Доклад: Геометрическая алгебра: машина времени

Египет, Вавилон.

Использование геометрических чертежей как иллюстрации алгебраических соотношений встречалось еще в Древнем Египте и Вавилоне. Например, при решении уравнений с двумя неизвестными, одно называлось “длиной”, другое -”шириной”. Произведение неизвестных называли “площадью”. В задачах, приводящих к кубическому уравнению, встречалась третья неизвестная величина - “глубина”, а произведение трех неизвестных именовалось “объемом”.

Однако нельзя позволить геометрическим терминам ввести нас в заблуждение. Вавилоняне мыслили, прежде всего,  алгебраически. Хотя они изображали для наглядности неизвестные числа линиями и площадями, но последние всё же всегда оставались числами. Это проявлялось уже в том, что с неизвестными величинами, по названию имеющими различные измерения, обращались как с однородными: “площадь” складывали со “стороной”, от “объема” отнимали “площадь” и так далее.

Решение уравнений в Древнем Вавилоне.

Древние египтяне и вавилоняне излагали свои алгебраические познания в числовой форме. Они не знали ни отрицательных чисел, ни, тем более комплексных и уравнения, не имеющие положительных корней ими не рассматривались. Все задачи и их решения излагались словесно.

В одной из клинописных табличек встречается такая задача: “Я вычел из площади сторону моего квадрата, это 870” (нетрудно догадаться, что речь идет о квадратном уравнении x2-x=870).

Решение его в табличке рекомендуется искать следующим образом: “Ты берешь 1, число. Делишь пополам 1, это. Умножаешь  на, это. Ты складываешь это с 870, и это есть, что является квадратом для.Ты складываешь, которую ты умножал, с, получаешь 30, сторона квадрата”.

Все числа в табличке записаны в 60-ричной системе счисления, а мы приводим их в десятичной записи. В привычных нам обозначениях предложенные действия принимают вид:. В этой записи угадывается формула вычисления корней приведенного квадратного уравнения.

Древняя Греция.

Совсем другой вид приняла алгебра в Древней Греции. После открытия пифагорейцами  несоизмеримых величин чертежи из средства наглядности превратились в основной элемент алгебры.

Наиболее важным, среди приписываемых пифагорейцам 5 века до н.э. достижений, было открытие несоизмеримых отрезков.

Возникало оно, скорее всего, из попыток найти общую меру диагонали и стороны квадрата.

Это открытие потрясло основы пифагорейской философии. Ведь из него следует, что число не всемогуще, так как существуют отрезки, отношение которых не выражается отношением целых чисел (а других чисел пифагорейцы не знали).

Оказалось, что если не выходить за рамки пифагорейского учения о числе, то многие задачи, приводящие к квадратным уравнениям, вообще не имеют числового решения.

Даже такое простое уравнение, как x2=2, не может быть решено ни в области целых чисел, ни даже в области отношений чисел. Но оно оказывалось вполне разрешимым в области прямолинейных отрезков: его решением являлось диагональ квадрата со стороной, равной единице.

Не решаясь изменить свою трактовку числа, пифагорейцы перешли из области чисел в область геометрических величин, построив соответствующее исчисление. Для построения такого исчисления пифагорейская математика располагала всем необходимым. Нужно было только изменить взгляд на роль чертежей, превратив их из средства наглядности в основной элемент алгебры, и логически расположить весь имеющийся материал.

Эта работа была выполнена пифагорейцами, а ее результаты впоследствии включены  Евклидом во вторую книгу “Начал”. Новое исчисление получило впоследствии название “геометрической алгебры”. В этом исчислении  величины стали изображаться с помощью отрезков и прямоугольников, а любые утверждения и доказательства имели право на существование только в том случае, если они давались на геометрическом языке. Древнегреческие математики работали не с числами, а с отрезками. Поэтому найти неизвестное для них означало построить искомый отрезок.

Арабские страны.

Выделение алгебры (как науки об уравнениях) в самостоятельную ветвь математики произошло в арабских странах, куда после распада Римской империи переместился центр научной деятельности.

В первой половине IX века в Багдаде работал Мухаммед ибн Муса ал-Хорезми ал-Маджуси (Мухаммед сын Мусы из Хорезма из рода жрецов). Сохранились его сочинения по арифметики, алгебре, астрономии, географии и календарным расчетам. Наиболее значительным является трактат  ал-Хорезми по алгебре, в котором он разработал правила преобразования уравнений. Уравнения, конечно, были с числовыми коэффициентами и выражались в словесной форме. Но на этих конкретных примерах ал-Хорезми показывает способы решения основных типов линейных и квадратных уравнений. В греческих традициях он строго геометрически обосновывает свои способы.

Вслед за ал-Хорезми решению уравнений посвящают свои труды многие арабские ученые ( Омар Хайям, ал-Бируни, ал-Каши и др.) Они изучали уравнения третьей и четвертой степени, корни которых находятся при помощи пересечения парабол, гипербол и окружностей. Таким способом решали задачи и греческие геометры. Но арабских ученых, чья математика тяготела к вычислениям, интересовало и численное значение корней.

Франция, Англия.

Геометрический путь, несомненно, был гениальной находкой античных математиков. Но, к сожалению, он сдерживал дальнейшее развитие алгебры. Ведь геометрически можно выразить лишь первые степени (длины), квадратные (площади) и кубы (объемы), но не высшие степени неизвестных. Да и неизвестные в этом случае могут быть только положительными числами. Наконец, вместо алгебраических преобразований приходилось производить геометрические построения, часто очень громоздкие. Чтобы построить неизвестное, иногда нужно было быть подлинным виртуозом - это шло на пользу геометрии, но не алгебре.

В первой половине XVII века значительный шаг вперед в арифметизации алгебры сделал французский ученый  Рене Декарт. Он не отделял учение о числах от учения о величинах, не соблюдал принципа однородности и старался освободить алгебру от подчинения геометрии.

В трудах европейских ученых XVII-XVIII веков отчетливо проявляется арифметическое построение алгебры. И если во “Всеобщей арифметике” Ньютона большое место еще занимают геометрические приложения, то уже в “Началах алгебры” Клеро и “Универсальной арифметике” Эйлера все изложение алгебры носило чисто арифметический характер.

Список литературы

Для подготовки данной работы были использованы материалы с сайта http://circ-works.mgpu.ru/

Психологический словарь
Борис Гурьевич Мещеряков, Владимир Петрович Зинченко Большой психологический словарь Оглавление Предисловие Персоналии Список авторов Список ...
АЛГОРИТМ (от имени среднеазиатского математика VIII-IX вв. аль-Хорезми) - в математике: точное предписание для выполнения "вычислительного" (комбинаторного) процесса.
... и восстановления" (1945), "Память" (1949), "Сочетание слова учителя и средств наглядности в обучении" (1958, ред.), "Наглядность и активизация уч-ся в обучении (1960), "О предмете ...
Раздел: Рефераты по психологии
Тип: книга
Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном ...
ВЯТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ГУМАНИТАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Математический факультет Кафедра математического анализа и методики преподавания математики Курсовая ...
В пункте "Иррациональные уравнения" дается понятие иррационального уравнения, приводится несколько примеров простейших иррациональных уравнений вида , которые решаются с помощью ...
В пункте "Уравнение" вводятся такие понятия как уравнение, неизвестные, корень уравнения, подробно рассказывается, что значит решить уравнение с одним или двумя неизвестными, что ...
Раздел: Рефераты по педагогике
Тип: курсовая работа
... уроков при изучении темы "Квадратные уравнения" в 8 классе
... естественно-математических дисциплин Выпускная квалификационная работа по методике математики Использование разнообразных форм уроков при
Автором данной работы выбрана тема "Использование разнообразных форм уроков при изучении темы "Квадратные уравнения" в 8 классе", так как она актуальна в современном мире; это ...
3) в учебниках алгебры С.М. Никольского и Ю.Н. Макарычева при изучении темы "Квадратные уравнения" рассматриваются прямая и обратная теорема Виета.
Раздел: Рефераты по педагогике
Тип: дипломная работа
Методы решения уравнений, содержащих параметр
Выпускная квалификационная работа Выполнил тудент V курса математического факультета Кузнецов Е.М. Вятский государственный гуманитарный университет ...
При рассмотрении всех особых случаев и возведении обеих частей иррационального уравнения в квадрат мы переходим к решению квадратного уравнения с параметром.
Мещерякова, Г.П. Задачи с параметрами, сводящиеся к квадратным уравнениям [Текст]/ Г.П. Мещерякова // Математика в школе - 2001. - №5. - С. 60-62.
Раздел: Рефераты по математике
Тип: курсовая работа
Методика формирования умений решать тригонометрические уравнения и ...
Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования "Поморский государственный ...
А.Н.Колмогорова и в учебнике "Алгебра и начала анализа" для 10-11 классов авторов Ш.А. Алимова и др. свидетельствует, что различные виды тригонометрических уравнений и неравенств ...
Уравнения данного вида , где тригонометрическая функция часто называются сводящимися к квадратным и решаются методом подстановки вместо тригонометрической функции данного аргумента ...
Раздел: Рефераты по математике
Тип: дипломная работа