Контрольная работа: Розробка та аналіз математичної моделі технологічного об' єкта із заданими параметрами
Розробка та аналіз математичної моделі технологічного об' єкта із заданими параметрами
1 Аналітичне моделювання статичного режиму
Рис. 1
Розрахувати
статичну модель і побудувати статичну
характеристику повітряного ресиверу для випадку ізотермічного розширення газу.
G1=25
G2=25
p0=6
p=2
p1=1,5
Визначимо
границі об’єкту моделювання,
його виходи і входи. У відповідності з математичною моделю маємо 1 вихідну
величину – Р і 2 вхідні та
. Виличини Р0 і Р1 будемо вважати
постійними. Складемо рівняння математичного балансу.
Де та
- коефіцієнти
витрати клапанів;
та
значення щільності газу
відповідно для Р0 і Р1
Це рівняння
є рівнянням статики, яке зв’язує вихідну величину Р зі вхідними та
.
Але в
цьому рівняння присутні значення значення щільності газу та
, які для ізотермічного
процесу повністю визначаються значеннями тиску Р0 і Р1.
І в
зв’язку з тим, що
Р0, а значить, і являються постійними
величинами, тиск слід виразити через значення щільності.
Для ізотермічного процесу, який протікає при постійній температурі з рівнянням стану ідеального газу.
З цієї формули слідує, що при постійній температурі і незмінному значенні маси газу і його молярній масі М добуток тиску газу на його об’єм повинно залишатися постійною.
Відомо, що :
Значення
функціональної залежності отримано в загальному вигляді.
Перейдемо до чисельного представлення отриманої функціональної залежності. Для
цього визначаємо чисельне значення усіх необхідних величин ( основного
статичного режиму).
Таблиця 1
Значення параметрів ресивера в номінальному статичному режимі
№ | Назва параметру | Позначення | Розмірність | Дані |
1 | Витрати повітря на вході | G1 | кг/год | 20 |
2 | Витрати повітря на виході | G2 | кг/год | 20 |
3 | Тиск повітря на вході | P0 | кг/см2 | 6 |
4 | Тиск повітря в ресивері | P | кг/см2 | 4 |
5 | Тиск повітря на виході | P1 | кг/см2 | 3 |
6 | Ступінь відкриття вхідного клапану |
|
- | 0.4 |
7 | Ступінь відкриття вихідного клапану |
|
- | 0.6 |
8 | Температура повітря | t | оС | 20 |
9 | Щільність повітря |
|
кг/см3 |
|
10 | Щільність повітря в ресивері |
|
кг/см3 |
|
11 | Коефіцієнт витрати вхідного клапана |
|
|
|
12 | Коефіцієнт витрати вихідного клапана |
|
|
|
13 |
З
довідника відомо, що при тиску і температури 200С
дорівнює
кг/см2
Отримана
залежність - статична модель об'єкта в явній формі, що відповідає поставленому
завданню. Розрахуємо характеристику
|
Р кг/см2 |
0 | 3 |
0,1 | 3,116 |
0,2 | 3,386 |
0,3 | 3,7 |
0,4 | 4 |
0,5 | 4,269 |
0,6 | 4,5 |
0,7 | 4,698 |
0,8 | 4,866 |
0,9 | 5,008 |
1 | 5,128 |
2 Аналітичне моделювання динамічного режиму
Отримати рівняння динаміки двохємкістного ресивера, схематично зображеного на рис.1. Визначальним параметром даного об’єкта є тиск Р3. Необхідно знайти залежність:
, де
ступінь
відкриття клапану на вхідному потоці;
- витрати газу з ресивера,
кг/год.
Рис. 2. Розрахункова схема об’єкту моделювання
Основний статичний режим визначається такими значеннями параметрів
Н/см2
;
Н/см2
;
Н/см2
;
кг/год
Ємкості
ресивера мають об’єм ;
На основі матеріальних балансів складаємо рівняння статики для кожної із єкостей
Витрати
та
потрібно
виразити через залежності від відповідних значень тиску, та ступеню відкриття
клапану на вхідному потоці:
,
де та
- коефіцієнти
витрати;
та
- це
значення щільності газу відповідно перед вхідним клапоном та у першій ємкості.
Враховуючи акумулюючу здатність кожної з ємкостей, перетворимо рівняння статики на рівняння динаміки:
За умовою, що
та
,
Отримуємл наступну систему диференційних рівнянь:
Зробимо
аналіз змінних, що входять у рівняння. Змінними є : . Якщо
та
будуть змінюватися, то навіть за
сталим значенням
будуть змінюватися
та
, а в зв’язку з тим, що
- змінна, то
змінною буду і
. Таким чином, змінними в рівняннях
будуть
.
Рівняння, з врахуванням визначенних змінних, будуть нелінійними. Лінеаризуємо
рівняння розкладанням в ряд Тейлора.
В
рівняннях є залежні між собою змінні. Це тиск та щільність
, тиск
та щільність
. Іх
однозначана залежність буде визначатися законом розширення газу. Якщо
теплообмін з навколішнім середовищем близький до ідеального та не дуже великий
перепад тиску, можна прийняти ізотермічний закон розширення газу PV=RT. Тоді можна записати:
,
Введемо
умовне позначення .
Де
Виключивши
з рівнянь змінни та розділивши всі складові
рівняння на коефіцієнт при
, отримаємо:
Де
;
;
;
;
;
;
Розмірність всіх додатків рівняння динамікт однакова, що є необхідною, хоч і не достатьньою умовою стверджувати, що рівняння динаміки отримано вірно.
Визначимо
із статичних залежностей та з довідників значення величин . Спочатку визначимо
. Тиск та
щільність для незмінної температури знаходяться у такій залежності:
,
де - атмосферний
тиск,
Н/см2;
- абсолютне
значення тиску відповідно перед ресивером, у першій та другій ємкості,
;
;
.
Щільність
повітря ддля атмосферного тиску за довідником кг/м3.
Враховуючи
викладне вище, із залежності вирахуємо числові значення для основного
статичного режиму:
,
,
Визначимо
числові значення коефіцієнтів витрати .
.
Знайдемо
числове значення виразу ,
.
Запишимо значення всіх констант та змінних в номінальному (початковому) режимі в табл.2. Користуючись значенням величин, записаних у табл. 2, знайдемо числові значення проміжних коефіцієнтів B, D, C та E.
;
;
;
.
Таблиця 2
Значення параметрів ресивера в номінальноу статичному режимі
№ п.п | Назва параметру | Позначення | Розмірність | Числові значення |
1. | Тиск повітря на вході |
|
Н/см2 | 80 |
2. | Тиск повітря в першій ємкості |
|
Н/см2 | 50 |
3. | Тиск повітря в другій ємкості |
|
Н/см2 | 16 |
4. |
Витрати повітря ( |
|
Кг/год | 60 |
5. | Об'єм першої ємкості |
|
м3 | 3 |
6. | Об'єм другої ємкості |
|
м3 | 5 |
7. | Ступінь відкриття клапану |
|
- | 0.5 |
8. | Щільність повітря на вході |
|
Кг/м3 | 11.9 |
9. | Щільність повітря в перщій ємкості |
|
Кг/м3 | 7.9 |
10. | Щільність повітря в другій ємкості. |
|
Кг/м3 | 3.42 |
11. | Коефіцієнт витрати через клапан |
|
|
6.35 |
12. | Коефіцієнт витрати парубка між ємкостями |
|
|
3.6 |
13. |
|
|
0.133 |
Користуючись розрахованими значеннями В, D, C та Е, а також значеннями параметрів із таблиці 1, з використанням залежностей обчислимо значення коефіціентів рівняння динаміки.
год2 ;
год;
;
;
.
Підставляючи значення коефіцієнтів у рівняння динаміки запишемо його у числовій формі
.
Це
рівняння є рівнянням динамікт ресивера відповідно до залежності .
Знайдемо розв'язання рівняння
у
вигляді ,
де
-
вільна складова;
- примусова складова.
Початкові
умови приймемо нульовими:
Керуючий
вплив визначаємо наступним чином: . Збурюючий вплив
та його похідну
приймаємо нульовими. Харакеристичне рівняння диференційного рівняння має вид:
,
;
.
Таким чином вільна складова вирішення має наступний вид:
де, С1 та С2 – сталі інтегрування.
Примусова
складова, у урахуванням того, що не залежить від часу, складе:
Н/см2
Для
визначення сталих інтегрування С1 та С2 складемо систему
равняння з урахуванням початкових умов та того, що похідна від має наступний вид:
Система рівнянь формується наступним чином:
Звідси маємо:
Розв'язання системи рівняння дозволяє отримати такі значення С1 та С2:
,
.
Таким чином, остаточно запишемо розв'язання рівняння
За
цією формулою проведемо розрахунки , результати яких наведені в
таблиці.
|
|
0 | 0 |
1 | 0,174 |
2 | 0,542 |
3 | 0,972 |
4 | 1,399 |
5 | 1,798 |
6 | 2,157 |
7 | 2,474 |
8 | 2,751 |
9 | 2,992 |
10 | 3,201 |