Контрольная работа: Дифференцирование. Интегрирование
Задание 1. Найти производные функций
a) 
Пусть 
, 
, тогда 
b) 
Если функция имеет вид 
, то её производная
находится по формуле 
.
Перейдем от десятичного
логарифма к натуральному: 
По свойству логарифма 
Таким образом,
c) 
Продифференцируем уравнение, считая y функцией от х:
Задание 2. Исследовать методами
дифференциального исчисления и построить график функции 
Областью определения функции являются все действительные числа,
кроме х=0. В точке х=0 функция разрывна.
Функция нечетная,
т. к. 
Функция не пересекается с осями координат (уравнение y=0 не имеет решений).
Найдем производную функции:
.
Найдем стационарные точки, приравняв
производную к нулю.
 |
||||||||
 |
 |
|||||||
 |
||||||||
 |
Функция возрастает в промежутке (-∞; – 1) U (1; ∞)
и убывает в промежутке (-1; 0) U (0; 1).
Функция имеет экстремумы: максимум – в точке х=-1, минимум – в точке х=1.
Исследуем функцию на выпуклость / вогнутость.
Для этого найдем производную второго порядка и, приравняв её к нулю, вычислим критические точки второго рода.
В точке х=0 вторая
производная не существует, т. к. это точка разрыва функции. В интервале (-∞;
0) 
<0, следовательно,
график функции в этом интервале выпуклый. В интервале (0;∞) >0, следовательно,
график функции в этом интервале вогнутый.
Асимптоты графика функции :
1) вертикальная асимптота – прямая х=0
Т.к. 
и 
2) горизонтальных асимптот нет,
т. к. 
и 
3) наклонных асимптот нет,
т. к. 
и 
Задание 3. Найти экстремумы функции Z = ln (3 – x2 + 2x – y2)
Найдем частные производные первого порядка.
М (1; 0) – стационарная точка.
Найдем вторые производные и их значения в точке М.
>0 
Следовательно, функция Z = ln (3 – x2 + 2x – y2) имеет экстремум в точке
М (1; 0) – максимум, т. к. A< 0.
Задание 4. Вычислить неопределенные интегралы, результат проверить дифференцированием
a) 
Решаем методом замены
переменной. Положим 
,
тогда 
,
Таким образом, получаем
Вернемся к переменной х.
Проверим дифференцированием:
b) 
Воспользуемся таблицей неопределенных интегралов [Выгодский, М.Я. Справочник по высшей математике. – М.: Наука, 1972. – 872 с.:ил. – С. 850]
С
Проверим дифференцированием:
c)
Неправильную рациональную дробь приводим к правильной делением числителя на знаменатель, получаем
Согласно свойству интервала алгебраической суммы, имеем
Подстановка 
приводит интеграл к виду
Возвращаясь к аргументу х, получаем
Таким образом, 
,
где С=С1+С2
Проверим дифференцированием:
Задание 5. Вычислить определенный интеграл
Сначала вычислим
неопределенный интеграл методом замены переменной. Полагая 
, находим
Вернемся к переменной х.
Таким образом, 
Библиографический список
1. Баврин, И.И. Высшая математика: учебник/ И.И. Баврин. – М.: Академия, 2003. – 616 с.:ил.
2. Выгодский, М.Я. Справочник по высшей математике/М.Я. Выгодский. – М.: Наука, 1972. – 872 с.:ил.
3. Выгодский, М.Я. Справочник по элементарной математике/М.Я. Выгодский. – СПб.: Изд. «Санкт-Петербург оркестр», 1994. – 416 с.:ил.