Контрольная работа: Действия над числами в различных системах счисления

В заданиях 3-5 проверять правильность вычисления переводом исходных данных и результатов в двоичную систему счисления. В задании 1д получить пять знаков после запятой в двоичном представлении.

 

Таблица 1. Наиболее важные системы счисления.

Двоичная (Основание 2) Восьмеричная (Основание 8) Десятичная  (Основание 10) Шестнадцатиричная (Основание 16)
триады тетрады
0 1 0 1 2 3 4 5 6 7 000 001 010 011 100 101 110 111 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111

Перевод целых десятичных чисел в недесятичную систему счисления осуществляется последовательным делением десятичного числа на основание той системы, в которую оно переводится, до тех пор, пока не получится частное меньшее этого основания. Число в новой системе записывается в виде остатков деления, начиная с последнего.


Пример.

а) Перевести 18110"8" с.с.

Результат: 18110 = 2658

б) Перевести 62210"16" с.с.


Результат: 62210 = 26E16

Для преобразования в десятичную используют следующую таблицу степеней основания

Преобразование дробных десятичных чисел:

·       Вначале переводится целая часть десятичной дроби;

·       Затем дробная часть десятичной дроби умножается на основание системы счисления;

·       В полученном произведении выделяется целая часть, которая принимается в качестве значения первого после запятой разряда числа в системе счисления;

·       Алгоритм завершается, если дробная часть полученного произведения равна нулю или если достигнута требуемая точность вычислений. В противном случае вычисления продолжаются с предыдущего шага.

Правила выполнения арифметических действий над двоичными числами задаются таблицами двоичных сложения, вычитания и умножения.

Таблица двоичного сложения Таблица двоичного вычитания Таблица двоичного умножения
0+0=0 0+1=1 1+0=1 1+1=10 0-0=0 1-0=1 1-1=0 10-1=1

00=0 01=0 10=0 11=1

 

Сложение в восьмеричной системе

 

Сложение в шестнадцатиричной системе

 

Умножение в восьмеричной системе

Умножение в шестнадцатеричной системе


1. Перевести данное число из десятичной системы счисления в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления

а)945(10)=1110110001(2)=1661(8)=3B1(16)

 

945 2

 
944 472 2

 
1 472 236 2

 
0 236 118 2

 
0 118 59 2

 
0 58 29 2

 

1 28 14 2

 
1 14 7 2

 
0 6 3 2

 
1 2 1 2

 
1 0 0

 
1 0

 
512 256 128 64 32 16 8 4 2 1
1 1 1 0 1 1 0 0 0 1
512 256 128 32 16 1 945
945,000 8,000
944,000 118,000 8,000
1,000 112,000 14,000 8,000
6,000 8,000 1,000
6,000 1,000
4096 512 64 8 1
1,000 6,000 6,000 1,000
945 512 384 48 1

945,000 16,000
944,000 59,000 16,000
1,000 48,000 3,000
11,000

B
3,000

11,000

 1,000
4096 256 16 1
3 11 1
945 768 176 1

б)85 (10)=1010101(2)=125(8)= 55(16)

 

85 2
84 42 2
1 42 21 2
0 20 10 2
1 10 5 2
0 4 2 2
1 2 1 2
0 0 0
1 0
512 256 128 64 32 16 8 4 2 1
1 0 1 0 1 0 1
64 16 4 1 85
85,000 8,000

 
80,000 10,000 8,000

 
5,000 8,000 1,000

 
2,000

 
4096 512 64 8 1
1,000 2,000 5,000
85 0 64 16 5

85,000 16,000
80,000 5,000
5,000
4096 256 16 1
5 5
85 0 80 5

в)444,125 (10)= 110111100,001(2)=674.1(8)=1BC.2(16)

 

444 2
444 222 2
0 222 111 2
0 110 55 2
1 54 27 2
1 26 13 2
1 12 6 2
1 6 3 2
0 2 1 2
1 0 0
1 0
512 256 128 64 32 16 8 4 2 1
1 1 0 1 1 1 1 0 0
256 128 32 16 8 4 444
0,125 * 2 = 0,250 0
0,250 * 2 = 0,500 0
0,500 * 2 = 1,000 1

444,000 8,000

 
440,000 55,000 8,000

 
4,000 48,000 6,000

 
7,000

 
4096 512 64 8 1 , 0,125 0,01563 0,00195
6,000 7,000 4,000 1
444 0 384 56 4 0,125 0,125
444,000 16,000
432,000 27,000 16,000
12,000 16,000 1,000
11,000
0,125 * 16 = 2,000
4096 256 16 1 , 0,0625
1 11 12 2
444 256 176 12 0,125

 

г)989,375 (10)= 111   10111      01 ,011(2)=1735.3(8)=3DD.6(16)

 

989 2
988 494 2
1 494 247 2
0 246 123 2
1 122 61 2
1 60 30 2

1 30 15 2
0 14 7 2
1 6 3 2
1 2 1 2
1 0 0
1

512 256 128 64 32 16 8 4 2 1

 
1 1 1 1 0 1 1 1 0 1

 
512 256 128 64 16 8 4 1 989

 
0,375 * 2

=
0,750

 
0,750 * 2 = 1,500

 
0,500 * 2 = 1,000

 

 
989,000 8,000

 
984,000 123,000 8,000

 
5,000 120,000 15,000 8,000

 
3,000 8,000 1,000

 
7,000 1,000

 
4096 512 64 8 1 , 0,125 0,01563 0,00195
1,000 7,000 3,000 5,000 3
989 512 448 24 5 0,375 0,375
989,3750
989,000 16,000

 
976,000 61,000 16,000

 
13,000 48,000 3,000

 
13,000

 
3 D D

 
0,375 * 16 = 6,000 6,000
4096 256 16 1 , 0,0625 0,0039063 0,0002441
3 13 13 6
989 768 208 13 0,375 0 0,375
989,375

 

д)237,73 (10)= 11101101,10111(2)=355.5656(8)=ED.BAE(16)

 

237,0 2,0
236,0 118,0 2,0
1,0 118,0 59,0 2,0
0,0 58,0 29,0 2,0
1,0 28,0 14,0 2,0
1,0 14,0 7,0 2,0

0,0 6,0 3,0 2,0
1,0 2,0 1,0 2,0
1,0 0,0 0,0
1,0
512 256 128 64 32 16 8 4 2 1

 
1 1 1 0 1 1 0 1

 
128 64 32 8 4 1 237

 
0,730 * 2
=
1,460

 
0,460 * 2 = 0,920

 
0,920 * 2 = 1,840

 
0,840 * 2 = 1,680

 
0,680 * 2 = 1,360

 
237,000 8,000

 
232,000 29,000 8,000

 
5,000 24,000 3,000

 
5,000 3,000

 
4096 512 64 8 1 , 0,125 0,01563 0,00195 0,00024 3,1E-05
3,000 5,000 5,000 5 6 5 6
237 0 192 40 5 0,625 0,09375 0,00977 0,00146 0,72998
237,7300

237,000 16,000

 
224,000 14,000

 
13,000

 
4096 256 16 1 , 0,0625 0,0039063 0,0002441
14 13 11 10 14
237 0 224 13 0,6875 0,0390625 0,7265625
237,727
0,730 * 16 = 11,680 B

 
0,680 * 16 = 10,880 A

 
0,880 * 16 = 14,080 E

 
2. Перевести данное число в десятичную систему счисления

 

а)110001111(2)=399(10)

 

512 256 128 64 32 16 8 4 2 1
1 1 0 0 0 1 1 1 1
256 128 8 4 2 1 399

б)111010001(2)=465(10)

 

512 256 128 64 32 16 8 4 2 1
1 1 1 0 1 0 0 0 1
256 128 64 16 1 465

 

в)100110101,1001(2)=309,5625(10)

 

512 256 128 64 32 16 8 4 2 1
1 0 0 1 1 0 1 0 1
256 32 16 4 1 309

 
1 0 0 1
0,5 0,25 0,125 0,063 0,031 0,02 0,01 0,0039 0,002 0,001
0,5625 0,5 0 0 0,063

г)1000010,01011(2)=66,34375(10)

 

512 256 128 64 32 16 8 4 2 1
1 0 0 0 0 1 0
64 2 66
0 1 0 1 1
0,5 0,25 0,125 0,063 0,031 0,02 0,01 0,0039 0,002 0,001
0,34375 0 0,25 0 0,063 0,031

д)176,5(8)=126.625(10)

 

4096 512 64 8 1 , 0,125 0,01563 0,00195 0,00024 3,1E-05
1,000 7,000 6,000 5
126 0 64 56 6 0,625 0 0 0 0,625
126,6250

е)3D2,04(16)=978.016(10)

 

4096 256 16 1 , 0,0625 0,0039063 0,0002441
3 13 2 0 4
978 768 208 2 0 0,015625 0,015625
978,016
978,000 16,000

 
976,000 61,000 16,000

 
2,000 48,000 3,000

 
13,000

 
0,016 * 16 = 0,256 0,000

 
0,256 * 16 = 4,096 4

 

3. Сложить все числа

а)1000011101(2)+101000010(2)=541(10)+322(10)= 1101011111 (2) =863(10)

512 256 128 64 32 16 8 4 2 1
1 0 0 0 0 1 1 1 0 1
512 0 0 0 0 16 8 4 0 1 541
512 256 128 64 32 16 8 4 2 1
1 0 1 0 0 0 0 1 0
0 256 0 64 0 0 0 0 2 0 322
863

+

 1 0 0 0 0 1 1 1 0 1
1 0 1 0 0 0 0 1 0
1 1 0 1 0 1 1 1 1 1
512 256 128 64 32 16 8 4 2 1
1 1 0 1 0 1 1 1 1 1
512 256 0 64 0 16 8 4 2 1 863

 

б)100000001(2)+1000101001(2)= 257(10)+553(10)= 1100101010 (2) =810(10)

 

512 256 128 64 32 16 8 4 2 1
1 0 0 0 0 0 0 0 1
0 256 0 0 0 0 0 0 0 1 257
512 256 128 64 32 16 8 4 2 1
1 0 0 0 1 0 1 0 0 1
512 0 0 0 32 0 8 0 0 1 553
810

+

 1 0 0 0 0 0 0 0 1
1 0 0 0 1 0 1 0 0 1
1 1 0 0 1 0 1 0 1 0
512 256 128 64 32 16 8 4 2 1
1 1 0 0 1 0 1 0 1 0
512 256 0 0 32 0 8 0 2 0 810

в)101111011,01(2)+1000100,101(2)= 379,25(10)+68,625(10)= (2) =447,875(10)

 

0 1
0,5 0,25 0,125 0,063 0,031 0,02 0,01 0,0039 0,002 0,001
0,25 0 0,25
512 256 128 64 32 16 8 4 2 1
1 0 1 1 1 1 0 1 1
0 256 0 64 32 16 8 0 2 1 379
379,25
1 0 1
0,5 0,25 0,125 0,063 0,031 0,02 0,01 0,0039 0,002 0,001
0,625 0,5 0 0,125
512 256 128 64 32 16 8 4 2 1
1 0 0 0 1 0 0
0 0 0 64 0 0 0 4 0 0 68
68,625
447,875
+ 1 0 1 1 1 1 0 1 1 , 0 1
1 0 0 0 1 0 0 , 1 0 1
1 1 0 1 1 1 1 1 1 , 1 1 1
512 256 128 64 32 16 8 4 2 1
1 1 0 1 1 1 1 1 1
0 256 128 0 32 16 8 4 2 1 447
1 1 1
0,5 0,25 0,125 0,063 0,031 0,02 0,01 0,0039 0,002 0,001
0,875 0,5 0,25 0,125

 

г)1532,14(8)+730,16(8)=858.1875(10)+472.2188(10)=1330.41 (10)=2462.32172(8)

 

32768 4096 512 64 8 1 , 0,125 0,01563 0,00195
1,000 5,000 3,000 2,000 1 4
858 0 512 320 24 2 0,125 0,0625 0 0,1875
858,1875

 

32768 4096 512 64 8 1 , 0,125 0,01563 0,00195
7,000 3,000 0,000 1 6
472 0 0 448 24 0 0,125 0,09375 0 0,21875
472,2188

 

 

 

+

 1 5 3 2 , 1 4

 

 

 7 3 0 , 1 6

 

 

 2 4 6 2 , 3 2

 

 

4+6=12

5+7=14

 

 

 32768 4096 512 64 8 1 , 0,125 0,01563 0,00195 0,00024 3,1E-05

 

 2,000 4,000 6,000 2,000 3 2 1 7 2

 

 1330 0 1024 256 48 2 0,375 0,03125 0,00195 0,00171 6,1E-05

 

 1330,4100

 

д) BB,4(16)+2F0,6(16)= 187,25(10)+752.375(10)=939.625(10)=

 

4096 256 16 1 , 0,0625 0,0039063 0,0002441
11 11 4
187 0 176 11 0,25 0 0,25
187,250

 

4096 256 16 1 , 0,0625 0,0039063 0,0002441
2 15 0 6
752 512 240 0 0,375 0 0,375
752,375

+

 2 F 0 , 6

 
B B , 4

 
3 A B , A

 
10 11 10

 

F+B=1A

4096 256 16 1 , 0,0625 0,0039063 0,0002441
3 10 11 10
939 768 160 11 0,625 0 0,625
939,625
4. Выполнить вычитание

а)1000101110(2)-1111111(2)= 558(10)-127(10)= 110101111 (2) =431(10)

512 256 128 64 32 16 8 4 2 1
1 0 0 0 1 0 1 1 1 0
512 0 0 0 32 0 8 4 2 0 558

512 256 128 64 32 16 8 4 2 1
1 1 1 1 1 1 1
0 0 0 64 32 16 8 4 2 1 127
- 1 0 0 0 1 0 1 1 1 0
1 1 1 1 1 1 1
1 1 0 1 0 1 1 1 1
512 256 128 64 32 16 8 4 2 1
1 1 0 1 0 1 1 1 1
0 256 128 0 32 0 8 4 2 1 431

б)1011101000(2)-1001000000(2)= 744(10)-576(10)= 10101000 (2) =168(10)

512 256 128 64 32 16 8 4 2 1
1 0 1 1 1 0 1 0 0 0
512 0 128 64 32 0 8 0 0 0 744
512 256 128 64 32 16 8 4 2 1
1 0 0 1 0 0 0 0 0 0
512 0 0 64 0 0 0 0 0 0 576
- 1 0 1 1 1 0 1 0 0 0
1 0 0 1 0 0 0 0 0 0
1 0 1 0 1 0 0 0
512 256 128 64 32 16 8 4 2 1
1 0 1 0 1 0 0 0
128 0 32 0 8 0 0 0 168

 

в)1000101001,1(2)-1111101,1(2)= 553.5(10)-125.5(10)= 110101100,0 (2) =428.0(10)


1
0,5 0,25 0,125 0,063 0,031 0,02 0,01 0,0039 0,002 0,001
0,5 0,5
512 256 128 64 32 16 8 4 2 1
1 0 0 0 1 0 1 0 0 1
512 0 0 0 32 0 8 0 0 1 553
553,50
1
0,5 0,25 0,125 0,063 0,031 0,02 0,01 0,0039 0,002 0,001
0,5 0,5
512 256 128 64 32 16 8 4 2 1
1 1 1 1 1 0 1
0 0 0 64 32 16 8 4 0 1 125
125,500

428,000

-

 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 , 1
1 1 1 1 1 0 1 , 1
1 1 0 1 0 1 1 0 0 , 0
512 256 128 64 32 16 8 4 2 1
1 1 0 1 0 1 1 0 0
256 128 0 32 0 8 4 0 0 428

г)1265,2(8)-610,2(8)=693.25(10)-392.25(10)=301.00(10)=455.0(8)

 

32768 4096 512 64 8 1 , 0,125 0,01563 0,00195 0,00024
1,000 2,000 6,000 5,000 2
693 0 512 128 48 5 0,25 0 0 0,25
693,2500

32768 4096 512 64 8 1 , 0,125 0,01563 0,00195 0,00024
6,000 1,000 0,000 2
392 0 0 384 8 0 0,25 0 0 0,25
392,2500

 

-

 1 2 6 5 , 2

 
6 1 0 , 2

 
4 5 5 , 0

 
8+2-6=4

 
32768 4096 512 64 8 1 , 0,125 0,01563 0,00195 0,00024

 
4,000 5,000 5,000 2

 
301 0 0 256 40 5 0,25 0 0 0,25

 
301,2500

 

 

д) 409,D(16)-270,4(16)=1033.813(10)-624.25(10)= 409.563(10)=199.9(16)

 

4096 256 16 1 , 0,0625 0,0039063 0,0002441
4 0 9 13
1033 1024 0 9 0,8125 0 0,8125
1033,813
4096 256 16 1 , 0,0625 0,003906 0,000244 1,53E-05
2 7 0 4
0 512 112 0 0,25 0 0 0
624 624,2500 0,25
- 4 0 9 , D

 
2 7 0 , 4

 
1 9 9 , 9

 

13-4=9

7+9=10→10-7=9

3-2=1

 
4096 256 16 1 , 0,0625 0,0039063 0,0002441
1 9 9 9
409 256 144 9 0,5625 0 0,5625
409,563

5. Выполнить умножение

а)111010(2)=*1100000(2)= 58(10)*96(10)= 1010111000000(2) =5568 (10)

 

512 256 128 64 32 16 8 4 2 1
1 1 1 0 1 0
32 16 8 0 2 0 58
512 256 128 64 32 16 8 4 2 1
1 1 0 0 0 0 0
64 32 0 0 0 0 0 96

*

 1 1 0 0 0 0 0
1 1 1 0 1 0
0 0 0 0 0 0 0
1 1 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0
1 1 0 0 0 0 0
1 1 0 0 0 0 0
1 1 0 0 0 0 0
1 0 1 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0
4096 2048 1024 512 256 128 64 32 16 8 4 2 1
1 0 1 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0
4096 0 1024 0 256 128 64 0 0 0 0 0 0 5568

б)1005.5(8)*63.3(8)= 517,6250(10)*51,3750(10)=26592.98(10)= 63740.7656(8)

 

32768 4096 512 64 8 1 , 0,125 0,01563 0,00195 0,00024
1,000 0,000 0,000 5,000 5
517 0 512 0 0 5 0,625 0 0 0,625
517,6250

32768 4096 512 64 8 1 , 0,125 0,01563 0,00195 0,00024
6,000 3,000 3
51 0 0 0 48 3 0,375 0 0 0,375
51,3750
32768 4096 512 64 8 1 , 0,125 0,015625 0,0019531 0,0002441
6,000 3,000 7,000 4,000 0,000 7 6 5 6
26592 24576 1536 448 32 0 0,875 0,09375 0,0097656 0,9785156
26592,9785

 

 

 

*

 1 0 0, 5 5

 

 

 6, 3 3

 

 

 3 0 2 0 7

 

 

 3 0 2 0 7

 

 

 6 0 4 2 6

 

 

 6 3 7 4 0, 7 7

 

3*5=17

3*5+1=17+1=18→(2)0

3*0+2=2

3*0=0

3*1=3

2+6=0

6*5=36

6*5+6=(4)2

6*0+4=4

6*0=0

6*1=6

 

в)4A,3(16)*F,6(16)= 74.188(10)*15.375(10)=1140.64(10)=474.A2(16)

 

4096 256 16 1 , 0,0625 0,0039063 0,0002441
4 10 3
74 0 64 10 0,1875 0 0,1875
74,188
4096 256 16 1 , 0,0625 0,0039063 0,0002441
15 6
15 0 0 15 0,375 0 0,375
15,375

*

 4 A, 3

 
F, 6

 
1 B D 2

 
4 5 8 D

 
4 7 4, A 2

 

6*3=18=1*16+2

6*A=60+1=61=3*16+13→D

6*4=24+3=27=1*16+11→B

F*3=15*3=45=2*16+13→D

F*A=15*10=150+2=9*16+8

F*4=15*4=60+9=69=4*16+5

2+0=2

13+13=26=1*16+10→A

11+8=19+1=20=1*16+4

1+5+1=7

4

4096 256 16 1 , 0,0625 0,0039063 0,0002441
4 7 4 10 2
1140 1024 112 4 0,625 0,0078125 0,6328125
1140,633

Список литературы

1)    Пономарёв В.С., Красников В.В. Методические указания по теме: "Арифметические основы ЭВМ":http://static.dstu.edu.ru/informatics/mtdss/part1.php

2)    Википедия: http://ru.wikipedia.org/wiki/Двоичная_система_счисления

3)    Шауцукова Л.З. Информатика 10 - 11. — М.: Просвещение, 2000 г.: http://www.rus-edu.bg/edu/online/inf/bookinf/theory/chapter4/1_4_10.php

4)    Системы счисления Анжелиной Латышевой : http://logika.weebly.com/10571083108610781077108510801077-1074-107410861089110010841077108810801095108510861081-1089108010891090107710841077.php