Сконструировать кривую по
заданным точкам методом Фергюсона. Создать функцию рисующую кривую в плоскости XY, исходные точки отметить маркерами.
Оформить таблицу значений функции и отклонений от заданных значений в опорных
точках.
Вариант
2.3
Аппроксимация
кривой методом Фергюсона
Сегмент кривой может быть
описан векторным уравнением:
r(u)=a3u3+a2u2+a1u+a0 ,
(1)
где r(u)- радиус-вектор текущей точки кривой :
u – параметр, 0<=u<=1;
a1 – векторы коэффициентов i=0..3.
уравнение (1) –
представляет собой векторную форму записи системы:
x(u)=a13u3+a12u2+a11u+a10;
y(u)=a23u3+a22u2+a21u+a20;
(2)
z(u)=a33u3+a32u2+a31u+a30;
Таким образом, для
определения сегмента кривой необходимо знать 4 вектора или 12 коэффициентов.
Обычно задаются значения r(u) и r’(u) на концах сегмента:
r(0)=a0;
r(1)=a3+a2+a1+a0;
(3)
r’(0)=a1;
r’(1)=3a3+2a2+a1;
Решив систему, уравнений
относительно (3) a0 ,a1 , a2 , a3и подставив полученные значения в уравнение сегмента
кривой в форме Фергюсона:
Однако в
индивидуальном задании дано 6 точек и не указаны значения производных на концах
отрезка – делаю вывод, что аппроксимацию необходимо проводить для сплайна
степени 5 – так, как для построения сплайна степени nнеобходимо знать n+1 радиус-вектор.
Итак, уравнение сегмента
проходящего через заданные точки в векторной форме:
r(u)=a5u5+a4u4+
a3u3+a2u2+a1u+a0
(4)
Система (2) запишется в
следующем виде для плоского сплайна:
x(u)=a15u5+a14u4+a13u3+a12u2+a11u+a10;
y(u)=a25u5+a24u4+a23u3+a22u2+a21u+a20;
(5)
Подставляя значения из
заданной таблицы в систему (5) и решая её относительно коэффициентов a, получим шесть векторов входящих в уравнение кривой
(4), которая проходит через шесть точек.
(6)
(7)
В результате решения
системы (6) методом Гаусса получим:
Итак, имеется 6 векторов и
параметрический сплайн 5 степени – это есть необходимое и достаточное условие
построения сегмента кривой проходящего через 6 точек.
2.4 Текст программы,
реализующей метод Фергюсона.
(defun task2()
(command
"erase" "all" "")
(setq a15
117.1875)
(setq a14
-255.2083333)
(setq a13
-621.3541666)
(setq a12
563.9583333)
(setq a11
195.4166666)
(setq a10
49.0)
(setq a25
156.25)
(setq a24
-351.5625)
(setq a23
630.2083333)
(setq a22
-143.4375)
(setq a21
-291.4583333)
(setq a20
28.0)
(setvar
"pdmode" 2)
(command
"point" (list 49.0 28.0))
(command
"point" (list 105.3 -31.5))
(command
"point" (list 172.3 -78.6))
(command
"point" (list 211.1 -95.8))
(command
"point" (list 183.0 -66.1))
(command
"point" (list 49.0 28.0))
(setq u 0)
(setq du 0.01)
(setq file1
(open "c:\\mydata1.txt" "w"))
(while (<=
u 1.0)
(setq x1 (+ (*
(expt u 5) a15) (* (expt u 4) a14) (* (expt u 3) a13) (* (expt u 2) a12) (* u
a11) a10))
(setq y1 (+ (*
(expt u 5) a25) (* (expt u 4) a24) (* (expt u 3) a23) (* (expt u 2) a22) (* u
a21) a20))
(if (or (<=
(abs (- u 0)) 0.00001) (<= (abs (- u 0.2)) 0.00001) (<= (abs (- u 0.4))
0.00001) (<= (abs (- u 0.6)) 0.00001) (<= (abs (- u 0.8)) 0.00001) (<=
(abs (- u 1.0)) 0.00001))
(print (list
x1 y1) file1)
)
(setq u (+ u
du))
(setq x2 (+ (*
(expt u 5) a15) (* (expt u 4) a14) (* (expt u 3) a13) (* (expt u 2) a12) (* u
a11) a10))
(setq y2 (+ (*
(expt u 5) a25) (* (expt u 4) a24) (* (expt u 3) a23) (* (expt u 2) a22) (* u
a21) a20))
(command
"line" (list x1 y1) (list x2 y2))
(command)
)
(print (list
x2 y2) file1)
(close file1)
)
2.5 Таблица, получаемая в
результате выполнения задания:
(49.0 28.0) вектор
отклоненией– (0,0)
(105.3 -31.5) вектор
отклоненией– (0,0)
(172.3 -78.6) вектор
отклоненией– (0,0)
(211.1 -95.8) вектор
отклоненией– (0,0)
(182.0 -67.1) вектор
отклоненией– (1,1)
(49.0 28.0) вектор
отклоненией– (0,0)
2.6 Рисунок с экрана
2.7 Вывод
Из таблицы делаю вывод, что из-за
аппаратного представления действительных чисел возможны небольшие погрешности
на больших расстояниях, проходимых точкой по кривой.
Сконструировать кривую по
заданным точкам методом Безье. Создать функцию рисующую кривую и
характеристическую ломанную. Оформить таблицу значений функции и отклонений от
заданных значений в опорных точках.
Вариант
В системах автоматизации
проектирования и производства для конструирования кривых и поверхностей применяется
аппроксимация методом Безье. Сущность метода заключается в следующем.
Пусть задана совокупность
из (n+1) точек которую будем
называть ломаной Безье. Кривая Безье, соответствующая этой
ломаной, описывается в виде функции параметра t следующим полиномом:
,
(8)
где - радиус-вектор точек на
кривой, а Jni(t) - аппроксимирующие многочлены
Бернштейна, равные
(9)
Здесь 0£t£1 и, кроме того, предполагается, что ti=1
при i=0 и t=0.
Ломаная Безье однозначно
определяет форму кривой Безье. Изменяя положения вершин ломаной, можно
управлять формой соответствующей кривой Безье. При этом следует иметь в виду
следующее:
1.
самой кривой в
общем случае будут принадлежать только первая и последняя вершины ломаной
Безье, остальные вершины будут лишь оказывать влияние на вид и гладкость
кривой;
2.
наклоны
касательных векторов в крайних точках кривой Безье и ломаной Безье совпадают,
поэтому при сопряжении двух кривых Безье, заданных ломаными и , одинаковый наклон кривых
в точке соединения получается в том случае, если точки (которая совпадает с ) и лежат на одной прямой;
3.
как видно из
выражений (8) и (9), степень аппроксимирующего полинома равна n (т.е.
числу звеньев в ломаной Безье), поэтому для увеличения порядка кривой Безье
достаточно лишь задать дополнительные вершины в соответствующей ломаной Безье;
4.
кривая Безье
всегда целиком лежит внутри выпуклой оболочки ломаной Безье.
3.4 Определение полинома Безье
Итак, задано 6 точек,
необходимо построить полином Безье степени 5:
,
найдем аппроксимирующие многочлены
Бернштейна:
J50=(1-u)5;
J51=5u(1-u)4;
J52=10u2(1-u)3;
J53=10u3(1-u)2
J54=5u4(1-u);
J55=u5;
Теперь есть все данные для построения
кривой Безье по заданным точкам, причем она, не смотря на совпадение первой и
последней точек, не будет замкнуто сопряжена, так как предпоследняя и вторая
точка не лежат на одной прямой.
3.5 Программа для
построения кривой Безье.
(defun
Bezier_curve()
(command
"erase" "all" "")
(setvar
"pdmode" 2)
(setq p1 (list
49.0 28.0))
(setq p2 (list
105.3 -31.5))
(setq p3
(list 172.3 -78.6))
(setq p4
(list 211.1 -95.8))
(setq p5
(list 183.0 -66.1))
(setq p6 (list
49.0 28.0))
(command
"color" 3)
(command
"point" p1)
(command
"point" p2)
(command
"point" p3)
(command
"point" p4)
(command
"point" p5)
(command
"point" p6)
(command
"color" 4)
(command
"line" p1 p2 p3 p4 p5 p6)
(command)
(command
"color" 5)
(setq u 0)
(setq du
0.001)
(setq file1
(open "c:\\mydata2.txt" "w"))
(while (<=
u 1.0)
(setq x (+ (*
(nth 0 p1) (expt (- 1 u) 5)) (* (nth 0 p2) (expt (- 1 u) 4) u 5) (* (nth 0 p3)
(expt (- 1 u) 3) u u 10) (* (nth 0 p4) (expt (- 1 u) 2) u u u 10) (* (nth 0 p5)
(expt u 4) (- 1 u) 5) (* (nth 0 p6) (expt u 5))))
(setq y (+ (*
(nth 1 p1) (expt (- 1 u) 5)) (* (nth 1 p2) (expt (- 1 u) 4) u 5) (* (nth 1 p3)
(expt (- 1 u) 3) u u 10) (* (nth 1 p4) (expt (- 1 u) 2) u u u 10) (* (nth 1 p5)
(expt u 4) (- 1 u) 5) (* (nth 1 p6) (expt u 5))))
(if (or (<=
(abs (- u 0)) 0.00001) (<= (abs (- u 0.2)) 0.00001) (<= (abs (- u 0.4))
0.00001) (<= (abs (- u 0.6)) 0.00001) (<= (abs (- u 0.8)) 0.00001) (<=
(abs (- u 1.0)) 0.00001))
(print (list x
y) file1)
)
(setq u (+ u
du))
(setq x1 (+ (*
(nth 0 p1) (expt (- 1 u) 5)) (* (nth 0 p2) (expt (- 1 u) 4) u 5) (* (nth 0 p3)
(expt (- 1 u) 3) u u 10) (* (nth 0 p4) (expt (- 1 u) 2) u u u 10) (* (nth 0 p5)
(expt u 4) (- 1 u) 5) (* (nth 0 p6) (expt u 5))))
(setq y1 (+ (*
(nth 1 p1) (expt (- 1 u) 5)) (* (nth 1 p2) (expt (- 1 u) 4) u 5) (* (nth 1 p3)
(expt (- 1 u) 3) u u 10) (* (nth 1 p4) (expt (- 1 u) 2) u u u 10) (* (nth 1 p5)
(expt u 4) (- 1 u) 5) (* (nth 1 p6) (expt u 5))))
(command
"line" (list x y) (list x1 y1))
(command)
)
(close file1)
)
3.5 Таблица, получаемая в
результате выполнения задания:
Аппроксимация
метод Безье дает большую погрешность, чем параметрическая сплайн-аппроксимация,
но прим увеличении шага параметра увеличивается время вычислений и точность
аппроксимации.
, расположенной параллельно плоскости XY на уровне 
. Эта окружность и является
линией пересечения конуса и эллипсоида.
(6)
(7)
которую будем
называть ломаной Безье. Кривая Безье, соответствующая этой
ломаной, описывается в виде функции параметра t следующим полиномом: 
,
(8)
- радиус-вектор точек на
кривой, а Jni(t) - аппроксимирующие многочлены
Бернштейна, равные
(9)
и 
, одинаковый наклон кривых
в точке соединения получается в том случае, если точки 
(которая совпадает с 
) и 
лежат на одной прямой;
,