Контрольная работа: Линейные уравнения парной и множественной регрессии

НЕГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

"ВОЛГОГРАДСКИЙ ИНСТИТУТ БИЗНЕСА"

Кафедра

Математики и естественных наук

Домашняя контрольная работа

Дисциплина

Эконометрика

Тема: Линейные уравнения парной регрессии


Студента (ки)

Иванова Ивана Ивановича


Волгоград 2010

Задача№ 1

По данным приведенным в таблице:

1)  построить линейное уравнение парной регрессии y на x;

2)  рассчитать линейный коэффициент парной корреляции и оценить тесноту связи;

3)  оценить статистическую значимость параметров регрессии и корреляции, используя F-статистику, t-статистику Стьюдента и путем расчета доверительных интервалов каждого из показателей;

4)  вычислить прогнозное значение y при прогнозном значении x, составляющем 108% от среднего уровня.

5)  оценить точность прогноза, рассчитав ошибку прогноза и его доверительный интервал;

6)  полученные результаты изобразить графически и привести экономическое обоснование.

Таблица №1

По территориям Центрального района известны данные за 1995 г.

Район Средний размер назначенных ежемесячных пенсий, тыс.руб., y Прожиточный минимум в среднем на одного пенсионера в месяц, тыс.руб., х
Брянская обл. 240 178
Владимирская обл. 226 202
Ивановская обл. 221 197
Калужская обл. 226 201
Костромская обл. 220 189
Московская обл. 237 215
Орловская обл. 232 166
Рязанская обл. 215 199
Смоленская обл. 220 180
Тульская обл. 231 186
Ярославская обл. 229 250

xi

 178 202 197 201 189 215 166 199 180 186 250

yi

 240 226 221 226 220 237 232 215 220 231 229
Х Y
178 240
202 226
197 221
201 226
189 220
215 237
166 232
199 215
180 220
186 231
250 229

 

Вывод 1. Анализ корреляционного поля данных показывает, что между признаками  и в выборочной совокупности существует прямая и достаточно тесная связь. Предполагается, что объясняемая переменная  линейно зависит от фактора , поэтому уравнение регрессии будем искать в виде

,


Таблица № 4 Параметры (коэффициенты) уравнения регрессии

  Коэффициенты
Y-пересечение 227,7117993
Переменная X 1 -0,003619876

На основании этих данных запишем уравнение регрессии: .

Коэффициент называется выборочным коэффициентом регрессии Коэффициент регрессии показывает, на сколько единиц в среднем изменяется переменная при увеличении переменной на одну единицу.

Таблица №5. Корреляционная матрица

  Столбец 1 Столбец 2
Столбец 1 1
Столбец 2 -0,010473453 1

Для оценки качества уравнения регрессии в целом необходимо проверить статистическую значимость индекса детерминации: проверяется нулевая гипотеза , используется .

Таблица №6

Регрессионная статистика
R-квадрат 0,000109693

.

Т.к. Значение детерминации R-квадрат имеет малое значение, которое менее 1%, то дальнейшее решение не имеет смысла, т.к. вероятность того что прогноз будет верным меньше 1%.

Задача №2

Используя данные, приведенные в таблице: построить линейное уравнение множественной регрессии;

1)  оценить значимость параметров данного уравнения и построить доверительные интервалы для каждого из параметров, оценить значимость уравнения в целом, пояснить экономический смысл полученных результатов;

2)  рассчитать линейные коэффициенты частной корреляции и коэффициент множественной детерминации, сравнить их с линейными коэффициентами парной корреляции, пояснить различия между ними;

3)  вычислить прогнозное значение y при уменьшении вектора x на 6 % от максимального уровня, оценить ошибку прогноза и построить доверительный интервал прогноза;

Таблица №5

номер наблюдения, i

 Накопления семьи, Y (y.e.)

Доход семьи, X1 (y.e.)

Расходы на питание, X 2 (y.e.)

1 2 20 5
2 6 27 6
3 7 26 7
4 5 19 5
5 4 15 5
6 2 15 5
7 7 28 10
8 6 24 7
9 4 14 6
10 5 21 7
11 5 20 10
12 3 18 6

Таблица №6 Параметры (коэффициенты) уравнения регрессии

  Коэффициенты
Y-пересечение -1,767785782
x1 0,232792618
x2 0,24953991

Множественная регрессия широко используется в решении проблем спроса, доходности акций, изучении функции издержек производства, в макроэкономических расчетах и целого ряда других вопросов эконометрики. В настоящее время множественная регрессия - один из наиболее распространенных методов в эконометрике. Основная цель множественной регрессии - построить модель с большим числом факторов, определив при этом влияние каждого из них в отдельности, а также совокупное их воздействие на моделируемый показатель.

На основании этих данных запишем уравнение регрессии:

.

Таблица №7 Регрессионная статистика

R-квадрат 0,663668925
Нормированный R-квадрат 0,588928686

! Параметр R-квадрат, представляет собой квадрат коэффициента корреляции rxy2 и называется коэффициентом детерминации. Величина данного коэффициента характеризует долю дисперсии зависимой переменной y, объясненную регрессией (объясняющей переменной x). Соответственно величина 1 - rxy2 характеризует долю дисперсии переменной y, вызванную влиянием всех остальных, неучтенных в эконометрической модели объясняющих переменных. Доля всех неучтенных в полученной эконометрической модели объясняющих переменных приблизительно составляет: 0,663668, или 66,3%.

Находим, что численное значение , а скорректированный (нормированный, исправленный) коэффициент детерминации равен

1) Для оценки качества уравнения регрессии в целом необходимо проверить статистическую значимость индекса детерминации : проверяется нулевая гипотеза , используется .

Наблюдаемое значение критерия и оценку его значимости находим в Таблице №8

Таблица №8 Дисперсионный анализ:

F Значимость F
8,87967358 0,007420813

 

! Включаемые в уравнение множественной регрессии факторы должны объяснить вариацию зависимой переменной. Если строится модель с некоторым набором факторов, то для нее рассчитывается показатель детерминации , который фиксирует долю объясненной вариации результативного признака (объясняемой переменной) за счет рассматриваемых в регрессии факторов. А оценка влияния других, неучтенных в модели факторов, оценивается вычитанием из единицы коэффициента детерминации , что и приводит к соответствующей остаточной дисперсии.

Таким образом, при дополнительном включении в регрессию еще одного фактора коэффициент детерминации должен возрастать, а остаточная дисперсия уменьшаться. Если этого не происходит и данные показатели практически недостаточно значимо отличаются друг от друга, то включаемый в анализ дополнительный фактор не улучшает модель и практически является лишним фактором.

Если модель насыщается такими лишними факторами, то не только не снижается величина остаточной дисперсии и не увеличивается показатель детерминации, но, более того, снижается статистическая значимость параметров регрессии по критерию Стьюдента вплоть до статистической незначимости.

2) Для статистической оценки значимости коэффициентов регрессии () используем статистику Стьюдента.

Проверяется нулевая гипотеза .

Для проверки нулевой гипотезы необходимо знать величину наблюдаемых значений критерия . Их значения и оценки их статистической значимости найдем в Таблице №9

 

Таблица №9

t-статистика P-Значение
-1,127971079 0,28850322
2,838964459 0,01943598
1,130728736 0,28740002

В этой же таблице находим границы доверительных интервалов для каждого из параметров:

Нижние 95% Верхние 95%
-5,313097658 1,777526094
0,047297697 0,418287538
-0,249694323 0,748774142

3. Значения парных коэффициентов корреляции найдем из соответствующей матрицы.

Таблица №10 Корреляционная матрица

  y x1 x2
y 1    
x1 0,784786247 1  
x2 0,60206001 0,531178469 1

По величине парных коэффициентов корреляции может обнаруживаться лишь явная коллинеарность факторов. Наибольшие трудности в использовании аппарата множественной регрессии возникают при наличии мультиколлинеарности факторов, когда более чем два фактора связаны между собой линейной зависимостью , т.е. имеет место совокупное воздействие факторов друг на друга.

Наличие мультиколлинеарности факторов может означать, что некоторые факторы будут всегда действовать в унисон. В результате вариация в исходных данных перестает быть полностью независимой и нельзя оценить воздействие каждого фактора в отдельности. Чем сильнее мультиколлинеарность факторов, тем менее надежна оценка распределения суммы объясненной вариации по отдельным факторам с помощью метода наименьших квадратов (МНК).

Частные коэффициенты корреляции найдем по формулам

,

,

их значения показывают, что при отсутствии влияния других факторов, связь с рассматриваемым фактором усиливается т.е. мультиколлинеарность между ними существует.

4. Рассчитаем прогнозное значение результата, если прогнозные значения факторов составляют 110% их максимального значения. Найдем прогнозные значения факторов и подставим их в полученное уравнение регрессии.

По условию прогнозные значения составляют 110% их максимального значения.


Таблица №11

maxX1 maxX2
28 10

Далее вычисляем прогнозные значения факторов: . Затем, подставив эти значения в уравнение регрессии, получим прогнозное (предсказанное) значение фактора . Доверительный интервал прогноза оценивается формулой: , где  - ошибка прогноза,стандартная ошибка регрессии.

Таблица №12

Стандартная ошибка 1,104878833

;

 - коэффициент Стьюдента, который в данном случае имеет смысл кратности случайной (стандартной) ошибки прогноза ;

 - число, которое получим в результате операций над матрицами:

 -

матрица значений факторных переменных ,

 транспонированная матрица ;

 - произведение матриц ;

 - матрица, обратная к матрице ;

 - матрица прогнозных значений факторов;

 - транспонированная матрица прогнозов.

Фактор представляет собой фиктивную переменную, которую необходимо ввести в уравнение регрессии для того, чтобы преобразовать его в "приведенную" форму вида .

Максимальную ошибку прогноза =11,07714043: 1) нижняя граница прогноза =44,92285957, 2) верхнюю границу прогноза =67,07714043. Интервал прогнозных значений результативного признака

=>

Задача № 3

Используя данные, представленные в таблице проверить наличие гетероскедастичности, применяя тест Голдфельда-Квандта.

 

Таблица№13. Данные

Страна Индекс человеческого развития, У Расходы на конечное потребление в текущих ценах, % к ВВП, Х

Австрия

0,904 75,5
Австралия 0,922 78,5
Англия 0,918 84,4
Белоруссия 0,763 78,4
Бельгия 0,923 77,7
Германия 0,906 75,9
Дания 0,905 76,0
Индия 0,545 67,5
Испания 0,894 78,2
Италия 0,900 78,1
Канада 0,932 78,6
Казахстан 0,740 84,0
Китай 0,701 59,2
Латвия 0,744 90,2
Нидерланды 0,921 72,8
Норвегия 0,927 67,7
Польша 0,802 82,6
Россия 0,747 74,4
США 0,927 83,3
Украина 0,721 83,7
Финляндия 0,913 73,8
Франция 0,918 79,2
Чехия 0,833 71,5
Швейцария 0,914 75,3
Швеция 0,923 79,0

1) Найдем параметры линейного уравнения множественной регрессии и значения остатков.

Определим остаточные суммы квадратов  и , то есть суммы квадратов остатков регрессии по "урезанным выборкам".

Таблица№14

№ Y X Yp ei  (ei) ^2
1 0,932 78,6 77,90431365 0,695686352 0,483979501
2 0,927 67,7 77,85057558 -10,15057558 103,0341846
3 0,927 83,3 77,85057558 5,44942442 29,69622651
4 0,923 77,7 77,80758513 -0,107585125 0,011574559
5 0,923 79,0 77,80758513 1, 192414875 1,421853234
6 0,922 78,5 77,79683751 0,703162488 0,494437485
7 0,921 72,8 77,7860899 -4,986089898 24,86109247
8 0,918 84,4 77,75384706 6,646152943 44,17134894 S1
9 0,918 79,2 77,75384706 1,446152943 2,091358334 206,2660556
10 0,914 75,3 77,7108566 -2,410856603 5,812229559
11 0,913 73,8 77,70010899 -3,900108989 15,21085013
12 0,906 75,9 77,62487569 -1,724875694 2,975196159
13 0,905 76,0 77,61412808 -1,61412808 2,60540946
14 0,904 75,5 77,60338047 -2,103380467 4,424209388
15 0,900 78,1 77,56039001 0,539609988 0,291178939
16 0,894 78,2 77,49590433 0,704095669 0,495750712
17 0,833 71,5 76,8402999 -5,3402999 28,51880303
18 0,802 82,6 76,50712388 6,092876121 37,12313943
19 0,763 78,4 76,08796695 2,312033052 5,345496834
20 0,747 74,4 75,91600513 -1,51600513 2,298271555
21 0,744 90,2 75,88376229 14,31623771 204,9546622
22 0,740 84,0 75,84077183 8,159228165 66,57300425
23 0,721 83,7 75,63656718 8,063432824 65,0189489
24 0,701 59,2 75,4216149 -16,2216149 263,1407901 S2
25 0,545 67,5 73,74498718 -6,244987181 38,99986489 743,7878055

1)  Находим наблюдаемое значение критерия . По условию задачи . Из таблицы значений  Фишера находим, что  

Вывод: отвергаем нулевую гипотезу  на принятом уровне значимости , т.к. наблюдаемое значение критерия больше табличного.

Следовательно, предположение об однородности дисперсий ошибок, при условии, что выполнены стандартные предположения о модели наблюдений, включая предположение о нормальности ошибок, неверно. Наблюдается гетероскедастичность, что приводит к ошибочным статистическим выводам при использовании МНК. Следовательно, полученные оценки не являются состоятельными.

Задача № 4

По данным таблицы построить уравнение регрессии, выявить наличие автокорреляции остатков, используя критерий Дарбина - Уотсона, и проанализировать пригодность полученного уравнения для построения прогнозов.

 

Таблица №15

Год Выпуск продукции в США в среднем за 1 час, % к уровню 1982 г., Х Среднечасовая заработная плата в экономике США, в сопоставимых ценах 1982 г., Y
1960 65,6 6,79
1961 68,1 6,88
1962 73,3 7,07
1963 76,5 7,17
1964 78,6 7,33
1965 81,0 7,52
1966 83,0 7,62
1967 85,4 7,72
1968 85,9 7,89
1969 85,9 7,98
1970 87,0 8,03
1971 90,2 8,21
1972 92,6 8,53
1973 95,0 8,55
1974 93,3 8,28
1975 95,5 8,12

Найдем параметры линейного уравнения множественной регрессии и значения остатков.

Дополним таблицу данных столбцами "", "Квадрат разности остатков " и "Квадрат остатка " и заполним их.

Таблица №16

Y X Yi et et-1  (et-et-1) ^2 et^2
6,79 65,6 6,667235239 0,122765     0,015071
6,88 68,1 6,815288112 0,064712 0,122765 0,003370136 0,004188
7,07 73,3 7,123238088 -0,05324 0,064712 0,013912197 0,002834
7,17 76,5 7,312745766 -0,14275 -0,05324 0,008011624 0,020376
7,33 78,6 7,437110179 -0,10711 -0,14275 0,001269895 0,011473
7,52 81,0 7,579240937 -0,05924 -0,10711 0,002291464 0,003509
7,62 83,0 7,697683236 -0,07768 -0,05924 0,000340118 0,006035
7,72 85,4 7,839813994 -0,11981 -0,07768 0,001775001 0,014355
7,89 85,9 7,869424568 0,020575 -0,11981 0,019709191 0,000423
7,98 85,9 7,869424568 0,110575 0,020575 0,008100000 0,012227
8,03 87,0 7,934567833 0,095432 0,110575 0,000229318 0,009107
8,21 90,2 8,12407551 0,085924 0,095432 0,000090396 0,007383
8,53 92,6 8,266206268 0,263794 0,085924 0,031637467 0,069587
8,55 95,0 8,408337026 0,141663 0,263794 0,014915922 0,020068
8,28 93,3 8,307661073 -0,02766 0,141663 0,028670633 0,000765
8,12 95,5 8,437947601 -0,31795 -0,02766 0,084266268 0,101091
Суммы 0,218589631 0,298494

По формуле вычислим значение статистики :

Так как , то значение статистики

равно .

По таблице критических точек Дарбина Уотсона определим значения критерия Дарбина-Уотсона  (нижнее) и  (верхнее) для заданного числа наблюдений , числа независимых переменных модели и уровня значимости . Итак, находим, что , .

По этим значениям числовой промежуток  разбиваем на пять отрезков:

,

,

,

,

.

На основании выполненных расчетов находим, что наблюдаемое значение статистики принадлежит первому интервалу.

Вывод: существует отрицательная автокорреляция, то есть гипотеза отклоняется и с вероятностью  принимается гипотеза .

Следовательно, полученное уравнение регрессии не может быть использовано для прогноза, так как в нем не устранена автокорреляция в остатках, которая может иметь разные причины. Автокорреляция в остатках может означать, что в уравнение не включен какой-либо существенный фактор. Возможно также, что форма связи неточна.

Задача № 5

В таблице приводятся данные о динамике выпуска продукции Финляндии (млн. долл.).

Таблица №17

Год Выпуск продукции, yt млн.долл.
1989 23 298
1990 26 570
1991 23 080
1992 29 800
1993 28 440
1994 29 658
1995 39 573
1996 38 435
1997 39 002
1998 39 020
1999 40 012
2000 41 005
2001 39 080
2002 42 680

Задание:

1.  Постройте график временного ряда.

2.  Сделайте вывод о присутствии или отсутствии тренда при доверительной вероятности 0,95.

3.  Найдите среднее значение, среднеквадратическое отклонение и коэффициенты автокорреляции (для лагов ) заданного ВР.

4.  Проведите сглаживание данного ВР методом скользящих средних, используя простую среднюю арифметическую с интервалом сглаживания ;

5.  Найдите уравнение тренда ВР , предполагая, что он линейный, и проверьте его значимость на уровне .

6.  Дайте точечный и интервальный (с надежностью 0,95) прогнозы индивидуального значения выпуска продукции на 2003 год.

Таблица №18

Год t Выпуск продукции, yt млн.долл.
1989 1 23 298
1990 2 26 570
1991 3 23 080
1992 4 29 800
1993 5 28 440
1994 6 29 658
1995 7 39 573
1996 8 38 435
1997 9 39 002
1998 10 39 020
1999 11 40 012
2000 12 41 005
2001 13 39 080
2002 14 42 680

 

2. Для обнаружения тенденции в данном ВР воспользуемся критерием "восходящих и нисходящих" серий.

Критерий "восходящих и нисходящих" серий

1) Для исследуемого ВР определяется последовательность знаков, исходя из условий: (+), если , (-), если .

При этом, если последующее наблюдение равно предыдущему, то учитывается только одно наблюдение.

2) Подсчитывается число серий . Под серией понимается последовательность подряд расположенных плюсов или минусов, причем один плюс или один минус считается серией.

3) Определяется протяженность самой длинной серии .

4) Значение  находят из следующей таблицы:

Таблица №25

Длина ряда,

Значение

5 6 7

5) Если нарушается хотя бы одно из следующих неравенств, то гипотеза об отсутствии тренда отвергается с доверительной вероятностью 0,95

 

Определим последовательность знаков:


Таблица №19

t Выпуск продукции, yt млн.долл.

1 23 298  
2 26 570 +
3 23 080 -
4 29 800 +
5 28 440 -
6 29 658 +
7 39 573 +
8 38 435 -
9 39 002 +
10 39 020 +
11 40 012 +
12 41 005 +
13 39 080 -
14 42 680 +

Определим число серий : . Определим протяженность самой длинной серии : . , так как . Проверим выполнение неравенств:

 

Вывод: второе неравенство не выполняются, следовательно, тренд (тенденция) в динамике выпуска продукции имеется на уровне значимости 0,05. Среднее значение . Среднее значение . Вычислим коэффициенты автокорреляции первого и второго порядков, то есть для лагов . Подготовим данные для вычисления коэффициентов автокорреляции первого и второго порядков. Дополним таблицу данных двумя столбцами .


Таблица №20

t Yt Yt-1 Yt-2
1 23 298    
2 26 570 23 298  
3 23 080 26 570 23 298
4 29 800 23 080 26 570
5 28 440 29 800 23 080
6 29 658 28 440 29 800
7 39 573 29 658 28 440
8 38 435 39 573 29 658
9 39 002 38 435 39 573
10 39 020 39 002 38 435
11 40 012 39 020 39 002
12 41 005 40 012 39 020
13 39 080 41 005 40 012
14 42 680 39 080 41 005

 

.

.

Вывод:

1) высокое значение коэффициента автокорреляции первого порядка свидетельствует об очень тесной зависимости между выпуском продукции текущего и непосредственно предшествующего годов, и, следовательно, о наличии в исследуемом временном ряде сильной линейной тенденции;

2) исследуемый ряд содержит только тенденцию, так как наиболее высоким оказался коэффициент автокорреляции первого порядка (0,85>0,83).

Скользящие средние найдем по формуле: , здесь . При

Вычисляем:

и так далее.

Результаты вычислений занесем в таблицу и построим графики исходногои сглаженного  рядов в одной координатной плоскости.

Таблица №21

t yi yt
1 23 298  
2 26 570 24 315,76
3 23 080 26 483,07
4 29 800 27 106,40
5 28 440 29 299,04
6 29 658 32 556,67
7 39 573 35 888,31
8 38 435 39 002,94
9 39 002 38 818,61
10 39 020 39 344,27
11 40 012 40 011,93
12 41 005 40 031,93
13 39 080 40 921,26
14 42 680  


Таблица № Параметры (коэффициенты) уравнения тренда.

Таблица №22

  Коэффициенты
Y-пересечение 22686,54945
t 1543,250549

Анализ данных таблицы Дисперсионного анализа показывает, что получено статистически значимое уравнение, так как наблюдаемое значение , равное 52,785, превышает его табличное значение , . Вывод: Таким образом, параметры уравнения тренда статистически значимы на уровне : уравнение тренда можно использовать для прогноза.

Сделаем точечный и интервальный (с надежностью 0,95) прогнозы среднего и индивидуального значений прогнозов на 2003 год.

Определим точечный прогноз

Вычислим интервальный прогноз:

Так как тренд является прямой, то доверительный интервал можно представить в виде: .

Здесь стандартная ошибка предсказания по линии тренда вычисляется по формуле:

,

здесь величина является стандартной ошибкой регрессии, и ее значение находится в таблице Регрессионная статистика

Таблица №23

Стандартная ошибка 1637,180026

кратность ошибки (надежность) находят по таблице значений критерия Стьюдента; уровень значимости; число степеней свободы.

Итак, по условию задачи имеем:

Для вычисления стандартной ошибки предсказания по линии тренда необходимо вычислить  и сумму .

Таблица № 24

t yt  (t1-tcr) ^2
1 23 298 42,25
2 26 570 30,25
3 23 080 20,25
4 29 800 12,25
5 28 440 6,25
6 29 658 2,25
7 39 573 0,25
8 38 435 0,25
9 39 002 2,25
10 39 020 6,25
11 40 012 12,25
12 41 005 20,25
13 39 080 30,25
14 42 680 42,25
7,5 Сумма 227,5

Вычисляем  (млн. долл.)

По таблице значений критерия Стьюдента найдем

Максимальная ошибка прогноза будет равна:

 (млн. долл.).

Нижняя граница прогноза имеет значение  (млн. долл.)

Верхняя граница прогноза имеет значение  (млн. долл.)

Вывод:

1) значение выпуска продукции Финляндии в 2003 составит 20111,2 млн. долл.

2) с надежностью 0,95 данное значение будет находиться в интервале