Доклад: Аксиоматический метод в геометрии

Аксиоматический метод появился в Древней Греции, а сейчас применяется во всех теоретических науках, прежде всего в математике.

Аксиоматический метод построения научной теории заключается в следующем : выделяются основные понятия, формулируются аксиомы теории, а все остальные утверждения выводятся логическим путём, опираясь на них.

Основные понятия выделяются следующим образом. Известно, что одно понятие должно разъясняться с помощью других, которые, в свою очередь, тоже определяются с помощью каких-то известных понятий. Таким образом, мы приходим к элементарным понятиям, которые нельзя определить через другие. Эти понятия и называются основными.

Когда мы доказываем утверждение, теорему, то опираемся на предпосылки, которые считаются уже доказанными. Но эти  предпосылки тоже доказывались, их нужно было обосновать. В конце концов, мы приходим к недоказываемым утверждениям и принимаем их без доказательства. Эти утверждения называются аксиомами. Набор аксиом должен быть таким, чтобы, опираясь на него, можно было доказать дальнейшие утверждения.

Выделив основные понятия и сформулировав аксимы, далее мы выводим теоремы и другие понятия логическим путём. В этом и заключается логическое строение геометрии. Аксиомы и основные понятия составляют основания планиметрии.

Так как нельзя дать единое определение основных понятий для всех геометрий, то основные понятия геометрии следует определить как объекты любой природы, удовлетворяющие аксиомам этой геометрии. Таким образом, при аксиоматическом построении геометрической системы мы  исходим из некоторой системы аксиом, или аксиоматики. В этих аксиомах описываются свойства основных понятий  геометрической системы, и мы можем представить основные  понятия в виде объектов любой природы, которые обладают  свойствами, указанными в аксиомах.

После формулировки и доказательства первых геометрических утверждений становится возможным  доказывать одни утверждения (теоремы) с помощью других. Доказательства многих теорем приписываются Пифагору и Демокриту. Гиппократу Хиосскому приписывается составление  первого систематического курса геометрии, основанного на определениях и аксиомах. Этот курс и его последующие обработки назывались "Элементы".

Потом, в III в. до н.э., в  Александрии  появилась  книга Евклида с тем же названием, в русском переводе "Начала". От латинского названия "Начал" произошёл  термин "элементарная геометрия". Несмотря на то, что  сочинения  предшественников Евклида до нас не дошли, мы можем составить некоторое мнение об этих сочинениях по "Началам" Евклида. В "Началах" имеются разделы, логически весьма мало связанные с другими разделами. Появление их объясняется только тем, что они внесены по традиции и копируют "Начала" предшественников Евклида.

"Начала" Евклида состоят из 13 книг. 1 - 6 книги посвящены планиметрии, 7 - 10 книги - об арифметике и несоизмеримых величинах, которые можно построить с помощью циркуля и линейки. Книги с 11 по 13 были посвящены стереометрии.

"Начала" начинаются  с  изложения 23 определений  и 10 аксиом. Первые пять аксиом - "общие  понятия", остальные  называются "постулатами". Первые два постулата определяют действия с помощью идеальной линейки, третий - с помощью идеального циркуля. Четвёртый, "все прямые углы равны между собой", является излишним, так как его можно вывести из остальных аксиом. Последний, пятый постулат гласил : "Если прямая падает на две прямые и образует внутренние  односторонние углы в сумме меньше двух прямых, то, при  неограниченном продолжении этих двух прямых, они пересекутся с той стороны, где углы меньше двух прямых".

Пять "общих понятий" Евклида являются принципами измерения длин, углов, площадей, объёмов : "равные одному и тому же равны между собой", "если к равным прибавить равные, суммы равны между собой", "если от равных отнять равные, остатки равны между собой", "совмещающиеся друг с другом равны между собой", "целое больше части".

Далее началась критика геометрии Евклида. Критиковали Евклида по трём причинам : за то, что он рассматривал только такие геометрические величины, которые можно построить с помощью циркуля и линейки; за то, что он разрывал геометрию и арифметику и доказывал для целых чисел то, что уже доказал для геометрических величин, и, наконец, за аксиомы Евклида. Наиболее сильно критиковали пятый постулат, самый сложный постулат Евклида. Многие считали его лишним, и что его можно и нужно вывести из других аксиом. Другие считали, что его следует заменить более простым и наглядным, равносильным ему : "Через точку вне прямой можно провести в их плоскости не более одной прямой, не пересекающей данную прямую".

Критика разрыва между геометрией и арифметикой привела к расширению понятия числа до действительного числа. Споры о пятом постулате привели к тому, что в начале XIX века Н. И. Лобачевский, Я. Бойяи и К. Ф. Гаусс построили новую геометрию, в которой выполнялись все аксиомы геометрии Евклида, за исключением пятого постулата. Он был заменён противоположным утверждением : "В плоскости через точку вне прямой можно провести более одной прямой, не пересекающей данную". Эта геометрия была столь же непротиворечивой, как и геометрия Евклида.

Модель планиметрии Лобачевского на евклидовой плоскости была построена французским математиком Анри Пуанкаре в 1882 г.

На евклидовой плоскости проведём горизонтальную прямую (см. рисунок 1). Эта прямая называется абсолютом (x). Точки евклидовой плоскости, лежащие выше абсолюта, являются точками плоскости Лобачевского. Плоскостью Лобачевского называется открытая полуплоскость, лежащая выше абсолюта. Неевклидовы отрезки в модели Пуанкаре - это дуги окружностей с центром на абсолюте или отрезки прямых, перпендикулярных абсолюту (AB, CD). Фигура на плоскости Лобачевского - фигура открытой полуплоскости, лежащей выше абсолюта (F). Неевклидово движение является композицией конечного числа инверсий с центром на абсолюте и осевых симметрий, оси которых перпендикулярны абсолюту. Два неевклидовых отрезка равны, если один из них неевклидовым движением можно перевести в другой. Таковы основные понятия аксиоматики планиметрии Лобачевского.

Все аксиомы планиметрии Лобачевского непротиворечивы. Определение прямой следующее : "Неевклидова прямая - это полуокружность с концами на абсолюте или луч с началом на абсолюте и перпендикулярный абсолюту". Таким образом, утверждение аксиомы параллельности Лобачевского выполняется не только для некоторой прямой a и точки A, не лежащей на этой прямой, но и для любой прямой a и любой не лежащей на ней точки A

За геометрией Лобачевского возникли и другие непротиворечивые геометрии : от евклидовой отделилась проективная геометрия, сложилась многомерная евклидова геометрия, возникла риманова геометрия (общая теория пространств с произвольным законом измерения длин) и др. Из науки о фигурах в одном трёхмерном евклидовом пространстве геометрия за 40 - 50 лет превратилась в совокупность разнообразных теорий, лишь в чём-то сходных со своей прародительницей - геометрией Евклида.

Список литературы

Для подготовки данной работы были использованы материалы с сайта http://tc.lib.ru/

Шпаргалки по геометрии, алгебре, педагогике, методике математики (ИГПИ ...
Кольцом называется числ. множ. На котором выполняются три опер-ии: слож, умнож, вычит. Полем наз. Числ множ. На котором выполняются 4 операции: слож ...
Абсолютная геометрия это совокупность тех утверждений которые можно доказать не используя 5 постулата Евклида или какого то равносильного ему. т.е. абс. геометрия строится на 1-4 ...
Предположим что аксиома парралельности евклида (а она эквивалентна 5 постулату) является следсьтвием остальных аксиом евклидовой геометрии. т.е. 1-4 групп аксиом.
Раздел: Рефераты по математике
Тип: реферат
Неевклидова геометрия
Министерство образования Российской Федерации. Реферат. Неевклидова геометрия. Содержание: 1. Введение 2. Появление геометрии Лобачевского 3. Три ...
И в начале XIX века, почти одновременно сразу у нескольких математиков: у К. Гаусса в Германии, у Я. Больяи в Венгрии и у Н. Лобачевского в России, возникла мысль о существовании ...
Фигура на плоскости Лобачевского - это фигура полуплоскости L. Принадлежность точки фигуре понимается так же, как и на евклидовой плоскости E. При этом отрезком плоскости L ...
Раздел: Рефераты по математике
Тип: реферат
Аксиомы планиметрии
МОУ "ООШ №16" Доклад на тему: "Аксиомы планиметрии" Выполнила: Ученица 7 класса Аулова Евгения Астрахань 2010 Из истории аксиом Аксиоматический метод ...
Критиковали Евклида по трём причинам: за то, что он рассматривал только такие геометрические величины, которые можно построить с помощью циркуля и линейки; за то, что он разрывал ...
Таким образом, утверждение аксиомы параллельности Лобачевского выполняется не только для некоторой прямой и точки A, не лежащей на этой прямой, но и для любой прямой и любой не ...
Раздел: Рефераты по математике
Тип: доклад
Развитие логического мышления учащихся при решении задач на построение
... ФЕДЕРАЦИИ БЛАГОВЕЩЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДПГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Физико-математический факультет Кафедра алгебры и геометрии РАЗВИТИЕ ЛОГИЧЕСКОГО ...
Американский педагог-психолог Д. Брунер пишет, что "...Быть может, самым поразительным примером такого подхода является первоначальное изложение евклидовой геометрии учащимися ...
Предлагая настоящий курс, мы исходили из того, что главная задача преподавания геометрии в школе - научить учащихся логически рассуждать, аргументировать свои утверждения ...
Раздел: Рефераты по педагогике
Тип: дипломная работа
Евклідова і неевклідова геометрії
Зміст Введення Глава I. Розвиток геометрії 1.1 Історія геометрії 1.2 Постулати Евкліда 1.3 Аксіоматика Гильберта 1.4 Інші системи аксіом геометрії ...
Тому що будь-які два більших кола перетинаються, то в сферичній геометрії не здійснюється ні постулат Евкліда, ні аксіома паралельності Лобачевского.
Відкриття неевклідової геометрії довело, що не можна абсолютувати уявлення про простір, що "уживана" (як назвав Лобачевский геометрію Евкліда) геометрія не є єдино можливою, однак ...
Раздел: Рефераты по математике
Тип: дипломная работа