Учебное пособие: Рух в інерціальних системах відліку

8. РУХ В НЕІНЕРЦІАЛЬНИХ СИСТЕМАХ ВІДЛІКУ

1. СИЛА ІНЕРЦІЇ В НЕІНЕРЦІАЛЬНИХ СИСТЕМАХ ВІДЛІКУ, ЩО РУХАЮТЬСЯ ПРЯМОЛІНІЙНО.

Неінерціальною системою відліку (НІСВ) називають систему відліку (СВ), що рухається з прискоренням відносно інерціальної системи відліку (ІСВ).

Одержимо рівняння руху матеріальної точки відносно НІСВ. Рівняння руху – це співвідношення, якими визначаються прискорення матеріальних точок механічної системи в тій СВ, відносно якої розглядається рух.

ІСВ  будемо називати нерухомою СВ, а рух відносно неї – абсолютним. Рух відносно НІСВ  будемо називати відносним. НІСВ  рухається відносно ІСВ  з прискоренням; разом з системою  рухаються і всі тіла, що в ній знаходяться; цей рух називають переносним.

Положення м.т. М в нерухомій СВ  визначається радіусом-вектором  (початок координат СВ  – т. О); в рухомій СВ  положення т. М визначається радіусом-вектором  (початок координат СВ  – т.).  - це радіус-вектор рухомого початку  відносно нерухомого О.

Як і раніше, час і простір вважаємо абсолютними, оскільки мова іде про повільні рухи (v<<c), тобто відстані і проміжки часу інваріантні по відношенню до переходу від однієї СВ до іншої.

Вектори  в будь-який момент часу пов’язані співвідношенням:

                                            (8.1)

Диференціюємо (8.1) двічі по t:

                                              (8.2)

                                             (8.3)

Обмежимося спочатку розглядом лише поступального руху системи  . В цьому випадку  і  характеризують швидкість і прискорення не лише початку , а й будь-якої точки системи  відносно О, тобто  - це переносні швидкість і прискорення.  при поступальному русі дають відносну швидкість і відносне прискорення.  завжди дають абсолютну швидкість і абсолютне прискорення  т. М:

,                                   (8.4)

,                                    (8.5)

причому .

В ІСВ S рівнянням руху м. т. М є рівняння 2-го закону Ньютона:

                                       (8.6)

Підставимо (8.5) в (8.6):    ; перенесемо член, що містить переносне прискорення, в праву частину:

                               (8.7)

Ми одержали рівняння відносного руху м.т. М. Праву частину (8.7) можна формально вважати якоюсь „силою”, що діє на м. т. М в рухомій СВ. В цьому випадку рівняння руху м. т. в НІСВ за формою співпадає з ІІ законом Ньютона. Права частина (8.7) складається з двох складових.  є рівнодійна звичайних сил (в ньютонівському розумінні сила – це результат взаємодії тіл). Друга складова – () виникає тому, що  рухається з прискоренням . Її називають поступальною силою інерції:

                                         (8.8)

Якщо  не змінюється при переході від однієї СВ до іншої, то  не інваріантна відносно такого переходу. Крім того, сила інерції не підлягає дії закону рівності дії і протидії. Якщо на яке-небудь тіло діє сила інерції, то не існує протидіючої сили, що прикладена до другого тіла.

Сили інерції, подібно силам тяжіння, пропорційні масі тіла. Тому в однорідному полі сил інерції, як і в полі сил тяжіння, всі тіла рухаються з одним і тим же прискоренням, незалежно від їх маси. Знаходячись в кабіні космічного корабля, який рухається поступально з прискоренням , модуль якого дорівнює g, ми виявимо, що всі тіла ведуть себе так, ніби на них діє сила  . Ті ж явища ми спостерігали б, якби корабель нерухомо стояв на Землі. Не „виглядаючи” з кабіни, ми не змогли б встановити, чим зумовлена сила  – прискореним рухом кабіни чи дією гравітаційного поля Землі (чи й обома причинами разом).

Ейнштейн висловив припущення, яке дістало назву принципу еквівалентності сил тяжіння і сил інерції:

Всі фізичні явища в однорідному полі тяжіння відбуваються так само, як і у відповідному однорідному полі сил інерції.

Принцип еквівалентності лежить в основі загальної теорії відносності Ейнштейна.

Отже, в СВ, що рухається поступально з прискоренням , на всі тіла діє сила інерції , що дорівнює добутку маси тіла на прискорення СВ, взяте з протилежним знаком.

Рівняння руху м.т. в такій НІСВ має вид:

                                      (8.9)

2. НІСВ, ЩО РІВНОМІРНО ОБЕРТАЄТЬСЯ.

Розглянемо тепер НІСВ , яка рівномірно обертається навколо вісі, що проходить через т. О′ з кутовою швидкістю . Для спрощення вважатимемо , звідки .

Рівняння (8.2) і (8.3) матимуть вид: ,  .

Обчислимо похідні .

Якщо x′, y′, z′ координати т. М в , то:

                                  (8.10)

.

Перший доданок - це відносна швидкість м. т. М:

                            (8.11)

Другий доданок перетворимо, використавши відоме співвідношення ,  або   :

 ,   , 

Таким чином:

                                          (8.12)

Отже:

,                                         (8.13)

де   .

Диференціюємо  (8.13)  по t:

; оскільки , то .

При знаходженні  скористаємося тими ж міркуваннями, що і при знаходженні :

 (використано вираз (8.12)).

Нарешті:

                        (8.14)

В (14) останній доданок

                                      (8.15)

є переносним прискоренням; таке прискорення зазнає нерухома точка в CВ, що обертається.

Доданок                             (8.16)

залежить як від відносного так і від переносного руху точки.

Це прискорення дістало назву коріолісового прискорення.

Отже:

                               (8.17)

Абсолютне прискорення є векторною сумою відносного, коріолісового та переносного прискорень.

Це твердження називають  теоремою Коріоліса.

Обчислимо переносне прискорення. Розкладемо вектор  на дві складові:  і  - перпендикулярну і паралельну вісі обертання.

 тому

За властивістю подвійного векторного добутку:

,        (8.18)

оскільки

Очевидно  в даному випадку (і ) є доцентровим прискоренням.

Підставимо тепер в (8.6)  (8.17)  і врахуємо (8.16) і (8.18):

;

;

                    (8.19)

До „справжніх” сил додалися дві сили інерції:

коріолісова сила :                        (8.20)

і відцентрова сила :                           (8.21)

Коріолісова сила інерції виникає тільки тоді, коли CВ обертається, а м.т. М рухається відносно цієї системи.  При  і .

, тому під час відносного руху вона роботи не виконує;  змінює   тільки за напрямком .

Якщо система відліку  , крім обертового руху, здійснює ще й поступальний, то  і  В цьому випадку переносна швидкість і переносне прискорення визначаться співвідношеннями :

  ,

а рівняння відносного руху м.т. в НІСВ має вид:

               (8.22)