Контрольная работа: Типовой расчет
1. Найти сумму ряда:
Решение.
Разложим знаменатель на множители.
Значит,
Разложим дробь 
, используя метод
неопределённых коэффициентов.
то есть:
,
, 
Следовательно,
Тогда, исходный ряд примет вид:
Найдём n – первые членов ряда, записывая дроби с одинаковыми знаменателями друг под другом:
= 
= 
= 
= 
= 
= 
= 
= 
Сложим n – первых членов ряда и найдём их сумму.
.
Тогда искомая сумма равна:
.
Ответ: 
.
2. Найти сумму ряда:
Решение.
Разложим дробь 
, используя метод
неопределённых коэффициентов.
то есть:
, 
, 
, 
Следовательно,
Тогда, исходный ряд примет вид:
Найдём n
– первых членов ряда 
, записывая дроби
с одинаковыми знаменателями, друг под другом:
= 
= 
= 
= 
= 
= 
= 
= 
Сложим n – первых членов ряда
и найдём их сумму.
.
Тогда искомая сумма равна:
Ответ: 
.
3. Исследовать ряд на сходимость
Решение.
Так как 
, то рассмотрим ряд
,
тогда
Воспользуемся признаком Даламбера.
,
Тогда,
Так как 
, то ряд сходится. Значит, исходный
ряд сходится по теореме о
сравнении рядов.
Ответ: Ряд сходится.
4. Исследовать ряд на сходимость
Решение.
Преобразуем n – член этого ряда.
Сравним ряд 
с рядом 
, пользуясь предельным
признаком сравнения:
, 
Тогда,
Поскольку А = 1 (0<A<+∞)
– действительное число. Следовательно, ряды либо сходятся, либо расходятся. Ряд
- является рядом Дирихле.
Так как α = 3 > 1, то данный ряд сходится. Следовательно, и
сравниваемый ряд тоже сходится.
Ответ: ряд сходится.
5. Исследовать ряд на сходимость
Решение.
Воспользуемся признаком Даламбера.
, 
Находим m по формуле:
Тогда:
Так как 
, то ряд 
расходится.
Ответ: ряд 
расходится.
6. Исследовать ряд на сходимость
Решение.
Рассмотрим ряд
.
Поскольку 
при 
:
Воспользуемся признаком Даламбера.
,
Находим m по формуле:
Тогда:
Так как 
, то ряд сходится.
Согласно признаку
сравнения сходится и ряд 
.
Ответ: ряд сходится.
7. Вычислить сумму ряда с точностью α..
α. =
0,001.
Решение.
Прежде чем находить сумму ряда необходимо убедиться, что данный ряд сходится. Проверим исходный ряд на сходимость.
- числовой
знакочередующейся.
Воспользуемся признаком Лейбница:
1) 
2) 
Следовательно, ряд условно сходится.
Проверим абсолютную
сходимость ряда . Рассмотрим ряд 
.
Воспользуемся признаком Даламбера:
, 
Находим m по формуле:
Тогда:
Следовательно, ряд
сходится абсолютно.
Вычисляем члены ряда с точностью до 4 цифр после запятой до тех пор, пока какой-нибудь член ряда по модулю не будет меньше α. = 0,001:
а1 = -1,5 а2 = 0,1042 а3 = - 0,0016 а4 = 0,0000093
Для приближённого
вычисления ряда достаточно первых трех членов ряда (по следствию признака
Лейбница: сумма сходящегося знакопеременного числового ряда не превышает его
первого члена). Следовательно, ошибка при вычислении не превысит 0,0000093, а,
значит, и 
. Требуемая точность достигнута.
Следовательно:
.
Ответ: 
.
8. Найти область сходимости функционального ряда
Решение.
Рассмотрим два интервала:
1) 
Проверим необходимый
признак сходимости рядов: 
Необходимый признак не
выполняется. Следовательно, при ряд расходится.
2) 
, то есть 
Проверим необходимый
признак сходимости рядов:
Необходимый признак не
выполняется. Следовательно, при ряд расходится.
При 
имеем:
то есть ряд расходится.
Окончательно, получаем
ряд расходится при любом Х
Ответ:
9. Найти область сходимости функционального ряда
Решение.
Воспользуемся признаком Даламбера:
.
В данном примере:
,
.
Следовательно, ряд 
сходится при любом Х, т.е.
Ответ: .
10. Найти сумму ряда:
Решение.
Найдём область абсолютной сходимости ряда, пользуясь признаком Даламбера:
то есть 
. Ряд сходится для тех
значений Х, для которых 
, то
есть 
, 
.
При ряд расходится, так как 
.
Следовательно, 
.
Перепишем данный ряд:
Обозначим сумму трёх
рядов через 
, 
и 
соответственно, тогда
.
Определяем область сходимости этих рядов, пользуясь признаком Даламбера:
1) 
:
то есть 
. Ряд сходится для тех
значений Х, для которых , то
есть , .
Следовательно, .
2) 
:
то есть . Ряд сходится для тех
значений Х, для которых , то
есть , .
Следовательно, .
3) 
:
то есть . Ряд сходится для тех
значений Х, для которых , то
есть , .
Следовательно, .
Найдём сумму ряда .
Это сумма бесконечной
геометрической прогрессии: 
, тогда:
.
Найдём сумму ряда .
.
Обозначим сумму ряда в
скобках за 
и проинтегрируем:
.
Продифференцируем 
:
.
Отсюда:
сумму ряда .
.
Обозначим сумму ряд в
скобках за 
и проинтегрируем:
.
Тогда,
продифференцируем 
:
Отсюда:
.
Следовательно:
для всех .
Ответ: 
для всех .