Курсовая работа: Построение моделей статики по методике активного эксперимента

Содержание

Введение

Задание

1 Полный факторный эксперимент

1.1 Составление матрицы планирования

1.2 Проведение эксперимента на объекте исследования

1.3 Проверка воспроизводимости эксперимента

1.4 Получение математической модели объекта

1.5 Проверка адекватности математического описания

2 Применение метода случайного баланса для выделения наиболее существенных входных переменных многофакторного объекта

2.1 Составление матрицы планирования

2.2 Проведение эксперимента на объекте исследования

2.3 Проверка воспроизводимости эксперимента

2.4 Построение диаграммы рассеяния

2.5 Последовательность выделения наиболее существенных переменных при помощи выборочных ортогональных матриц планирования

2.6 Выделение наиболее существенных парных взаимодействий

2.7 Вычисление оценок коэффициентов и составление неполной квадратичной модели объекта

2.8 Проверка адекватности математического описания

Заключение

Список используемых источников

ВВЕДЕНИЕ

Цель выполнения курсовой работы – закрепление и углубление знаний студентов по дисциплинам фундаментального, общетехнического и профессионального циклов, а также подробное изучение современных методов планирования экспериментов, математического моделирования объектов и систем контроля и управления.

Задачей курсовой работы является приобретение студентами навыков выбора необходимого плана эксперимента в соответствии с поставленной перед исследователем проблемой, построения матрицы планирования, обработки и анализа полученных результатов в зависимости от выбранного плана эксперимента.

Задание

1.  Провести 5 серий измерений отклика (y) в соответствии с составленным планом ПФЭ типа 2³ с центром в точке  с координатами х10=40, х20=20, х30=80 и интервалами варьирования Dx₁=Dx₂=Dx₃=10 при заданной случайной помехе.

2.   Провести процедуру идентификации модели, используя расчетные формулы и экспериментальные данные, полученные с помощью установки «Моделирование объектов».

3. Построить матрицу планирования МСБ из 16 строк, основываясь на предпосылке, что исследуемые факторы должны быть смешаны случайным образом, для 8 независимых линейных факторов, варьируемых на двух уровнях.

4.Провести расчет целевой функции (y=y1+y2) в соответствии с составленным планом МСБ- МСБ с помощью ортогональных матриц планирования с центром в точке  с координатами х10=30, х20=40, х30=15, х40=25, х50=20, х60=75, х70=60, х80=30; и интервалами варьирования Dx₁...Dx₈=10 при заданной случайной помехе и проведенных (m) серий (m=2) измерений откликов y1 и y2.

1 Полный факторный эксперимент

Полным факторным экспериментом (ПФЭ) называется эксперимент, реализующий все возможные неповторяющиеся комбинации уровней n независимых управляемых факторов, каждый из которых варьируют на двух уровнях. Число этих комбинаций N=2ⁿ определяет тип ПФЭ. В моем варианте задания используется планирование типа N=2³, т.е. объект с тремя (n=3) независимыми управляемыми факторами х₁,х₂,х₃. При планировании эксперимента проводят преобразование размерных управляемых независимых факторов х_i в безразмерные (нормированные)

. (1)

1.1 Составление матрицы планирования

Матрицу планирования ПФЭ для рассматриваемого примера (n = 3) можно представить в виде табл. 1.1.

Таблица 1.1

1.2 Проведение эксперимента на объекте исследования

Так как изменение отклика y носит случайный характер, то в каждой точке  приходится проводить т параллельных опытов и результаты наблюдений y_g1, y_g2, ..., y_gm усреднять:

. (3)

Согласно заданию число параллельных опытов в каждой строке МП m = 5. Перед реализацией плана на объекте необходимо рандомизировать (расположить в случайном порядке) варианты варьирования факторов, т.е. с помощью таблицы равномерно распределенных случайных чисел или компьютерной программы для проведения процесса рандомизации определить последовательность реализации вариантов варьирования плана в N ´ m опытах.

Таблица 1.2

1.3 Проверка воспроизводимости эксперимента

Проверка воспроизводимости эксперимента есть не что иное, как проверка выполнения второй предпосылки регрессионного анализа об однородности выборочных дисперсий . Задача состоит в проверке гипотезы о равенстве генеральных дисперсий  при опытах соответственно в точках . Оценки дисперсий находят по известной формуле

. (4)

Рассчитанные для рассматриваемого примера по формуле (4) значения  занесены в последний столбец табл. 1.2.

Так как все оценки дисперсий получены по выборкам одинакового объема т = 5, то число степеней свободы для всех них одинаково и составляет

n_1вос = m – 1. (5)

В этом случае для проверки гипотезы об однородности оценок  дисперсий следует пользоваться критерием Koxpэнa, который основан на законе распределения отношения максимальной оценки дисперсии к сумме всех сравниваемых оценок дисперсий, т.е.

. (6)

Если вычисленное по данным эксперимента (эмпирическое) значение критерия G окажется меньше критического значения G_кр, найденного по таблице для n_1вос = m – 1 и n_2вос = N и выбранного уровня значимости q_вос = 0,05 (в данном случае Gкр=0,391), то гипотеза об однородности выборочных дисперсий отвечает результатам наблюдений.

1.4 Получение математической модели объекта

При ПФЭ получаются независимые оценки b₀, b_i, b_il соответствующих коэффициентов модели b₀, b_i, b_il, т.е. b₀ ® b₀, b_i ® b_i, b_il ® b_il. Эти оценки легко найти по формулам

, , , (9)

, . (10)

Таблица 1.3

Рассчитанные значения коэффициентов приведены в таблице 1.3.

После определения оценок b коэффициентов регрессии необходимо проверить гипотезы об их значимости, т.е. проверить соответствующие нуль-гипотезы b = 0. Проверку таких гипотез производят с помощью критерия Стьюдента, эмпирическое значение которого

, (11)

где

 – (12)

дисперсия оценки b коэффициента уравнения регрессии. Если найденная величина параметра t_i превышает значение t_кр, определенное из таблицы для числа степеней свободы n_зн = N(m – 1), при заданном уровне значимости q_зн = 0,05, то проверяемую нуль-гипотезу Н₀: b = 0 отвергают и соответствующую оценку b_i коэффициента признают значимой. В противном случае, нуль-гипотезу не отвергают и оценку b считают статистически незначимой, т.е. b = 0.

Рассчитанные значения критерия и значимость коэффициентов указаны в таблице 1.4.

Таблица 1.4

В данном варианте статистически незначимыми являются коэффициенты b₁₂, b₁₂₃, т.к. t₁₂,t₁₂₃<t_табл.

Математическую модель объекта составляют в виде уравнения связи отклика у и факторов x_i, включающего только значимые оценки коэффициентов.

 (13)

1.5 Проверка адекватности математического описания

Чтобы проверить гипотезу об адекватности математического описания опытным данным, достаточно оценить отклонение предсказанной по полученному уравнению регрессии величины отклика  от результатов наблюдений  в одних и тех же g-х точках факторного пространства.

Рассеяние результатов наблюдений вблизи уравнения регрессии, оценивающего истинную функцию отклика, можно охарактеризовать с помощью дисперсии адекватности

, (14)

где d – число членов аппроксимирующего полинома (значимых оценок коэффициентов модели объекта). Дисперсия адекватности определяется с числом степеней свободы

n_ад = N – d. (15)

Для данного варианта в соответствии с формулой (14) получим

.

Проверка гипотезы об адекватности состоит, по сути дела, в выяснении соотношения между дисперсией адекватности  и оценкой дисперсии воспроизводимости отклика . Проверку гипотезы об адекватности производят с использованием F-критерия Фишера. Критерий Фишера позволяет проверить гипотезу об однородности двух выборочных дисперсий  и . В том случае, если ,F-критерий характеризуется отношением

. (16)

Если вычисленное по результатам наблюдений эмпирическое значение критерия F меньше критического F_кр, найденного из таблице для соответствующих степеней свободы:

n_1ад = N – d , n_2ад = n_зн = N(m – 1) , (17)

при заданном уровне значимости q_ад (обычно q_ад = 0,05), то гипотезу об адекватности не отвергают. В противном случае гипотезу отвергают и математическое описание признается неадекватным.

В данном случае n_1ад =2, n_2ад =32, табличное значение критерия F_кр=3,302. Таким образом, модель признается адекватной.

2 Применение метода случайного баланса для выделения наиболее существенных входных переменных многофакторного объекта

При оптимизации многофакторного объекта основным этапом является получение математической модели, адекватно описывающей статический объект в изучаемом диапазоне изменения его входных переменных (факторов). При этом естественно стремиться к тому, чтобы математическое описание было возможно более простым при максимуме подобия, особенно при разработке способов и систем оптимального управления, когда важно достичь или поддерживать глобальный, а не локальный или частный экстремум. Однако решение этой задачи в реальных условиях обычно связано с серьезными трудностями, вызванными весьма большим количеством переменных , в той или иной степени влияющих на объект.

Методика регрессионного анализа основана на предположении, что учтены все или, по крайней мере, все существенные факторы, иначе полученная математическая модель окажется неадекватной в изучаемом диапазоне изменения переменных. Привлечение всего множества переменных к составлению математического описания может потребовать непомерного объема экспериментальной и вычислительной работы, что зачастую невыполнимо в силу технологических, экономических и прочих ограничений. Возникает необходимость предварительного отсеивания несущественных переменных и выделения тех входных воздействий , которые оказывают наиболее заметное влияние на целевую функцию.

Если число всех возможных факторов, влияющих на объект, не превышает 6 – 7, то для предварительного изучения объекта можно применить методы дробного или полного факторного эксперимента. Однако при большом числе рассматриваемых факторов методы ПФЭ и даже ДФЭ, предназначенные для тщательного изучения поверхности отклика, оказываются слишком громоздкими и трудоемкими для постановки отсеивающих опытов. В случае изучения более 8 – 10 факторов, если эксперименты недороги и если заведомо известно, что лишь немногие переменные являются существенными, следует применять метод случайного баланса (МСБ).

Важнейшей теоретической предпосылкой МСБ является априорное знание того, что из всей совокупности рассматриваемых переменных  только небольшое их число (например, 10 ... 15 %) являются действительно существенными, остальные же могут быть отнесены к "шумовому полю" .

Под "шумовым полем" обычно понимают случайные помехи , о которых ничего или почти ничего неизвестно, и малозначимые или незначимые переменные (линейные и парные взаимодействия), которые нет смысла контролировать.

Основная идея метода заключается в том, что вместо дробных реплик, которые представляют собой систематические ортогональные выборки из ПФЭ, берутся случайные выборки. Тогда вектор-столбцы матрицы планирования можно считать не коррелированными (не связанными) или слабо коррелированными друг с другом. Совместные оценки оказываются смешанными случайным образом. Появляется возможность с высокой надежностью выделить и независимо оценить все доминирующие переменные.

Из сказанного следует, что МСБ обладает меньшей чувствительностью, чем ПФЭ и ДФЭ. Под чувствительностью метода обычно понимается способность выделять коэффициенты  уравнения регрессии, значимо отличающиеся от нуля (т.е. способность отбрасывать нуль-гипотезу Н₀: a_i = 0). Зато он обладает большей разрешающей способностью: в благоприятных условиях, при одинаковом числе опытов, он позволяет независимо выделить существенные переменные среди гораздо большего числа рассматриваемых переменных, чем при ДФЭ и тем более ПФЭ.

2.1 Составление матрицы планирования

Построение матрицы планирования для проведения отсеивающих опытов выполняют на основе предпосылки, что исследуемые факторы должны быть смешаны случайным образом. Все линейные факторы z_i (i = l, 2, ..., n) разбивают на группы, при этом стремятся заведомо взаимодействующие факторы включить в одну группу. Если же нет априорных сведений о физике процесса, то разбивку факторов по группам можно производить формально, с использованием таблицы (или программы) случайных чисел. Затем для каждой группы составляют МП на основе ПФЭ или ДФЭ.

В задании требуется исследовать 8 факторов z₁, z₂, z₃, z₄, z₅, z₆, z₇, z₈ и их взаимодействия и с помощью МСБ выделить самые существенные. Разобьем факторы на две группы: 1 – z₁, z₂, z₃, z₄, 2 - z₅, z₆, z₇, z_8.

Общая МП для МСБ составляется в виде таблицы 2.3 путем построчной стыковки таблиц 2.1 и 2.2 после рандомизации их строк с помощью таблицы случайных чисел или компьютерной программы для реализации процесса рандомизации. Общая МП в данном примере может иметь вид таблицы 2.3.

Таблица 2.1

Таблица 2.2

Таблица 2.3

Результаты МСБ анализируются с помощью диаграмм рассеяния либо с помощью выборочных ортогональных МП.

2.2 Проведение эксперимента на объекте исследования

Проведем, используя лабораторный стенд, эксперимент в районе базовой точки: х₁=30, х₂=40, х₃=30, х₄=40, х₅=20, х₆=40, х₇=40, х₈=20. Примем за интервал варьирования Δx_i=10 (I=1,…,8). Число параллельных опытов m=2. Целевую функцию запишем как сумму: y=y₁+y₂.

Таблица 2.4

Таблица 2.5

2.3 Проверка воспроизводимости эксперимента

Проверка воспроизводимости эксперимента проводится аналогично ПФЭ.

Рассчитанные для рассматриваемого примера значения  занесены в последний столбец табл. 2.4.

Если вычисленное по данным эксперимента (эмпирическое) значение критерия G (G=0,2546)окажется меньше критического значения G_кр, найденного по таблице для n_1вос = m – 1 и n_2вос = N и выбранного уровня значимости q_вос = 0,05 (в данном случае Gкр=0,3894), то гипотеза об однородности выборочных дисперсий отвечает результатам наблюдений. В данном случае воспроизводимость эксперимента выполняется.

2.4 Построение диаграммы рассеяния

Вид диаграммы рассеяния приведен на рисунке 1.

Рисунок 1

Рассчитанные значения вкладов и количество выделяющихся точек для соответствующих факторов приведены в таблице 2.6.

Таблица 2.6

2.5 Последовательность выделения наиболее существенных переменных при помощи выборочных ортогональных матриц планирования

Выделение наиболее существенных переменных и их ранжирование можно произвести двумя способами: с помощью вкладов и ортогональных выборочных МП.

Визуальное оценивание показало, что самыми существенными факторами являются  и , имеющие и наибольшие абсолютные величины вкладов, и наибольшее число выделяющихся точек (соответственно восемь и четыре). Построим ВОМП ПФЭ типа  для этих двух факторов (табл. 2.7), где  – число факторов в ВОМП,  – номер строки ВОМП.

Столбцы  заполняются данными табл. 2.5 следующим образом. Для каждой строки ВОМП выбирается строка в исходной МП, где факторы  и  имеют такие же знаки. Например, для первой строки табл. 2.7 ( и ) выбираются строки 1,7,9 и 10 табл. 2.5. Таким образом, в каждой строке ВОМП (табл. 2.7) оказалось по 4 параллельных опыта (,, и ). Построчные средние значения отклика даны в графе .

Таблица 2.7

В графе S_g²_выб приведены несмещенные оценки построчных дисперсий, однородность которых проверяется с помощью G-критерия Кохрэна. Расчетное значение критерия G=0,455986, а критическое Gкр=0,6841. Т.к. G<Gкр, можно сделать вывод об однородности оценок дисперсии.Оценки коэффициентов нормированного уравнения регрессии на основании данных ВОМП получились:

â ₃=29,3375; â ₇=22,0688.

Статистическую значимость оценок коэффициентов проводят по критерию:

â_i≤ â_iкр=tкр∙S{ â_i},

где

Критическое значение t-критерия Стьюдента выбирают из таблицы для уровня значимости q=0,05 и числа степеней свободы:

n_зн=n_вос=N_выб·m(m_выб-1)

N_выб=4; m_выб=4; m=2

=1166,32

=36,4475

t_кр=2,0639

â_кр=12,4601

Оценки â _3, â ₇ признают статистически значимыми.

Далее исходную табл. 2.5 корректируют по формуле

, (23)

стабилизировав  и  на уровнях  и . При этом в тех g-х строках, где , из исходных значений отклика  вычитают удвоенное значение коэффициента , где  – удвоенное значение . Если , то вычитание соответствующего  не производится.

В результате получится скорректированная таблица 2.8.

Таблица 2.8

По данным этой таблицы (по столбцу y') можно построить новую диаграмму рассеяния (рисунок 2), анализируя которую, выделяют следующие два наиболее существенных фактора. На очередных диаграммах рассеяния ординаты для ранее выделенных наиболее существенных переменных оставляют незаполненными. Отметим, что дисперсия точек на диаграммах рассеяния после выделения наиболее существенных факторов заметно уменьшается по сравнению с первоначальной картиной, поскольку после стабилизации остаются факторы, оказывающие более слабое влияние на величину отклика .

Далее аналогичным образом определим следующие два существенных фактора.

Определим медианы на диаграмме рассеяния после стабилизации (рисунок 2).

Рисунок 2

Далее определим вклады и количество выделяющихся точек (таблица2.9).

Наиболее существенными факторами являются z₅,z₆.

Далее строим ВОМП для этих факторов(таблица 2.10).

Таблица 2.10

Т.к. G<Gкр, можно сделать вывод об однородности оценок дисперсии.

Получим следующие значения коэффициентов:

â ₅=14,0305; â ₆=9,91016.

Далее по аналогичным формулам проводится оценка значимости.

N_выб=4; m_выб=4; m=2

=790,002

=24,6876

t_кр=2,0639

â_кр=10,2548

Коэффициент â ₅ признается незначимым, коэффициент â ₂ – значимым.

2.6 Выделение наиболее существенных парных взаимодействий

В данном случае наиболее значимыми являются взаимодействия z₄z₇, z₆z₇, z₁z₇.

На рисунках 5-7 приведены диаграммы рассеяния для данных взаимодействий.

Рисунок 5

B_z6z7=51,3

Рисунок 6

B_z4z7=51,3

Рисунок 7

B_z1z6 =56,525

2.7 Вычисление оценок коэффициентов и составление неполной квадратичной модели объекта

При использовании ВОМП вычисление оценок  коэффициентов выполняют по формуле, учитывающей число  строк ВОМП:

.

Значения коэффициентов для данного варианта указаны в таблице 2.12.

Таблица 2.11

Неполная квадратичная модель объекта примет вид:

Расчетные значения у приведены в таблице 2.12.

Таблица 2.12

2.8 Проверка адекватности математического описания

Чтобы проверить гипотезу об адекватности математического описания опытным данным, достаточно оценить отклонение предсказанной по полученному уравнению регрессии величины отклика  от результатов наблюдений  в одних и тех же g-х точках факторного пространства.

Для данного варианта в соответствии с формулой (14) получим

.

Проверку гипотезы об адекватности производят с использованием F-критерия Фишера.

F=184,05

Если вычисленное по результатам наблюдений эмпирическое значение критерия F меньше критического F_кр, найденного из таблице для соответствующих степеней свободы:

n_1ад = N – d , n_2ад = n_зн = N(m – 1) , (17)

при заданном уровне значимости q_ад (обычно q_ад = 0,05), то гипотезу об адекватности не отвергают. В противном случае гипотезу отвергают и математическое описание признается неадекватным.

В данном случае n_1ад =12, n_2ад =16, табличное значение критерия F_кр=2,42. Таким образом, модель не является адекватной.

Заключение

В процессе выполнения курсовой работы были изучены современные методы планирования экспериментов, математического моделирования объектов и систем контроля и управления.

При выполнении курсовой работы мною были приобретены навыки выбора необходимого плана эксперимента в соответствии с поставленной перед исследователем проблемой, построения матрицы планирования, обработки и анализа полученных результатов в зависимости от плана эксперимента.

Список использованных источников

1       Адлер Ю.П. Введение в планирование эксперимента. М.: Металлургия, 1969.

2       Вентцель Е.С. Теория вероятностей. М.: Наука, 1973.

3       Налимов В.В., Чернова Н.А. Статистические методы планирования экстремальных экспериментов. М.: Наука, 1965.

4       Статистические методы в инженерных исследованиях (лабораторный практикум): Учеб. пособие / Под. ред. Г.К. Круга. М.: Высш. школа, 1983.

5       Рузинов Л.П., Слободчикова Р.И. Планирование эксперимента в химии и химической технологии. М.: Химия, 1980.

6       Бондарь А.Г., Статюха Г.А. Планирование эксперимента в химической технологии. Киев: Вища школа, 1976.

7       Статистические методы планирования эксперимента: Лаб. работы / Сост.: С.В. Мищенко, С.В. Григорьева, В.Г. Серегина, Э.В. Злобин: Тамбов: Изд-во Тамб. гос. техн. ун-та, 2002