
Рассмотрим задачу Коши для уравнения теплопроводности
,
,
,
(3.5)
с условием на прямой t=0
,
.
(3.6)
Требуется найти функцию 
,
которая при
и
удовлетворяла бы уравнению (3.5), а при 
выполняла
бы условие (3.6).
Будем считать, что
задача (3.5), (3.6) имеет в верхней полуплоскости единственное решение ,
непрерывное вместе со своими производными
, i=1,
2 и 
,
k=1,
2, 3, 4.
Запишем задачу (3.5),
(3.6) в виде 
.
Для этого достаточно положить
Будем далее считать,
что t изменяется в пределах 
.
В рассматриваемом случае
,
Г − объединение прямых t=0 и t=T.
Выберем прямоугольную
сетку и заменим область 
сеточной
областью 
.
К области отнесем
совокупность узлов 
,
где
,
,
,
,
,
,
.
Заменим задачу разностной
схемой вида 
.
Обозначим через 
точное
значение решения задачи в
узле 
,
а через 
–
соответствующее приближенное решение. Имеем
Для замены выражений 
и
воспользуемся
формулами численного дифференцирования. Имеем:
,
(3.7)
,
(3.8)
,
(3.9)
(3.10)
Назовем некоторую
совокупность узлов, привлекаемых для замены задачи в
узле ,
разностной схемой , шаблоном. Наиболее
употребительные шаблоны изображены на рис. 3:
Рис. 3. Явный и неявный шаблоны
Рассмотрим явный двухслойный шаблон. Для него
(3.11)
Здесь мы воспользовались формулами (3.7) и (3.10) и обозначили
.
Введем обозначение
(3.12)
Теперь на основании
формул (3.11), (3.12) можно записать разностную схему для задачи :
,
(3.13)
где разностный оператор 
определяется
по правилу
Аналогично, если использовать неявный двухслойный шаблон, можно получить такую разностную схему:
,
(3.14)
где
На основании формул (3.11) и (3.13) можно записать
,
где 
Аналогично, используя (3.11), (3.10), (3.14), получим
,
.
Выясним порядок
аппроксимации разностных схем (3.13) и (3.14). В качестве 
возьмем линейное
множество всех пар ограниченных функций
.
Норму в определим
правилом
Пусть 
,
где r
и
s – некоторые
положительные числа.
Предположим, что для 
и 
верны оценки
,
.
Тогда легко получить
,
(3.15)
.
(3.16)
Для параболических уравнений, как мы увидим далее, в случае схемы (3.13) можно взять S=2, а в случае схемы (3.14) можно взять S=1.
Из формул (3.15),
(3.16) следует, что разностные схемы (3.13), (3.14) аппроксимируют задачу с
погрешностью порядка S относительно h.
Разностная схема (3.13)
позволяет по значениям решения на нулевом слое, то есть по значениям 
вычислить значения на первом слое 
. Для
этого достаточно в (3.13) положить n = 0 и произвести вычисления, носящие рекурсионный характер. Потом по значениям 
можно
аналогично при n = 1
вычислить значения 
и
т.д. В силу этого разностную схему (3.13) называют явной.
Разностная схема (3.14)
такими свойствами не обладает. Действительно, если мы в (3.14) положим n = 0, то в левой
части полученной формулы будет линейная комбинация из значений 
,
в правой части будут значения известной функции 
и
.
Для вычисления значений на первом слое 
в
этом случае необходимо решать бесконечную систему линейных уравнений. По этой
причине схему (3.14) называют неявной.
2. Устойчивость двухслойных разностных схем
Определим норму в
пространстве 
по
правилу
.
Рассмотрим явную
разностную схему (3.13). Выясним, при каких значениях r,
возможна
устойчивость этой схемы.
Для доказательства устойчивости надо показать, что разностная схема однозначно разрешима и при любых
, 
имеет место
оценка 
,
где М – постоянная, не зависящая от 
и
и 
.
Разностная схема (3.13) – явная, и поэтому ее однозначная разрешимость очевидна.
Перепишем формулу в
виде
,
,
(3.17)
.
Пусть выполнено условие
или
.
(3.18)
Тогда из (3.17) получим:
,
или
.
(3.19)
Неравенство (3.19)
означает, что при 
, 
не
превосходит 
, то есть
не возрастает с увеличением n.
Это свойство однородной
разностной схемы принято называть принципом
максимума. Положим в (3.19) 
.
Это даст
,
,
.
Заметим, что 
есть
число, независящее от m и
n. Просуммировав
последние неравенства и, учитывая, что ,
получим
(3.20)
где обозначено
На основании (3.20) можно записать
или
.
Таким образом,
разностная схема (3.13) при выполнении условия (3.18), налагаемого на 
и h,
устойчива. Условие (3.18) весьма жестко, ибо из него следует, что
.
(3.21)
Это приводит к тому,
что если мы желаем сохранить устойчивость, то при вычислениях по схеме (3.13)
шаг по времени приходится
выбирать очень малым.
Обратимся теперь к разностной схеме (3.14), соответствующей шаблону, изображенному на рис. 4,
Рис. 4. Неявный двухслойный шаблон
и перепишем ее в виде
(3.22)
Посмотрим, какие надо
проделать вычисления, чтобы, используя формулы (3.22), можно было вычислить,
например, значения на
первом временном слое со значениями 
на
нулевом временном слое. Положив в формулах (3.22) n=0,
получим:
(3.23)
Формулы (3.23)
представляют собой бесконечную систему линейных уравнений относительно
неизвестных 
.
Решение таких систем
является сложной и трудоемкой задачей, поэтому разностные схемы (3.14) неудобны
для задач Коши на бесконечных отрезках и применяется редко. Однако если отрезок
оси x, на котором рассматривается задача
Коши, конечен, то есть 
, а на прямых x=a и x=b дополнительно
заданы некоторые ограничения на решение , то разностные
схемы вида (3.14) оказываются весьма эффективными. В
частности, можно показать, что такие схемы являются абсолютно устойчивыми, то
есть устойчивыми при любых значениях 
.
Если, например, на
отрезках прямых x=a и x=b,
заданы условия 
, 
,
то вид системы (3.23) существенно изменится:
(3.24)
Формулы (3.24)
представляют собой систему M+1
алгебраических уравнений относительно 
.
Матрица этой системы трехдиагональна и
ее можно решить методом прогонки. Отсюда ясно, что реализация
неявных разностных схем требует больших вычислительных затрат для вычисления
решения на одном временном слое, но таких слоев может быть немного из-за того,
что в этом случае отсутствуют ограничения на соотношение 
. Если пользоваться
явной разностной схемой, то вычисление решения на следующем слое осуществляется
по рекурсионному правилу и связано с
минимальными вычислительными затратами, однако из-за ограничения
число временных слоев в случае явных схем может быть существенно большим по сравнению с числом временных слоев для неявных схем.
Рассмотрим теперь
вопрос о сходимости схемы (3.13). Эта схема аппроксимирует задачу (3.5), (3.6)
с погрешностью порядка 
и
устойчива при
.
Поэтому схема (3.13), по теореме об аппроксимации и
устойчивости, будет сходящейся. При этом погрешность для приближенного решения
будет величиной порядка .