Курсовая работа: Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп
Министерство образования Республики Беларусь
Учреждение образования
«Гомельский государственный университет им. Ф. Скорины»
Математический факультет
Кафедра ТВ и матстатистики
Курсовая работа
КОНЕЧНЫЕ ГРУППЫ С ЗАДАННЫМИ СИСТЕМАМИ СЛАБО НОРМАЛЬНЫХ ПОДГРУПП
Исполнитель:
Студент группы М-32 Макарченко А.Ю.
Научный руководитель:
Канд. физ-мат. наук, доцент Малинковский М.Т.
Гомель 2007
Содержание
ПЕРЕЧЕНЬ УСЛОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ
ВВЕДЕНИЕ
1. Определение и общие свойства слабо нормальных подгрупп
2. Конечные группы со слабо нормальными подгруппами
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
ЛИТЕРАТУРА
Перечень условных обозначений
В работе все рассматриваемые группы предполагаются конечными.
Будем
различать знак включения множеств 
и знак
строгого включения 
;
и 
- соответственно знаки
пересечения и объединения множеств;
- пустое
множество;
- множество
всех 
для которых выполняется
условие 
;
- множество
всех натуральных чисел;
- множество
всех простых чисел;
- некоторое
множество простых чисел, т.е. 
;
- дополнение к во множестве всех простых
чисел; в частности, 
;
примарное
число - любое число вида 
;
Пусть
- группа. Тогда:
- порядок
группы ;
- порядок
элемента 
группы ;
- единичный
элемент и единичная подгруппа группы ;
- множество
всех простых делителей порядка группы ;
- множество
всех различных простых делителей натурального числа 
;
-группа - группа
, для которой 
;
-группа - группа
, для которой 
;
- подгруппа
Фраттини группы , т.е.
пересечение всех максимальных подгрупп группы ;
- подгруппа
Фиттинга группы , т.е.
произведение всех нормальных нильпотентных подгрупп группы ;
- наибольшая
нормальная -нильпотентная подгруппа
группы ;
- коммутант
группы , т.е. подгруппа,
порожденная коммутаторами всех элементов группы ;
- -ый коммутант группы ;
- наибольшая
нормальная -подгруппа группы ;
- -холловская подгруппа
группы ;
- силовская -подгруппа группы ;
- дополнение к
силовской -подгруппе в группе , т.е. 
-холловская подгруппа
группы ;
- группа всех
автоморфизмов группы ;
- 
является подгруппой группы
;
- является собственной
подгруппой группы ;
- 
является максимальной
подгруппой группы ;
нетривиальная подгруппа - неединичная собственная подгруппа;
- является нормальной
подгруппой группы ;
- подгруппа характеристична в группе , т.е. 
для любого автоморфизма 
;
- индекс
подгруппы в группе ;
;
- централизатор
подгруппы в группе ;
- нормализатор
подгруппы в группе ;
- центр группы ;
- циклическая
группа порядка ;
- ядро
подгруппы в группе , т.е. пересечение всех
подгрупп, сопряжённых с в .
Если
и 
- подгруппы группы , то:
- прямое
произведение подгрупп и ;
- полупрямое
произведение нормальной подгруппы и
подгруппы ;
- и изоморфны.
Группа
называется:
примарной,
если 
;
бипримарной,
если 
.
Скобки
применяются для
обозначения подгрупп, порождённых некоторым множеством элементов или подгрупп.
- подгруппа,
порожденная всеми , для которых
выполняется .
, где 
.
Группу
называют:
-замкнутой, если
силовская -подгруппа группы нормальна в ;
-нильпотентной,
если -холловская подгруппа
группы нормальна в ;
-разрешимой,
если существует нормальный ряд, факторы которого либо -группы, либо -группы;
-сверхразрешимой,
если каждый ее главный фактор является либо -группой,
либо циклической группой;
нильпотентной, если все ее силовские подгруппы нормальны;
метанильпотентной,
если существует нормальная нильпотентная подгруппа 
группы
такая, что 
нильпотентна.
разрешимой,
если существует номер такой, что 
;
сверхразрешимой, если она обладает главным рядом, все индексы которого являются простыми числами.
Группа Шмидта - это конечная ненильпотентная группа, все собственные группы которой нильпотентны.
Добавлением
к подгруппе 
группы называется такая подгруппа
из , что 
.
Минимальная
нормальная подгруппа группы 
-
неединичная нормальная подгруппа группы ,
не содержащая собственных неединичных нормальных подгрупп группы .
Цоколь
группы - произведение всех
минимальных нормальных подгрупп группы .
- цоколь группы
.
Классы групп, т.е. совокупности групп, замкнутые относительно изоморфизмов, обозначаются прописными готическими буквами. Также обозначаются формации, т.е. классы групп, замкнутые относительно факторгрупп и подпрямых произведений. За некоторыми классами закреплены стандартные обозначения:
- класс всех
групп;
- класс всех
абелевых групп;
- класс всех
нильпотентных групп;
- класс всех
разрешимых групп;
- класс всех -групп;
- класс всех
сверхразрешимых групп;
Формации - это классы конечных групп, замкнутые относительно взятия гомоморфных образов и конечных подпрямых произведений.
Пусть
- некоторый класс групп и - группа, тогда:
- -корадикал группы , т.е. пересечение всех тех
нормальных подгрупп из , для которых 
. Если - формация, то является наименьшей
нормальной подгруппой группы ,
факторгруппа по которой принадлежит . Если 
- формация всех
сверхразрешимых групп, то 
называется
сверхразрешимым корадикалом группы .
Формация
называется насыщенной,
если всегда из 
следует, что и 
.
Класс
групп 
называется наследственным
или замкнутым относительно подгрупп, если из того, что 
следует, что и каждая
подгруппа группы также
принадлежит .
Произведение
формаций и состоит из всех групп , для которых 
, т.е. 
.
Пусть
- некоторая непустая
формация. Максимальная подгруппа группы называется -абнормальной, если 
.
Подгруппы
и группы называются
перестановочными, если 
.
Пусть
- максимальная подгруппа
группы . Нормальным индексом
подгруппы называют порядок главного
фактора 
, где 
и 
, и обозначают символом 
.
Пусть
- группа и 
- различные простые
делители порядка группы . Тогда
группа называется дисперсивной по
Оре, если существуют подгруппы 
, такие
что 
- силовская 
-подгруппа группы и подгруппа 
нормальна в для всех 
.
Введение
В
своей работе Оре рассмотрел два обобщения нормальности, оба из которых вызывают
неослабевающий интерес у исследователей и в наши дни. Во-первых, в работе были
впервые введены в математическую практику квазинормальные подгруппы: следуя, мы
говорим, что подгруппа группы квазинормальна в , если перестановочна с любой
подгруппой из (т.е. 
для всех подгрупп 
из ). Оказалось, что
квазинормальные подгруппы обладают рядом интересных свойств и что фактически
они мало отличаются от нормальных подгрупп. Отметим, в частности, что согласно,
для любой квазинормальной подгруппы имеет
место 
, а согласно,
квазинормальные подгруппы - это в точности те субнормальные подгруппы группы , которые являются
модулярными элементами в решетке всех подгрупп группы .
Понятно,
что если подгруппа группы нормальна в , то в всегда найдется такая
подгруппа , что выполнено следующее
условие:
Таким
образом, условие 
является еще
одним обобщением нормальности. Такая идея также была впервые рассмотрена в
работе, где в частности, было доказано, что: Группа является разрешимой тогда
и только тогда, когда все ее максимальные подгруппы удовлетворяют условию . В дальнейшем, в
работе подгруппы, удовлетворяющие условию были
названы 
-нормальными. В этой же
работе была построена красивая теория -нормальных
подгрупп и даны некоторые ее приложения в вопросах классификации групп с
заданными системами подгрупп.
В
данной диссертационной работе мы анализируем следующее понятие, которое
одновременно обобщает как условие квазинормальности, так и условие -нормальности для подгрупп.
Определение.
Подгруппа группы называется слабо
квазинормальной в подгруппой, если
существует такая подгруппа группы , что 
и 
, - квазинормальные в подгруппы.
Следующий
простой пример показывает, что в общем случае слабо квазинормальная подгруппа
не является ни квазинормальной, ни -нормальной.
Пример. Пусть
,
где
. И пусть 
, 
. Тогда 
и 
. Пусть 
- группа простого порядка
3 и 
, где - база регулярного
сплетения . Поскольку 
, 
и 
- модулярная группа, то 
квазинормальна в и поэтому подгруппа слабо квазинормальна в . Значит, подгруппа является слабо
квазинормальной в , но не
квазинормальной и не -нормальной в .
В
последние годы значительно возрос интерес к квазинормальным и -нормальным подгруппам, что
говорит о несомненной актуальности данного направления. Следует отметить, что
многими авторами (Асаад, Бакли, Баллестер-Болинше, Ванг, Вей, Ли, Педра-Агуэла,
Рамадан, А.Н. Скиба, Сринивазан и др.) получено большое число теорем связанных
с изучением групп, те или иные выделенные системы подгрупп которых -нормальны или
квазинормальны. Не смотря на тот факт, что квазинормальность и -нормальность являются
вполне различными обобщениями нормальности, в настоящее время получено много
аналогичных результатов независимо для квазинормальных и -нормальных подгрупп. В
данной работе такой параллелизм устраняется на основе введенного выше понятия
слабой квазинормальности.
Таким образом, задача изучения групп с заданной системой слабо квазинормальных подгрупп вполне актуальна, ее реализации посвящена данная работа.
1. Определение и общие свойства слабо нормальных подгрупп
Определение.
Подгруппа 
группы 
называется слабо
нормальной в подгруппой, если
существует такая квазинормальная подгруппа группы
, что 
и 
.
Докажем ряд общих свойств слабо нормальных подгрупп.
Пусть
- группа и 
. Тогда справедливы
следующие утверждения:
(1)
Пусть - нормальная в подгруппа. Тогда 
слабо нормальная подгруппа
в группе 
тогда и только тогда,
когда - слабо нормальная
подгруппа в группе .
(2)
Если - слабо нормальная в подгруппа, то - слабо нормальная в подгруппа.
(3)
Пусть - нормальная в подгруппа. Тогда для всех
слабо нормальных в подгрупп 
таких, что 
, 
- слабо нормальная
подгруппа в группе .
Доказательство.
(1) Пусть - слабо нормальная в подгруппа и 
- такая квазинормальная в подгруппа, что
Тогда
, - квазинормальная в подгруппа и 
. Значит, - слабо нормальная в подгруппа.
Пусть
теперь, для некоторой квазинормальной в подгруппы
мы имеем и
Ясно, что
Поскольку
то
и
- квазинормальные в подгруппы. Следовательно, - слабо нормальная в подгруппа.
Утверждение (2) очевидно.
(3)
Пусть - слабо нормальная
подгруппа в группе и - квазинормальная в подгруппа такая, что 
и 
. Ясно, что 
и
Значит,
слабо нормальна в и ввиду (1), - слабо нормальная в подгруппа.
В данном разделе мы докажем некоторые критерии разрешимых, метанильпотентных, дисперсивных по Оре и сверхразрешимых групп в терминах слабо нормальных подгрупп.
Следующая теорема доказывается аналогично теореме 3.5.1.
Группа
разрешима тогда и только
тогда, когда 
, где 
, 
- подгруппы группы такие, что каждая
максимальная подгруппа из и
каждая максимальная подгруппа из слабо
нормальны в .
Пусть
- группа тогда следующие
утверждения эквивалентны:
(1)
- разрешима;
(2)
, где , - подгруппы группы такие, что каждая
максимальная подгруппа из и
каждая максимальная подгруппа из слабо
квазинормальны в ;
(3)
, где , - подгруппы группы такие, что каждая
максимальная подгруппа из и
каждая максимальная подгруппа из слабо
нормальны в .
Группа
метанильпотентна тогда и
только тогда, когда , где подгруппа 
-квазинормальна в , - нильпотентна и каждая
силовская подгруппа из слабо нормальна
в .
Доказательство.
Допустим, что , где - -квазинормальна в , - нильпотентна и каждая
силовская подгруппа из слабо нормальна
в . Покажем, что группа метанильпотентна.
Предположим, что это не верно и пусть -
контрпример минимального порядка. Тогда справедливы следующие утверждения.
(1)
не является нильпотентной
группой.
Предположим,
что нильпотентна. Так как
ввиду леммы (??)(3), субнормальна, то
содержится в некоторой
нильпотентной нормальной подгруппе из по лемме (??)(2). Тогда
нильпотентна
и поэтому метанильпотентна.
Полученное противоречие с выбором группы доказывает
(1).
(2)
.
Допустим,
что 
. Тогда ввиду леммы (??), нильпотентна, что
противоречит (1). Значит, мы имеем (2).
(3)
Если 
- абелева минимальная
нормальная подгруппа группы ,
содержащаяся в , то 
метанильпотентна.
Пусть
- 
-группа и 
- силовская -подгруппа в . Тогда 
и поэтому по лемме (??)
каждая силовская подгруппа из 
слабо
нормальна в . Поскольку по лемме (??), -квазинормальна в ,
то
условия теоремы справедливы для . Так
как 
, то ввиду выбора группы , метанильпотентна.
(4)
Условия теоремы справедливы для (это
проямо следует из леммы (??)).
(5)
разрешима.
Если
, то метанильпотентна по (4)и
выбору группы . Пусть теперь 
. Предположим, что для
некоторой силовской подгруппы 
из мы имеем 
. Тогда ввиду (3), разрешима. Пусть теперь 
для каждой силовской
подгруппы группы . Тогда по условию каждая
силовская подгруппа из имеет
квазинормальной дополнение в и
поэтому нильпотентна. Полученное
противоречие в выбором группы доказывает
(5).
(6)
В группе имеется в точности одна
минимальная нормальная подгруппа ,
содержащаяся в .
Пусть
- минимальная нормальная
подгруппа группы , содержащаяся в . Тогда абелева согласно (5), и
поэтому ввиду (3), метанильпотентна.
Так как класс всех метанильпотентных групп. Кроме того, так как класс всех
метанильпотентных групп является насыщенной формацией (см. [??]), то - единственная минимальная
нормальная подгруппа группы ,
содержащаяся в .
(7)
Если -группа, то каждая
силовская 
-подгруппа из , где 
, имеет квазинормальное
дополнение в .
Пусть
- силовская -подгруппа в , где . Тогда ввиду (6), 
. По условию, слабо нормальна в и поэтому имеет квазинормальную
подгруппу , такую что 
и
Заключительное противоречие.
Пусть
- силовская -подгруппа в и 
. Тогда
По
условию имеет квазинормальную
подгруппу , такую что 
и
Тогда
и
поэтому 
- дополнение для 
в 
, которое является
квазинормальной в подгруппой. Если
- -подгруппа из , где , то ввиду (7), 
имеет дополнение в , которое является
квазинормальной подгруппой (см. доказательство утверждения (3) леммы (??)).
Тогда по лемме (??), нильпотентна и
поэтому метанильпотентна.
Полученное противоречие доказывает метанильпотентность группы .
Обратно,
предположим, что метанильпотентна.
Покажем, что каждая силовская подгруппа из слабо
нормальна в . Предположим, что это не
верно и пусть - контрпример
минимального порядка. Тогда имеет
силовскую подгруппу , которая не
является слабо нормальной в . Пусть - произвольная минимальная
нормальная подгруппа в и - подгруппа Фиттинга
группы . Предположим, что 
. Тогда 
слабо нормальна в и поэтому по лемме (??)(1),
слабо нормальна в , противоречие. Значит, и поэтому
Так
как по условию метанильпотентна
и 
- силовская подгруппа в , то имеет нормальное
дополнение 
в 
. Но поскольку и - 
-группы, то - нормальное дополнение
для в . Следовательно, слабо нормальна в . Полученное противоречие
показывает, что каждая силовская подгруппа из слабо
нормальна в .
Пусть
- группа тогда следующие
утверждения эквивалентны:
(1)
- метанильпотентна;
(2)
, где подгруппа субнормальна в , - абелева холлова
подгруппа в и каждая силовская
подгруппа из слабо квазинормальна в ;
(3)
, где подгруппа -квазинормальна в , - нильпотентна и каждая
силовская подгруппа из слабо нормальна
в .
Пусть
, где подгруппа -квазинормальна в , нильпотентна. Предположим,
что любая максимальная подгруппа каждой нециклической подгруппы из слабо нормальна в . Тогда сверхразрешима.
Доказательство.
Предположим, что эта теорема не верна и пусть -
контрпример минимального порядка. Тогда:
(1)
Каждая собственная подгруппа 
группы , содержащая , сверхразрешима.
Пусть
, где 
. Тогда
где
нильпотентна и -квазинормальна в . Так как по лемме (??)(2),
любая максимальная подгруппа каждой нециклической силовской подгруппы из слабо нормальна в и 
, то по выбору группы мы имеем (1).
(2)
Пусть - неединичная нормальная
подгруппа в . Предположим, что -группа. Допустим, что содержит силовскую -подгруппу из , или циклична, или 
. Тогда сверхразрешима.
Если
, то
нильпотентна.
Пусть теперь 
. Так как 
, то нам только нужно
показать, что условия теоремы справедливы для .
Ясно, что
где
-квазинормальна в и 
нильпотентна. Пусть 
силовская -подгруппа из 
и 
- произвольная
максимальная подгруппа в . Пусть 
- силовская -подгруппа из , такая что 
. Ясно, что - силовская -подгруппа группы 
. Значит, 
для некоторой силовской -подгруппы 
из . Предположим, что не является циклической
подгруппой. Тогда не циклична.
Покажем, что слабо нормальна в . Если , то это прямо следует из
леммы (??). Допустим, что либо силовская -подгруппа
из циклическая, либо 
. Тогда 
. Покажем, что 
- максимальная в подгруппа. Так как 
и 
, то
Предположим,
что для некоторой подгруппы из мы имеем
где
Тогда
Так
как - максимальная в подгруппа, то либо 
, либо 
. Если , то
что
противоречит выбору подгруппы .
Значит, и поэтому мы имеем
противоречие.
Следовательно, - максимальная в
подгруппа и по условию слабо нормальна в . Значит,
слабо
нормальна в . Следовательно, условия
теоремы справедливы для .
(3)
и сверхразрешима.
По
выбору группы , и поэтому сверхразрешима согласно
(1).
(4)
- разрешимая группа.
По
условию -квазинормальна в и поэтому по лемме (??)(3),
содержится в некоторой
разрешимой нормальной подгруппе группы . Так как группа нильпотентна, то разрешима.
(5)
Если - простое число и 
, то 
.
Пусть
. Тогда ввиду (2), сверхразрешима. Если - множество всех простых
делителей порядка группы , то по
лемме (??)(1), 
, где - нормальная -подгруппа группы и поэтому
сверхразрешима. Но тогда
сверхразрешима.
Полученное противоречие с выбором группы доказывает
(5).
(6)
.
Допустим,
что . Тогда по лемме (??), нильпотентна. Пусть - силовская -подгруппа из . Так как ввиду леммы (??)(3)
субнормальна в , то субнормальна в . Тогда 
, согласно лемме (??)(1).
Но тогда ввиду (2), 
сверхразершима и
поэтому 
, по выбору группы . Так как и
нильпотентно,
то 
- силовская -подгруппа из . Пусть - холлова -подгруппа из и 
. По лемме (??), нормальна в 
и поэтому 
. Допустим, что для
некоторого простого делителя порядка 
,
отличного от , мы имеем 
. Тогда 
нормальна в и поэтому - нормальная подгруппа в , поскольку 
. Но тогда 
, что противоречит (5).
Следовательно, 
и поэтому 
. Согласно теореме (??), сверхразрешима и поэтому 
- абелева группа,
экспонента которой делит 
,
согласно леммы (??). Но тогда -
абелева группа экспоненты, делящей и
поэтому сверхразрешима, согласно
леммы (??). Полученное противоречие с выбором группы доказывает (6).
Заключительное противоречие.
Пусть
- минимальная нормальная
подгруппа в , содержащаяся в . Пусть - -группа и - силовская -подгруппа группы . В силу (2), сверхразрешима и поэтому - единственная минимальная
нормальная подгруппа группы ,
содержащаяся в . Ясно, что 
и 
. Значит, по лемме (??) для
некоторой максимальной подгруппы 
из мы имеем 
. Ясно, что 
и поэтому по условию имеет дополнение в , которое является
квазинормальной в подгруппой.
Тогда
и
поэтому 
. Но тогда
и
поэтому, ввиду минимальности , 
. Ввиду (5), имеет холлову -подгруппу. Так как в силу
леммы (??)(3), субнормальна в , то каждая холлова -подгруппа группы содержится в 
. Следовательно, 
- -группа. Отсюда следует,
что
сверхразрешима. Полученное противоречие завершает доказательство теоремы.
Группа
дисперсивна по Оре тогда и
только тогда, когда , где подгруппа квазинормальна в , дисперсивна по Оре и
каждая максимальная подгруппа любой нециклической силовской подгруппы группы слабо нормальна в .
Доказательство.
Пусть , где подгруппа квазинормальна в , дисперсивна по Оре и
каждая максимальная подгруппа любой нециклической силовской подгруппы группы слабо нормальна в . Покажем, что группа дисперсивна по Оре.
Предположим, что это не верно и пусть -
контрпример минимального порядка. Тогда:
(1)
Каждая собственная подгруппа группы , содержащая , дисперсивна по Оре.
Пусть
, где . Тогда
где
дисперсивна по Оре и квазинормальна в . Так как по лемме (??)(2)
любая максимальная подгруппа каждой нециклической силовской подгруппы из слабо нормальна в и , то по выбору группы мы имеем (1).
(2)
Пусть - неединичная нормальная
подгруппа в , являющаяся -группа для некоторого
простого числа . Допустим, что
либо содержит силовскую -подгруппу из , либо циклична, либо . Тогда дисперсивна по Оре.
Если
, то
дисперсивна
по Оре. Пусть теперь . Так как , то нам лишь нужно
показать, что условия теоремы справедливы для .
Ясно, что
где
квазинормальна в и дисперсивна по Оре. Пусть силовская -подгруппа из и - произвольная
максимальная подгруппа в . Пусть - силовская -подгруппа из , такая что . Ясно, что - силовская -подгруппа группы . Значит, для некоторой силовской -подгруппы из . Предположим, что не является циклической
подгруппой. Тогда не циклична.
Покажем, что слабо нормальна в . Если , то это прямо следует из
леммы (??). Допустим, что либо силовская -подгруппа
из циклическая, либо . Тогда . Покажем, что - максимальная в подгруппа. Так как и , то
Предположим,
что для некоторой подгруппы из мы имеем
где
Тогда
Так
как - максимальная в подгруппа, то либо , либо . Если , то 
, что противоречит выбору
подгруппы . Значит, и поэтому мы имеем
противоречие.
Следовательно, - максимальная в
подгруппа и по условию слабо нормальна в . Значит,
слабо
нормальна в . Следовательно, условия
теоремы справедливы для .
(3)
Если - простое число и , то .
Пусть
Тогда
ввиду (2), дисперсивна по Оре. С
другой стороны, если - множество всех
простых делителей 
, то ввиду леммы (??)(3)
и леммы (??), , где - нормальная -подгруппа в и поэтому
дисперсивна по Оре. Но тогда
дисперсивна по Оре, противоречие. Значит, справедливо (3).
(4)
разрешима.
По
условию квазинормальна в и поэтому ввиду леммы (??)(3)
и леммы (??), содержится в
некоторой разрешимой нормальной подгруппе группы
. Так как
дисперсивна
по Оре, то разрешима.
(5)
.
Предположим,
что . Тогда согласно лемме (??),
нильпотентна. Пусть - силовская -подгруппа группы . Поскольку субнормальна в , то субнормальна в . Значит, по лемме (??), . Но ввиду (2), дисперсивна по Оре и
поэтому по выбору группы , . Пусть - наименьший простой
делитель 
. Тогда имеет нормальную
максимальную подгруппу , такую что 
и 
. Пусть 
- наибольший простой
делитель 
, 
- силовская -подгруппа группы . Тогда ввиду (1), нормальна в и поэтому 
. Если 
, то - силовская -подгруппа группы и поэтому 
дисперсивна по Оре. Отсюда
следует, что дисперсивна по Оре,
противоречие. Следовательно, 
. Но
тогда -группа. Пусть 
- силовская -подгруппа в . Тогда - силовская -подгруппа в . Поскольку 
- подгруппа группы и ввиду (1), дисперсивна по Оре, то 
. Так как дисперсивна по Оре, то 
и поэтому 
. Следовательно, группа дисперсивна по Оре.
Полученное противоречие доказывает (5).
Заключительное противоречие.
Пусть
- минимальная нормальная
подгруппа группы , содержащаяся в . Пусть - -группа и - силовская -подгруппа группы . Ввиду (2), дисперсивна по Оре. Пусть - наименьший простой
делитель 
. Тогда имеет нормальную
максимальную подгруппу , такую что и . Пусть - наибольший простой
делитель , - силовская -подгруппа группы . Тогда ввиду (1), нормальна в и поэтому . Рассуждая как выше видим,
что . Но тогда -группа. Значит, 
и поэтому дисперсивна по Оре.
Полученное противоречие завершает доказательство теоремы.
Заключение
В
последние годы значительно возрос интерес к квазинормальным и -нормальным подгруппам.
Следует отметить, что получено большое число теорем связанных с изучением
групп, те или иные выделенные системы подгрупп которых -нормальны или
квазинормальны в группе . Не
смотря на тот факт, что квазинормальность и -нормальность
являются вполне различными обобщениями нормальности, в настоящее время получено
много аналогичных результатов не зависимо для квазинормальных и -нормальных подгрупп. В
данной работе мы устраняем такой параллелизм на основе введенного понятия
слабой квазинормальности.
Основные результаты данной работы:
- доказаны новые критерии принадлежности группы насыщенной формации;
- найдены описания разрешимых и метанильпотентных групп по свойствам их максимальных и силовских подгрупп;
- получены описания дисперсивных по Оре и сверхразрешимых групп по свойствам максимальных подгрупп силовских подгрупп;
- найдены критерии разрешимости и метанильпотентности групп в терминах слабо нормальных подгрупп.
Работа имеет теоретический характер. Результаты курсовой работы могут быть использованы при изучении слабо нормальных, квазинормальных и слабо квазинормальных подгрупп.
Литература
1.Боровиков, М.Т. Группы с перестановочными подгруппами взаимно простых порядков / М.Т. Боровиков // Вопросы алгебры. Выпуск 5. - Минск: Университетское, 1990. - С. 80-82.
2.Боровиков,
М.Т. О -разрешимости конечной
группы / М.Т. Боровиков // Арифметическое и подгрупповое строение конечных
групп / Под редакцией М.И. Салука. - Минск: Наука и техника, 1986. - С. 3-7.
3.Го
Веньбинь. -накрывающие системы
подгрупп для классов -сверхразрешимых
и -нильпотентных конечных
групп / Го Веньбинь, К.П. Шам, А.Н. Скиба // Сиб. мат. журнал. - 2004. - Т. 45,
№ 3. - С. 75-92.
4.Пальчик,
Э.М. О группах, все 
-максимальные
подгруппы которых перестановочны с силовской подгруппой / Э.М. Пальчик // ИАН
БССР. Сер. физ.-матем. наук. - 1968. - № 1. - С. 45-48.
5.Пальчик, Э.М. О конечных группах с перестановочными подгруппами / Э.М. Пальчик // Докл. АН БССР. - 1967. - Т. 11, № 5. - С. 391-392.
6.Пальчик,
Э.М. О группах, все -максимальные
подгруппы которых перестановочны с силовской подгруппой. II / Э.М. Пальчик,
Н.П. Конторович // ИАН БССР. Сер. физ.-матем. наук. - 1969. - № 3. - С. 51-57.
7.Подгорная, В.В. Полунормальные подгруппы и сверхразрешимость конечных групп / В.В. Подгорная // Весцi НАН Беларусi. Сер. фiз.-матэм. навук. - 2000. - № 4. - С. 22-25.
8.Подгорная, В.В. Факторизации конечных групп дисперсивными и сверхразрешимыми подгруппами / В.В. Подгорная // Веснiк Вiцебскага дзяржаунага Унiверсiтэта. - 1999. - № 4(14). - С. 80-82.
9.Поляков, Л.Я. Конечные группы с перестановочными подгруппами / Л.Я. Поляков // Конечные группы. - Минск: Наука и техника, 1966. - С.75-88.
10.Самусенко (Подгорная), В.В. О конечных группах с заданными минимальными добавлениями к подгруппам / В.В. Самусенко // Вопросы алгебры. Выпуск 13. - 1998. - С. 177-182.