Курсовая работа: Основы расчёта оболочек

Омский государственный технический университет

Кафедра “Авиа- и ракетостроение”

Специальность 160801 - “Ракетостроение”

Курсовая работа

по дисциплине

“Строительная механика летательных аппаратов”

Основы расчёта оболочек

Омск 2005

Содержание

1.         Расчет цилиндрической оболочки, подкрепленной шпангоутами

2.         Исследование напряжённо-деформированного состояния полусферической оболочки, заполненной жидкостью

3.         Исследование напряжённо-деформированного состояния         сферической оболочки, заполненной жидкостью       

4.         Расчёт сферического топливного бака с опорой по экватору

5.      Расчёт бака на прочность

Список литературы

1. РАСЧЕТ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ, ПОДКРЕПЛЕННОЙ ШПАНГОУТАМИ

Условие задачи. Рассмотрим цилиндрическую оболочку постоянной толщины , радиуса , подкрепленную шпангоутами, равномерно расположенными по её длине. Сечение шпангоута: . Оболочка нагружена избыточным давлением  (рис.1).

Цель расчета. Определить минимальное расстояние между шпангоутами , которое позволяет исключить взаимное влияние на оболочку двух соседних шпангоутов.

Рис.1. Расчетная схема

Исходные данные

Погонная нагрузка       МПа;

Радиус оболочки          м;

Толщина оболочки       м;

Ширина шпангоута     , м;

Толщина шпангоута    , м;

Материал оболочки:

марка ВТ6С (О);

коэффициент Пуассона ;

модуль Юнга

Выполнение расчёта

Расчётная схема 1. Шпангоуты абсолютно жёсткие

Определим цилиндрическую жёсткость оболочки  по формуле:

;

Вычислим коэффициент затухания  гармонической функции по формуле:

;

Определим силу взаимодействия  между шпангоутами и оболочкой:

Определим перерезывающую силу  на краю оболочки:

Определим погонный изгибающий момент  в месте установки шпангоута:

Погонный изгибающий момент  по длине оболочки, затухающий по периодическому закону, вычислим по следующей формуле:

где - число расчётных точек на всей области существования функции .

Принимаем .

Так как область существования гармонической функции  определяется условием , то находим шаг вычислений  момента  из выражения:

;

Результаты расчёта заносим в таблицу 1 и вычерчиваем график функции  (рис.2, рис.3).

С использованием графика  определяем координату  второй точки пересечения графика функции  с осью абсцисс и находим минимальное расстояние между шпангоутами :

Расчётная схема 2. Расчёт подкреплённой оболочки с податливыми (упругими) шпангоутами

Найдём площадь поперечного сечения шпангоута :

Определим коэффициент податливости шпангоута :

Погонный изгибающий момент по длине оболочки  с учётом податливости шпангоута:

Результаты вычислений заносим в таблицу 1 и строим график функции , совмещённый с графиком  (рис.2, рис.3).

Определим в процентах снижение величины изгибающего момента  при учёте податливости шпангоута:

;

Таблица 1

2. ИССЛЕДОВАНИЕ НАПРЯЖЁННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ ПОЛУСФЕРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ, ЗАПОЛНЕННОЙ ЖИДКОСТЬЮ

Условие задачи: Тонкостенный сосуд (рис.1), выполненный в виде полусферы, частично заполнен жидкостью. Закрепление оболочки по диаметру окружности – свободное.

Цель расчета:

1. Построить эпюры погонных меридиональных  и кольцевых усилий.

2. Определить толщину стенки оболочки, без учёта её собственного веса.

Исходные данные:

Радиус сферы:  м;

Угол зеркала жидкости: ;

Плотность жидкости (горючее):;

Коэффициент безопасности ;

Материал оболочки:

Марка        ВТ6С (О);

предел прочности .

Выполнение расчёта

1. Расчёт участка оболочки над уровнем жидкости

Рассмотрим участок оболочки  (рис. 1). На расстоянии  от полюса  отсекаем часть оболочки нормальным коническим сечением с углом широты  (рис. 2).

1.1 Определяем границы участка BC: .

1.2 Составляем уравнение равновесия внешних и внутренних сил в проекции на вертикальную ось для отсечённой части оболочки:

,

где - вес жидкости, заполняющей полусферу;  - координаты расчётного сечения; - меридиональная погонная сила.

1.3 Определяем высоту столба жидкости в полусферической оболочке:

1.4 Находим объём шарового сегмента, заполненного жидкостью:

1.5 Вычисляем вес жидкости по формуле:

1.6 Определяем текущий радиус кольцевого сечения оболочки:

1.7 Находим погонное меридиональное усилие  из уравнения равновесия отсечённой части оболочки:

.

1.8 Определяем погонное кольцевое усилие  для участка , используя уравнение Лапласа:

,

где ,  – главные радиусы кривизны расчётного сечения оболочки;

 – интенсивность внешней нагрузки на стенку в расчётном сечении оболочки.

Для сферы R₁ = R₂ и для участка   = -.

Результаты расчёта заносим в таблицу 1 при условии .

Таблица 1

2. Расчёт участка оболочки под уровнем жидкости

Рассмотрим участок оболочки  (рис.1). Построим нормальное коническое сечение на расстоянии  от полюса оболочки. Положение расчётного сечения определяется углом широты 

2.1 Определим границы участка : .

2.2 Составляем уравнение равновесия внешних и внутренних сил в проекции на вертикальную ось для отсечённой части оболочки:

,

где - вес жидкости, заключённой в шаровом сегменте высотой ; - давление жидкости в расчётном сечении; - площадь поперечного сечения оболочки на уровне ; - радиус поперечного сечения оболочки на уровне .

2.3 Определяем составляющие уравнения равновесия:

Объём шарового сегмента:

,

где .

Вес жидкости: .

Давление жидкости на уровне  от зеркала жидкости:

.

Площадь поперечного сечения

,

где .

Значения составляющих уравнения равновесия заносим в таблицу 2.

Таблица 2

2.4 Подставим найденные значения  в уравнение равновесия и определим меридиональное  усилие

: .

2.5 Получим выражение для погонного кольцевого усилия  из уравнения Лапласа при

R₁ = R₂ = R,

.

Результаты расчёта заносим в таблицу 3 при условии .

Таблица 3

По данным таблиц строим эпюры погонных усилий. Схема эпюры приведена на рис. 4.

С помощью эпюры определяем наиболее напряжённое сечение оболочки и максимальные усилия

.

3. Определение толщины стенки оболочки

3.1 Найдём допускаемое напряжение материала оболочки:

3.2 Определим толщину стенки:

,

3. ИССЛЕДОВАНИЕ НАПРЯЖЁННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ СФЕРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ, ЗАПОЛНЕННОЙ ЖИДКОСТЬЮ

Условие задачи: Построить эпюры безмоментных напряжений  и  для сферического сосуда (рис. 1), полностью заполненного жидкостью.

Исходные данные:

Радиус оболочки:  м;

Плотность жидкости (окислитель):        

;

Толщина стенки оболочки:

.

Рис. 1. Схема оболочки

Выполнение расчёта

1. Выводы расчётных зависимостей для верхней полусферы

В верхней полусфере отсечём часть оболочки нормальным коническим сечением с углом  при вершине конуса и составим уравнение равновесия отсеченной части оболочки (рис. 2):

,

где  – равнодействующая сил давления жидкости  на стенку оболочки в проекции на

вертикальную ось.

Жидкость действует на стенку оболочки переменным давлением. Равнодействующую сил давления жидкости на вертикальную ось определим по формуле:

,

где – объём цилиндра; – объём шарового сегмента, рис. 2.

,

где - высота столба жидкости в расчётном сечении.

Рис. 2. Расчётная схема

Получаем:

.

Из уравнения равновесия после подстановки выражения для силы  имеем:

.

Отсюда меридиональное напряжение:

.

Определим кольцевое напряжение . Для этого обратимся к уравнению Лапласа, учитывая, что для сферической оболочки R₁=R₂=R::

,

где  - давление жидкости в рассматриваемом сечении оболочки.

После подстановки в уравнение Лапласа  получаем:

.

Принимая угол  в диапазоне от 0˚ до 90˚, занесём значения составляющих уравнения равновесия, кольцевых и меридиональных напряжений с шагом угла , равным 10˚,в таблицу 1.

Таблица 1

2. Выводы расчётных зависимостей для нижней полусферы

Рис. 3. Расчётная схема

Отсечём нормальным коническим сечением часть сферы (рис. 3). Вес жидкости в объёме шарового сегмента  и равнодействующая от гидростатического давления жидкости , находящейся выше рассматриваемого сечения, уравновешиваются реакцией опоры N и результирующим меридиональным усилием от погонных меридиональных сил, распределённых по круговому контуру шарового сегмента в сечении . Отсюда получим следующее уравнение равновесия:

,

где  - реакция опоры, равная весу жидкости в объёме шара.

Н;

 - гидростатическое давление жидкости;

 - площадь поперечного сечения;

 - вес жидкости в объёме шарового сегмента.

После подстановки получим:

Отсюда имеем:

.

Для нижней части полусферы  определяем из уравнения Лапласа:

, где .

Отсюда:

.

Принимая угол  в диапазоне от 90˚ до 0˚, занесём значения составляющих уравнения равновесия, кольцевых и меридиональных напряжений с шагом угла , равным 10˚,в таблицу 2.

Таблица 2

Выводы

В опорной точке сферы безмоментные напряжения обращаются в бесконечность. Это является следствием обращения в ноль площади сечения, по которой действуют напряжения . В реальных условиях сосредоточенных в точке сил не существует, и поэтому эта особенность имеет место лишь в расчётной схеме.

Рис. 4. Эпюра напряжений  и

4. РАСЧЁТ СФЕРИЧЕСКОГО ТОПЛИВНОГО БАКА С ОПОРОЙ ПО ЭКВАТОРУ

Условие задачи: Сферический топливный бак с опорой по экватору, заполненный жидкостью, находится под давлением наддува (рис.1, рис. 2).

Цель расчёта: Определить толщину стенки и массу конструкции бака при заданных размерах и нагрузке.

Исходные данные:

Радиус оболочки:  м;

Плотность жидкости (горючее):    ;

Давление наддува: ;

Уровень жидкости: ;

Коэффициент осевой перегрузки: ;

Коэффициент безопасности: ;

Материал оболочки:

марка ВТ6С (О);

предел прочности ;

плотность .

Примечание: Для упрощения принимаем: .

Выполнение расчёта

1. Расчёт оболочки над опорой

Формулы для расчёта погонных меридиональных  и кольцевых  усилий над опорой  от действия давления жидкости и давления наддува имеют вид:

;

,

где  – угол, отсчитываемый в плоскости меридиана от верхнего полюса;

 – ускорение свободного падения.

Принимая угол  в диапазоне от 0˚ до 90˚, занесём значения кольцевых и меридиональных усилий с шагом угла , равным 10˚,в таблицу 1.

Таблица 1

2. Расчёт оболочки под опорой

Выведем расчётные формулы для погонных меридиональных и кольцевых усилий от действия давления жидкости и давления наддува под опорой топливного бака . Составим уравнение равновесия внешних и внутренних сил для выделенного сечения оболочки (рис. 2) в проекции на вертикальную ось . Получим:

,

где  – давление в рассматриваемом сечении; S – площадь расчётного поперечного сечения;

– вес жидкости в шаровом сегменте, отсечённом нормальным коническим сечением с углом ;

– равнодействующая погонных меридиональных усилий  в проекции на ось .

Давление  в произвольном сечении оболочки равно давлению наддува плюс давление столба жидкости над рассматриваемым сечением:

,

где h – высота столба жидкости от зеркала жидкости до расчётного сечения.

,

,

где  - радиус рассматриваемого сечения.

Определим вес жидкости в шаровом сегменте: ,

где – объём шарового сегмента, отсечённого нормальным коническим сечением с углом .

.

Спроектируем погонные меридиональные усилия  в расчётном сечении на вертикальную ось : .

Величина равнодействующей  от распределённых по кольцу радиуса r меридиональных сил  определяется по формуле:

.

Окончательно получаем .

Принимая угол  в диапазоне от 90˚ до 0˚, занесём значения составляющих уравнения равновесия с шагом угла , равным 10˚,в таблицу 2.

Таблица 2

Подставляем полученные выражения , S, ,  в уравнение равновесия и преобразовываем.

Получаем формулу для вычисления погонных меридиональных усилий:

.

Подставляя полученное выражение  в уравнение Лапласа, определим погонные кольцевые усилия . Уравнения Лапласа в усилиях имеет вид:

,

где , – главные радиусы кривизны оболочки; – давление в рассматриваемом сечении.

Для сферического бака R₁ = R₂ = R, поэтому уравнение Лапласа принимает вид:

.

Подставив выражение  в уравнение Лапласа и проведя преобразования, получим формулу для вычисления :

.

Принимая угол  в диапазоне от 90˚ до 0˚, занесём значения составляющих уравнения равновесия с шагом угла , равным 10˚,в таблицу 3.

Таблица 3

Погонные усилия в сферическом баке принимают наибольшее значение в нижнем полюсе. Кроме того, в нижнем полюсе  = . Сравнивая результаты вычислений значений ,  на экваторе для участков над опорой и под опорой, делаем вывод: усилия ,  терпят разрыв.

Определение толщины стенки бака

Расчёт на прочность производим по максимальным погонным усилиям.

Определяем напряжения в нижнем полюсе бака: ,

где – толщина стенки бака.

Подставив в эти формулы выражения для погонных меридиональных и кольцевых усилий, получим:

.

Минимальную толщину оболочки можно получить по формуле:

,

где  – допускаемые напряжения.

Определяем массу оболочки бака:

,

где  – площадь поверхности оболочки;

– плотность материала оболочки.

Построим эпюру погонных усилий , (рис. 3):

Рис. 3. Эпюра погонных усилий ,

5. РАСЧЁТ БАКА НА ПРОЧНОСТЬ

Условие задачи: Цилиндрический бак с верхним полуэллиптическим и нижним полусферическими днищами (рис.1) находится под действием давления наддува  и заполнен жидкостью до уровня H.

Цель расчёта:

1. Определить величину безмоментных напряжений ;

2. Определить толщину обечайки и днищ бака.

Исходные данные:

Радиус бака:                  м;

Размеры эллиптического днища:

Высота столба жидкости:     ;

Плотность жидкости (окислитель):         ;

Давление наддува:       ;

Коэффициент безопасности:          ;

Материал оболочки:

марка                  ВТ6С (О);

предел прочности        ;

.

Выполнение расчёта

Участок верхнего эллиптического днища

Рис. 2. Схема эллиптического днища

В днище нормальным коническим сечением I – I отсечём верхнюю часть оболочки и составим для неё уравнение равновесия. Выбираем оси координат так, как показано на рис. 2. Из уравнения равновесия и уравнения Лапласа получаем выражения для  в расчётном сечении эллиптического днища в виде:

 ,

где , – радиусы кривизны рассматриваемого сечения оболочки,

,

,

где x, y – координаты точки в рассматриваемом сечении оболочки.

Для построения эпюр задаёмся значениями x. Координату y определяем из уравнения эллипса . Отсюда получаем

.

Меньшую полуось b разбиваем на 5 равных частей, для каждого сечения производим расчёты, результаты расчётов заносим в таблицу 1.

Таблица 1

Участок цилиндра над зеркалом жидкости

Рис. 3. Сечение II – II

Нормальным сечением к оси бака II – II отсечём часть цилиндра, расположенную над зеркалом жидкости (рис. 3). Составим уравнение равновесия для верхней отсеченной части оболочки в проекции на вертикальную ось:

.

Отсюда меридиональное напряжение:

 Па.

Для цилиндра ; , поэтому из уравнения Лапласа получаем кольцевое напряжение:

 Па.

Участок цилиндра под зеркалом жидкости

Рис. 4. Сечение III – III

Для сечения III – III расчётная схема (рис. 4) будет отличаться от показанной на рис. 3 тем, что здесь необходимо дополнительно учесть давление на стенку цилиндрической части бака со стороны жидкости.

Уравнение равновесия в проекции на вертикальную ось бака остаётся без изменений:

.

Поэтому меридиональное напряжение не меняется:

Па.

Окружное напряжение определяем из уравнения Лапласа

,

где Па.

Отсюда  Па.

Участок нижнего полусферического днища

Рис. 5. Сечение IV – IV

Для нижнего днища нормальным коническим сечением IV – IV с углом  при вершине отсечём нижнюю часть сферической оболочки (рис. 5). Составим для неё уравнение равновесия внешних и внутренних сил в проекции на вертикальную ось оболочки:

,

где r – радиус кольцевого сечения оболочки, ;

S – площадь поперечного сечения, ;

 - давление в расчётном сечении оболочки, ;

G – вес жидкости в объёме шарового сегмента, ;

V_c – объём шарового сегмента, .

Подставляя значения r, S, , G в уравнение равновесия определяем меридиональное напряжение :

Уравнение Лапласа для сферической оболочки имеет вид:

.

Подставляя в уравнение Лапласа , находим кольцевое напряжение  в сечении IV – IV:

.

Построим таблицу 2 значений  и в зависимости от угла  в диапазоне от 0˚ до 90˚ с шагом в 15˚:

Таблица 2

По полученным напряжениям в характерных сечениях бака строим эпюры напряжений  и  (рис. 6).

Определение толщины стенок бака

Для определения толщины днищ и обечайки бака используем следующее условие:

σ_max ≤ [σ], где [σ] = Па

Толщина стенки .

Получаем: для верхнего днища  м;

для обечайки бака м;

для нижнего днища м.

Из расчётов видно, что δ_max = δ₂ = 0,518 мм – окончательная толщина стенки бака. По расчётной толщине стенки подбираем толщину листа согласно ГОСТ 22178 – 76:

.

Рис.6. Эпюры безмоментных напряжений  и

Список литературы

1. Расчёт безмоментных оболочек: Методические указания по дисциплине “Основы расчёта оболочек” для специальностей: 130600-Ракетостроение, 130400-Ракетные двигатели/ Сост. Л.И. Гречух, И. Н. Гречух.- Омск: Изд-во ОмГТУ, 2002.- 32 с.