Контрольная работа: Математическая статистика

ПО ДИСЦИПЛИНЕ

«Математическая статистика»

Задания к контрольной работе

1. Генеральная совокупность. Выборка. Объем выборки. Среднее значение. Дисперсия. Среднеквадратическое отклонение.

2. Найти коэффициент эластичности для указанной модели в заданной точке X. Сделать экономический вывод. Модель : ; X = 4;

3. Для представленных данных выполнить следующее задание:

3.1 Провести эконометрический анализ линейной зависимости показателя от первого фактора. Сделать прогноз для любой точки из области прогноза, построить доверительную область. Найти коэффициент эластичности в точке прогноза.

3.2 Провести эконометрический анализ нелинейной зависимости показателя от второго фактора, воспользовавшись подсказкой. Сделать прогноз для любой точки из области прогноза, построить доверительную область. Найти коэффициент эластичности в точке прогноза.

3.3 Провести эконометрический анализ линейной зависимости показателя от двух факторов. Сделать точечный прогноз для любой точки из области прогноза. Найти частичные коэффициенты эластичности в точке прогноза.

Производительность труда, фондоотдача и уровень рентабельности по хлебозаводам области за год характеризуются следующими данными:

Нелинейную зависимость принять

1. Генеральная совокупность. Выборка. Объем выборки. Среднее значение. Дисперсия. Среднеквадратическое отклонение

Генеральная совокупность - вся изучаемая выборочным методом статистическая совокупность объектов и/или явлений общественной жизни, имеющих общие качественные признаки или количественные переменные.

Выборочная совокупность (выборка)- часть объектов из генеральной совокупности, отобранных для изучения, с тем чтобы сделать заключение о всей генеральной совокупности.

Для того, чтобы заключение, полученное путем изучения выборки , можно было распространить на всю генеральную совокупность выборка должна обладать свойством репрезентативности.

Объем выборки - общее число единиц наблюдения в выборочной совокупности. Определение объема выборки представляет собой один из основных этапов ее формирования. Объем выборки для генеральной совокупности обозначается– N, для выборки – n.

Среднее значение выборки можно вычислить по формуле:

Дисперсия (от лат. dispersio - рассеяние), в математической статистике и теории вероятностей, наиболее употребительная мера рассеивания, т. е. отклонения от среднего. Дисперсия вычисляется по формуле:

 - простая дисперсия,

 - взвешенная дисперсия.

Дисперсия есть средняя величина квадратов отклонений. Для этого достаточно извлечь из дисперсии корень второй степени, получится среднее квадратическое отклонение ().

или

.

Среднее квадратическое отклонение – это обобщающая характеристика размеров вариации признака в совокупности.

2. Найти коэффициент эластичности для указанной модели в заданной точке X. Сделать экономический анализ

Известно, что коэффициент эластичности показывает, на сколько процентов изменится в среднем результат, если фактор изменится на 1 %. Формула расчета коэффициента эластичности:

Э = f′(x)X/Y,

где f′(x) – первая производная, характеризующая соотношение прироста результата и фактора для соответствующей формы связи.

,

.

Следовательно получим следующее математическое выражение

.

При заданном значении X=4 получим, что коэффициент эластичности равен  Э=0,25.

Допустим, что заданная функция  определяет зависимость спроса от цены. В этом случае с ростом цены на 4% спрос повысится в среднем на 0,25 %.

3. Производительность труда, фондоотдача и уровень рентабельности по хлебозаводам области за год характеризуются следующими данными:

Нелинейную зависимость принять

Последовательность выполнения задания 3

1. Вводим данные .Определяем основные числовые характеристики.

2. Строим диаграмму рассеивания (корреляционное поле).

3. Определяем тесноту линейной связи по коэффициенту корреляции.

4. Строим линейную модель вида у = bо + b₁*х.

5. Определяем общее качество модели по коэффициенту детерминации R². Проверяем полученную модель на адекватность по критерию Фишера

6. Проверяем статистическую значимость коэффициентов модели.

7. По полученной модели рассчитываем значение показателя Y для всех точек выборки и в точке прогноза (точку прогноза выбираем произвольно из области прогноза).

8. Рассчитаем полуширину доверительного интервала d. =

9. Рассчитаем доверительный интервал для всех точек выборки и в точке прогноза: (Y-d, Y +d).

10. Рассчитываем коэффициент эластичности:

 Для линейной модели y^’_х = b₁. Получим

 , где у(х) - рассчитанное по модели значение показателя.

11. Строим, используя «Мастер диаграмм», корреляционное поле, график эластичности и доверительную область.

12. Делаем лист с формулами.

Решение 1:

1. Вводим данные. Определяем основные статистики. Строим корреляционное поле. По виду корреляционного поля выдвигаем гипотезу о нелинейной зависимости между X и Y.

2. С помощью формул перехода линеаризуем нелинейную модель:  , V=у. Получаем линейную модель относительно новых переменных

V = b₀ + b₁u

3. Рассчитываем основные числовые характеристики X, Y, V, U с помощью «Мастера функций» и функции «Описательная статистика».

4. Продолжим регрессионный анализ с помощью вкладки «Анализ данных» и функции «Регрессия».

5. Вычислим значения V(U),V min, V max.

6. Рассчитаем полуширину доверительного интервала d .

7. По формулам обратного перехода пересчитываем значения Y, Ymin (левая граница доверительного интервала»,Ymaх(правая граница доверительного интервала).

8. Рассчитываем коэффициент эластичности

,

9. Строим доверительные области V(U) и Y(х) и график эластичности.

10. Делаем лист с формулами.

Решение 2:

1. Вводим данные.

2. Определяем основные статистики.

3. По корреляционной таблице проверяем факторы на коллинеарность.

4. Строим линейную модель вида y = b₀+b₁х+b₂х.

5. Определяем общее качество модели по коэффициенту детерминации R². Проверяем полученную модель на адекватность по критерию Фишера.

6. Проверяем статистическую значимость коэффициентов модели.

7. По полученной модели рассчитываем значения показателя Y для всех точек выборки и в точке прогноза(точку прогноза выбрали произвольно из области прогноза).

8. Рассчитываем частичные коэффициенты эластичности:

- по фактору X1

- по фактору Х2

4. Экономический анализ

Обозначим Фондоотдачу (грн.) – Х, Уровень рентабельности (%) – Y. Найдем основные числовые характеристики.

Объем выборки n=15 ‑ суммарное количество наблюдений.

Фондоотдача изменяется от 16,1 до 38,9 грн., уровень рентабельности изменяется от 4,2 до 14%.

Среднее значение фондоотдачи составляет 28,83 грн, среднее значение уровня рентабельности составляет 9,63%.

Среднее значение можно вычислить по формуле: .

Дисперсия .

Среднеквадратическое отклонение 7,23, значит среднее отклонение фондоотдачи от среднего значения, составляет 7,23 грн.,  2,92, значит среднее отклонение уровня рентабельности от среднего значения, составляет 2,92%.

Определим, связаны ли X и У между собой, и, если да, то определить формулу связи.

По таблице строим корреляционное поле (диаграмму рассеивания) - нанесем точки (X, Y) на график. Точка с координатами () =(28,83;9.63) называется центром рассеяния.

По виду корреляционного поля можно предположить, что зависимость между Y и X линейная.

Для определения тесноты линейной связи найдем коэффициент корреляции (из таблицы регрессионная статистика):

.

Так как , то линейная связь между X и Y достаточная.

Пытаемся описать связь между X и Y зависимостью .

Параметры  находим по методу наименьших квадратов.

Так как , то зависимость между X и Y прямая: с ростом фондоотдачи уровень рентабельности повышается. Проверим значимость коэффициентов .

Значимость коэффициента может быть проверена с помощью критерия Стьюдента:

.

Значимость  равна . Это меньше 5%. Коэффициент  статистически значим.

.

Значимость  равна , что практически равно 0%. Это меньше 5%. Коэффициент  статистически значим.

Проверим модель на адекватность. Проанализировав таблицу Дисперсионный анализ можно сказать, разброс данных, объясняемый регрессией . Остатки, необъясненный разброс . Общий разброс данных . Коэффициент детерминации . Разброс данных объясняется на 50,49% линейной моделью и на 49,51% - случайными ошибками.

Проверим модель с помощью критерия Фишера. Для проверки найдем величины:  и . Вычисляем  и . Находим наблюдаемое значение критерия Фишера . Значимость этого критерия , т.е. процент ошибки практически равен 0%, что меньше чем 5%. Модель  считается адекватной с гарантией более 95%.

Найдем прогноз.

Примем за точку прогноза значение фондоотдачи 33 грн.

Рассчитываем прогнозные значения по модели для всех точек выборки и для точки прогноза:

.

Построим доверительную область для точки прогноза и всех точек.

Найдем полуширину доверительного интервала в каждой точке выборки:

,

где  - среднеквадратическое отклонение выборочных точек от линии регрессии; ;

 ‑ критическая точка распределения Стьюдента для надежности  и ; .

Прогнозируемый доверительный интервал для любого x такой , где , т.е. доверительный интервал для  составит от 6,0157 до 15,6503 с гарантией 95%., т.е. при фондоотдаче 33 грн. Уровень рентабельности составит от 6,0157% до 15,6503%.

Найдем эластичность.

Для линейной модели

Коэффициент эластичности показывает, что при изменении фондоотдачи на 1% уровень рентабельности увеличится с 10,83% на 0,876%. Т.е. при увеличении фондоотдачи рентабельность растет.

Задание № 3.2

Обозначим производительность труда в расчете на одного работника (грн.) – Х, Уровень рентабельности (%) – Y. Построим нелинейную зависимость показателя от фактора вида . Проанализируем фактор X, используя таблицу описательная статистика.

Производительность труда в расчете на одного работника изменяется от 1843 до 3742 грн. Средняя производительность составляет 2535,27 грн. Отклонение от среднего составляет 546,96.

Определим, связаны ли X и У между собой, и, если да, то определить формулу связи.

По таблице строим корреляционное поле (диаграмму рассеивания) - нанесем точки (X, Y) на график.

По виду корреляционного поля можно предположить, что зависимость между Y и X нелинейная.

Пытаемся описать связь между X и Y зависимостью .

Перейдем к линейной модели. Делаем линеаризующую подстановку: . Получим новые данные U и V. Для этих данных строим линейную модель: . Проверим тесноту линейной связи U и V. Найдем коэффициент корреляции (из таблицы Регрессионная статистика): .Между U и V достаточная связь.

Параметры  находим по методу наименьших квадратов.

Значимость коэффициента может быть проверена с помощью критерия Стьюдента:

.

Значимость  равна 0,0021, что практически равно 0%. Это меньше 5%. Коэффициент  статистически значим.

.

Значимость  равна0,00083, что практически равно 0%. Это меньше 5%. Коэффициент  статистически значим.

Получили линейную модель .

Проверим модель на адекватность. Проанализировав таблицу дисперсионный анализ можно сказать, разброс данных, объясняемый регрессией . Остатки, необъясненный разброс . Общий разброс данных . Коэффициент детерминации . Разброс данных объясняется на 59,92% линейной моделью и на 40,08% - случайными ошибками.

Проверим модель с помощью критерия Фишера. Для проверки найдем величины:  и . Вычисляем  и . Находим наблюдаемое значение критерия Фишера . Значимость этого критерия , т.е. процент ошибки практически равен 0%, что меньше чем 5%. Модель  считается адекватной с гарантией более 95%. Так как линейная модель адекватна, то и соответствующая ей нелинейная модель адекватна. Находим параметры исходной нелинейной модели: ; .

Вид нелинейной функции: . Таким образом, можно сказать, что зависимость уровня рентабельности от производительности труда можно описать следующей функцией: .

Найдем прогноз. Примем за точку прогноза значение производительности труда 2500 грн.

Рассчитываем прогнозные значения по модели для всех точек выборки и для точки прогноза: .

.

Построим доверительную область для точки прогноза и всех точек.

Найдем полуширину доверительного интервала в каждой точке выборки:

,

где  - среднеквадратическое отклонение выборочных точек от линии регрессии; ;

 ‑ критическая точка распределения Стьюдента для надежности  и ; .

Прогнозируемый доверительный интервал для любого x такой , где , т.е. доверительный интервал для  составит от 5,35 до 14,03 с гарантией 95%., т.е. при производительности 2500 грн. Уровень рентабельности составит от 5,35% до 14,03%.

Для нелинейной модели найдем доверительный интервал, воспользовавшись обратной заменой: . Совокупность доверительных интервалов для всех X из области прогнозов образует доверительную область.

Найдем эластичность.

Для линейной модели   тогда .

Коэффициент эластичности для точки прогноза:

Коэффициент эластичности показывает, что при увеличении производительности на 1% уровень рентабельности увеличится с 9,69% на 1.1%. Т.е. при увеличении производительности труда рентабельность растет.

Задание № 3.3

Обозначим Фондоотдачу (грн.) – Х1, Производительность труда в расчете на одного работника (грн) – X2, Уровень рентабельности (%) – Y. Построим линейную зависимость показателя от факторов.

Прежде чем строить модель проверим факторы на коллинеарность. По исходным данным строим корреляционную матрицу. Коэффициент корреляции между X1 и X2 равен 0,87. Так как , значит X1 и X2 – неколлинеарные факторы. Пытаемся описать связь между X и Y зависимостью .

Параметры  находим по методу наименьших квадратов.

.

Проверим значимость коэффициентов .

Значимость коэффициента может быть проверена с помощью критерия Стьюдента:

.

Значимость  равна 0,99, т.е 99% больше 5%. Коэффициент  статистически незначим.

.

Значимость  равна , т.е. 39,6%, что больше 5%. Коэффициент  статистически незначим.

.

Значимость  равна , т.е. 35%, что больше 5%. Коэффициент  статистически незначим.

Проверим модель на адекватность.

Проанализировав таблицу дисперсионный анализ можно сказать, разброс данных, объясняемый регрессией . Остатки, необъясненный разброс . Общий разброс данных . Коэффициент детерминации . Разброс данных объясняется на 54,11% линейной моделью и на 45,89% - случайными ошибками.

Проверим модель с помощью критерия Фишера. Для проверки найдем величины:  и . Вычисляем  и . Находим наблюдаемое значение критерия Фишера . Значимость этого критерия , т.е. процент ошибки практически равен 0%, что меньше чем 5%.

Модель считается адекватной с гарантией более 95%.

Из полученной модели можно сделать вывод, что уровень рентабельности от фондоотдачи и производительности труда описывается следующей зависимостью:

Найдем прогноз.

Примем за точку прогноза значение производительности труда 25000 грн, фондоотдачи 33 грн. Получили при данных условиях уровень рентабельности

Рассчитываем прогнозные значения по модели для всех точек выборки и для точки прогноза:

.

Найдем эластичность по каждому фактору.

Для линейной модели , т.е. при производительности труда 2500 грн. и увеличении фондоотдачи с 33 грн. на 1% уровень рентабельности снижается на 0,4736%.

, т.е. при фондоотдаче 33 грн и увеличении производительности труда с 2500 грн. на 1% уровень рентабельности увеличивается на 0,5243%.

Значит для увеличения рентабельности целесообразнее увеличивать производительность труда.