Курсовая работа: Решение системы линейных уравнений методом Гаусса и Жордана-Гаусса

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ

СУМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Курсовая работа

по программированию по теме:

«Решение системы линейных уравнений методом Гаусса и Жордана-Гаусса»

Сумы 2005

ПЛАН

Постановка задачи

Составить программу для решения систем линейных уравнений размером n на n методом Гауса и Жордана-Гаусса.

Методы решения примененные в программе

Метод Гаусса

Метод Гаусса решения систем линейных уравнений состоит в последовательном исключении неизвестных и описывается следующей процедурой.

С помощью элементарных преобразований над строками и перестановкой столбцов расширенная матрица  системы  может быть приведена к виду

Эта матрица является расширенной матрицей системы

которая эквивалентна исходной системе

Заметим, что перестановка столбцов означает перенумерацию переменных. На практике обычно избегают этой процедуры, приводя расширенную матрицу к ступенчатому виду путем элементарных преобразований над строками.

Если хотя бы одно из чисел отлично от нуля, то система  несовместна. Если же , то система  совместна и можно получить явное выражение для  базисных неизвестных через  свободных неизвестных

Метод Жордана-Гаусса.

Элементарные преобразования этого метода аналогичны методу Гаусса, только матрица при использовании этого метода приводится к виду, тоесть столбец свободных коэффициентов превращается в столбец корней.

Краткое описание среды визуальной разработки Delphi

Среда Delphi - это сложный механизм, обеспечивающий высокоэффективную работу программиста. Визуально она реализуется несколькими одновременно раскрытыми на экране окнами. Окна могут перемещаться по экрану, частично или полностью перекрывая друг друга, что обычно вызывает у пользователя, привыкшего к относительной “строгости” среды текстового процессора Word или табличного процессора Excel, ощущение некоторого дискомфорта. После приобретения опыта работы с Delphi это ощущение пройдет, и вы научитесь быстро отыскивать нужное окно, чтобы изменить те или иные функциональные свойства создаваемой вами программы, ибо каждое окно несет в себе некоторую функциональность, т. е. предназначено для решения определенных задач.

Запустите Delphi - и вы увидите нечто, похожее на

На рисунке изображены шесть наиболее важных окон Delphi: главное окно, окно Дерева объектов (Object Tree View), окно Инспектора объектов, окно браузера, окно формы и окно кода программы.

Чтобы упорядочить окна так, как они показаны на рисунке, вам придется вручную изменять их положение и размеры, т. к. обычно окно кода программы почти полностью перекрыто окном формы. Впрочем, добиваться максимального сходства того, что вы видите на экране вашего ПК, с изображением, показанным на рисунке, вовсе не обязательно: расположение и размеры окон никак не влияют на их функциональностью.

Замечу, что при первом запуске Delphi поверх всех окон появится окно

С помощью этого окна вы сможете получить доступ к Web-страницам корпорации Inprise для просмотра самой свежей информации о корпорации и ее программных продуктах, копирования дополни тельных файлов, чтения ответов на наиболее часто задаваемые вопросы и т. д. При повторных запусках Delphi это окно появляется автоматически с некоторой периодичностью, определяемой настройками на странице окна Tolls | Environment Options, связанной с закладкой Delphi Direct. Вы также сможете его вызвать в любой момент с помощью опции Help | Delphi Direct главного меню.

Обозначение

В программу включены следующие процедуры : «gauss1», «gaussj», «New1Click», «Button1Click», «Button2Click», «Save1Click», «Exit1Click». С каждой из них мы ознакомимся ниже.

Процедура «gauss1» выполняет проверку системы на сходимость и решение методом Гаусса.

Процедура «gaussj» выполняет проверку системы на сходимость и решение методом Жордана-Гаусса.

Процедура «New1Click» выполняется после выбора пункта меню «New» или сразу после запуска программы и выполняет чтение размера системы и устанавливает размер таблиц для ввода коэффициентов системы.

Процедура «Button1Click» считывает коэффициенты системы, проверяет корректность ввода коэффициентов и заменяет при необходимости «.» на «,». Потом запускает процедуру «gauss1» для решения системы и выводит результаты.

Процедура «Button2Click» считывает коэффициенты системы, проверяет корректность ввода коэффициентов и заменяет при необходимости «.» на «,». Потом запускает процедуру «gaussj» для решения системы и выводит результаты.

Процедура «Save1Click» запускает диалог сохранения файлов и выполняет сохранение результатов.

Процедура «Exit1Click» - Выход из программы.

unit Unit1;

interface

uses

 Windows, Messages, SysUtils, Variants, Classes, Graphics, Controls, Forms,

 Dialogs, Menus, XPMan, StdCtrls, Grids, unit2;

type

 TForm1 = class(TForm)

 Coef: TStringGrid;

 Gauss: TStringGrid;

 Jgauss: TStringGrid;

 Button1: TButton;

 Button2: TButton;

 XPManifest1: TXPManifest;

 SaveDialog1: TSaveDialog;

 MainMenu1: TMainMenu;

 File1: TMenuItem;

 New1: TMenuItem;

 Save1: TMenuItem;

 Exit1: TMenuItem;

 Matrix: TStringGrid;

 procedure New1Click(Sender: TObject);

 procedure Button1Click(Sender: TObject);

 procedure Button2Click(Sender: TObject);

 procedure Save1Click(Sender: TObject);

 procedure Exit1Click(Sender: TObject);

 private

 { Private declarations }

 public

 { Public declarations }

 end;

var

 Form1: TForm1;

 s:integer;

implementation

{$R *.dfm}

procedure TForm1.Exit1Click(Sender: TObject);

begin

close;

end;

procedure TForm1.New1Click(Sender: TObject);

 var i,dl:integer;

 prover:string;

begin

 form1.Enabled:=false;

 repeat

 prover:=inputbox('Введите размер системы','Значение между 2 и 20','2');

 dl:=length(prover);

 if dl=0 then showmessage('Введите размер системы') else

 begin

 if (dl=1) and (prover<'9') and (prover>'0') then s:=trunc(strtofloat(prover))

 else

 begin

 for i:=1 to dl do

 begin

 if prover[i]>'9' then

 begin

 showmessage('Введите число');

 break;

 end

 else if i=dl then s:=trunc(strtofloat(inputbox('Введите размер системы','Значение между 2 и 20','2')));

 end;

 end;

 end;

 until (s>=2) and (s<=maxr);

 form1.Enabled:=true;

 matrix.RowCount:=s+1;

 matrix.ColCount:=s+1;

 gauss.colCount:=s+1;

 coef.rowCount:=s+1;

 jgauss.colCount:=s+1;

 coef.Cells[1,0]:='B';

 gauss.Cells[0,1]:='Gauss';

 jgauss.Cells[0,1]:='J-Gauss';

 for i:=1 to s do

 begin

 matrix.Cells[0,i]:=floattostr(i);

 matrix.Cells[i,0]:='A'+floattostr(i);

 coef.Cells[0,i]:=floattostr(i);

 gauss.Cells[i,0]:='X'+floattostr(i);

 jgauss.Cells[i,0]:='X'+floattostr(i);

 end;

 end;

procedure TForm1.Button1Click(Sender: TObject);

 var a:ary2s;

 x,y:arys;

 error:boolean;

 i,j,l,K:integer;

 prover:string;

begin

{Считывание массивов с исходными данными и проверка '.' или ','}

{***********************************************}

 for i:=1 to s do

 for j:=1 to s do

 begin

 prover:=matrix.Cells[j,i];

 k:=length(prover);

 if k=0 then

 begin

 showmessage('Вы не ввели один или несколько элементов системы.');

 exit;

 end;

 for l:=1 to length(prover) do

 if prover[l]='.' then prover[l]:=','

 else if prover[l]>'9' then

 begin

 showmessage('В качестве одного или нескольких элементов системы введена буква. Замените их на числа!');

 exit;

 end;

 matrix.Cells[j,i]:=prover;

 a[i,j]:=strtofloat(matrix.cells[j,i]);

 end;

 for i:=1 to s do

 begin

 prover:=coef.cells[1,i];

 for l:=1 to length(prover) do

 if prover[l]='.' then prover[l]:=','

 else if prover[l]>'9' then

 begin

 showmessage('В качестве одного или нескольких элементов системы введена буква. Замените их на числа!');

 exit;

 end;

 coef.cells[1,i]:=prover;

 y[i]:=strtofloat(coef.cells[1,i]);

 end;

{***********************************************}

{Решение и вывод результатов}

{***********************************************}

 gauss1(a,y,x,s,error);

 if not error then

 for i:=1 to s do

 gauss.cells[i,1]:=floattostr(x[i])

 else

 begin

 showmessage('Система решения не имеет');

 new1.Click;

 end;

{***********************************************}

end;

procedure TForm1.Button2Click(Sender: TObject);

 var a:ary2s;

 x,y:arys;

 error:boolean;

 i,j,l,k:integer;

 prover:string;

begin

{Считывание массивов с исходными данными}

{***********************************************}

{Считывание массивов с исходными данными и проверка '.' или ','}

{***********************************************}

 for i:=1 to s do

 for j:=1 to s do

 begin

 prover:=matrix.Cells[j,i];

 k:=length(prover);

 if k=0 then

 begin

 showmessage('Вы не ввели один или несколько элементов системы.');

 exit;

 end;

 for l:=1 to length(prover) do

 if prover[l]='.' then prover[l]:=','

 else if prover[l]>'9' then

 begin

 showmessage('В качестве одного или нескольких элементов системы введена буква. Замените их на числа!');

 exit;

 end;

 matrix.Cells[j,i]:=prover;

 a[i,j]:=strtofloat(matrix.cells[j,i]);

 end;

 for i:=1 to s do

 begin

 prover:=coef.cells[1,i];

 for l:=1 to length(prover) do

 if prover[l]='.' then prover[l]:=','

 else if prover[l]>'9' then

 begin

 showmessage('В качестве одного или нескольких элементов системы введена буква. Замените их на числа!');

 exit;

 end;

 coef.cells[1,i]:=prover;

 y[i]:=strtofloat(coef.cells[1,i]);

 end;

{***********************************************}

{***********************************************}

{Решение и вывод результатов}

{***********************************************}

 gaussj(a,y,x,s,error);

 if not error then

 for i:=1 to s do

 jgauss.cells[i,1]:=floattostr(x[i])

 else

 begin

 showmessage('Система решения не имеет');

 new1.Click;

 end;

{***********************************************}

end;

procedure TForm1.Save1Click(Sender: TObject);

 var f:textfile;

 i,j:integer;

begin

savedialog1.Filter:='Text files (*.txt)|*.txt|';

if savedialog1.Execute then

 begin

 assignfile(f,savedialog1.filename+'.txt');

 rewrite(f);

 for i:=1 to s do

 begin

 writeln(f);

 for j:=1 to s do

 write(f,matrix.cells[i,j]:4,' ');

 write(f,'|',coef.cells[1,i]);

 end;

 writeln(f);

 writeln(f);

 writeln(f,'Gauss');

 for i:=1 to s do

 writeln(f,'X'+floattostr(i)+'='+gauss.cells[i,1],' ');

 writeln(f);

 writeln(f,'J-Gauss');

 for i:=1 to s do

 writeln(f,'X'+floattostr(i)+'='+jgauss.cells[i,1],' ');

 closefile(f);

 end;

end;

end.

Файл -модуль unit2.pas

unit unit2;

interface

 const         maxr=20;

 type arys=array[1..maxr] of real;

          ary2s=array[1..maxr,1..maxr] of real;

 procedure gauss1(a:ary2s; y:arys; var coef:arys; ncol:integer; var error:boolean);

 procedure gaussj(var b:ary2s; y: arys; var coef:arys; ncol:integer; var error: boolean);

implementation

 {Решение системы линейных уравнений методом Гаусса}

{**********************************************************}

 procedure gauss1(a:ary2s; y:arys; var coef:arys; ncol:integer; var error:boolean);

 var   b:ary2s;

         w:arys;

          i,j,i1,k,l,n:integer;

          hold,sum,t,ab,big: real;

 begin

 error:=false;

 n:=ncol;

 for i:=1 to n do

 begin

 for j:=1 to n do

 b[i,j]:=a[i,j];

 w[i]:=y[i]

 end;

 for i:=1 to n-1 do

 begin

 big:=abs(b[i,i]);

 l:=i;

 i1:=i+1;

 for j:=i1 to n do

          begin

          ab:=abs(b[j,i]);

          if ab>big then

          begin

          big:=ab;

          l:=j

          end

 end;

 if big=0.0 then error:= true

 else

 begin

          if l<>i then

          begin

          for j:=1 to n do

          begin

 hold:=b[l,j];

                   b[l,j]:=b[i,j];

                    b[i,j]:=hold

          end;

          hold:=w[l];

          w[l]:=w[i];

 w[i]:=hold

          end;

          for j:=i1 to n do

          begin

 t:=b[j,i]/b[i,i];

 for k:=i1 to n do

                    b[j,k]:=b[j,k]-t*b[i,k];

          w[j]:=w[j]-t*w[i]

          end

          end

 end;

 if b[n,n]=0.0 then error:=true

 else

          begin

          coef[n]:=w[n]/b[n,n];

          i:=n-1;

          repeat

          sum:=0.0;

 for j:=i+1 to n do

          sum:=sum+b[i,j]*coef[j];

          coef[i]:=(w[i]-sum)/b[i,i];

          i:=i-1

          until i=0

          end

 end;

{**********************************************************}

 {Решение системы линейных уравнений методом Жордана-Гаусса}

{**********************************************************}

 procedure gaussj(var b:ary2s; y: arys; var coef:arys; ncol:integer; var error: boolean);

 var w:array[1..maxr,1..maxr] of real;

          index:array[1..maxr,1..3] of integer;

          i,j,k,l,nv,irow,icol,n,l1:integer;

          determ,pivot,hold,sum,t,ab,big:real;

{++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++}

 procedure swap(var a,b: real);

 var hold:real;

 begin

 hold:=a;

 a:=b;

 b:=hold

 end;

{++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++}

{@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@}

 procedure gausj2;

 var i,j,k,l,l1:integer;

{===============================================}

 procedure gausj3;

 var l:integer;

 begin

 if irow<>icol then

 begin

 determ:=-determ;

 for l:=1 to n do

 swap(b[irow,l],b[icol,l]);

 if nv>0 then

 for l:=1 to nv do

          swap(w[irow,l],w[icol,l])

 end

 end;

{===============================================}

 begin

 error:=false;

 nv:=1;

 n:=ncol;

 for i:=1 to n do

 begin

 w[i,1]:=y[i];

 index[i,3]:=0

 end;

 determ:=1.0;

 for i:=1 to n do

 begin

 big:=0.0;

 for j:=1 to n do

 begin

 if index[j,3]<>1 then

          begin

          for k:=1 to n do

          begin

                    if index[k,3]>1 then

                    begin

                    error:=true;

                    exit;

 end;

 if index[k,3]<1 then

                    if abs(b[j,k])>big then

 begin

                    irow:=j;

                    icol:=k;

                    big:=abs(b[j,k])

                    end

          end

          end

 end;

 index[icol,3]:=index[icol,3]+1;

 index[i,1]:=irow;

 index[i,2]:=icol;

 gausj3;

 pivot:=b[icol,icol];

 determ:=determ*pivot;

 b[icol,icol]:=1.0;

 for l:=1 to n do

 b[icol,l]:=b[icol,l]/pivot;

 if nv>0 then

 for l:=1 to nv do

 w[icol,l]:=w[icol,l]/pivot;

 for l1:=1 to n do

 begin

 if l1<>icol then

          begin

          t:=b[l1,icol];

          b[l1,icol]:=0.0;

          for l:=1 to n do

          b[l1,l]:=b[l1,l]-b[icol,l]*t;

          if nv>0 then

          for l:=1 to nv do

          w[l1,l]:=w[l1,l]-w[icol,l]*t;

 end

 end

 end;

 end;

{@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@}

 begin

 gausj2;

 if error then exit;

 for i:=1 to n do

 begin

 l:=n-i+1;

 if index[l,1]<>index[l,2] then

          begin

          irow:=index[l,1];

          icol:=index[l,2];

          for k:=1 to n do

          swap(b[k,irow],b[k,icol])

 end

 end;

 for k:=1 to n do

 if index[k,3]<>1 then

 begin

 error:=true;

 exit;

 end;

 for i:=1 to n do

 coef[i]:=w[i,1];

 end;

{**********************************************************}

end.

Файл проекта - Project1.dpr:

program Project1;

uses

 Forms,

 Unit1 in 'Unit1.pas' {Form1},

 Unit2 in 'Unit2.pas';

{$R *.res}

begin

 Application.Initialize;

 Application.Title := 'Gauss&J-Gauss';

 Application.CreateForm(TForm1, Form1);

 Application.Run;

end.

Результаты сохраненные в файле:

 2 1 1 |2

 3 2 3 |6

 6 5 4 |5

Gauss

X1=-7,4

X2=1,2

X3=2,2

J-Gauss

X1=-7,4

X2=1,2

                                               X3=2,2

Инструкция по работе с программой

1.         Сразу после запуска файла программы (pragramma.exe) перед вами появиться окно с запросом размера системы. Введите нужный размер и нажмите «ОК»(поскольку система размера n на n нужно ввести только одно число).

2.         После ввода размера перед вами появится рабочее окно программы. Введите в него данные по следующей схеме:

3.         Для решения нужным методом нажмите соответствующую кнопку, и в таблице возле нее будут выведены корни системы.

4.         Для сохранения результатов в меню «File» выберите «Save», перейдите в нужную папку и введите имя файла. Нажмите «ОК».

5.         Для начала новых рассчетов «File» выберите «New», введите новый размер системы, нажмите «ОК».

6.         Для выхода в меню «File» выберите пункт «Exit».

·           Волков Е.А. численные методы: Учебное пособие для вузов. – 2-е изд., испр. – М.:Наука, 1987. – 248 с.

·           Роганин А.М. Основные формулы высшей математики. – Х.:Торсинг, 2002

·           Справочная система Borland Delphi 7.

·           http://delphi.vitpc.com/

·           http://www.fortunecity.com/campus/beverly/963/

·           http://www.delphi.agava.ru/

·           http://www.interface.ru/delphi/delphi_page.php

·           http://pog.da.ru/