Статья: Великая теорема Ферма – два коротких доказательства

Великая теорема Ферма – два коротких доказательства

Бобров А.В.

123098, г. Москва, ул. Маршала Новикова, д.10, корп. 1, кв. 15

Контактный телефон – 193-42-34

         Последняя теорема Ферма, иногда называемая Великой, формулируется следующим образом:

         В равенстве  числа  и   не могут быть одновременно целыми положительными, если .

         Предположим, такие числа существуют. Тогда должны выполняться следующие условия:

·  Равенство справедливо для взаимно простых, не имеющих общих целых множителей, кроме 1, чисел  и , т.е. два числа – всегда нечетные.

·  Существуют числа  и , или , то есть для произвольно выбранных натуральных  существует бесконечное множество рациональных, действительных или комплексных чисел  и , удовлетворяющих приведенному равенству, если в этом множестве выполнимы арифметические действия. Для целых  числа  и  также будут целыми.

Вариант№1

         Равенство                                                                (1)

путем последовательного деления на числа  и  всегда преобразуется в два многочлена (уравнения) -ой степени относительно :

                    (2)

                   (3)

Равенства (2) и (3) получены путем тождественных преобразований равенства (1), т.е. должны выполняться при одних и тех же значениях целых положительных чисел  и . По определению, необходимым и достаточным условием тождественности двух многочленов над некоторым числовым полем (в нашем случае – над множеством целых чисел) является равенство коэффициентов членов, содержащих одни и те же аргументы в одинаковых степенях, то есть должно выполняться:

, , … ,                       (4)

Из (1) и (4) следует ,  то есть число , как общий арифметический корень уравнений (1), (2) и (3) не может быть рациональным при целых , ,  и .

         Из равенства свободных членов следует:

, или  ,  или

               (5)

Вычитая из правой части равенства (5) левую, получим:

                   (6)

или, если , сократив на , получим:

                     (7)

         Из равенства (7) следует, что для  числа  и  не могут быть одновременно положительными.

         Представленные преобразования позволяют сделать следующие выводы:

·  для тождественных над множеством рациональных чисел многочленов (2) и (3) при  число , как общий арифметический корень уравнений (1), (2) и (3), не может быть рациональным при целых положительных , ,  и ;

·  многочлены (2) и (3) для   и натуральных  и  не тождественны над множеством рациональных чисел, если делители  и  равенства (1) являются иррациональными, откуда следует иррациональность числа ;

·  числа ,  и  в равенстве (1) для  не могут быть одновременно рациональными.

         Для  противоречие исчезает, коэффициенты при   равны 1, а равенство свободных членов после подстановки значений  и  обращается в тождество:

                                     .                                               (8)

         Если правую и левую части равенства (5) обозначить соответственно через  и , где  и  - целые положительные числа, то многочлены (2) и (3) преобразуются в квадратные уравнения относительно :

                             (9),

где неизвестное  обозначено общепринятым образом через , то есть .

 Из условий эквивалентности или анализа причин неэквивалентности этих уравнений следуют те же выводы.

         Это доказательство опубликовано в 1993 г. в журнале РАН «Вопросы истории естествознания и техники», №3.

         Со стороны оппонентов не поступило никаких возражений по существу, кроме утверждения, что в используемых для доказательства уравнениях известные и неизвестные величины зависят друг от друга – как будто может быть иначе. Любое аналитическое выражение, в котором присутствуют известные и неизвестные величины, есть выражение зависимости между ними, поэтому я не могу согласиться с подобным опровержением.

Вариант№2        

         Пусть в равенстве           числа  и  - взаимно простые,  - нечетное. Для любых положительных чисел выполнима операция нахождения арифметического значения квадратного корня, то есть можно записать:

                                                                     (1)

где  ,   - действительные положительные множители числа .

Из (1) следует:

                                     ,                                (2)

         В соответствии со свойствами показательной функции, для действительных положительных чисел ,  и целого  существуют единственные значения показателей степени , удовлетворяющие равенствам:

                                               ,                                           (3)

где  ,  .

Из (3) следует  , , или после сокращения на числа  ,   получим:

                                                                                                     (4)

         Из (1), (2) и (3) следует:

                            ,                       (5)

или, с учетом равенств (3) и (4):

                                         (6)

Вынесем за скобки общий множитель :

                                                     (7)

         Из (5) и (7) следует, что числа ,  и  содержат общий множитель , что противоречит условию их взаимной простоты, если . Из  следует , , то есть , , и равенства (5) и (7) принимают вид:

                                                                  (8)

         Из (8) следует, что при нечетном  числа  и  также целые, причем всегда имеет место тождество:

                                                                                                 (9)

что для одновременно целых ,  и  выполнимо только при  ,  или  , , что и требовалось доказать.

         Доказательство можно вести и несколько иным способом. Все числа равенства , где ,  и  - произвольно выбранные натуральные числа,  - действительное положительное число, через преобразования (1)…(4) могут быть выражены в виде слагаемых тождества (5).

         Вынесем за скобки множитель  и поделим на него все слагаемые тождества (5):

                                                                              (10)

где  .

         В соответствии со свойствами показательной функции, произвольно выбранным натуральным числам ,  и , например из равенства (5), соответствует единственное значение , удовлетворяющее условию:

                                                                                              (11)

тогда                             ,                                          или

                                                                                                (12)

где  ,  и  - целые числа.

         Из (10), (11) и (12) следует:

                                                                                                  (13)

то есть числа  и  могут быть одновременно целыми только при , или  , . При  числа  и  есть последовательные целые числа. Еще Эвклидом доказано, что всякое нечетное число может быть выражено, как разность квадратов двух последовательных целых чисел, которые и могут быть найдены с помощью тождества (10) для любых целых  и нечетных .

         Отметим, что равенство (12) получено путем деления равенства (5) на множитель , при этом число  в этих равенствах одно и то же, откуда следует , , , и тождество (10) принимает вид тождества (8).

         Отметим также, что тождества (8) и (10) справедливы не только для целых значений . Подставляя вместо  любую рациональную дробь и полагая , можно найти все Пифагоровы числа.

         Приведенные преобразования равенства Ферма над множеством натуральных чисел показывают, что с помощью конечного числа арифметических действий оно всегда приводится к тождеству (13), что и доказывает теорему.

         Я счел необходимым в дополнение к размещенному на сайте http://www./ доказательству предложить и эти два варианта, один из которых в сравнении с ранее размещенным является более развернутым.

А.В.Бобров

Великая теорема Ферма

         Бобров Александр Владимирович, 1936 г. р., образование высшее, закончил в 1960 году МВТУ им. Баумана по специальности инженер-механик. В настоящее время – пенсионер.

         Домашний адрес: 123098, г. Москва, ул. Маршала Новикова, д. 10, корп.1, кв. 15.

Телефон (495) 193-42-34, моб. тел. 8-903-560-07-15

The evidence of the Fermat theorem

Alexander V. Bobrov

The evidence of the Fermat great theorem by elementary method is presented