Дипломная работа: Элективные курсы по математике в профильной школе

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Вятский государственный гуманитарный университет»

Физико-математический факультет

Кафедра дидактики физики и математики

Выпускная квалификационная работа

Элективные курсы по математике в профильной школе

Киров 2008

Содержание

Введение

1. Профильная школа

1.1 Отечественный опыт профильного обучения

1.2 Актуальность профильного обучения

1.3 Цели и задачи профильного обучения

1.4 Возможные формы организации профильного обучения

1.5 Структура профильной школы

1.6 Организация обучения математике в основных профилях

1.7 Психолого-педагогические особенности обучения математике в классах основных профилей

2. Методика проведения элективных курсов по математике в профильной школе

2.1 Цели организации элективных курсов по математике

2.2 Типология элективных курсов по математике

2.3 Организация элективных курсов по математике

2.4 Основные требования к отбору задач для занятий элективного курса

2.5 Содержание элективных курсов по математике

2.6 Формы и контроль знаний на элективных курсах по математике

3. Опытная работа

3.1 Анкетирование учителей математики МОУ СОШ

3.2 Анализ учебников математики с точки зрения обучения учащихся вероятностно – стохастической линии

3.3 Разработка элективного курса «Элементы комбинаторики и теории вероятностей»

3.4 Анализ учебно-методических пособий для проведения элективных курсов по математике

Заключение

Введение

Концепция модернизации российского образования предусматривает введение профильного обучения на старшей ступени школы. Целью профильного обучения является создание условий для образования старшеклассников с учётом их склонностей и способностей, для их обучения в соответствии с профильными интересами и намерениями в отношении продолжения образования. В настоящее время выделяют следующие основные профили: естественно-математический, гуманитарный, технологический, социально-экономический.

Известно, что неотъемлемой частью профильного обучения является организация и проведение элективных курсов по предметам.

Элективные курсы – это обязательные для посещения старшеклассниками курсы по выбору, целями которых является развитие, дополнение, углубление содержания базового и профильного курсов математики, удовлетворение познавательных интересов школьников, развитие различных сторон математического мышления, воспитание мировоззрения и личностных качеств средствами углублённого изучения математики. При разработке содержания, выборе форм и методов работы с учащимися различных профилей на занятиях элективного курса должны быть учтены психолого-педагогические особенности, типы мышления, склонности и способности школьников.

Проведённый в ходе исследования анализ учебно-методической литературы, изучение опыта работы учителей математики, опытное преподавание показали, что проблема разработки и организации элективных курсов по математике до конца не решена – не достаточной ясности в отборе содержания для различных профилей, мал опыт проведения таких занятий, недостаточно учебно-методической литературы. Сложившаяся ситуация позволяет производить поиск и экспериментальную проверку нового содержания, новых методов обучения, а также варьировать объём и сложность изучаемого материала.

Таким образом, тема нашего исследования является весьма актуальной.

Объект исследования – процесс обучения математике на старшей ступени профильной школы.

Предмет исследования – организация элективных курсов по математике в профильной школе.

Цель исследования – исследовать роль и место элективных курсов в профильном обучении и на основе этого сформулировать методические рекомендации для подготовки и проведения элективных курсов по математике.

Гипотеза:

Проведение элективных курсов по математике в профильной школе будет более эффективным, если:

1.  Отбор содержания будет проведён в соответствии с целями, которые ставятся при изучении математики в каждом конкретном профиле, в соответствии с профессиональными интересами, склонностями и способностями учащихся.

2.  Учтены психолого-педагогические особенности учащихся разных профилей.

3.  Методы, формы и средства обучения на элективных курсах будут соответствовать психолого-педагогическим особенностям учащихся.

Для реализации поставленных целей и проверке выдвинутой гипотезы необходимо решить следующие задачи:

1.  Рассмотреть основные положения о профильном обучении.

2.  Определить цели изучения математики в математическом, гуманитарном и экономическом профилях.

3.  Определить психолого-педагогические особенности учащихся различных профилей.

4.  Разработать элективный курс по математике для социально-экономического профиля.

5.  Осуществить опытное преподавание.

Для достижения поставленных целей нами использовались следующие методы исследования:

1.  Изучение математической, учебно-методической и психолого-педагогической литературы.

2.  Анализ нормативных документов об образовании.

3.  Анализ учебников и школьной программы по математике.

4.  Опытное преподавание.

5.  Наблюдение за учащимися во время проведения элективного курса.

6.  Анкетирование учителей.

1. Профильная школа

1.1 Отечественный опыт профильного обучения

Идея создания профильных школ не нова. Реальные гимназии, существовавшие в 19 веке в России, были прообразом будущих школ с профильными классами. Престижные спецшколы советского времени тоже были в определённой степени профильными. И за рубежом практика профильного обучения давно и успешно применяется во всех школах [10].

Российская школа накопила немалый опыт по дифференцированному обучению учащихся. Первая попытка осуществления дифференциации обучения в школе относится к 1864 году. Соответствующий указ предусматривал организацию семиклассных гимназий двух типов: классическая (её цель – подготовка в университет) и реальная (её цель – подготовка к практической деятельности и к поступлению в специализированные учебные заведения).

Новый импульс идея профильного обучения получила в процессе подготовки в 1915–16 гг. реформы образования, осуществлявшейся под руководством Министра просвещения П.Н. Игнатьева. По предложенной им структуре 4 – 7 классы гимназии разделялись на три группы: новогуманитарную, гуманитарно-классическую и реальную.

В 1918 году состоялся первый Всероссийский съезд работников просвещения, и было разработано «Положение о единой трудовой школе», предусматривающее профилизацию содержания обучения на старшей ступени школы. В старших классах средней школы выделялись три направления: гуманитарное, естественно-математическое и техническое.

В 1934 году ЦК ВКП(б) и Совет Народных комиссаров СССР принимают постановление «О структуре начальной и средней школы в СССР», предусматривающее единый учебный план и единые учебные программы школы. Но введение на всей территории СССР единой школы со временем «высветило» серьёзную проблему – отсутствие преемственности между единой средней школой и глубоко специализированными высшими учебными заведениями, что заставило учёных-педагогов в который раз обратиться к проблеме профильной дифференциации на старших ступенях обучения.

Академия педагогических наук в 1957 году выступила инициатором проведения эксперимента, в котором предполагалось провести дифференциацию по трём направлениям: физико-математическому и техническому, биолого-агрономическому, социально-экономическому и гуманитарному. С целью дальнейшего улучшения работы школы в 1966 году были введены две формы дифференциации содержания образования по интересам школьников: факультативные занятия в 8–10 классах и школы (классы) с углублённым изучением предметов, которые постоянно развивались и существуют вплоть до настоящего времени.

В конце 80‑х – начале 90‑х годов в стране появились новые виды образовательных учреждений: лицеи, колледжи, гимназии, ориентированные на углублённое обучение школьников по избираемым ими образовательным областям с целью дальнейшего обучения в вузе. Также многие годы успешно существовали и развивались специализированные художественные, спортивные, музыкальные, коррекционные и др. школы. Этому процессу способствовал закон 1992 года «Об образовании», закрепивший вариативность и многообразие типов и видов образовательных учреждений и образовательных программ.

Таким образом, направление развития профильного обучения в российской школе в основном соответствует мировым и отечественным тенденциям развития образования.

Общеобразовательные учреждения углублённого образования: лицеи, гимназии, спецшколы пока остаются малочисленными, они во многом малодоступны для большинства школьников. Недостаточность широкой специализированной подготовки старшеклассников содействует сохранению таких явлений как массовое репетиторство, отток старшеклассников из школ на подготовительные отделения и курсы вузов и т.п. [20].

1.2 Актуальность профильного обучения

Профильное обучение имеет вековую историю, но и в настоящее время оно не потеряло своей актуальности, так как:

1.  Профилизация обучения в старших классах соответствует структуре образовательных и жизненных установок большинства старшеклассников (социологические исследования показывают: больше 70% школьников отдают предпочтение тому, чтобы знать основы главных предметов, а углублённо знать только те, которые выбираются, чтобы в них специализироваться).

1.  К 15–16 годам у большинства учащихся складывается ориентация на сферу будущей профессиональной деятельности (социальный опрос: в 8 классах школьники точно знают, что они пойдут в ПТУ, техникумы, колледжи или будут поступать в ВУЗ, в 9 классе 70–75% школьников точно определились с выбором).

2.  В высшей школе сформировалось устойчивое мнение о необходимости дополнительной специализированной подготовки старшеклассников для прохождения вступительных испытаний и дальнейшего образования в ВУЗе.

3.  Большинство учеников считают, что существующее ныне общее образование не даёт возможностей для успешного обучения в ВУЗе и построения дальнейшей профессиональной карьеры (считают приемлемым меньше 12% учащихся старших классов – данные Всероссийского центра изучения общего мнения).

4.  Анализ зарубежного опыта показывает, что общее образование на старшей ступени во всех развитых странах является профильным [9].

Таким образом, для того, чтобы учащиеся углублённо осваивали нужные им предметы, а так же успешно сдавали экзамены в ВУЗ и не испытывали больших трудностей при обучении в нём, необходим переход на профильную школу, то есть профильное обучение в настоящее время носит актуальный характер.

1.3 Цели и задачи профильного обучения

В наше время одним из важнейших направлений модернизации системы образования в России остаётся переход к старшей профильной школе. Необходимость перехода старшей ступени на профильное обучение определена Правительством России в «Концепции модернизации российского образования на период до 2010 года» [20].

В соответствии с данной концепцией ставится задача создания системы специализированной подготовки (профильного обучения) в старших классах общеобразовательных школ, ориентированной на индивидуализацию обучения и социализацию обучающегося, в том числе с учётом реальных потребностей рынка труда, отработки гибкой системы профилей и кооперации старшей ступени школы с учреждениями начального, среднего и высшего профессионального образования.

Следует отметить различия между понятиями профильного обучения и профильной школы

Профильная школа – институциональная форма реализации данной задачи.

Профильное обучение – средство дифференциации и индивидуализации обучения, позволяющее за счёт изменений в структуре, содержании и организации образовательного процесса более точно учитывать интересы, склонности, способности учащегося, создавать условия для обучения старшеклассников в соответствии с их профильными интересами и намерениями в отношении продолжения образования.

Профильное обучение направлено на реализацию личностно-ориентированного учебного процесса. При этом существенно расширяются возможности выстраивания учеником собственной, индивидуальной образовательной траектории. Таким образом, переход к профильному обучению преследует следующие основные цели:

~  обеспечить углублённое изучение отдельных дисциплин программы полного общего образования;

~  создать условия для значительной дифференциации содержания обучения старшеклассников, с широкими и гибкими возможностями построения школьниками индивидуальных образовательных программ;

~  способствовать установлению равного доступа к полноценному образованию разным категориям учащихся в соответствии с их индивидуальными склонностями и потребностями;

~  расширить возможности социализации учащихся, обеспечить преемственность между общим и профессиональным образованием, в том числе более эффективно подготовить выпускников школы к освоению программ высшего профессионального образования.

Итак, профильное обучение направлено на достижение индивидуальных потребностей школьника.

1.4 Возможные формы организации профильного обучения

Возможно, что школа или сеть школ будут реализовывать не только содержание выбранного профиля, но и предоставлять учащимся возможность осваивать интересное и важное для каждого из них содержание из других профильных курсов. Такая возможность может быть реализована как посредством разнообразных форм организации образовательного процесса (дистанционные курсы, факультативы, экстернат), так и за счёт кооперации (объединения образовательных ресурсов) различных образовательных учреждений (школы, учреждения дополнительного, начального и среднего профессионального образования, Малые Академии, заочные физико-математические школы и др.). это позволит старшекласснику одной школы при необходимости воспользоваться образовательными услугами других школ или учреждений НПО и СПО. Речь идёт о целенаправленном создании сети школ, учреждений дополнительного образования, НПО, СПО, обеспечивающей наиболее полную реализацию интересов и образовательных потребностей учащихся.

Таким образом, выделяют несколько вариантов или моделей организации профильного обучения:

  I. Модель внутришкольной профилизации (образовательное учреждение может быть однопрофильным и многопрофильным).

  II. Модель сетевой организации (профильное обучение в конкретной школе осуществляется за счёт целенаправленного и организованного привлечения образовательных ресурсов иных образовательных учреждений) [9].

Данная модель может строиться в двух основных вариантах.

Первый связан с объединением нескольких школ вокруг наиболее сильной школы, обладающей достаточным материальным и кадровым потенциалом, которая для группы школ выполняет роль «ресурсного центра». В этом случае каждая из школ данной группы обеспечивает в полном объёме базовые общеобразовательные курсы и ту часть профильного обучения (профильные и элективные курсы), которую она способна реализовать в рамках своих возможностей. Остальную профильную подготовку берёт на себя «ресурсный центр».

Второй вариант основан на кооперации школы с иными образовательными учреждениями и образовательными ресурсами – учреждениями дополнительного, высшего, среднего и начального профессионального образования. В этом случае учащимся предоставляется право выбора получения профильного образования либо в собственной школе, либо в кооперированных с ней образовательных структурах (дистанционные курсы, заочные школы, Малые Академии при вузах, учреждения системы НПО и СПО и др.).

Предложенный подход не исключает также возможности деятельности и дальнейшего развития, во-первых, универсальных (непрофильных) школ и классов, не ориентированных на профильное обучение, и, во-вторых, различного рода специализированных образовательных учреждений (хореографические, музыкальные, художественные, спортивные школы, школы-интернаты при крупных вузах и др.) [20].

1.5 Структура профильной школы

Важнейшим вопросом профильного обучения является определение модели организации профильного обучения. При этом следует учитывать, с одной стороны, стремление наиболее полно учесть индивидуальные интересы, способности, склонности всех старшеклассников, с другой стороны – ряд факторов, сдерживающих процессы такой во многом стихийной дифференциации образования. Среди них, прежде всего, следует назвать ЕГЭ, введение образовательного стандарта на профильном уровне, необходимость стабилизации федерального перечня учебников, обеспечение профильного обучения соответствующими педагогическими кадрами и др.

Любая форма профилизации обучения будет требовать сокращения инвариантного компонента. В отличие от привычных моделей школ с углублённым изучением отдельных предметов, когда один – два предмета изучаются более широко и глубоко, чем это предусмотрено программами общеобразовательных школ, а остальные предметы изучаются на традиционном уровне, реализация профильного обучения возможна только при условии относительного сокращения учебного материала непрофилирующих предметов, изучаемых с целью завершения базовой общеобразовательной подготовки учащихся.

Модель общеобразовательной школы с профильным обучением на старшей ступени предусматривает возможность разнообразных вариантов комбинаций учебных курсов, которые должны обеспечивать гибкую систему профильного обучения. Эта система должна включать в себя следующие типы учебных курсов:

Базовые общеобразовательные курсы – курсы, обязательные для всех учащихся во всех профилях обучения. Предлагается следующий набор обязательных общеобразовательных курсов: математика, история, русский и иностранные языки, физкультура, а также интегрированные курсы обществоведения для естественно-математического, технологического профилей, естествознания – для гуманитарного, социально-экономического профилей.

Профильные курсы – курсы повышенного уровня (фактически углублённые курсы старшей ступени школы), определяющие направленность каждого конкретного профиля обучения. Например, физика, химия, биология – профильные курсы в естественнонаучном профиле; история, право, экономика и др. – в социально-экономическом профиле и т.д.

По базовым общеобразовательным и основным профильным курсам проводятся ЕГЭ.

Элективные курсы – обязательные для посещения курсы по выбору учащихся, входящие в состав профиля обучения на старшей ступени школы. Элективные курсы реализуются за счёт школьного компонента учебного плана и выполняют две функции. Одни из них могут «поддерживать» изучение основных профильных курсов на заданном профильным стандартом уровне. Например, элективный курс «Комбинаторика и теория вероятностей» поддерживает изучение профильного курса экономики. Другие элективные курсы служат для внутрипрофильной специализации обучения и для построения индивидуальных образовательных траекторий. Например, курс «Информационный бизнес» в социально-гуманитарном профиле. Число элективных курсов, предлагаемых в составе профиля, должно быть избыточно по сравнению с числом курсов, которые обязан выбрать учащийся. По элективным курсам ЕГЭ не проводится [20].

Предлагаемая система не ограничивает школу в организации того или иного профиля обучения (или нескольких профилей одновременно), а школьника в выборе различных наборов базовых общеобразовательных, профильных и элективных курсов, которые в совокупности и составят его индивидуальную образовательную траекторию. Во многих случаях это потребует реализации нетрадиционных форм обучения, создания новых моделей школьного образования.

На основе курсов трех типов: базовых общеобразовательных, профильных и элективных возможно такое построение учебного процесса, когда комбинации общеобразовательных и профильных курсов дадут самые различные формы профилизации – для школы в целом, для отдельных классов в ней, для группы учащихся.

Очевидно, что профильное обучение сталкивается с рядом проблем, решить которые и по сей день не удалось:

1)  методическое обеспечение профильного обучения (выпуск новых учебников и т.д.);

2)  разработка модели реализации профильного обучения в сельской местности;

3)  переподготовка и подготовка учителей:

ü  изучение и осмысление теоретических положений и методологических основ профильного образования, нормативных документов;

ü  ознакомление с возможными вариантами моделей профильного обучения;

ü  формирование умений отбирать содержание для профильного обучения, для элективных курсов;

ü  формирование умений разрабатывать программы элективных курсов и оценивать их качество;

ü  освоение учителями инновационных методов обучения и технологий, методов ведения учебных занятий и форм организации учебной деятельности обучающихся (исследовательских методов, метода проектов, методов проведения семинарских занятий, методов коллективного сотрудничества, модульной технологии, проблемного обучения).

4)  проведение итоговой аттестации после 9 класса;

5)  серьёзная проработка экономических вопросов, связанных с введением профильного обучения.

6)  неустойчивость предпочтений подростков.

Таким образом, структура профильной школы представляет из себя совокупность таких курсов, как: базовые общеобразовательные, профильные и элективные. Так же профильное обучение сталкивается с рядом проблем, так как требуется переподготовка учителей, накопление методического опыта и др.

1.6 Организация обучения математике в основных профилях

Согласно [20] можно выделить несколько групп основных профилей, для которых математика изучается в наиболее приемлемом для этих профилей объёме.

Естественно-математический профиль: математика изучается в профильном курсе в течение 12 часов в 2 недели.

Технологический профиль: математика изучается в профильном курсе в течение 10 часов в 2 недели.

Социально-экономический профиль: математика изучается в базовом общеобразовательном курсе в течение 8 часов в 2 недели.

Гуманитарный профиль: математика изучается в базовом общеобразовательном курсе в течение 6 часов в 2 недели.

Универсальное обучение (непрофильные классы и школы): математика изучается в базовом общеобразовательном курсе в течение 8 часов в 2 недели.

Охарактеризуем название и краткое содержание элективных курсов для каждого из трёх профилей, опираясь на изученную в ходе исследования литературу.

Физико-математический профиль:

1.  «Функции и графики» (10–11 классы): исследование функций методами математического анализа; касательная к графику функции; асимптоты; представление о выпуклости и вогнутости графиков; исследование функции с помощью второй производной; использование касательной и свойств функции при решении уравнений и неравенств.

2.  «Элементы математической логики»: высказывания; операции над высказываниями; отрицание; законы логики; кванторы; неравенства; тождества; равносильность; математические теоремы, их виды; логическая структура теорем; необходимы и достаточные условия.

3.  «Задачи с параметром»: задачи, приводящие к исследованию корней квадратного трёхчлена; задачи о расположении корней квадратного трёхчлена; некоторые уравнения и неравенства, решение которых основано на использовании свойств квадратного трёхчлена; уравнения и неравенства, решение которых основано на использовании монотонности и экстремальных свойств входящих в них функций; нестандартные по формулировке задачи, связанные с уравнениями и неравенствами: нахождение числа корней, определение целочисленных корней и т.д.; уравнения и неравенства с параметрами, аналитические и графические методы их решения.

Гуманитарный профиль:

1.  «Замечательные теоремы и факты геометрии»: теорема Пифагора, различные способы её доказательства и её роль в геометрии; обобщения теоремы Пифагора; теоремы Чевы и Менелая; Теоремы Паппа и Дезарга; теорема Паскаля; теорема Птолемея.

2.  «Великие русские учёные-математики»: Софья Ковалевская, Пафнутий Львович Чебышев и др.

3.  «Элементы математической логики»: высказывания; операции над высказываниями; отрицание; законы логики; кванторы; неравенства; тождества; равносильность; математические теоремы, их виды; логическая структура теорем; необходимы и достаточные условия.

Социально-экономический профиль:

1.  «Элементы комбинаторики, теории вероятностей и статистики»: бесформульная комбинаторика; основные понятия комбинаторики: перестановки, размещения, сочетания; задачи, решаемые с использованием формул комбинаторики; бином Ньютона; треугольник Паскаля; случайное событие; виды событий; алгебра событий; вероятность события; теоремы о вероятности объединения и пересечения событий; схема испытаний Бернулли; статистические характеристики: среднее арифметическое, размах, мода, медиана; статистические исследования: сбор и группировка статистических данных, наглядное представление статистической информации.

2.  «Задачи с экономическим содержанием»: вычисление ставок процента в банке, определение начальных вкладов и наращенных сумм, исчисление налогов с населения и предприятий; простые и сложные проценты, расчёты банка с вкладчиками и заёмщика с банком, дисконтирование функций в экономике, их графики; средние и предельные издержки, оптимальные размеры производства, эластичность, нахождение наибольшего выпуска при заданных бюджетных ограничениях и наименьших бюджетных затрат при заданном выпуске; излишки потребителей и продавцов, исчисление налогов, последствия дотаций; использование показательных и логарифмических функции в банковской и налоговой системах, в рыночных конструкциях.

3.  «Элементы математической логики»: высказывания; операции над высказываниями; отрицание; законы логики; кванторы; неравенства; тождества; равносильность; математические теоремы, их виды; логическая структура теорем; необходимы и достаточные условия [42].

Как видим, для различных профилей темы и содержание элективных курсов могут быть различны, а могут и совпадать.

1.7 Психолого-педагогические особенности обучения математике в классах основных профилей

При организации процесса обучения в профильных классах следует учитывать психолого-педагогические особенности учащихся того или иного профиля. Наиболее ярко эти особенности проявляются в математических и гуманитарных классах.

Учащиеся математических классов отличаются характером восприятия математической задачи (задачи в широком смысле слова). Способные к математике учащиеся, воспринимая задачу, сразу выделяют показатели, существенные для данного типа задач, величины, не существенные для данного типа задач, но существенные для данного конкретного варианта. То есть, для способных учащихся характерно формализованное восприятие математического материала, связанное с быстрым схватыванием в конкретной задаче, в математическом выражении их формальной структуры.

У учащихся математических классов преобладает абстрактно-логическое мышление, которое характеризуется:

à  быстрым и широким обобщением (каждая конкретная задача решается как типовая);

à  тенденциями мыслить свёрнутыми умозаключениями (при наличии очень чётко логически обоснованной канвы);

à  большой подвижностью мыслительных процессов, многообразием аспектов в подходе к решению задач, лёгким и свободным переключением от одной умственной операции к другой, с прямого на обратный ход мысли;

à  стремлением к ясности, простоте, рациональности, экономичности решения.

Память способных к математике учащихся имеет обобщённый характер: быстро запоминаются и прочно сохраняются типы задач и способы их решения, схемы рассуждений, доказательств, логические схемы.

Такие ученики отличаются хорошо развитыми пространственными представлениями, при решении ряда задач они могут обходиться без опоры на наглядные образы. В каком-то смысле логичность заменяет им «образность», они не испытывают трудностей при оперировании абстрактными схемами [23].

На уроке учащиеся математических классов предпочитают решение нестандартных, проблемных, исследовательских задач. Красоту математики видят в необычных, неожиданных решениях. Во время работы чаще действуют индивидуально [39].

Математический профиль согласно Концепции общего среднего образования [21] относится к курсу повышенного типа, обеспечивающему дальнейшее изучение математики и её применение в качестве элемента профессиональной подготовки. Это наиболее строгий и полный курс, ориентированный на учащихся, выбравших для себя деятельность, непосредственно связанную с математикой.

Целями изучения математики в этом профиле являются овладение учащимися необходимым объёмом конкретных математических знаний и формирование в этом процессе интеллектуальной культуры личности.

Отбор содержания по теме должен проводиться в соответствии с целями, которые ставятся при изучении математики в математическом профиле. А также при изучении материала целесообразно использовать методы работы на уроке, соответствующие этому профилю: эвристический, проблемное изложение, исследовательский. Наиболее привлекательна для школьников индивидуальная работа. Для более полного рассмотрения каких-либо вопросов можно использовать различные средства обучения, в том числе учебные пособия, дидактические материалы, таблицы, экранные средства, приборы, модели и инструменты.

Больше всего трудностей возникает при организации обучения математике в гуманитарных классах. Это связано с некоторыми особенностями познавательной деятельности учащихся-гуманитариев.

Для учеников гуманитарного профиля имеет значение содержание задачи, соответствие условия реальной действительности. Именно в этом плане проходит её первоначальное осмысление, лишь затем начинается перевод на математический язык. Учащиеся видят решение конкретной задачи, а не приём решения задач данного типа.

По сравнению с учениками других профилей у гуманитариев наблюдается низкая изобретательная способность при запоминании информации. Они стараются запомнить не способ доказательства теоремы, а всё доказательство полностью и, если забывают, то восстановить, чаще всего, не могут.

Учащиеся гуманитарных классов строят свои рассуждения развёрнуто, строго выполняют все предписания, если действуют по алгоритму.

У них наблюдается очень слабая связь между прямыми и обратными действиями, взаимно обратными понятиями (дифференцирование и интегрирование, прямая и обратная функция и др.), причём со временем она быстро исчезает вообще. Обратное действие (понятие) у них формируется как новое, без опоры на уже установленное прямое.

Учащиеся гуманитарных классов с интересом относятся к историческим справкам, фактам и др. В отличие от учеников математического профиля ученики гуманитарного профиля хорошо запоминают исторические сведения, с удовольствием готовят сообщения.

Восприятие красоты математики у гуманитариев направлено на её проявления в живой природе, в произведениях искусства, в конкретных математических объектах.

Из форм работы на уроке они предпочитают объяснение учителем нового материала, лабораторную работу, деловые игры, выполнение индивидуальных заданий с привлечением научно-популярной литературы. Из методов работы выбирают коллективные методы, дискуссии.

Исходя из интересов и особенностей познавательной деятельности учащихся гуманитарных классов, выделяются методические рекомендации по организации работы с ними:

à  изложение материала необходимо вести на индуктивно-практической основе: от конкретных жизненных ситуаций к теоретическому обобщению, а от него – к применению;

à  необходимо помогать учащимися за деталями увидеть сущность понятия, приёма или метода решения (доказательства), их структуру;

à  тщательно вскрывать взаимосвязь между прямыми и обратными действиями, взаимно обратными понятиями, учить использовать её как для самопроверки, так и для уменьшения нагрузки на память;

à  вырабатывать умение свёртывать рассуждения, избегать многословности;

à  развивать умение восстанавливать формулы, доказательства, определения, для этого больше обращать внимание на способы их получения; там, где возможно, предлагать мнемонические правила запоминания содержательной части учебного материала;

à  учащиеся, в основном, оперируют готовыми формулами, теоремами, поэтому затрудняются, когда способ решения сразу не виден или приходится комбинировать различные приёмы;

à  при работе над задачей или теоремой необходимо ориентировать учащихся на рассмотрение всех возможных случаев расположения фигур;

à  учить отличать признаки и свойства понятий, правильно их использовать;

à  развивать умение восстанавливать формулы, доказательства, определения; для этого больше обращать внимание на способы их получения;

à  тщательно вскрывать взаимосвязь между прямым и обратным действием, взаимно обратными понятиями;

à  подбирать задачи, содержательная сторона которых соответствует реальной действительности;

à  формы проведения уроков должны быть разнообразными: лекции, семинары, диспуты, диалоги и др.;

à  лекции учителя дополнять сообщениями, докладами, рефератами учащихся;

à  в содержании курса обязательно должны включаться богатые в эмоциональном отношении эпизоды истории развития математики;

à  оптимально использовать принцип наглядности и художественную иллюстрацию, подкреплять теоретический материал примерами, моделями, подбирать задачи, содержательная сторона которых соответствует реальной действительности, отвечает интересам учеников, полнее использовать на уроках математики историко-научный материал [39], [22], [41];

Целями изучения математики в гуманитарном профиле являются умственное развитие школьника, знакомство с математикой как областью человеческой деятельности, формирование тех знаний и умений, которые необходимы для свободной ориентации в современном мире.

Итак, математика в гуманитарном профиле является курсом общекультурной ориентации. Этот курс рассчитан на учащихся, склонных рассматривать математику только как элемент общего образования и не предполагающих использовать её непосредственно в своей будущей профессиональной деятельности.

В классах экономического профиля учащиеся рассматривают математику как инструмент для решения прикладных задач. Если же говорить о особенностях мышления, то их мышление характеризуется прикладным стилем.

Учителю следует как можно чаще акцентировать внимание учащихся на универсальности математических методов, показывать на конкретных примерах их прикладной характер. Особый интерес вызовут примеры, иллюстрирующие применение метода в экономике.

Большое значение в процессе обучения математике имеет понимание школьниками практической значимости того или иного учебного материала. Поэтому при изучении любой темы необходимо сразу же очертить область, в которой этот материал может иметь фактическое применение.

Закрепление теоретических знаний следует осуществлять, в основном, в ходе решения математических и экономических задач.

Доказательство теорем (если при этом не демонстрируется какой-либо важный метод), как правило, имеет меньшую дидактическую значимость – это лишь очередное упражнение в строгом логическом рассуждении. Поэтому учащиеся могут не заучивать доказательства математических утверждений.

Для привития интереса к предмету очень важна мотивационная сторона обучения: каждое новое понятие или положение должно, по возможности, первоначально проявляться в задаче прикладного характера. Такая задача может убедить учащихся в необходимости и практической полезности изучения нового теоретического материала, показать, что математические абстракции возникают из задач, поставленных реальной действительностью. К тому же, это один из путей усиления мировоззренческой направленности обучения математике [23], [40].

Итак, экономический профиль, также как и математический профиль относится к курсу повышенного типа, обеспечивающему дальнейшее изучение математики и её применения в качестве элемента профессиональной подготовки. Но, в отличие от математического, ориентирован на учащихся с прикладным стилем мышления, выбравших для себя те области деятельности, в которых математика играет роль аппарата, специфического средства для изучения закономерностей окружающего мира. Поэтому, он должен быть построен с учётом того, что математика для таких учащихся является хотя и необходимым, но не самым важным предметом.

Изучение математики в экономическом профиле преследует такие цели:

1.  Овладение изучения закономерностей окружающего мира. деятельности, в которых математика играет роль аппарата, специфического средства конкретными математическими знаниями, позволяющими выработать представление о применении математики в профилирующей науке и достаточными для изучения в вузе соответствующего направления.

2.  Формирование прикладного стиля мышления.

3.  Общекультурное развитие школьников, так как большое внимание необходимо уделять гуманитарной направленности курса.

Как уже отмечалось, математика в классах этого профиля изучается в базовом общеобразовательном курсе в течение 8 часов в две недели, что соответствует требованиям программы, также отдельные разделы математики могут дополнительно преподаваться на элективных курсах.

Ведущая содержательно-методическая линия курса в классах этого профиля – решение уравнений и неравенств, что представляется разумным в связи с целью обучения математики в таких классах.

В соответствии с целями изучения математики дисциплина ориентирована на применение её в экономике и изучении закономерностей окружающего мира. При изучении математики в классах экономического профиля необходимо применять всевозможные методы: от объяснительно-иллюстративного до исследовательского. Так как этот профиль также как и математический входит в курс повышенного типа, то формы и средства обучения практически не отличаются, а лишь направлены на применение математики в экономике.

Таким образом, профильное обучение имеет огромную историю: впервые дифференциация обучения была введена в 1864 году, его модернизация продолжается и в настоящее время. Главная цель профильного образования – достижение индивидуальных потребностей школьника. Современная система образования предусматривает введение профильного обучения на старшей ступени школы. Существуют различные модели профильной дифференциации, в каждой модели представлены возможные формы организации профильного обучения и психологические особенности преподавания математики в классах различного профиля: например, в математических классах ученики обладают научным стилем мышления, в классах гуманитарного профиля важно уделять внимание содержательной стороне вопроса, а материал необходимо преподносить с помощью объяснительно-иллюстративного и репродуктивного метолов, а экономический профиль ориентирован на формирование прикладного стиля мышления.

2. Методика проведения элективных курсов по математике в профильной школе

2.1 Цели организации элективных курсов по математике

Принципиальным положением организации школьного математического образования в настоящее время является дифференциация обучения математике – уровневая дифференциация и профильная дифференциация в старших классах средней школы.

Программа по математике для средней общеобразовательной школы, работающей по базисному учебному плану, предполагает формирование у школьников представлений о математике как части общечеловеческой культуры, как определённом методе познания мира. Но на данный момент содержание школьного курса математики не соответствует требованиям, возникшим в современных условиях. Объём знаний, необходимый человеку, резко возрастает, в то время как количество отводимых часов для занятий сокращается. Математика как школьная дисциплина оставляет учащихся на рубеже прошлых веков и чрезвычайно мало знакомит с современными научными достижениями.

Одним из средств реализации требований программы и разрешения имеющихся проблем является переход школы на профильное обучение и введение элективных курсов по математике.

Элективные курсы – обязательные для посещения курсы по выбору для старшеклассников, которые реализуются за счет школьного компонента.

Прилагательное «элективный» (Electus – латинский, Л. Крысин «Толковый словарь иноязычных слов», «Русский язык», М., 1998.) в переводе с латинского языка означает избранный, отобранный. Отсюда следует, что любой курс, названный в учебном плане «элективным» должен выбираться.

Элективные курсы играют важную роль в системе профильного обучения на старшей ступени школы.

В соответствии с одобренной Минобразованием России «Концепцией профильного обучения на старшей ступени общего образования» дифференциация содержания обучения в старших классах осуществляется на основе различных сочетаний курсов трёх типов: базовых, профильных, элективных (с. 12).

Элективные же курсы связаны, прежде всего, с удовлетворением индивидуальных образовательных интересов, потребностей и склонностей каждого школьника. Именно они по существу и являются важнейшим средством построения индивидуальных образовательных программ, так как в наибольшей степени связаны с выбором каждым школьником содержания образования в зависимости от его интересов, способностей, последующих жизненных планов.

Элективные курсы «компенсируют» во многом достаточно ограниченные возможности базовых и профильных курсов в удовлетворении разнообразных образовательных потребностей старшеклассников. Эта роль элективных курсов в системе профильного обучения определяет широкий спектр их функций и задач.

При этом предполагается, что элективные курсы должны способствовать внутрипрофильной специализации обучения, а так же для разработки учащимися собственного образовательного профильного маршрута, так как одной из основных задач, стоящих перед системой образования, является переориентация на подготовку человека, самостоятельно выбирающего индивидуальную траекторию развития в соответствии со своими способностями и возможностями, ответственно принимающего решения и эффективно действующего в современно меняющемся мире. Самостоятельность как ответственное, инициативное, независимое поведение – это основной вектор взросления молодых людей.

Элективные курсы должны быть содержательно и деятельно связаны с конкретным профилем, моделируя характерные для него учебные ситуации и проблемы.

Элективные курсы – обязательные для посещения курсы по выбору для старшеклассников, которые реализуются за счет школьного компонента и имеют следующие цели:

§  развитие содержания базового курса математики, изучение которого в данной школе осуществляется на минимальном общеобразовательном уровне, что позволяет поддерживать на профильном уровне или получать дополнительную подготовку для сдачи ЕГЭ по математике;

§  дополнение содержания профильного курса математики, выступают его надстройкой, что позволяет профильному курсу быть в полной мере углублённым;

§  удовлетворение разнообразных познавательных интересов школьников, выходящих за рамки выбранного ими профиля, в различных сферах человеческой деятельности;

§  развитие математического мышления, воспитание мировоззрения и ряда личностных качеств средствами углублённого изучения математики.

Элективные курсы играют большую роль в совершенствовании школьного образования. Они позволяют производить поиск и экспериментальную проверку нового содержания, новых методов обучения, а также варьировать объём и сложность изучаемого материла.

Значит, элективные курсы позволяют поддержать изучение математики как профильного предмета на заданном профильном уровне или служат для внутрипрофильной специализации обучения и построения индивидуальных образовательных траекторий школьников.

2.2 Типология элективных курсов по математике

Выполненный нами в ходе исследования анализ педагогической, методической литературы показал, что существует несколько типологий элективных курсов:

I. По разрешаемым задачам:

Элективные курсы выполняют ряд задач:

1.  Создать условия для того, чтобы ученик утвердился или отказался от сделанного им выбора направления дальнейшего учения и связанного с ним определенного вида профессиональной деятельности.

2.  Помочь старшекласснику, совершившему в первом приближении выбор образовательной области для более тщательного изучения, увидеть многообразие видов деятельности с ней связанных.

3.  Удовлетворить естественное любопытство молодого человека к какой-то области знаний, которая не представлена в традиционном учебном плане.

4.  Ознакомить с дополнительными разделами учебного материала.

Следующие виды элективных курсов решают поставленные выше задачи:

1.  Пробные (их можно сравнить с факультативными курсами, программы которых будут ориентированы на знакомство с видами деятельности, характерными для человеческой работы в той или иной деятельности; при подготовке можно использовать научно-популярную литературу, пособия для профессиональной школы и т.д.).

2.  Ориентационные (например, элективный курс «Задачи на проценты» для экономического профиля); для подготовки можно использовать научно-популярную литературу, пособия для профессиональной школы, дополнительные главы к школьным учебникам, пособия для подготовки в вуз и т.д.

3.  Общекультурные (например, элективный курс «Золотое сечение», «Кривые в архитектуре» для любого профиля).

4.  Углубляющие (на данных элективных курсах происходит углублённое изучение дополнительного раздела;

для подготовки можно использовать темы и задания к факультативным курсам, дополнительные главы к школьным учебникам, пособия для подготовки в вуз и т.д.) [16].

II. Следующую типологию можно условно обозначить «по связи с предметом»:

Итак, «по связи с предметом» элективные курсы делятся на предметные, межпредметные и на элективные курсы по предметам, не входящим в базовый учебный план.

III. По содержанию:

Таким образом, из приведённых типологий элективных курсов ясно, что существуют элективные курсы, которые помогают глубоко изучить предмет, входящий в базовый учебный план, другие элективные курсы помогают показать межпредметные связи изучаемых предметов, а третьи помогают изучить предметы, не входящие в базовый учебный план. Некоторые из этих курсов направлены на изучение путей и методов применения знаний математики на практике, другие посвящены изучению методов решения математических задач, но все приведённые элективные курсы удовлетворяют потребности и интересы учащихся.

2.3 Организация элективных курсов по математике

В настоящее время предлагается проводить элективные курсы начиная с 7 класса профильной школы. Группа учащихся создаётся из учащихся параллельных классов, возможно так же создание объединённых групп из учеников последовательных классов.

Для успешного проведения элективного курса необходимо, по возможности, внести их в школьное расписание, не допускать срывов и переносов занятий.

Проведение элективного курса требует высокого уровня профессиональной подготовки учителя. В ряде случаев для проведения элективных курсов приглашают преподавателей высших или средних специальных учебных заведений.

Выбор и посещение элективного курса по математике до 9 класса включительно производится свободно, а в 10–11 классах курсы обязательны для посещения. Требования к ученику такие же, как и в отношении любого учебного предмета: обязательное посещение занятий, выполнение домашних заданий, собранность, дисциплинированность в учёбе и др.

Обучение ведётся по программам, созданным самим учителем, по его так называемому авторскому проекту (Приложение 2).

Учитель, предлагающий курсы подобного содержания, должен уже на первом занятии увлечь своих учеников. В данном случае важна не только тема элективных курсов, но и время их проведения.

Но каждый учитель должен придерживаться ряда правил по организации элективного курса:

Требования к элективным курсам

· Избыточность (их должно быть много).

· Кратковременность (6–16 часов).

· Оригинальность содержания, названия.

· Курс должен заканчиваться определенным результатом (творческое сочинение, проект и др.).

· Нестандартность.

· Элективные курсы, как правило, носят авторский характер.

Определение учебной программы

Учебная программа – нормативный документ, в котором отражены цели, содержание, особенности оценки эффективности результатов процесса обучения конкретного учебного курса.

Структурные элементы программы элективных курсов:

1. Титульный лист.

2. Пояснительная записка.

3. Содержательная часть.

4. Методическая часть.

5. Приложение.

1. Титульный лист

2. Пояснительная записка

·  Актуальность программы, обоснование необходимости программы (доводы о важности изучаемого компонента, недостаточность изучения в базовом курсе, соответствие возрасту, связь с наукой и др.).

·  Цели и задачи программы (развитие интереса, оказание помощи в выборе профессии и др.), цель должна отражать результат (создать проект и др.).

·  Обоснование отбора содержания его логике (элементы программы должны быть взаимосвязаны, должно быть выделено содержание).

·  Указание внутрипредметных и межпредметных связей.

·  Сведения об учащихся, на которых рассчитана программа.

·  Характеристика временных и материальных ресурсов (программа предусматривает типовое оборудование, нуждается в экскурсиях и др.).

·  Технические указания к тексту программы (для всех один текст, повышенного уровня – другой).

3. Содержательная часть

· Последовательный перечень тем с их кратким содержанием, указанием времени, необходимого на их изучение.

· Список демонстраций, практических и лабораторных работ, экскурсий.

4. Методическая часть

· Методические рекомендации.

· Требования к уровню знаний, умений и навыков, полученных в результате обучения.

· Развитие компетентности.

· Критерии эффективности реализации программы.

· Формы и методы контроля.

· Список рекомендуемой литературы.

5. Приложение

· Тематическое планирование.

· Дидактический материал.

· Дискеты с электронными презентациями.

6. Экспертиза программы

Экспертиза программы может проводиться на методсовете школьного муниципального уровня.

Итак, разработка элективного курса – это трудно, так как необходимо придерживаться ряда правил, а так же иметь большой запас знаний и умений.

2.4 Основные требования к отбору задач для занятий элективного курса

Элективный курс по математике представляет собой одну тему, рассмотренную глубоко (например, элективный курс может называться «Комбинаторные задачи», а может состоять из нескольких тем, связанных друг с другом (например, «Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей»).

Основной курс математики служит источником тем для углублённого изучения на элективном курсе, но учитель в праве проводить свой элективный курс, который не имеет ничего общего с основным курсом математики.

Элективные курсы дополняют математические кружки, факультативы не только новым содержанием, новыми подходами к его раскрытию, но и компонентами, присущими любому учебному предмету: связностью изложения, длительностью цикла изучения темы и др.

Также элективные курсы предоставляют большие возможности для подготовки к олимпиадам, поступлению в вуз и др.

Между тем любой элективный курс немыслим без определённого набора задач, соответствующих данному курсу. Задачи используются как очень эффективное средство усвоения школьниками понятий, методов, вообще математических теорий, как наиболее действенное средство развития культуры мышления учащихся, как незаменимое средство привития учащимся умений и навыков в практических применениях математики.

В литературе выделяются следующие принципы отбора задач, ориентированных на усвоение содержания элективного курса:

1.  Принцип преемственности. Отметим, что задачи содействуют установлению преемственных связей, так как уже в самом содержании задачи «заложено» содержание обучения математике (понятия, теоремы, способы деятельности и т.д.). С помощью задач устанавливаются взаимосвязи между различными понятиями, суждениями, между различными темами и предметами и основного курса математики, и элективного курса.

2.  Принцип связи теории с практикой. В процессе обучения задачи должны выступать как средство связи теории с практикой, при этом практика может как предшествовать познанию, так и сопутствовать ему и заключать его. Задачи «должны не только заключать изучение теорем, понятий, … но и предшествовать, и сопутствовать им, то есть выступать в качестве средства усвоения знаний» (Г.И. Саранцев).

3.  Принцип полноты, то есть стремление более полно отразить в цепочке задач математические идеи, а также привести примеры, относящиеся к различным отраслям знаний (физика, экономика и т.д.), установить межпредметные связи.

4.  Принцип контрастности ориентирован на то, что уже на начальных этапах обучения при подборе заданий необходимо брать контрастные виды заданий, не допускать повторяемости одних и тех же видов (Ю.М. Колягин, Г.И. Саранцев и др.). При этом задания должны быть как с положительными, так и с отрицательными ответами.

5.  Овладение методами научного познания происходит, главным образом, в процессе решения задач. Поэтому система задач должна предусматривать обучение эвристическим приёмам. Эвристические приёмы являются элементами содержания, однако школьные учебники практически не знакомят с ними учащихся, отсутствуют и задачи, способствующие их формированию. Поэтому на занятиях в процессе решения задач целесообразно обучать школьников основным эвристическим приёмам. В исследованиях по методике преподавания математики среди эвристических приёмов наиболее часто встречаются следующие: аналогия, индукция, приём элементарных задач, приём моделирования и т.д.

В литературе также выделяются и другие эвристические приёмы: введения вспомогательных элементов и нового неизвестного, достраивания фигуры, обобщения, постановки и выполнения производного задания, равносильного преобразования требования задачи, получения следствий и т.д. При этом одни приёмы раскрывают весь процесс решения задачи (иногда его называют способом решения задачи), другие – отдельные его фрагменты (тактические или локальные приёмы).

6. Принцип формирования исследовательских умений. Под учебными исследованиями будем понимать вид познавательной деятельности, который связан с выполнением учебных заданий, предполагающих самостоятельный творческий поиск учащимися новых для них знаний. Учебные исследования состоят из нескольких основных этапов: постановка проблемы, выдвижение гипотез, доказательство или опровержение гипотез. Чаще всего в учебном исследовании проблема формулируется самим учителем. Доказательство или опровержение гипотезы обычно сводится к доказательству соответствующей гипотезы математического факта. Основная же эвристическая деятельность учащихся связана с выдвижением гипотез. Создание гипотезы в учебных исследованиях основывается на аналогии, сравнении, исследовании предельных случаев, наблюдении, интуиции, опыте и суждениях [42].

Заметим, что элективные курсы реализуются в школе за счет времени, отводимого на компонент образовательного учреждения. Именно поэтому в примерных учебных планах отдельных профилей в рамках времени, отводимого на элективные курсы, предусмотрены часы в 10–11 классах на организацию учебных практик, проектов, исследовательской деятельности. При этом организация обучения в рамках элективного курса предполагает разделение класса, как минимум, на две подгруппы.

Таким образом, элективные занятия позволяют формировать и развивать у учащихся разносторонние интересы, культуру мышления, математическую культуру, умение самостоятельно восполнять знания, приобщают школьников к самостоятельной исследовательской работе, дают возможность познакомиться с некоторыми современными достижениями науки. Кроме того, они способствуют раскрытию внутреннего потенциала учащихся, созданию условий для их самореализации и развития. Элективные курсы позволяют наиболее успешно применять индивидуальный подход к каждому школьнику с учётом его способностей, более полно удовлетворять познавательные и жизненные интересы учащихся.

2.5 Содержание элективных курсов по математике

Содержание элективных курсов определено программой, разработанной учителем и предусматривает изучение разделов: «Избранные вопросы математики», «Математика в приложениях» и др. К программе прилагается список литературы, рекомендованный для изучения темы элективного курса, а также примерное содержание.

Исторический материал на элективных курсах.

Историческому аспекту математики на элективных курсах можно уделить большее внимание, чем в основном курсе (особенно для гуманитарного профиля). Степень включённости исторических сведений может меняться – от эпизодических упоминаний о фактах и личностях до изложения темы в плане её последовательного исторического развития.

В элективном курсе «Элементы комбинаторики и теории вероятностей» роль исторических сведений очень велика. Может быть сделан акцент на практическую важность статистической обработки информации (статистика числа рождений и смертей, деятельность страховых обществ и др.), первых попыток развития теории вероятностей как отражения запросов развития общества, роли азартных игр как простейшей математической модели, на которой отшлифовались основные понятия теории вероятностей. В качестве финала такого построения курса можно рассказать о современных методах контроля качества изделий.

Практическая работа.

Так как программа элективных курсов чаще всего является авторской, ее усвоение потребует от ученика умения слушать и воспринимать материал, легко его конспектировать, а также использовать дополнительную литературу. С другой стороны, элективные курсы должны способствовать развитию навыков самостоятельной работы, поэтому особое внимание необходимо уделить организации исследовательской деятельности. С этой целью в программу должны быть включены различные практикумы:

• групповая работа с научным текстом с последующим коллективным анализом для определения основных понятий, для выделения проблемы, постановки целей и задач исследования;

• работа в библиотеке, подбор литературы по заданной теме с помощью каталогов;

• работа в компьютерном классе, использование электронных энциклопедий и справочников, использование поисковых серверов Интернет для подбора информации;

• публичные выступления по заданной проблеме.

Современное общее образование универсально в том смысле, что оно предназначено для всех, безотносительно к тому, чем сегодняшний ребенок впоследствии будет заниматься – торговлей, политикой, военным делом. Но как бы ни развивалось общество, некоторая его часть занимается наукой. Именно к тем ученикам, которые обнаруживают склонность к теоретической деятельности, имеет смысл обратить некоторые избранные математические курсы.

Суть разрабатываемых курсов состоит в том, чтобы представить в наиболее явной и чистой форме суть науки как таковой.

2.6 Формы занятий и контроль знаний на элективных курсах по математике

Введение профильного обучения, а особенно элективных курсов, в программу старшей школы, несомненно, потребует разнообразия форм и методов обучения, так как профильное обучение – это не только дифференцирование содержания образования, но, как правило, и по-другому построенный учебный процесс.

При выборе форм и приёмов обучения на элективных курсах необходимо учитывать содержание курса, уровень развития и подготовки учащихся, их интерес к тем или иным разделам программы.

Одно из главных требований к формам и методам состоит в активизации мышления учащихся, развитии самостоятельности в различных формах её проявления.

Выделим возможные формы организации занятий элективного курса – это лекции, беседы, дискуссии, групповые соревнования, игры, индивидуальные консультации, теоретические практикумы по решению задач, практическая и исследовательская работа в группах и индивидуально, дистанционное обучение и создание проектов. При этом дифференцированный подход к обучению учащихся осуществляется за счет выбора задач и работ, содержащих различные уровни сложности. Например, лекция «Теория вероятностей в нашей жизни» – в теме «Теория вероятностей и элементы комбинаторики».

В конце изучения каждой темы может быть проведено зачетное занятие в форме игры или мини-олимпиады. Контроль по изучению всего материала может быть осуществлен через творческое задание по составлению задач и проверочные тесты.

Итогом освоения программы элективного курса может также являться констатация личных достижений по освоению содержания, представление индивидуальной творческой работы по выбору учащихся или создание проектов, как каждым учащимся, так и группой учащихся. При этом может быть организован круглый стол – как презентация творческих работ, проектов и подведение итогов.

Таким образом, во второй главе нашей работы обосновывается, что элективные курсы – это неотъемлемая часть профильного образования, эти курсы обязательны для посещения старшеклассниками. Элективные куры направлены прежде всего на удовлетворение индивидуальных образовательных интересов, потребностей, склонностей школьника.

В литературе встречается несколько типологий элективных курсов: «по разрешаемым задачам», «по связи с предметом», «по содержанию», но каждый курс создаётся при условии выполнения определённых требований – это такие как избыточность, кратковременность, оригинальность содержания и др. При этом любой элективный курс немыслим без задач, поэтому необходимо знать принципы их построения – принцип преемственности, принцип связи теории с практикой, принцип полноты и др.

В этой же главе предложены методические рекомендации для подбора содержания элективного курса, а так же предложены формы занятий и контроль знаний на элективных курсах.

Таким образом, из всего вышесказанного можно сделать вывод, что каждое занятие элективного курса – это тот же самый урок, требуемый подготовки, отличных знаний изучаемого материала, поиск дополнительных интересных сведений и фактов и др.

3. Опытная работа

3.1 Анкетирование учителей математики МОУ СОШ с углублённым изучением отдельных предметов №27

Нас заинтересовал вопрос: «Насколько правильно учителя понимают понятие элективного курса и проводят ли они их?». В связи с этим мы сочли необходимым изучить эту проблему. Метод исследования, который мы использовали, – анкетирование.

Проводилось анкетирование учителей математики МОУ СОШ с УИОП №27 города Кирова, в опросе приняли участие 8 учителей математики. Данная школа является школой с углублённым изучением отдельных предметов, в том числе существуют профили с профилирующим предметом математика – математический и физический профиль.

Содержание анкеты представлено в таблице 2

Таблица 2

Анализ анкет.

Из всех опрошенных учителей никто правильно не сформулировал понятие элективного курса, но если собрать воедино все ответы, то определение элективного курса получится. Наиболее распространённые ответы: «вопросы вне программы», «это не расширение школьной программы, а добавление новых тем», «темы, интересующие учащегося» и др. среди учителей встретились и те, у кого пока ещё не сформировалось понятие элективного курса.

41,6% ответов – «темы, выходящие за рамки программы»;

25% ответов – «межпредметные связи»;

16,6% ответов – «темы, интересующие учеников»;

8,3% ответов – «задачи с практическим содержанием», «курс по выбору», «познавательный курс».

Основное отличие элективного курса от факультативного сформулировали только два учителя «факультативный курс предусмотрен программой министерства образования».

Также выяснилось, что не все учителя проводят элективные курсы, только трое из восьми, это 37,5% от общего количества учителей. Это курсы:

1.  9 класс. «Нестандартные приёмы решения уравнений», «Решение текстовых задач», «Упражнения с модулем».

2.  10 класс. «Комбинаторика и вероятность», «Исследование в задачах по планиметрии».

3.  11 класс. «Задачи с параметром».

Видно, что некоторые темы не соответствуют тематике элективных курсов. Тема «Решение текстовых задач» сформулирована некорректно. Рассмотрение всех текстовых задач – это скорее факультативный курс, нежели элективный. Элективным же курсом могли стать темы «Задачи на движение», «Задачи на работу», «Задачи на проценты».

На вопрос о том, есть ли в вашем учебном плане темы по комбинаторике и теории вероятностей, всё учителя ответили положительно (100%).

Выяснилось, что никто из учителей не проводит элективные курсы в других профилях, помимо математического и физического.

Где же учителя находят нужную информацию? Опрос показал, что в учебниках для углублённого изучения математики, в дополнительной литературе, на курсах повышения квалификации, в методической литературе, разрабатывают собственные методики, в Интернете и т.п.

Итак, до сих пор среди учителей нет полной ясности в исследуемом нами вопросе. Это связано с переходом на профильное обучение, реорганизацией учебных планов и школ, а так же недостаточностью учебно-методической литературы, в которой можно найти информацию по данному вопросу. Это всё ещё раз доказывает, что наше исследование актуально.

3.2 Анализ учебников с точки зрения вероятностно – стохастической линии

Как показал анализ анкет, в школе №27 вероятностно-стохастическая линия включена в учебные планы учителей математики, но при прохождении нами педагогической практики (5 курс) в школе №14 выяснилось, что данная тема не рассматривалась учителем до 11 класса, хотя профиль класса социально-экономический. Поэтому мы посчитали необходимым разработать элективный курс «Элементы комбинаторики и теории вероятностей», который позволил бы сформировать представление об основных понятиях данной темы. Для этого обратимся, прежде всего, к анализу школьных учебников, в которых прослеживается вероятностно-стохастическая линия.

Построение полноправной вероятностно-стохастической линии в базовом курсе математики основной школы выполнено в рамках учебных комплектов [28], [29], а так же [30], [31], [32]. В 5–9 классах последовательно вводится новая для нашей школы содержательно-методическая линия «Анализ данных», включающая комбинаторику, элементы теории вероятностей и статистику, которая органично сочетается с традиционными вопросами и существенно усиливает практическое и прикладное звучание.

В 5 классе в главе «Натуральные числа» [28] происходит знакомство с комбинаторикой, а именно с понятием комбинаторные задачи, решаемые методом перебора и построение дерева возможных вариантов. В конце главы «Обыкновенные дроби» дети стремятся постичь случайные события, которые разделяются на возможные и невозможные. Далее даётся понятие достоверных, невозможных, случайных, равновероятностных или равновозможных событий. В конце курса происходит знакомство с таблицами и диаграммами, как одним из способов представления информации. На этом знакомство с теорией вероятностей в 5 классе заканчивается.

В 6 классе [29] изучение темы начинается с повторения таблиц и диаграмм. Затем в главе «Вероятность случайных событий» учащиеся знакомятся с наукой – теорией вероятностей, где раскрывается понятие вероятности случайного события и частоты. Учащиеся сталкиваются с задачами на определение вероятности достоверных, невозможных, случайных, равновероятностных или равновозможных событий.

7 класс [30] знакомит учащихся со статистикой, а именно со статистическими характеристиками: средним арифметическим ряда чисел, модой, размахом ряда. В главе «Свойства степени с натуральным показателем» учащиеся учатся решать комбинаторные задачи с помощью рассуждений, где впервые, хотя и неосознанно, применяют комбинаторные формулы. В этой же главе рассказывается о перестановках и даётся первая формула комбинаторики. Обращение к теории вероятности в 7 классе происходит в главе «Частота и вероятность». В 8 классе [31] повторяется ранее изученные статистические характеристики, а также знакомятся с новыми характеристиками: таблицей частот, медианой ряда. Ещё в 8 классе можно изучить геометрическую вероятность.

Итак, в этом комплекте учебников учащиеся знакомятся с основными понятиями теории вероятностей, комбинаторики и статистики.

В учебниках [13], [14] идёт изучение достоверных, невозможных и случайных событий, правила умножения для комбинаторных задач, решение комбинаторных задач. Осуществляется первое знакомство с понятием «вероятность», с подсчётом вероятности.

Продолжение развёртывания вероятностно-статистической линии осуществляется в дополнительных материалах к курсу алгебры 7–9 классов общеобразовательных учреждений «События. Вероятность. Статистическая обработка данных» [34]. Пособие предназначено для ознакомления учащихся с элементами теории вероятностей и математической статистикой. На большом количестве примеров изложены начальные понятия, идеи и методы комбинаторики, теории вероятностей и статистики.

Для изучения вероятностно-статистического материала при работе по учебникам [1], [2], [3] предназначено учебное пособие для учащихся 7–9 классов общеобразовательных учреждений. Учащиеся знакомятся с простейшими статистическими характеристиками (среднее арифметическое, размах, мода, медиана), изучают элементы статистики и получают начальные представления о сборе и группировке статистических данных, составление таблиц частот и относительных частот. Рассматриваются различные способы наглядного изображения результатов статистических исследований – построение столбчатых и круговых диаграмм, полигонов, гистограмм. Вводятся начальные понятия теории вероятностей. Учащиеся знакомятся с комбинаторным правилом умножения.

Итак, учащиеся к 9 классу, занимаясь по любому из предложенных учебников, знают основные понятия, умеют анализировать, сопоставлять, сравнивать данные, составлять таблицы, диаграммы, обрабатывать информацию.

3.3 Разработка элективного курса «Элементы комбинаторики и теории вероятностей»

Актуальность темы

В соответствии с письмом Министерства образования Российской Федерации от 23.09.2003 г. №03–93 ин/13–03 «О введении элементов комбинаторики, статистики и теории вероятностей в содержание математического образования школы» рекомендуется во всех образовательных учреждениях начать с 2003/2004 учебного года курса «Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей». Однако, внедрение в практику этого нового материала требует несколько лет и нуждается в накоплении методического опыта. Поэтому в настоящее время в школах, начиная с 5 класса, вводится вероятностно-стохастическая линия, но в этих же школах можно встретить учеников 10 и 11 классов, в учебные планы которых не была включена данная линия, при этом учащиеся обучаются в социально-экономическом профиле, где данная вероятностно-стохастическая линия очень важна.

Так же, существуют межпредметные связи между математикой и физикой, математикой и биологией, математикой и экономикой и др. С одной стороны физика, биология, химия содержат примеры случайных явлений, с другой стороны эти дисциплины не могут обойтись без элементов теории вероятностей для раскрытия собственных закономерностей.

Как уже было сказано выше, современная физика, химия, весь комплекс социально-экономических наук построены и развиваются на вероятностно-статистической базе, и без соответствующей подготовки невозможно полноценное изучение этих дисциплин.

То есть данная тема «Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей» актуальна в социально-экономическом профиле, поэтому нами был разработан элективный курс и проведено 2 урока, конспекты которых представлены в Приложении 1.

Цели курса:

1.  Овладение конкретными математическими знаниями, необходимыми для применения в практической деятельности, для продолжения образования.

2.  Формирование качеств прикладного стиля мышления, необходимого для продуктивной жизни в обществе.

3.  Формирование представлений об идеях и методах математики, о математике как форме описания и методе познания действительности.

4.  Формирование представлений о математике как части общечеловеческой культуры, понимания значимости математики для общественного прогресса.

Задачи курса:

·  Развитие интеллектуальных умений учащихся.

·  Расширение сферы математических знаний.

·  Реализация внутрипредметных связей.

·  Облегчение подготовки учащихся к экзаменам как в школе, так и при поступлении в общеобразовательные учреждения после окончания школы.

Элективный курс предназначен для учащихся 10–11^х классов, выбравших для себя социально-экономическую область деятельности, в которой комбинаторика и теория вероятностей играют важную роль.

Основные формы проведения элективного курса – лекции учителя, практические занятия и доклады учеников.

В конце изучения каждой темы предусмотрено зачетное занятие в форме игры или мини-олимпиада.

Учащиеся, успешно освоившие программу, получат зачет.

Программа рассчитана на 16 учебных часов (1 учебный час – 40 минут), так как возрасте (15 – 17 лет) учащиеся владеют не малым багажом знаний, умений и навыков и способны усваивать информацию быстрее.

Учебно-тематический план

С такими темами, как комбинаторика и теория вероятности тесно связана тема статистики (это видно из анализа учебников), поэтому после данного курса целесообразно проведение элективного курса по статистической обработке данных. Примерная разработка представлена ниже.

Опыт показал, что тема воспринималась учащимися 11^х классов быстро и с интересом. А так же подтвердилось, что установленные нами временные рамки, ограничивающие одно занятие, соответствуют темпу восприятия материала учениками.

3.4 Анализ учебно-методических пособий для проведения элективных курсов по математике

В настоящее время литературы, связанной с элективными курсами сравнительно немного, так как данные курсы вошли в жизнь школы сравнительно недавно, и многие учителя (как показал анализ анкет) не проводят их, то есть нет опыта преподавания в данной области.

Мы обратились к анализу учебных пособий по проблеме исследования, представленных в продаже и доступных учителям города.

Данное пособие предназначено для учителей математики, для учеников общеобразовательных школ (10–11 классов) и студентов педагогических вузов.

Данное пособие знакомит учащихся с законами логики, а также с основными понятиями логики. Поможет научить решать логические задачи и применять эти умения при решении задач, а также в математических доказательствах, поможет развить логическое и абстрактное мышление.

В данном пособии рассмотрены достаточно глубоко следующие темы: предмет и задачи логики; понятие; суждения (высказывания); законы правильного мышления; дедуктивное умозаключение; математическая логика; индуктивное умозаключение; искусство доказательства и опровержения; гипотеза. В конце пособия можно найти тематический словарь терминов, вопросы для повторения, а также стихи и кроссворды, связанные с логикой.

Харламов, Л.Н. Самый простой способ решения неравенств. Избранные задачи по планиметрии. Решение задач с помощью графов. [Текст] / Л.Н. Харламов. – Волгоград: Учитель, 2008.

Данное пособие предназначено для учителей математики и учеников.

Содержание представленных элективных курсов предназначено для 8 – 9 классов в рамках предпрофильной подготовки: самый простой способ решения неравенств, избранные задачи по планиметрии, решение задач с помощью графов.

Цель, поставленная автором, – расширить спектр решаемых задач, познакомиться с новым способом моделирования условия задач – сетевым графом.

Григорьева, Г.И. Текстовые задачи: сложности и пути их решения. Алгебра, 9 класс. [Текст] / Г.И. Григорьева. – Волгоград: Корифей, 2002.

Книга предназначена для учителей математики, может использоваться учащимися.

Данное пособие по элективным курсам содержит учебно-тематический план, программу, разработку занятий курса, пособие предназначено для 9 классов общеобразовательных школ. Курс поможет расширить и углубить знания по математике, сделать выбор профиля в старшей школе.

Цель – формирование полного представления о математических знаниях, развитие интереса к математике.

Козина, М.Е. Элективные курсы по математике и информатике с экономическим содержанием, 10 – 11 класс. [Текст] / М.Е. Козина, Л.И. Малоцкая, Э. А Мурзагалиев и др. – М.: Глобус, 2007.

Пособие предназначено для преподавателей математики и информатики, учащихся, работников методической службы, студентов педагогических вузов.

В сборник вошли элективные курсы по математике и информатике для старших классов общеобразовательных учреждений. В пособии можно найти материал к занятиям, а также необходимую литературу для проведения занятия.

Итак, воспользовавшись любым пособием из вышеперечисленных, есть возможность найти необходимую вам информацию, если ваша тема, совпадает с темой из данных источников.

Заключение

В заключении нашего исследования можно сказать, что поставленные цели и выдвинутые задачи достигнуты и получены следующие результаты и выводы:

1.  Профильное обучение направлено на реализацию личностно-ориентированного учебного процесса.

2.  Система профильной школы состоит из базовых общеобразовательных, профильных и элективных курсов.

3.  Организация обучения математике в различных профилях должна осуществляться в соответствии с психолого-педагогическими особенностями и стилем мышления учеников.

4.  Элективные курсы позволяют поддержать изучение математики как профильного предмета на заданном профильном уровне или служат внутрипрофильной специализации обучения и построения индивидуальных образовательных интересов.

5.  Выделяют несколько типологий элективных курсов: «по связи с предметом», по содержанию, по разрешаемым задачам.

6.  Сформулированы основные требования к отбору задач для элективных курсов: преемственность, контрастность, полнота и др.

7.  Разработаны методические рекомендации по проведению элективных курсов (отбор содержания, формы занятий, контроль знаний и др.).

8.  Разработан элективный курс по математике для социально-экономического профиля, проведено 2 занятия в 11 классе школы №14 города Кирова.

Материал данной дипломной работы поможет любому учителю, желающему разработать свой элективный курс, а также воспользоваться уже разработанным элективным курсом.

Список литературы

1.  Алгебра: Учебник для 7 кл. общеобразоват. учреждений [Текст] / Под ред. С.А. Теляковского. – М.: Просвещение: Дрофа – 2003. – с. 368.

2.  Алгебра: Учебник для 8 кл. общеобразоват. учреждений [Текст] / Под ред. С.А. Теляковского. – М.: Просвещение: Дрофа – 2003. – с. 288.

3.  Алгебра: Учебник для 9 кл. общеобразоват. учреждений [Текст] / Под ред. С.А. Теляковского. – М.: Просвещение: Дрофа – 2003. – с. 356.

4.  Аксёнова, Э.А. Профильное образование школьников [Текст] / Э.А. Аксёнова // Образование в Сибири. – 2002. – №1. – с. 2–5.

5.  Артёмова, Л.К. Профильное обучение: опыт, проблемы, пути решения [Текст] / Л.К. Артемова. // Школьные технологии. – 2003. – №4. – с. 22–32.

6.  Артюхова, И.С. Проблема выбора профиля обучения в старшей школе [Текст] / И.С. Артюхова. // Педагогика. – 2004. – №2. – с. 28–33

7.  Бабичева, Л. Школа будущего [Текст] / Лана Бабичева. // Лидеры образовния. – 2003. – №6. – с. 18–21.

8.  Безденежных, Т. Профильное обучение: реальный опыт и сомнительные нововведения [Текст] / Т. Безденежных, В. Шмелёв. // Директор школы. – 2003. – №1. – с. 7–12.

9.  Болотов, В.А. Перспективы перехода школы на профильное обучение [Текст] / В.А. Болотов. // Воспитание школьников. – 2004. – №1. – с. 2–8.

10.  Болотов, В.А. Образование на старшей ступени во всех развитых странах является профильным [Текст] / В.А. Болотов. // Математика в школе. – 2003. – №9. – с. 4–8.

11.  Буравова, Н.И. Профильное обучение в 9 классе [Текст] / Н.И. Буравова. // Математика в школе. – 2000. – №5. – с. 48–55.

12.  Гузеев, И. С Содержание образования и профильное обучение в старшей школе [Текст] / И.С. Гузеев // Народное образование. – 2002. – №9. – с. 113–123.

13.  Зубарева, И.И., Мордкович, А.Г. Математика: Учебник для 5 кл. общеобразовательных учреждений [Текст]. – М.: Мнемоза. – 2002. – с. 146

14.  Зубарева, И.И., Мордкович, А.Г. Математика: Учебник для 5 кл. общеобразовательных учреждений [Текст]. – М.: Мнемоза. – 2003. – с. 158

15.  Клёнов, Н. Как подготовить школу к профильному oбучению [Текст] / Н. Клёнов. // Народное образование. – 2003. – №7. – с. 106–114.

16.  Колосов, В. Углублённое математическое образование [Текст] / В. Колосов. // Математика. – 2004. – №. – с. 2–7.

17.  Колягин, Ю.М. Профильная дифференциация обучения математике [Текст] / Ю.М. Колягин. // Математика в школе. – 1990. – №4. – с. 21–27.

18.  Колягин, Ю.М. О прикладной и практической направленности обучения математике [Текст] / Ю.М. Колягин, В.В. Пикал. // Математика в школе. – 1995. – №6. – с. 27–32.

19.  Комбинаторика. // Математика. – 2004. – №17. – с. 22–27.

20.  Концепция модернизации российского образования на период до 2010 года [Текст] // Нормативные документы в образовании. – 2003. – №2. – с. 2–21.

21.  Концепция профильного обучения на старшей ступени общего образования [Текст] // Официальные документы в образовании. – 2002. – №27. – с. 3–12.

22.  Концепция развития школьного математического образования [Текст] // Математика в школе. – 1990. – №1. – с. 2–13.

23.  Крутецкий, В.А. Психология математических способностей школьников [Текст] / В.А. Крутецкий. – М.: Просвещение, 1968. – с. 431.

24.  Крутецкий, В.А. Психология обучения и воспитания школьников: книга для учителей и классных руководителей [Текст] / В.А. Крутецкий. – М.: Просвещение, 1976. – с. 303

25.  Кузнецов, А.А. Базовые и профильные курсы: цели, функции, содержание [Текст] / А.А. Кузнецов. // Педагогика. – 2004. – №2. – с. 28–33.

26.  Макарычев, Ю.Н. Элементы статистики и теории вероятностей: Учебное пособие для учащихся 7–9 классов общеобразовательных учреждений [Текст] / Ю.Н. Макарычев. – М.: Просвещение. – 2003. – с. – 78

27.  Марков, В.И. Деятельностный подход в обучении математике в условиях предпрофильной подготовки и профильного обучения [Текст] / В.И. Марков. – Киров. – 2006. – с. 200.

28.  Математика: Учебник для 5 кл. общеобразоват. Учреждений [Текст] / Под ред. Г.В. Дорофеев, И.Ф. Шарыгин. – М.: Просвещение: Дрофа – 2003. – с. 368.

29.  Математика: Учебник для 6 кл. общеобразоват. учреждений [Текст] / Под ред. Г.В. Дорофеев, И.Ф. Шарыгин. – М.: Просвещение. – 2000. – с. 416.

30.  Математика: Арифметика, алгебра, анализ данных. 7 класс: Учебник для общеобразоват. учреждений [Текст] / Под ред. Г.В. Дорофеев. – М.: Дрофа. – 2003. – с. 288.

31.  Математика: Арифметика, функции, анализ данных: Учебник для 8 кл. общеобразоват. учреждений [Текст] / Под ред. Г.В. Дорофеев. – М.: Просвещение. – 2000. – 356

32.  Математика: Арифметика, функции, анализ данных: Учебник для 9 кл. общеобразоват. учреждений [Текст] / Под ред. Г.В. Дорофеев. – М.: Просвещение. – 2000. – 352

33.  Методика преподавания математики в средней школе: общая методика [Текст]: учебное пособие для студентов педагогических институтов по физико-математической специальности / А.Я. Блох, Е.С.канин, Г. В, И.Г. Килина. – М.: Просвещение, 1985. – с. 336

34.  Мордкович, А.Г., Семёнов, П.В. События. Вероятность. Статистическая обработка данных: Дополнительные материалы к курсу алгебры для 7–9 кл [Текст] – М.: Мнемозина. – 2002

35.  Основные понятия комбинаторики [Текст] // Математика. – 2004. – №7. – с. 11–13.

36.  Программа для общеобразовательных учреждений. Математика [Текст]. – М.: Просвещение, 1998. – с. 320

37.  Романовская, М. Профильная школа [Текст] / Романовская и др. // Директор школы. – 2003. – №7. – с. 12–21.

38.  Семёновых, А. Комбинаторика [Текст] / А. Семёновых. // Математика. – 2000. – №15. – с. 28–32.

39.  Симонова, И.М. Профильная модель обучения математике [Текст] / И.М. Симонова. // Математика в школе. – 1997. – №1. – с. 32–36.

40.  Терешин, Н.А. Прикладная направленность школьного курса математики: книга для учителя [Текст] / Н.А. Терешин. – М.: Просвещение, 1990.

41.  Шестакова, Л.Г. Математика в гуманитарных классах. [Текст] / Л.Г. Шестакова // Математика в школе. – 1996. – №1. – с. 10–13.

42.  Элективные курсы по математике [Текст]: учебно-методические рекомендации. / М.В. Крутихина, З.В. Шилова. – Киров, ВятГГУ. – 2006. – с. – 40

Приложение 1

Уроки 1, 2.

Простейшие комбинаторные задачи: правило умножения и дерево вариантов, перестановки

Цель: сформировать представление о таком разделе математики, как «Комбинаторика», сформировать умения по решению простейших задач комбинаторики.

Простейшие комбинаторные задачи: правило умножения и дерево вариантов, перестановки.

Пример: Начальник написал 10 писем и поручил своему помощнику надписать 10 конвертов с нужными адресами. Тот так и сделал, но дальнейшее перепоручил секретарше. Она выполнила это ответственное задание формально, то есть разложила письма по конвертам, не обращая внимания на адреса. Какова вероятность того, что ни одно письмо не попало в нужный конверт?

Оказывается, что вероятность такой масштабной ошибки превышает 36%.

Все мы довольно часто говорим «это невероятно», «более вероятно, что…», «это маловероятно», «можно утверждать со стопроцентной вероятностью, что…», когда пытаемся спрогнозировать наступление того или иного события. При этом обычно опираемся на интуицию, жизненный опыт, здравый смысл и т.п. Но очень часто такие приблизительные оценки оказываются недостаточными: бывает важно знать, на сколько или во сколько раз совершение одного случайного события вероятнее другого. Иными словами, нужны точные количественные оценки, надо уметь численно характеризировать возможность наступления того или иного события. Раздел математики, посвященный исследованию количественных оценок случайных событий, называется теорией вероятности.

На практике часто приходится выбирать из некоторого множества объектов подмножества элементов, обладающих теми или иными свойствами, расположение элементов одного или нескольких множеств в определённом порядке.

Так как речь идёт о комбинациях объектов – задачи называются комбинаторными, а область математики – комбинаторикой.

Её основателями считают Пьера Ферма и Блеза Паскаля. Эти французские учёные XVII века первыми нашли ключ к составлению количественной оценки вероятности события. Они использовали метод, который позже был назван комбинаторным анализом или комбинаторикой.

Знакомство с новым для вас понятием начнём с двух простых задач, одну из которых решаем вместе, а другую самостоятельно.

Пример 1. Сколько чётных двузначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 4, 5, 9.

Решение. Составим таблицу: слева от первого столбца поместим первые цифры искомых чисел, а выше первой строки – вторые цифры этих чисел. Так как в двузначном числе впереди может стоять любая цифра, кроме 0, то строки будут отмечены цифрами 1, 2, 4, 5, 9. Значит, в нашей таблице будет 5 строк. На втором месте в искомом числе должна стоять чётная цифра. Значит, столбцы будут отмечены цифрами 0, 2, 4. Всего в таблице будет 3 столбца.

Клетки таблицы заполнятся следующим образом: первая цифра числа равна метке строки, а вторая цифра – метке столбца, поэтому каждое из интересующих нас чисел попадёт в определённую клетку таблицы. По строкам и столбцам мы перечислим все возможные варианты, значит, искомых чисел будет столько же, сколько клеток в таблице, то есть 5*3=15.

Ответ: 15.

Здесь был осуществлён полный перебор всех возможных вариантов, или, как обычно говорят в таких случаях, всех возможных комбинаций.

Поэтому подобные задачи называют комбинаторными.

Пример 2. На завтрак Илья может выбрать плюшку, бутерброд, пряник или кекс, а запить их он может кофе, соком или кефиром. Из скольких вариантов завтрака Илья может выбирать? (самостоятельно).

Решение. Соберём все варианты в такой таблице:

В ней 3 строки и 4 столбца, они образуют 12 клеток. Так как выбор еды и напитка происходит независимо, то в каждой клетке будет стоять один из возможных вариантов завтрака и, наоборот, любой вариант завтрака будет записан в одной из клеток. Значит, всего вариантов столько же, сколько клеток в таблице.

Ответ: 12.

Видно, что, хотя примеры 1 и 2 очень разные, их решения совершенно одинаковые. Основаны они на общем правиле умножения.

Задачи:

1.  Сколько двузначных чисел можно составить из цифр 1, 3, 5, 7, 9?

2.  Сколько среди них чисел, кратных 5?

3.  Сколько среди них чисел, кратных 11?

4.  Сколько среди них чисел, кратных 3?