Дипломная работа: Топологическая определяемость верхних полурешёток

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
Вятский государственный гуманитарный университет

Математический факультет

Кафедра алгебры и геометрии

Выпускная квалификационная работа

Топологическая определяемость верхних полурешёток.

Выполнил:

студент V курса математического факультета

Малых Константин Леонидович

Научный руководитель: 

кандидат физико-математических наук, доцент кафедры алгебры и геометрии В.В. Чермных

Рецензент:

доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой алгебры и геометрии Е.М. Вечтомов

Допущена к защите в государственной аттестационной комиссии

«___» __________2005 г.     Зав. Кафедрой                                   Е.М. Вечтомов

«___»___________2005 г.     Декан факультета                     В.И. Варанкина

Киров 2005

Оглавление.

Введение …………………………………………………………………стр. 3

Глава 1 ……………………………………………………………………стр. 4

1.  Упорядоченные множества ………………………………………стр. 4

2.  Решётки.……………………………………………………………стр. 5

3.  Дистрибутивные решётки ………………………………………..стр. 8

4.  Топологические пространства……………………………………стр.10

Глава 2…………………………………………………………………….стр.11

     1.   Верхние полурешётки…………………………………………….стр.11

     2.   Стоуново пространство …………………………………………..стр.15

Список литературы……………………………………………………….стр.21

Введение.

         Дистрибутивная решётка является одним из основных алгебраических объектов. В данной работе рассматривается частично упорядоченное множество P(L) простых идеалов. Оно даёт нам много информации о дистрибутивной решётке L, но оно не может её полностью охарактеризовать. Поэтому, для того, чтобы множество P(L) характеризовало решётку L, необходимо наделить его более сложной структурой. Стоун [1937] задал на множестве P(L) топологию.

В этой работе рассматривается этот метод в несколько более общем виде.

         Работа состоит из двух глав. В первой главе вводятся начальные понятия, необходимые для изучения данной темы. Во второй главе рассматриваются верхние полурешётки, а также множество простых идеалов с введенной на нём топологией.      

Глава 1.

1.  Упорядоченные множества.

Определение: Упорядоченным множеством  называется непустое множество, на котором определено бинарное отношение , удовлетворяющее для всех  следующим условиям:

1.Рефлексивность: .

2.Антисимметричность: если  и , то .

3.Транзитивность: если   и , то .

Если  и , то говорят, что  меньше  или  больше , и пишут  или .

Примеры упорядоченных множеств:

1.  Множество целых положительных чисел, а  означает, что  делит .

2.  Множество всех действительных функций  на отрезке  и

 означает, что  для .

Определение: Цепью называется упорядоченное множество, на котором для  имеет место  или .

Используя отношение порядка, можно получить графическое представление любого конечного упорядоченного множества . Изобразим каждый элемент множества  в виде небольшого кружка, располагая  выше , если . Соединим  и  отрезком. Полученная фигура называется диаграммой упорядоченного множества .

Примеры диаграмм упорядоченных множеств:

         2. Решётки

Определение: Верхней гранью подмножества  в упорядоченном множестве  называется элемент  из  , больший или равный всех   из .

Определение: Точная верхняя грань подмножества  упорядоченного множества  – это такая его верхняя грань, которая меньше любой другой его верхней грани. Обозначается символом  и читается «супремум X». 

Согласно аксиоме антисимметричности упорядоченного множества, если точная верхняя грань существует, то она единственна.

Понятия нижней грани и точной нижней грани (которая обозначается   и читается «инфинум») определяются двойственно. Также, согласно аксиоме антисимметричности упорядоченного множества, если точная нижняя грань   существует, то она единственна.

Определение: Решёткой  называется упорядоченное множество , в котором любые два элемента  и  имеют точную нижнюю грань, обозначаемую , и точную верхнюю грань, обозначаемую .

   Примеры решёток:

    1. Любая цепь является решёткой, т.к.  совпадает с меньшим, а  с большим из элементов .

    2.

   Наибольший элемент, то есть элемент, больший или равный каждого элемента упорядоченного множества, обозначают , а наименьший элемент, то есть меньший или равный каждого элемента упорядоченного множества, обозначают .

На решётке можно рассматривать две бинарные операции:

 - сложение  и

 - произведение

Эти операции обладают следующими свойствами:

1. ,                  идемпотентность

2. ,         коммутативность

3. ,         

                     ассоциативность

4. ,

                               законы поглощения

Теорема. Пусть  -  множество с двумя бинарными операциями , обладающими свойствами (1) – (4). Тогда отношение  (или ) является порядком на , а возникающее упорядоченное множество оказывается решёткой, причём:

Доказательство.

Рефлексивность отношения  вытекает из свойства (1).  Заметим, что  оно является следствием  свойства (4):

Если  и , то есть  и , то в силу свойства (2), получим . Это означает, что отношение  антисимметрично.

Если  и , то применяя свойство (3), получим: , что доказывает транзитивность отношения .

Применяя свойства (3), (1), (2), получим:

,

.

Следовательно,  и

Если  и , то используя свойства (1) – (3), имеем:

, т.е.

По определению точней верхней грани убедимся, что

Из свойств (2), (4) вытекает, что  и

Если  и , то по свойствам (3), (4) получим:

Отсюда по свойствам (2) и (4) следует, что

, т.е.

Таким образом, . ■

   Пусть   решётка, тогда её наибольший элемент  характеризуется одним из свойств:

1. 

2.  .

Аналогично характеризуется наименьший элемент :

                          1. 

2.  .

3.  Дистрибутивные решётки.

Определение: Решётка  называется дистрибутивной, если для  выполняется:

                         1.

                         2.

В любой решётке тождества (1) и (2) равносильны. Доказательство этого факта содержится в книге [1], стр. 24.

Теорема: Решётка  с 0 и 1 является дистрибутивной тогда и только тогда, когда она не содержит подрешёток вида

Доказательство этого факта можно найти в книге [2].   

Далее под словом “решётка” понимается произвольная дистрибутивная решётка с 0 и 1 (причём ).

Определение: Непустое множество  называется идеалом в решётке , если выполняются условия:

                      1.

                      2.

Определение: Идеал  в решётке  называется простым, если

 или .

Идеал, порождённый множеством Н  (т.е. наименьший идеал, содержащий H), будет обозначаться (Н]. Если Н = {a}, то вместо ({a}] будем писать (a] и называть (a] главным идеалом.

Обозначим через I(L) множество всех идеалов решётки L. I(L) будем называть решёткой идеалов.

Определение: Решётки  и  называются  изоморфными (обозначение: ), если существует взаимно однозначное отображение , называемое изоморфизмом, множества  на множество , такое, что

,

.

4. Топологические пространства.

Определение: Топологическое пространство – это непустое множество  с некоторой системой  выделенных его подмножеств, которая удовлетворяет аксиомам:

1.  Пустое множество и само пространство  принадлежит системе : .

2.  Пересечение любого конечного числа множеств из  принадлежит , т.е. .

3.  Объединение любого семейства множеств из  принадлежит , т.е. .

Таким образом, топологическое пространство – это пара <, >, где  - такое множество подмножеств в , что  и  замкнуто относительно конечных пересечений и произвольных объединений. Множества из  называют открытыми, а их дополнения в  замкнутыми.

Определение: Пространство называется компактным, если в любом его открытом покрытии можно выбрать конечное подпокрытие.

Определение: Подмножество пространства называется компактным, если в любом его открытом покрытии можно выбрать конечное подпокрытие.

Определение: Топологическое пространство называется  - пространством, если для любых двух различных его точек существует открытое множество, содержащее ровно одну из этих точек.

Глава 2.

         1. Верхние полурешётки.

Определение: Ч.у. множество называется верхней полурешёткой, если sup{a,b} существует для любых элементов a и b.

Определение:  Непустое множество I  верхней полурешётки L называется идеалом, если для любых  включение  имеет место тогда и только тогда, когда .

Определение: Верхняя полурешётка  называется дистрибутивной, если неравенство ≤   (, ,  L) влечёт за собой существование элементов , таких, что , , и  = .(рис.1). Заметим, что элементы  и  не обязательно единственны.

Некоторые простейшие свойства дистрибутивной верхней полурешётки даёт:

Лемма 1:

   (*). Если <,  > - произвольная полурешётка, то верхняя полурешётка  дистрибутивна тогда и только тогда, когда решётка   дистрибутивна.

   (**). Если верхняя полурешётка   дистрибутивна, то для любых  существует элемент , такой, что  и . Следовательно, множество  является решёткой.

   (***). Верхняя полурешётка   дистрибутивна тогда и только тогда, когда множество  является дистрибутивной решёткой.

                                            Доказательство.

(*).   <,  > - дистрибутивна и , то для элементов , , справедливо равенство :

 значит, полурешётка <,> - дистрибутивна.

       <,> - дистрибутивна. Пусть решётка   содержит диамант или пентагон (рис.2).

    1) Пусть решётка   содержит пентагон, . Нужно найти такие элементы  и , чтобы выполнялось равенство . Но множество элементов меньших b или c состоит из элементов {0,b,c}  и их нижняя граница не даст a.  Получили противоречие с тем, что <,> - дистрибутивна. Значит,  наше предположение неверно и решётка   не содержит пентагона.

    2) Пусть решётка  содержит диамант, . Аналогично, множество элементов меньших b или c состоит из элементов {0,b,c}, их нижняя граница не даст a. Значит,  решётка   не содержит диаманта.

Можно сделать вывод, что решётка   дистрибутивна.

  (**). Имеем , поэтому , где (по определению дистрибутивной полурешётки). Кроме того,  является нижней границей элементов  и .

Рассмотрим идеалы, содержащие элемент  и  -  и . Тогда  Ø ,т.к. , нижняя граница элементов a и b, содержится там.

Покажем, что I(L) – решётка, т.е. существуют точные нижняя и верхняя грани для любых A и B.

Покажем, что  совпадает с пересечением идеалов A и B. Во-первых,  - идеал. Действительно,  и  и  Во-вторых, пусть идеал  и . Тогда , т.е.  - точная нижняя грань идеалов A и B, т.е. .

Теперь покажем, что  совпадает с пересечением всех идеалов , содержащих A и B. Обозначим . Поскольку  для   для  , то C идеал. По определению C он будет наименьшим идеалом, содержащим A и B.

(***).  Пусть   – верхняя дистрибутивная полурешётка. Покажем, что 

.

Пусть , т.е.  (рис.3), для некоторых  

Понятно, что . По дистрибутивности, существуют  такие, что . Т.к. A – идеал, то , потому что . Аналогично, . Т.е. . Точно также, . Если , то легко показать, что .

Доказали, что  - идеал. Очевидно, он является верхней гранью идеалов A и B. Если C содержит A и B, то C будет содержать элементы  для любых , т.е.  Поэтому  , поскольку  является верхней гранью идеалов A и B и содержится в любой верхней грани.

Теперь покажем, что выполняется равенство:

                                      .

. Пусть , где ,. Т.к.  , то , откуда  и следовательно . Аналогично, , значит,

. Пусть ,где    .

 Отсюда следует дистрибутивность решётки .

  – дистрибутивная решётка, . Теперь рассмотрим идеалы, образованные этими элементами:

(,будет нижней границей для ). Поэтому , что и доказывает дистрибутивность полурешётки . ■

2. Стоуново пространство.

Определение: Подмножество  верхней полурешётки   называется коидеалом, если  из неравенства  следует  и  существует нижняя граница множества , такая, что .

Определение: Идеал  полурешётки   называется простым, если  и множество  является коидеалом.

В дальнейшем нам потребуется лемма Цорна, являющаяся эквивалентным утверждением аксиоме выбора.

Лемма Цорна. Пусть A – множество и X – непустое подмножество множества P(A). Предположим, что X обладает следующим свойством: если C – цепь в <>, то . Тогда X обладает максимальным элементом.

Лемма 2: Пусть   – произвольный идеал и   – непустой коидеал дистрибутивной верхней полурешётки . Если , то в полурешётке  существует простой идеал  такой, что  и .

Доказательство.

         Пусть X – множество всех идеалов в L,содержащих I и не пересекающихся с D. Покажем, что X  удовлетворяет лемме Цорна.

Пусть  C – произвольная цепь в X и   Если , то  для некоторых  Пусть для определённости . Тогда  и , т.к.  - идеал. Поэтому . Обратно, пусть , тогда ,  для некоторого  Получаем , откуда .

Доказали, что M – идеал, очевидно, содержащий I и не пересекающийся с D, т.е. . По лемме Цорна X обладает максимальным элементом, т.е. максимальным идеалом P среди содержащих I и не пересекающихся с D.

Покажем, что P – простой. Для этого достаточно доказать, что L\P является коидеалом. Пусть L\P  и . Поскольку , то , иначе в противном случае  по определению идеала. Следовательно, . Если , то  и  пересекающихся с D  в силу максимальности P. Получаем  и  для некоторых элементов . Существует элемент  такой, что  и , по определению коидеала, следовательно  и  для некоторых  Заметим, что  и  не лежат в P, т.к. в противном случае .

Далее, , поэтому  для некоторых  и . Как и прежде . Кроме того , поэтому  - нижняя грань элементов a и b, не лежащая в P.      ■

В дальнейшем, через  будем обозначать дистрибутивную верхнюю полурешётку с нулём, через множество всех простых идеалов полурешётки .

         Множества вида  представляют элементы полурешётки  в ч.у. множестве  (т.е. ). Сделаем все такие множества открытыми в некоторой топологии.

Обозначим через  топологическое пространство, определённое на множестве  . Пространство SpecL будем называть стоуновым пространством полурешётки L.

Лемма 3: Для любого идеала I  полурешётки L  положим:

Тогда множества вида  исчерпывают все открытые множества в стоуновом пространстве SpecL.

Доказательство.

    Нужно проверить выполнение аксиом топологического пространства.

     1) Рассмотрим идеал, образованный 0. Тогда

,

но 0 лежит в любом идеале, а значит .

     2) Возьмём произвольные идеалы  и  полурешётки  и рассмотрим

         Пусть . Тогда  существуют элементы a и   Отсюда следует, что , где L\P – коидеал. По определению коидеала существует элемент d такой, что   и , значит,. Т.к. , следовательно, . Получаем, что .

Обратное включение очевидно.

    2) Пусть  - произвольное семейство идеалов. Через  обозначим множество всех точных верхних граней конечного числа элементов, являющихся представителями семейства . Покажем, что  - идеал. Пусть , тогда , где  для некоторого идеала . Тогда  лежит в идеале , следовательно,  и , т.е. . Обратно очевидно.

Доказали, что  - идеал. Теперь рассмотрим произвольное объединение.

 ■

Лемма 4: Подмножества вида  пространства  можно охарактеризовать как компактные открытые множества.

                                                     Доказательство.

 Действительно, если семейство  открытых множеств покрывает множество , т.е.  , то  Отсюда следует, что для некоторого конечного подмножества , поэтому  . Таким образом, множество  компактно.

 Пусть открытое множество r(I) компактно, тогда  и можно выделить конечное подпокрытие  для некоторых .

Покажем, что I порождается элементом .

Предположим, что это не так, и в идеале I найдётся элемент b не лежащий в . Тогда [b) – коидеал, не пересекающийся с . По лемме 2 найдётся простой идеал P содержащий  и не пересекающийся с [b). Получаем, , т.к.  (т.е. ), но , т.к. , противоречие. Следовательно, компактным открытым множеством r(I) будет только в случае, если  - главный идеал.■

Предложение 5: Пространство  является - пространством.

Доказательство.

Рассмотрим два различных простых идеала  и Q. Хотя бы один не содержится в другом. Допустим для определённости, что . Тогда r(P) содержит Q, но не содержит P, т.е. SpecL является  - пространством. ■

Теорема 6: Стоуново пространство  определяет полурешётку  с точностью до изоморфизма.

Доказательство.

Нужно показать, что две полурешётки  и  изоморфны тогда и только тогда, когда пространства  и  гомеоморфны.

  Очевидно, если решётки изоморфны, то пространства, образованные этими полурешётками будут совпадать.

 Пусть  и   гомеоморфны  () и . Тогда a определяет компактное открытое множество r(a). Множеству r(a) соответствует компактное открытое множество , с однозначно определённым элементом  по лемме 4. Таким образом получаем отображение : , при котором . Покажем, что  - изоморфизм решёток. Если a,b – различные элементы из , то , следовательно, , поэтому  и  - инъекция.

Для произвольного  открытому множеству  соответствует   и очевидно , что показывает сюръективность .

Пусть a,b – произвольные элементы из . Заметим, что . Открытому множеству  при гомеоморфизме  соответствует открытое множество , а  соответствует . Следовательно, =. Поскольку =, то , т.е.   ■

Литература.

1.  Биргкоф Г.  Теория решёток. – М.:Наука, 1984.

2.  Гретцер Г.   Общая теория решёток. – М.: Мир, 1982.

3.  Чермных В.В. Полукольца. – Киров.: ВГПУ, 1997.