Контрольная работа: Экономико–математические методы в управлении

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ИМЕНИ ИММАНУИЛА КАНТА

по дисциплине «Экономико – математические методы в управлении»

вариант №30

КАЛИНИНГРАД

2008

Задание

Задание 1.2.

Смесь можно составить из n продуктов С_j (j=1,n). В каждом из продуктов содержится m компонентов. Минимально допустимый объем содержания i-го компонента в смеси выражается величиной b_i  (i=1,3). Содержание i-го компонента в единице j-го продукта выражается величиной а_ij.  Цена единицы j-го продукта равна с_j. Составить смесь, минимальную по стоимости, выбрав для решения данной задачи наиболее рациональный способ.

Задание 2.2.

Найти графоаналитическим методом оптимальное решение задачи нелинейного программирования.

maxZ = 3.6x₁ – 0.2x₁² + 0.8x₂ – 0.2x₂²

2x₁ + x₂ ≥ 10

x₁² -10x₁ + x₂ ≤ 75

x₂ ≥ 0

Задание 3.1.

После нескольких лет эксплуатации оборудование может оказаться в одном из трех состояний:

1)  требуется профилактический ремонт;

2)  требуется замена отдельных деталей и узлов;

3)  требуется капитальный ремонт.

В зависимости от ситуации руководство предприятия может принять следующие решения:

1)  отремонтировать оборудование своими силами, что потребует затрат а;

2)  вызвать специальную бригаду ремонтников, расходы в этом случае составят b;

3)  заменить оборудование новым, реализовав устаревшее по остаточной стоимости.. Совокупные затраты на это мероприятие составят с.

Требуется найти оптимально решение данной проблемы по критерию минимизации затрат с учетом следующих предположений:

 а) на основе обобщения опыта эксплуатации аналогичного оборудования определены вероятности наступления соответствующих состояний – q;

б) имеющийся опыт свидетельствует о равной вероятности наступления соответствующих состояний;

в) о вероятностях наступления соответствующих состояний ничего определенного сказать нельзя.

λ = 0.7

Задание 1.2.

Смесь можно составить из n продуктов С_j (j=1,n). В каждом из продуктов содержится m компонентов. Минимально допустимый объем содержания i-го компонента в смеси выражается величиной b_i  (i=1,3). Содержание i-го компонента в единице j-го продукта выражается величиной а_ij.  Цена единицы j-го продукта равна с_j. Составить смесь, минимальную по стоимости, выбрав для решения данной задачи наиболее рациональный способ.

Смесь, минимальная по стоимости:

7x₁ + 5x₂ + 8x₃ ≥ 70

8x₁ + 2x₂ + 3x₃ ≥ 40

9x₁ + 6x₂ + 7x₃ ≥ 50

x₁ ≥ 0; x₂ ≥ 0; x₃ ≥ 0

F = 9x₁ + 6x₂ + 7x₃ → min

После транспонирования матрицы элементов a_ij, cсимметричная двойственная задача будет иметь вид:

S(y₁,y₂,y₃) = 70y₁ + 40y₂ + 50y₃ → max , при ограничениях:

7y₁ + 8y₂ + 9y₃ ≥ 9

5y₁ + 2y₂ + 6y₃ ≥ 6

8y₁ + 3y₂ + 7y₃ ≥ 7

y₁ ≥ 0; y₂ ≥ 0; y₃ ≥ 0

Для решения двойственной задачи линейного программирования симплекс – методом, приведём систему неравенств к виду системы уравнений:

7y₁ + 8y₂ + 9y₃ + y₄ ≥ 9

5y₁ + 2y₂ + 6y₃ + y₅ ≥ 6

8y₁ + 3y₂ + 7y₃ + y₆ ≥ 7

y₁≥0;y₂≥0;y₃≥0;y₁≥0;y₂≥0;y₃≥0

S(y₁,y₂,y₃) = 70y₁ + 40y₂ + 50y₃ → max

По правилу соответствия переменных, базисным переменным прямой задачи соответствуют свободные переменные двойственной задачи:

x₁      x₂      x₃      x₄      x₅      x₆

y₁      y₂      y₃      y₄      y₅      y₆

Первая симплексная таблица:

Вторая симплексная таблица:

Третья симплексная таблица:

В последней таблице в строке Δ нет отрицательных элементов. В соответствии с критерием оптимальности точка максимума S_max = 2950/43 достигнута при значениях:         y₁ = 29/43; y₂ = 23/43; y₃ = 0.

По теореме двойственности: F_min = S_max = 2950/43.

На основании правила соответствия между переменными, оптимальное решение прямой задачи:

y₄        x₁ = 110/43        y₅         x₂ = 0      y₆         x₃ = 280/43

Ответ: В смесь минимальной стоимости 2950/43 целесообразно включить 110/43 единиц продукта C₁, 280/43 единиц продукта C₃, а продукт C₂ не включать.

Задание 2.2.

Найти графоаналитическим методом оптимальное решение задачи нелинейного программирования.

maxZ = 3.6x₁ – 0.2x₁² + 0.8x₂ – 0.2x₂²

2x₁ + x₂ ≥ 10

x₁² -10x₁ + x₂ ≤ 75

x₂ ≥ 0

В данной задаче имеется нелинейная целевая функция с нелинейной системой ограничений. Графическая схема позволит определить положение точки оптимума.

Сначала необходимо преобразовать формулу целевой функции так, чтобы получить её графическое отображение. Воспользуемся методом выделения полного квадрата двучлена относительно x₁ и x₂, разделив левую и правую части формулы на -0.2:

-5Z = x₁² -18x₁ + x₂² – 4x₂

Добавим к левой и правой частям уравнения числа, необходимые для выделения полных квадратов двучлена в правой части выражения:

9² и 2² в сумме составляют 85:

85 – 5Z = (x₁ – 9)² + (x₂ – 2)²

В результате получилась формула, позволяющая графически изобразить целевую функцию в виде линии уровня на плоскости X₁OX₂. Данные линии уровня представляют собой окружности с общим центром в точке O (9;2). Данная точка является точкой абсолютного экстремума целевой функции.

Для определения характера экстремума нужно провести анализ целевой функции на выпуклость/вогнутость. Для этого необходимо определить вторые частные производные и составить из них матрицу:

Z^”_x1x1  Z^”_x1x2      =       -0.4     0

Z^”_x2x1  Z^”_x2x2                0    -0.4

Определим знаки главных миноров данной матрицы.

Главный минор первого порядка -0.4 < 0.

Главный минор второго порядка 0.16 > 0.

Т.к. знаки миноров чередуются, функция Z - строго вогнута. Экстремум вогнутых функций – max, следовательно в точке О у целевой функции находится абсолютный максимум.

Для построения области допустимых значений преобразуем второе неравенство системы ограничений:

x₁² – 10x₁ + x₂ ≤ 75

x₁² – 10x₁ + 25 + x₂ ≤ 100

(x₁ – 5)² + x₂ ≤ 100

(x₁ – 5)² ≤ 100 – x₂

Уравнение (x₁ – 5)² = 100 – x₂ выразим через переменные x₁^* и x₂^*:

x₁^* = x₁ – 5

x₂^* = 100 – x₂

Уравнение примет вид: x₁^*2 = x₂^*.

В системе координат X₁^*O^*X₂^* данное уравнение является каноническим уравнением параболы.

На рисунке область допустимых значений – ограниченная часть плоскости ABCD. Из полученного графика видно, что точка абсолютного максимума Z лежит внутри ОДР. Следовательно, целевая функция принимает максимальное значение в этой точке:

max Z = Z(O) = Z(9;2) = 17

Задание 3.1

После нескольких лет эксплуатации оборудование может оказаться в одном из трех состояний:

1) требуется профилактический ремонт;

2) требуется замена отдельных деталей и узлов;

3) требуется капитальный ремонт.

В зависимости от ситуации руководство предприятия может принять следующие решения:

1)  отремонтировать оборудование своими силами, что потребует затрат а;

2)  вызвать специальную бригаду ремонтников, расходы в этом случае составят b;

3)  заменить оборудование новым, реализовав устаревшее по остаточной стоимости.. Совокупные затраты на это мероприятие составят с.

Требуется найти оптимально решение данной проблемы по критерию минимизации затрат с учетом следующих предположений:

 а) на основе обобщения опыта эксплуатации аналогичного оборудования определены вероятности наступления соответствующих состояний – q;

б) имеющийся опыт свидетельствует о равной вероятности наступления соответствующих состояний;

в) о вероятностях наступления соответствующих состояний ничего определенного сказать нельзя.

λ = 0.7

Составим платёжную матрицу, в которой П_j – состояния оборудования, А_i – альтернативы принятия решений:

Для принятия оптимального решения в случае а). воспользуемся критерием Байеса; в случае б). критерием Лапласа; в случае в). критериями Вальда, Сэвиджа, Гурвица.

а). на основе обобщения опыта эксплуатации аналогичного оборудования определены вероятности наступления соответствующих состояний: q₁ = 0.3; q₂ = 0.45; q₃ = 0.25

Критерий Байеса.

Для каждой альтернативы найдём средний выигрыш:  `a_i = ∑a_ij×q_j

`a<sub>1</sub> = -11.7           `a₂ = -14.15                  `a₃ = -13.4

Из средних выигрышей выбираем максимальный: max a_i = `a₁ = -11.7 – первая альтернатива оптимальна в случае известных вероятностей наступления событий при выборе решения по критерию Байеса.

б). имеющийся опыт свидетельствует о равной вероятности наступления соответствующих состояний;

Критерий Лапласа.

Для каждой альтернативы найдём средний выигрыш: `a_i = 1/3∑a_ij

`a<sub>1</sub> = -12.3           `a₂ = -14.3           `a₃ = -14

Из средних выигрышей выбираем максимальный: max a_i = `a₁ = -12.3 – первая альтернатива оптимальна в случае равной вероятности наступления событий при выборе решения по критерию Лапласа.

в). о вероятностях наступления соответствующих состояний ничего определенного сказать нельзя.

Критерий Вальда.

Для каждой альтернативы определим наихудший исход. d_i – минимальный элемент строки. Из наихудших исходов выбираем наилучший, т.е. максимальный d_i.

max d_i = d₁ = -15 – первая альтернатива оптимальна по критерию Вальда.

Критерий Сэвиджа.

Для каждого столбца находим максимальный элемент β_j.

Построим матрицу рисков, элементы которой: r_ij = β_j - a_ij

В матрице рисков в каждой строке найдём максимальный риск, и из них выберем минимальный: min r = r₁ = 4 – первая альтернатива оптимальна по критерию Сэвиджа.

Критерий Гурвица.

Для каждой строки находим минимальный d_i и максимальный β_j.

χ_i = λ × d_i + (1 – λ) × β_j                 λ = 0.7

Максимальный из элементов последнего столбца: max χ_i = χ₁ = -13.2 – первая альтернатива оптимальна по критерию Гурвица.