Контрольная работа: Методы оптимизации при решении уравнений
Контрольная работа
«Методы оптимизации при решении уравнений»
Задание №1
Определить, существует ли
кривая 
,
доставляющая функционалу экстремум и, если существует, то найти ее уравнение.
Решение: Составим уравнение Эйлера и найдём его общее решение:
Используем краевые условия:
Решаем систему уравнений и получаем:
Таким образом, экстремаль имеет уравнение вида
Так как
то функционал на прямой 
достигает
минимума.
Задание №2
Найти, используя
уравнение Эйлера-Лагранжа, оптимальное управление 
, минимизирующее функционал 
для системы,
описываемой уравнениями
,
при начальных и конечных условиях соответственно:
| A | B |
t0 |
tf |
x0 |
xf |
a | b |
|
0 1 0 0 |
0 1 |
0 | 1 |
1 0 |
0 0 |
0 | 1 |
Решение
Формируем задачу по исходным данным:
(1)
(2)
Составим функцию Лагранжа и гамильтониан:
и соответственно уравнения Эйлера-Лагранжа (здесь для Н):
(3)
(4)
Используя замену (3), подставим выражения (4) во второе уравнение динамики в (1):
и находим общее решение
(5)
Подставим его в первое уравнение (1):
и находим общее решение:
(6)
Для 
из (6) и 
из (5)
используем начальные и конечные условия и получаем систему уравнений для
констант С1, С2, С3, С4,:
Таким образом, решение имеет вид:
которое удовлетворяет начальным и конечным условиям.
Задание №3
Для системы, описываемой уравнениями
с заданными условиями на
начальное 
и
конечное 
значение
координат, найти оптимальное управление , минимизирующее функционал
| A | B |
t0 |
tf |
x0 |
xf |
g0 |
a | b |
|
0 1 0 0 |
0 1 |
0 | t |
1 0 |
x1(tf) = -tf2
|
0 | 0 | 1 |
Решение. Формулируем задачу по исходным данным
(1)
(2)
т.е. 
, подвижна на
правом конце, координата 
- свободна на правом конце,
Составим функцию Гамильтона Н (или функцию Лагранжа L)
(3)
и соответствующие уравнения Эйлера-Лагранжа:
(4)
(5)
(6)
Составим вспомогательную функцию
,
где 
. Таким
образом:
. (7)
Поскольку 
и 
подвижны, то используем
условия трансверсальности:
(8)
(9)
Так как не фиксирован
момент времени 
, то используем условие
трансверсальности
Найдем значение 
при 
из (3), но
учтем, что 
,
а 
из (9).
Тогда, учитывая (4):
и используя (10) получим:
(11)
Подставляя (4), (5) и (6) в (2), а потом в (1) и интегрируя получим:
(12),
(13)
Используя начальные условия, можем записать:
Запишем условие 
с учетом (13).
Тогда:
(14)
Уравнения (9), (11) и
(14) составляют систему уравнений с тремя неизвестными С1, С2
и 
:
Подставляя 1-е уравнение во 2-е, получим:
,
а подставляя 1-е в третье, получим:
Таким образом, решение имеет вид:
Задание №4
Используя метод динамического программирования найти оптимальное уравнение для системы
| A | B |
t0 |
tf |
F | a | b |
|
0 1 0 0 |
0 1 |
0 | ∞ | 0 |
1 0 0 2 |
1 |
Решение:
Формируем задачу по исходным данным.
(1)
– не ограничено, то есть 
.
Составим уравнение
Беллмана с учетом того, что 
(S-функция Беллмана)
(2)
(3)
(4)
Из (3) находим:
(5)
Подставим (5) в (4)
(6)
Представим функцию Беллмана в виде квадратичной формы
(7)
причем это должна быть положительно определенная квадратичная форма, а значит
(8)
т.е. матрица должна быть положительно определённой.
Вычисляя выражения:
(9)
подставим их в (6) и
обратим коэффициенты при 
, 
и 
в ноль, т.к. справа у нас ноль:
Отсюда:
(10)
(11)
(12)
Если 
, то 
Þ S < 0, что нельзя допустить.
Тогда:
а следовательно а12 и а22 должны быть одного знака, так как а11 > 0.
Тогда а12 = 1/2, а22 = 1, а11 = 1. Таким образом, решение имеет вид (из (5) и (9)):
Задача 5
Используя принцип максимума Понтрягина найти оптимальное управление для линейной системы
в задаче:
| А | В |
t0 |
tf |
х0 |
xf |
|u| |
|
0 1 0 0 0 1 0 0 0 |
0 0 1 |
0 | 1 |
0 0 0 |
x1®max 0 0 |
£1 |
Решение:
Формируем задачу по исходным данным:
(4)
Составим функцию Гамильтона
Уравнения Эйлера-Лагранжа имеет вид:
(5)
(6)
(7)
Поскольку 
– подвижна, то
используем условие трансверсальности:
Но из (5) видно, что y1 = С1Þ С1 = 1. Тогда из (7) видно, что y3 = t2/2-C2t+C3, - то есть это квадратичная парабола ветвями вверх, которая может дважды пересечь уровень y3 = 0 и возможных порядок следования интервалов знакопостоянства следующий: +, -, +.
Из принципа максимума следует:
,
а следовательно:
Тогда, поскольку y3 меняет знак дважды, (пусть в моменты t1 и t2) можем записать
(8)
Подставим 
в (3) и получим,
проинтегрировав уравнение (3)
(9)
Используя начальные и
конечные условия для х3 и условия непрерывности 
в t1 и t2
получим:
(10)
Подставим (9) и константы из (10) в (2) и проинтегрируем. Получим:
(11)
Используя начальные и конечные условия для х2 и условия непрерывности в t1 и t2, получим:
Используем непрерывность 
при 
и 
:
Собрав уравнения (10) и полученное уравнение составим систему уравнений:
(12-14)
Подставив (12) в (13), получим уравнение
.
Подставим (13) в
полученное уравнение (вместо 
):
Тогда t1 из (12) равно
и, наконец,
Подставим (11), с учетом найденных констант в (1):
(15)
Исходя из начального условия и условия непрерывности получим:
Таким образом: моменты
переключения: t1=1/4, t2=3/4, а 
заданы уравнениями(15), (11), (9)
и (8) с известными константами.
Задание №6
Установить управляемость и наблюдаемость линейной системы:
где
.
Решение:
Для оценки управляемости составим матрицу управляемости (учтем, что n=3);
Y = (B, AB, A2B):
Таким образом
Взяв минор из 1,2 и 3 столбцов можно видеть, что
.
Следовательно, rang(Y)=3=n и система вполне управляема.
Для оценки наблюдаемости системы составим матрицу наблюдаемости (n=3):
H=(CT, ATCT, (AT)2 CT);
.
Таким образом
Взяв минор из 1, 2 и 3 столбцов можно видеть, что
Таким образом rang(H) = 3 = n, а следовательно система вполне наблюдаема.
Задание №7
Для линейной системы 
и квадратичного
критерия
выполнить синтез оптимального управления с обратной связью
| A | B | Q | R |
|
0 1 1 0 |
1 0 |
1 0 0 0 |
1 |
Решение: Требуется выполнить синтез стационарного регулятора. Для этого воспользоваться алгебраическим матричным уравнением Риккати:
где
,
причем матрица l>0 (положительно определена).
Сравнивая коэффициенты матрицы слева и справа, стоящих на одинаковых местах получим систему уравнений:
Решая систему уравнений с учетом положительной определенности матрицы l, получим:
Тогда для уравнения, которое имеет вид
получим:
