Учебное пособие: Переходные процессы в колебательных контурах
Академия России
Кафедра Физики
Лекция
Переходные процессы в колебательных контурах
Орел 2009
Содержание
Вступление
Переходные колебания в параллельном контуре
Свободные колебания в параллельном контуре
Режимы переходных колебаний в колебательных контурах
Переходные колебания при гармоническом воздействии
Литература
Вступление
Колебательные контуры составляют значительную часть аппаратуры связи. Они могут выполнять самые различные функции: например, участвовать в выделении гармонических колебаний из последовательности видеоимпульсов, в формировании прямоугольных импульсов заданной длительности и др. На практике довольно распространен случай, когда на контур действует прямоугольный импульс (рис. 1).
Рис. 1
Если
предположить 
, то нетрудно видеть, что
при 
в контуре будет
наблюдаться режим переходных колебаний, а с момента 
–
свободные колебания за счет запасенной реактивными элементами энергии.
Рассмотрим оба этих случая на примере параллельного контура.
Переходные колебания в параллельном контуре
Пусть
на параллельный контур, находящийся при ННУ, в момент 
действует перепад
тока величиной 
. Требуется
определить реакцию – временную зависимость напряжения на контуре (рис.
2а).
а) б)
Рис. 2
Для
нахождения 
воспользуемся операторной
схемой замещения, показанной на рис. 2,б. Найдем 
:
где
– есть коэффициент
затухания;
– частота собственных
незатухающих колебаний.
Воспользуемся таблицей соответствий (Л.0.1, стр. 222):
,
где
– частота собственных
затухающих колебаний.
График имеет вид:
Рис. 3
Свободные колебания в параллельном контуре
Пусть
в момент в схеме, показанной
на рисунке 4а гасится источник тока .
Требуется определить временную зависимость напряжения на контуре.
Примечание: Такая задача возникает после окончания действия прямоугольного импульса (рис. 1) на контур.
а) б) в)
Рис. 4
Для
определения начальных условий изобразим эквивалентную схему (рис. 4б) для
момента времени, непосредственно предшествующего коммутации. При этом для постоянного
тока индуктивность представляется коротким замыканием, а емкость – обрывом
цепи. Легко видеть, что до момента гашения весь ток источника будет проходить
через индуктивность. Поэтому 
, 
.
В операторной
схеме (рис. 4б) индуктивность отображена схемой замещения с источником тока.
Нахождение здесь отличается от предыдущего
случая (рис. 2б) лишь направлением операторного источника тока. Следовательно,
можно записать:
.
График данной зависимости будет зеркальным отображением зависимости (*), полученной для переходного процесса (рис. 5).
Рис. 5
Можно показать, что аналогичные результаты получаются при анализе переходных и свободных колебаний в последовательном контуре.
Отметим две особенности полученных выражений:
– во-первых,
колебания носят гармонический характер, на что указывает множитель
гармонической функции 
;
– во-вторых,
амплитуда полученных колебаний изменяется во времени по экспоненциальному
закону 
.
Очевидно,
что вид графиков найденных функций будет зависеть от величины коэффициента
затухания 
и его соотношения с 
поскольку последним
определяется величина 
.
Поэтому
в зависимости от и различают несколько
режимов колебаний. Рассмотрим их подробней применительно к параллельному контуру.
Режимы переходных колебаний в колебательных контурах
Ранее было получено выражение для напряжения на контуре при ступенчатом воздействии:
,
где
.
Для
удобства изложения последующего материала выразим коэффициент затухания и
частоту , через добротность:
.
В зависимости
от величины (или добротности 
) будем различать четыре
режима колебаний: колебательный, квазиколебательный, критический и
апериодический.
а) Колебательный режим.
Этот
режим получается в контуре без потерь (идеальный контур), т. е. в чисто теоретическом
случае: 
.
Выражение
принимает вид:
.
График полученного выражения показан на рисунке 6.
Рис. 6
б) Квазиколебательный режим.
Режим, который используется в подавляющем большинстве случаев.
Он получается
при 
.
Для построения графика (рис. 7) используем выражение:
,
где
– амплитуда напряжения,
убывающая по экспоненциальному закону.
Рис. 7
Длительность переходных колебаний может быть найдена из условия, что амплитуда напряжения будет менее 5% от своего максимального значения, т. е.:
, откуда 
.
Отсюда
можно сделать вывод, что чем выше добротность контура (или чем меньше полоса
пропускания 
), тем более длительным
будет переходный процесс.
Частота
затухающих колебаний 
, однако это
отличие незначительно. Действительно при средней добротности (
), например 
, имеем: 
.
в) Критический режим.
Он возникает,
когда 
.
В этом
случае 
и получается
неопределенность 
.
Раскроем ее:
.
Выражение
для принимает вид:
.
График этой функции начинается и заканчивается нулем, не пересекает ось времени. Исследуем его на экстремум:
.
Экстремальные точки найдем из условия:
,
при этом:
.
График напряжения в рассматриваемом режиме показан на рисунке 8.
Рис. 8
г) Апериодический режим.
Такой
режим получается при 
(
), откуда следует, что будет комплексной и
не имеет физического смысла. График напряжения при этом будет менее выраженным,
чем при критическом режиме (пунктир на рисунке 8).
Вывод: изменяя добротность контура (например, с помощью шунтирующего сопротивления) можно изменять длительность и вид колебательного процесса.
Задание: Самостоятельно начертить график квазиколебательного процесса при воздействии на контур прямоугольного импульса.
Переходные колебания в параллельном контуре при гармоническом воздействии
Пусть
на параллельный контур с резонансной частотой (рис.
9,а) находящийся при нулевых начальных условиях, в момент 
действует
гармоническое колебание, частота которого совпадает с :
.
Требуется определить закон изменения напряжения на контуре.
Задачу решим в операторной форме, для чего перейдем к схеме замещения, показанной на рисунке 9,б.
а) б)
Рис. 9
По таблице
соответствий воздействие 
имеет
изображение:
.
Определим операторную проводимость контура:
,
где
и определены ранее.
По закону Ома в операторной форме имеем:
.
Поскольку в таблице соответствий нет нужной формулы для перехода во временную область, то данное выражение следует преобразовать.
Для этого воспользуемся теоремой разложения и методом неопределенных коэффициентов. Представим правильную дробь 4‑го порядка в виде суммы двух правильных дробей 2‑го порядка:
,
где
, 
, 
, 
— коэффициенты,
подлежащие определению.
Если
данное выражение привести к общему знаменателю, раскрыть скобки в числителе и
приравнять коэффициенты при одинаковых степенях 
,
то получим систему 4‑х уравнений с 4‑мя неизвестными.
Решая
систему уравнений имеем: 
; 
; 
.
Теперь полученное выражение можно записать в виде:
и использовать таблицу соответствий.
По таблице соответствий находим оригинал:
.
Предполагая,
что контур имеет добротность, при которой 
,
и, пренебрегая
произведением 
как очень малой
величиной, получим:
.
Из формулы
следует, что процесс установления гармонического напряжения в контуре до
амплитудного значения 
происходит не
мгновенно, а за конечное время, определяемое множителем 
.
Если
процесс установления колебаний в контуре считать законченным при достижении
напряжением величины более 95% от максимальной, то можно определить 
:
; 
.
Видно, что время установления зависит от добротности контура: чем выше добротность, тем дольше происходят в контуре переходные процессы. На рисунке 10 показаны графики переходных колебаний при различных добротностях контура.
Рис. 10
В радиотехнических устройствах (например, в радиоприемниках) на параллельный контур обычно действуют гармонические колебания в виде радиоимпульсов с прямоугольной огибающей.
При
этом чтобы напряжение на контуре достигло своего максимального значения,
необходимо выполнять условие: 
.
Отсюда, зная длительность радиоимпульсов, можно рассчитать минимальную полосу пропускания контура:
, или его добротность: 
.
Литература
Белецкий А. Ф. Теория линейных электрических цепей. - М.: Радио и связь, 1986,
Шалашов Г. В. Переходные процессы в электрических цепях. – Орел: 1981