Дипломная работа: Операторы проектирования
Вятский Государственный Гуманитарный Университет
Математический факультет
Кафедра математического анализа и МПМ
Выпускная квалификационная работа
Операторы проектирования.
Выполнил студент 5курса
математического факультета
Лежнин В.В.
/подпись/
Научный руководитель:
Старший преподаватель кафедры математического анализа и МПМ
Гукасов А.К.
/подпись/
Рецензент:
Старший преподаватель кафедры математического анализа и МПМ
Подгорная М.И.
/подпись/
Допущена к защите в ГАК
Зав.
кафедрой М.В. Крутихина
/подпись/ << >>
Декан факультета В.И. Варанкина
/подпись/ << >>
Киров
2003
Оглавление.
Введение. 2
Часть I. Основные понятия и предложения. 2
Часть II. Дополняемость в гильбертовых пространствах. 10
Часть III. Задача о дополняемости. 13
Литература. 15
Введение.
В данной работе рассматриваются операторы проектирования, которые являются частным случаев линейных операторов, их некоторые свойства, и рассматривается вопрос: как с помощью операторов проектирования можно выяснить дополняемо множество или нет. Так же освящается тема дополняемости в гильбертовых пространствах. Попутно для рассмотрения предлагаются некоторые определения и факты, на которые опираются нужные нам утверждения. К самостоятельно выполненным заданиям относятся доказательство замкнутости ядра (стр. 6, предложение 2), формула изменения коэффициентов Фурье при сдвиге на некоторое вещественное число и решение задачи о дополняемости.
Часть I. Основные понятия и предложения.
Определение. Метрику d на векторном пространстве X будем называть инвариантной, если d(x+z,y+z)=d(x,y), для любых x,y,z из X.
Определение. Пусть d – метрика на множестве X. Если каждая последовательность Коши сходится в X к некоторой точке, то d называется полной метрикой на X.
Определение. Векторное пространство X называется нормированным
пространством, если каждому элементу x из X сопоставлено неотрицательное
вещественное число
, именуемое
нормой x, и выполняются следующие условия:
1. 
£ +
"x, yÎX.
2. 
= 
"xÎX, "a - скаляра.
3. > 0, если x¹0.
Примеры нормированных пространств.
1) l
- нормированное пространство, в
котором элементы – последовательности комплексных чисел x=(x
, …,x
, …), удовлетворяющие условию 
<¥,
норма в таком пространстве
определяется 
;
2) L(0,1) - нормированное пространство,
состоящее из функций с интегрируемым квадратом на интервале (0, 1),
удовлетворяющее условию 
dx < ¥, и норма определена как 
= 
.
3) С
[0,
2p] – пространство
непрерывных 2p
периодических функций на отрезке [0, 2p]. Норма в нем определяется = 
Определение. Пусть X, Y – два топологических линейных пространства. Линейным оператором, действующим из X в Y, называется отображение y = Ax, где x принадлежит X, а y принадлежит Y, удовлетворяющее условию
A(ax+bx
) = aAx+bAx.
Определение. Оператор A называется непрерывным в точке x
области определения, если для любой
окрестности V точки y= Ax существует такая окрестность U точки x, что Ax принадлежит V, как
только x принадлежит пересечению области
определения и U. Оператор A называется непрерывным, если он непрерывен в каждой точке
области определения.
Определение. Линейный оператор, действующий
из Е в Е, называется
ограниченным, если он определен на всем Е и каждое ограниченное множество
переводит снова в ограниченное.
Предложение 1. Всякий непрерывный линейный оператор ограничен.
Доказательство.
Пусть М – подмножество
ограниченного множества Е, а подмножество АМ множества Е не ограничено. Тогда в Е найдется такая окрестность
нуля V, что ни одно из множеств 
АМ не содержится в V. То тогда существует такая
последовательность х из М, что ни
один из элементов Ах не принадлежит V, и получается, что х ® 0 в Е, но последовательность {Ах}
не сходится к 0 в Е, а это противоречит
непрерывности оператора А.
В нормированных пространствах определение ограниченности линейных операторов можно сформулировать так: оператор А ограничен, если существует такая постоянная С, что для всякого f из Е
.
Наименьшее из чисел С,
удовлетворяющее этому неравенству, называется нормой оператора А и обозначается
.
Определение. Пусть X - векторное пространство. Линейное отображение P:X → X называется
проектором в пространстве X, если
, т.е. P(P(x)) = Px для любого элемента x из X.
Свойства проекторов.
Пусть P проектор в X с ядром N(P) и образом R(P).
1. R(P) = N(I-P) = {xÎX, Px = x}, где I – тождественное отображение;
2. R(P)ÇN(P) = {0} и X = R(P)+N(P);
Доказательство 1.
а) Так как (I-P)P = IP-
= P-P = 0, то R(P) содержится в N(I-P);
б) Если x принадлежит N(I-P), то x-Px = 0, следовательно, x = Px принадлежит R(P), значит N(I-P) содержится в R(P);
Таким образом, из а) и б) следует, что R(P) = N(I-P).
Доказательство 2.
Если x принадлежит пересечению R(P) и N(P), то x=Px=0, а следовательно, R(P) и N(P) пересекаются по {0};
Для любого x из X можно представить в виде x=Px+(x-Px), где Px принадлежит R(P) и x-Px принадлежит N(P), значит X=R(P)+N(P);
Определение. М – замкнутое подпространство топологического векторного пространства X. Если в X существует такое замкнутое подпространство N, что X=M+N и MÇN={0}, то говорят, что М дополняемо в X и что X является прямой суммой подпространств X=MÅN.
Определение. Топологическое векторное пространство X называется F-пространством, если топология порождается некоторой полной инвариантной метрикой.
Теорема o замкнутом графике.
Предположим, что X и Y являются F-пространствами, отображение Т:X→Y линейно и множество G={(x, Tx): xÎX} (его график) замкнуто в X´Y. Тогда Т – непрерывно.
Предложение 2. Пусть Ù - линейный функционал на топологическом векторном пространстве X. Допустим, что Ùx ¹0 для некоторого x из X.
Тогда если Ù непрерывен, то ядро N(Ù) замкнуто в X.
Доказательство.
Так как N(Ù) = Ù
({0}), а {0} – замкнутое множество поля скаляров (как
любое одноточечное подмножество), то тогда непрерывность Ù влечет замкнутость ядра (как прообраз
замкнутого множества при непрерывном отображении).
Теорема 1.
а) Если Р – непрерывный проектор в топологическом векторном пространстве X, то X представляется в виде прямой суммы подпространств X=R(P)ÅN(P);
б) Обратно: если Х является F-пространством и X представляется в виде прямой суммы подпространств Х=АÅВ, то проектор Р с образом А и ядром В непрерывен.
Доказательство:
а) Так как Р и I-P непрерывны, то подпространства N(P) и R(P)=N(I-P) замкнуты (см. предложение 2), значит по второму свойству проекторов X=R(P)ÅN(P);
Чтобы доказать б) достаточно проверить, что проектор Р удовлетворяет условиям теоремы о замкнутом графике .
Пусть последовательности x→x и Px→y.
Так как Px принадлежит А, А – замкнуто,
следовательно y принадлежит A, а значит y = Py.
Аналогично x- Px принадлежит В, В – замкнуто,
следовательно x-y принадлежит B,
значит Py = Px поэтому y = Px. Получили, что точка (x, y) принадлежит G (см. теорему о
замкнутом графике). Отсюда вытекает, что проектор Р непрерывен.
Определение. Топологической группой называется группа G, снабженная такой топологией, относительно которой групповые операции в G непрерывны.
Расшифровка этого
определения состоит в том, что постулируется непрерывное отображение j:G´G®G, определенного равенством: j(x,y)=xy
.
Определение. Топологическая группа G, топология которой компактна, называется компактной группой.
Определение. Топологическое векторное пространство X называется локально выпуклым, если в нем всякое непустое открытое множество содержит непустое выпуклое открытое подмножество.
Определение. Пространство X называется пространством Фреше , если оно является локально выпуклым F-пространством.
Определение. Предположим, что топологическое векторное пространство
X и топологическая группа G связаны следующим образом: кждому
элементу s из G сопоставлен непрерывный линейный оператор T
:X®X, причем
T
= TT
, где s, t принадлежат G
и отображение (s, x) ® Tx прямого произведения G´X в пространстве X
непрерывно. В этом случае говорят, что группа G непрерывно и линейно действует в пространстве X.
Теорема 2.
Пусть Y – дополняемое подпространство Фреше
Х, и пусть компактная группа G непрерывна и
линейно действует на Х, причем Т
(Y)ÌY для любого sÎG. Тогда
существует непрерывный проектор Q
пространства Х на подпространство Y, коммутирующий со всеми операторами Т.
Лемма Фату. Пусть на множестве E задана последовательность измеримых,
почти всюду конечных функций f (x), которая сходится по мере к некоторой почти всюду конечной
функции f . Тогда
dm £ 
dm
Пример недополняемого подпространства.
Рассмотрим
подпространство Y=H
пространства Х=L, где L- пространство всех суммируемых
функций на комплексной плоскости, а H состоит из всех функций L, для которых 
(n)=0, при всех n<0.
(n) обозначает n-ый коэффициент Фурье функции f и вычисляется:
(n)=
e
dx, (n=0,
1, 2, …). (1)
(для простоты обозначается:
f(x)=f(e 
)).
В качестве группы G возьмем мультипликативную группу всех комплексных чисел, по модулю равных 1, и сопоставим каждому элементу
e ÎG оператор сдвига t, полагая, что
(tf)(x) = f(x+s), где s –
некоторое вещественное число. (2)
Теперь посмотрим, как
изменяются коэффициенты Фурье при таком сдвиге: (
)(n) =
e dx.
Произведем замену: x+s = t Þ x = t-s. Тогда
()(n)=
e
d(t-s) =
= e
e
dt=eedt=e (n),
то есть (tf)
(n)= e (n).
(3).
Так как e ÎG, то t(H) = H для любого вещественного s.
Если бы подпространство H было дополняемо в L, то из Т2. следовало бы существование
такого непрерывного проектора Q пространства L на H, что tQ = Qt для любого вещественного s. (4).
Найдем вид проектора.
Положим e(x)=e 
. Тогда te=ee, а так как оператор Q линеен, то
Qte = eQe.
(5).
Из (4) и (5) следует, что
(Qe)(x-s) = e 
(Qe)(x).
(6).
Пусть С = (Qe)(0). При Q = 0 соотношение (6) имеет вид
Qe = Ce. (7).
Воспользуемся тем, что
образом оператора Q служит
подпространство Н. Так как Qe принадлежит H для любого n, то из (7) следует, что
С = 0 для любого n<0. Так как Qf = f для любого f из H, то С = 1 при любом n³0.
Таким образом, проектор Q должен являться «естественным», то есть его действие сводится к замене нулями всех коэффициентов Фурье с отрицательными номерами:
Q(
e)=
e. (8).
Рассмотрим функцию f
(x) = 
e, (0<r<1), (9).
которая представляет собой ядро
Пуассона: 
, в частности f>0. Поэтому
= 
dx = 
dx = 1 для любого r.
(10) Но (Qf)(x) = 
e = 
(11).
Так как 
dx = ¥, то из леммы Фату следует, что 
® ¥, при
r ® 1. В силу (10) это противоречит непрерывности оператора Q.
Таким образом, доказано,
что H недополняемо в L.
Часть II. Дополняемость в гильбертовых пространствах.
Гильбертово пространство.
Комплексное векторное пространство Н называется пространством с внутренним произведением (унитарное пространство), если каждой упорядоченной паре векторов x,y из Н сопоставлено комплексное число (x,y), называемое скалярным и:
а) (y,x)=
, "x, yÎH;
b) (x+y,z)=(x+z)+(y+z), "x, y, zÎH;
c) (ax,y)=a(x,y), "x, yÎH, "aÎC;
d) (x,x)³0, "xÎH;
e) (x,x)=0 Û x=0, "xÎH;
Если (x,y) = 0, то говорят, что x ортогонален y (обозначение x^y).
Если Е подмножество Н, F подмножество H, то Е^F обозначает, что (x,y) = 0 для любых x из E и любых y из F.
Через Е
обозначаются все y из H, ортогональные каждому из векторов x из E.
Нормой в пространстве Н
называется число 
.
Если полученное нормированное пространство является полным, то оно называется гильбертовым пространством.
Примеры гильбертовых пространств.
1) l - комплексное гильбертово
пространство, в котором скалярное произведение определяется формулой (x, y) = 
;
2) L(0,1) - гильбертово пространство, в
котором скалярное произведение определено формулой
(f, g) = 
dx.
Теорема3:
М – замкнутое
подпространство гильбертова пространства Н, следовательно H можно представить в виде прямой суммы M и М (Н=МÅМ,
М - ортогональное дополнение
к М).
Доказательство:
Если Е подмножество Н, то
из линейности скалярного произведения (x,y) по x следует, что Е является
подпространством в Н. Допустим, что элементы g принадлежат Е и сходятся к g. Тогда для любого f из E
(g, f) = 
= 0, и потому g тоже входит в Е, значит
Е - замкнутое подпространство.
(1) Если х принадлежит М
и х принадлежит М, то (х, х) = 0,
а это будет тогда и только тогда, когда х = 0, следовательно МÇМ={0}.
(2) Пусть х принадлежит Н.
Рассмотрим множество х-М =
{х-х: хÎМ}, причем х такой, что он минимизирует
величину 
. Пусть х = х-х, следовательно, 
£
для любых y из М, значит, х
принадлежит
М, поэтому для любого х из Н
х можно представить в виде х = х+х, где х из М и х из М.
Из (1) и (2) следует, что
Н представимо в виде прямой суммы М и М
Н=МÅМ,
следовательно любое подмножество в гильбертовом пространстве дополняемо.
Примеры дополняемых подпространств в гильбертовом пространстве.
1) в l рассмотрим элементы x = (x, …,x, …), у которых x= 0 при четных n и x произвольные при n нечетных. Эти элементы образуют в l замкнутое подпространство. Назовем
его X.
Рассмотрим также элементы y = (y, …, y, …), у которых y произвольные при четных n, и y= 0 при нечетных n. Эти элементы образуют замкнутое подпространство
в l, и при этом это подпространство является ортогональным
дополнением к X, так как их скалярное произведение
равно 0. Следовательно, по Т3. X
дополняемо в H с помощью X.
2) L(0,1).
Пусть X – подпространство L(0,1), состоящее из тех функций L(0,1), которые обращаются в 0 на
интервале (0, а].
Пусть Y – подпространство L(0,1), состоящее из тех функций L(0,1), которые в ноль не обращаются
на интервале [a, 1).
Тогда Y является ортогональным дополнением X, так как их скалярное произведение равно 0, а значит X дополняемо в L(0,1) с помощью Y.
Часть III. Задача о дополняемости.
Пусть С[0,
2p] - множество непрерывных 2p периодических функций на отрезке [0,
2p].
Пусть Е – множество четных чисел и пусть
С
=
{f(x)Î С: 
(n) = 0 "nÏE}.
Требуется доказать, что С
дополняемо в С[0, 2p].
Доказательство:
Чтобы доказать требуемое, необходимо найти
такой непрерывный проектор, который бы отображал множество С[0, 2p] на С(Т1.),
таким образом, чтобы коэффициенты Фурье функций, стоящие на нечетных номерах,
отображались бы в 0, а на четных оставались бы без изменения.
Рассмотрим оператор P = 
(t
+I),
где t - оператор сдвига на p, а I -
тождественное отображение.
t ограничен, так как мы имеем дело с 2p периодическими функциями, так как
= =
1, то есть С = 1.
А раз он ограничен, то следовательно и непрерывен (предложение 1).
I - тоже непрерывен.
Теперь посмотрим, как изменятся коэффициенты Фурье функций при таком отображении.
1) n = 2k-1, где к – целое.
((
)(2k-1)+(
)(2k-1)) =
= (e 
(2k-1)+
(2k-1)) = (2k-1)(
e +1). (*)
Так как e 
=cos j+isin j, значит e =
cos ((2k-1)p)+isin((2k-1)p).
При любом k – целом выражение cos ((2k-1)p)+isin((2k-1)p) = -1, а, следовательно, и выражение (*) принимает значение 0. Мы показали, что коэффициенты Фурье функций, стоящие на нечетных номерах при таком отображении обращаются в 0.
2) n=2k, где k – целое.
(()(2k)+( )(2k)) = (e
(2k)+
(2k)) =
= (2k)(
e +1). (**)
При любом k – целом выражение cos (2kp)+isin(2kp) = 1, а следовательно и выражение (**) не изменяет своего значения, то
есть равно (2k). Мы
показали, что коэффициенты Фурье функций, стоящие на четных номерах при таком
отображении не изменяются, то есть оператор Р действительно является
проектором.
Таким образом, нашелся такой непрерывный
проектор P: С[0,
2p]® С,
следовательно С дополняемо в С[0, 2p].
Литература.
1. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М., Наука. 1989.
2. Рудин Уолтер. Функциональный анализ. М., Наука. 1975.
3. Вулих Б.З. Краткий курс в теорию функций вещественной переменной. М., Наука. 1973.