Дипломная работа: Факторизації чотирьохмірних симплектичних груп

Дипломна робота. Факторізації чотирьохмірних симплектичних груп

Зміст

1.Введення

2.Перелік умовних позначок

3. Основні поняття

4. Ізометрії

5. Проективні перетворення

6. Структурні теореми. Порядки симплектичних груп

7. Центри

8. Комутанти

9. Теореми про простоту

10. Основні результати

Висновок

Список використаних джерел

Кінцева група  допускає факторізацію, якщо  для деяких підгруп  і  групи . При цьому виникають дві задачі: які факторізації допускає задана група  і як будова співмножників  і  впливає на будову самої групи . Природно, що вивчення кінцевих груп, що володіють факторізацією, дає можливість глибше зрозуміти будову кінцевої групи. Дана тематика вивчалася такими видними математиками як Ф. Хол, С.А. Чунихин, Х. Виландт, Л.С. Казарін, Д.И. Зайцев, С.А. Сискин і ін. Ними був доведений ряд глибоких результатів у теорії кінцевих груп. Аналогічні задачі виникають і в інших розділах математики (наприклад, в алгебрах Чи).

Після завершення класифікації кінцевих простих неабелевих груп актуальної стала задача одержання факторизаций конкретних простих неабелевих груп і, зокрема, простих груп лієвського типу малого лієвського рангу. Дані питання розглядалися Н. Іто, що одержав всі факторізації лінійних груп лієвського рангу 1 над кінцевим полем Галуа, а також С. Блаумом, що описали факторізації лінійних і унітарних груп розмірності 3.

У дипломній роботі розглянуті факторізації чотирьохмірних симплектичних груп. Для таких груп знайдені всі максимальні факторізації.

У роботі всі розглянуті групи передбачаються кінцевими. Буквами  позначаються прості числа.

Будемо розрізняти знак включення множин  і знак строгого включення ;

 і  - відповідно знаки перетинання й об'єднання множин;

 - потужність множини ;

 - порожня множина;

 - множина всіх простих чисел;

 - деяка множина простих чисел, тобто ;

 - доповнення до  у множині всіх простих чисел; зокрема, ;

Нехай  - група. Тоді:

 - порядок групи ;

 - порядок елемента  групи ;

 - одиничний елемент і одинична підгрупа групи ;

 - множина всіх простих дільників порядку групи ;

 - множина всіх різних простих дільників натурального числа ;

 - група - група , для якої ;

 - група - група , для якої ;

 - підгрупа Фратіні групи , тобто перетинання всіх максимальних підгруп ;

 - найбільша нормальна розв'язна підгрупа групи ;

 - найбільша нормальна --підгрупа групи ;

 - найбільша нормальна --підгрупа групи ;

 - --холовська підгрупа групи ;

 - силовська --підгрупа групи ;

 - доповнення до силовської --підгрупи в групі , тобто --холовська підгрупа групи ;

 -  є підгрупою групи ;

 -  є власною підгрупою групи ;

 -  є максимальною підгрупою групи ;

 -  є нормальною підгрупою групи ;

 -  є мінімальною нормальною підгрупою групи ;

 - індекс підгрупи  в групі ;

;

 - централізатор підгрупи  в групі ;

 - нормалізатор підгрупи  в групі ;

 - центр групи ;

 - циклічна група порядку ;

Якщо , то .

Якщо , , то .

Класи груп, тобто сукупності груп, замкнуті відносно ізоморфізмов, позначаються прописними готичними буквами. За деякими класами закріплені стандартні позначення:

 - клас всіх груп;

 - клас всіх розв'язних груп.

Групою називається непуста множина  з бінарною алгебраїчною операцією (множенням), що задовольняє наступною вимогою:

1) операція визначена на , тобто  для всіх ;

2) операція асоціативна, тобто  для будь-яких ;

3) в  існує одиничний елемент, тобто такий елемент , що  для всіх , що  для всіх ;

4) кожний елемент володіє зворотним, тобто для кожного  існує такий елемент , що .

Більш коротко: напівгрупа з одиницею, у якій кожний елемент володіє зворотним, називається групою.

Групу з комутативною операцією називають комутативною або абелевої. Якщо  - кінцева множина, що є групою, то  називають кінцевою групою, а число  елементів в  - порядком групи .

Підмножина  групи  називається підгрупою, якщо  - група щодо тієї ж операції, що визначена на . Запис  означає, що  - підгрупа групи , а  - що  - власна підгрупа групи , тобто  й .

Теорема 1 Непуста підмножина  групи  буде підгрупою тоді й тільки тоді, коли  й  для всіх .

Нехай  - непуста підмножина групи . Сукупність всіх елементів групи , з кожним елементом множини , називається централізатором множини  в групі  й позначається через .

Лема 2 1. Якщо  - підмножина групи , то централізатор  є підгрупою.

2. Якщо  й  - підмножина групи  й , то .

3. Якщо  - підмножина групи  й , то .

Центром групи  називається сукупність всіх елементів з , з кожним елементом групи. Центр позначається через . Ясно, що , тобто центр групи  збігається із централізатором підмножини  в групі . Крім того, .

Зафіксуємо в групі  елемент . Перетинання всіх підгруп групи , що містять елемент , назвемо циклічною підгрупою, породженої елементом , і позначимо через .

Теорема 3 Циклічна підгрупа , породжена елементом , складається із усіляких цілих ступенів елемента , тобто .

Наслідок 4 Циклічна підгрупа абелева.

Нехай  - елемент групи . Якщо всі ступені елемента  різні, тобто  для всіх цілих , то говорять, що елемента  має нескінченний порядок.

Якщо  - непуста підмножина групи  й  те  й . Елемент  називається перестановочним з підмножиною , якщо . Рівність  означає, що для будь-якого елемента  існує такий елемент , що . Якщо елемент  перестановочний з підмножиною , то  й . Сукупність всіх елементів групи , перестановочних з підмножиною , називається нормалізатором підмножини  в групі  й позначається через . Отже,

5. Нехай  - непуста підмножина групи ,  - довільний елемент групи . Тоді:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) якщо  - підгрупа групи , те .

Підгрупа  називається нормальною підгрупою групи , якщо  для всіх . Запис  читається: " - нормальна підгрупа групи ". Рівність  означає, що для будь-якого елемента  існує елемент  такий, що .

Теорема. 6 Для підгрупи  групи  наступні твердження еквівалентні:

1)  - нормальна підгрупа;

2) підгрупа  разом з кожним своїм елементом містить всі йому сполучені елементи, тобто  для всіх ;

3) підгрупа  збігається з кожною своєю сполученою підгрупою, тобто  для всіх .

Нехай  - підгрупа групи . Тоді:

1) ;

2) якщо  й , те ;

3)  - найбільша підгрупа групи , у якій  нормальна;

4) якщо , те . Обернено, якщо , те ;

5)  для будь-якої непустої підмножини  групи .

У кожній групі  тривіальні підгрупи (одинична підгрупа  й сама група ) є нормальними підгрупами. Якщо в неодиничній групі  немає інших нормальних підгруп, то група  називається простій. Одиничну групу  вважають непростий.

Знакозмінні простори

Векторний простір  над полем  називається знакозмінним, якщо на ньому задана знакозмінна білінійна форма , тобто відображення  з наступними властивостями:

для всіх , ,  з  і всіх  з . Відзначимо наслідок цих співвідношень: . Якщо  - знакозмінна форма й  - довільний елемент із , то відображення , певне формулою , і складний об'єкт, що є вихідним векторним простором  із цією новою формою , буде знакозмінним простором, що ми позначимо через .

Уявлення знакозмінного простору  в знакозмінний простір  (обоє над полем  і з формами, позначуваними через ) є по визначенню лінійне перетворення  простору  в , таке, що  для всіх , . Інвективне уявлення називається ізометрією  в.  Простору  й  називаються ізометричними, якщо існує ізометрія  на . Нехай  позначає уявлення,  - ізометрію ``в'', а  або  - ізометрію ``на''. Очевидно, що композиція дві ізометрії - ізометрія й перетворення, зворотне до ізометрії, - також ізометрія. Зокрема, множину ізометрій простору  на себе є підгрупою загальної лінійної групи  абстрактного векторного простору ; вона називається симплектичною групою знакозмінного простору  й позначається через . Для будь-якого ненульового елемента  з  маємо .

Пропозиція. 7 Нехай  - лінійне перетворення знакозмінного простору  в знакозмінний простір . Припустимо, що існує база  простору , така, що  для всіх , . Тоді  - уявлення.

Доказ. Це тривіально треба з визначень.

Кожному знакозмінному простору  зі знакозмінною формою  зіставимо відображення  й  простори  в сполучений простір  ( розглядається як абстрактний векторний простір над ). По визначенню відображення  зіставляє довільному елементу  з  лінійний функціонал , певний формулою , а  переводить  в.  Легко перевіряється, що  і  є лінійними перетвореннями.

 - матриця  над  називається косо симетричною, якщо , і знакозмінної, якщо  й на головній діагоналі коштують нулі. Таким чином, знакозмінні матриці є косо симетричними. Обернено, косо симетричні матриці є знакозмінними, якщо характеристика поля  не дорівнює . Розглянемо знакозмінний простір . Ми можемо асоціювати з базою  простору  матрицю, у якої на місці  коштує . Назвемо  матрицею знакозмінного простору  в базі  й будемо писати

Якщо існує хоча б одна база, у якій  має матрицю , то будемо писати . Матриця , асоційована зі знакозмінним простором  зазначеним способом, є, мабуть, знакозмінної. Що відбувається при зміні бази? Припустимо, що  в базі  й  - матриця переходу від першої бази до другого, тобто . Тоді  звідки видно, що зміна матриці простору  при зміні бази описується співвідношенням .

Якщо  - абстрактний векторний простір з базою  й  - довільна знакозмінна  - матриця над , то існує єдиний спосіб перетворити  в знакозмінний простір, таке, що  в , а саме, покласти , де  - елемент, що стоїть в матриці  на місці . Пропозицію 8 Припустимо, що  - знакозмінний простір,  - його база й  в.  Тоді матричний ізоморфізм, певний базою , відображає  на групу всіх оборотних  - матриць  над , що задовольняють співвідношенню

Дискримінантом  векторів  у знакозмінному просторі  називається визначник

Зокрема, якщо  - база простору  й  у цій базі, те  Якщо  - інша база, то співвідношення  показує, що  для якогось  із . Отже, канонічний образ елемента  в  не залежить від бази; він називається дискримінантом знакозмінного простору  й позначається через . Тут множина  визначається очевидним образом: беремо , приєднуємо до неї нуль 0 і думаємо, що добуток нуля й будь-якого іншого елемента дорівнює нулю. Запис , де , буде позначати, що  дорівнює канонічному образу елемента  в  або, інакше кажучи, що  має базу , для якої . Якщо , то думаємо .

Приклад 9 Розглянемо знакозмінний простір  зі знакозмінною формою . Нехай  - його база, а  - сполучена база сполученого простору . Нехай  в.  Тоді . Легко бачити, що матриця лінійного перетворення , певного раніше, щодо баз  і  дорівнює ; дійсно, якщо , те

Аналогічно матриця перетворення  щодо баз  і  дорівнює .

Пропозиція 10 Будь-які  векторів  знакозмінного простору , такі, що , лінійно незалежно.

Доказ. Залежність  спричиняє  для . Це означає залежність між рядками матриці , що неможливо, тому що дискримінант не дорівнює 0.

Пропозиція11 Наступні твердження для знакозмінного простору  рівносильні:

,

,

,

 біективно,  біективно.

Доказ. Можна вважати, що . Зафіксуємо базу  простору , і нехай  - сполучена база. Нехай  в.  Через 9

тому (3) рівносильне (5). Аналогічно (3) рівносильне (4). Далі

так що (5) рівносильне (2). Нарешті, мабуть, що (2) рівносильне (1).

Визначення 12 Знакозмінний простір  називається регулярним, якщо воно задовольняє одному з п'яти рівносильних умов Пропозиція11. Знакозмінний простір  називається виродженим, якщо воно не є регулярним. Нарешті, воно називається цілком виродженим, якщо .

Якщо , то  регулярно. Якщо , то через Пропозиція11 і 12

Пропозиція. 13 Нехай  - уявлення знакозмінних просторів. Якщо  регулярно, то  - ізометрія.

Доказ. Візьмемо  з ядра уявлення . Тоді . Звідси через регулярність простору  одержуємо, що .

Пропозиція 14 Кожній базі  регулярного знакозмінного простору  відповідає єдина база  цього простору, називана сполученої до  відносно  й така, що  для всіх , . Якщо  в  и  в , то .

Доказ.1) Покладемо  для , де  - сполучена до  база сполученого простору . Тоді  - база, тому що  біективно. Крім того, . Цим доведене існування бази . Одиничність безпосередньо треба з регулярності. 2) Нехай . Тоді  й  Звідси , так що  й .

Розглянемо знакозмінний простір  зі знакозмінною формою . Будемо говорити, що  має ортогональне розкладання  на підпростори  якщо воно є прямою сумою  з попарно ортогональними , тобто  при . Назвемо  компонентами цього ортогонального розкладання. Будемо говорити, що підпростір  розщеплює  або що  є компонентом простору , якщо існує підпростір  простору , таке, що . Маємо  де добуток береться в.

Розглянемо два знакозмінних простори  й  над тим самим полемо  й припустимо, що є ортогональне розкладання , а  - сума просторів , , причому  при . Нехай для кожного , , задане уявлення . Тоді, як відомо з лінійної алгебри, існує єдине лінійне перетворення , що погодиться з кожним  на . Насправді легко перевірити, що  - уявлення. Ми будемо записувати його у вигляді

Важливим є випадок, коли ,  для всіх  і  для всіх ; тоді

Якщо дано ще одне таке уявлення , то

Розглянемо знакозмінний простір  над полем . Під ортогональним доповненням підпростору  простору  в  розуміється підпростір

співпадаюче також з

Визначимо радикал простору  як підпростір . Очевидно,

Пропозиція15 Нехай  - знакозмінний простір, що є сумою попарно ортогональних підпросторів, тобто , де  при . Тоді

,

 регулярно  кожне  регулярно,

 регулярно .

Доказ. (1) Візьмемо в  довільний елемент  і запишемо його у вигляді , . Тоді

так що , звідки . Обернено, якщо , де , те  звідки . (2) Це треба з (1) і того, що знакозмінний простір регулярний тоді й тільки тоді, коли його радикал дорівнює . (3) Якщо , , те  звідки . Отже,  і, виходить, .

Пропозиція 16 Якщо  - підпростір знакозмінного простору , те  - анулятор простору  в , тобто . Зокрема, .

Доказ безпосередньо треба з визначень.

Пропозиція 17 Нехай  - регулярний підпростір знакозмінного простору . Тоді  розщеплює , точніше, . Якщо  - інше розщеплення, .

Доказ. Тому що  регулярно, те . Отже, через 16

Тому  й, виходить, . Далі, якщо , те, звідки . Порівнюючи розмірності, одержуємо .

Пропозиція 18 Якщо  й  - довільні підпростори регулярного знакозмінного простору  розмірності , те

,

,

,

,

.

Доказ. Тому що  регулярно, те через Пропозиція11 відображення  біективно. Отже, , звідки через 16 . Цим доведено (1). Далі, , тому порівняння дає . Цим доведено (2). Доведемо тепер (3):

Аналогічно доводиться (4). Нарешті, твердження (5) тривіально.

Розглянемо радикал  знакозмінного простору , і нехай  - підпростір простору , таке, що . Назвемо всяке таке розкладання радикальним розкладанням простору . Очевидно,  визначається не єдиним образом, за винятком випадків, коли  регулярно або цілком вироджене.

Зі співвідношень

треба рівність , тому  регулярно.

Теорема 19 Якщо  - регулярний знакозмінний простір розмірності , те

Зокрема, регулярний знакозмінний простір має парну розмірність і дискримінант . Крім того, регулярні знакозмінні простори однакової розмірності над тим самим полем  ізометричні.

Доказ. Через регулярність простору  існують вектори  й , що задовольняють умові . Тому що , те ці вектори повинні бути незалежними; тому  - площина. Очевидно,

Зокрема,  регулярно, тому що дискримінант відмінний від нуля. Отже, через 17 . Але  - також регулярний знакозмінний простір. Перше твердження треба тепер з міркувань індукції. Друге тривіально треба з першого. Для доказу третього твердження застосовуємо 7. Теорема доведена.

База  регулярного знакозмінного простору  називається гіперболічної, якщо

і сімплектичною, якщо

Якщо

гіперболічна база простору , то перестановка

симплектична база, і навпаки. По теоремі 19 ненульовий регулярний знакозмінний простір має гіперболічну базу, а тому й симплектичну базу.

Пропозиція 20 Нехай  - регулярний знакозмінний простір,  - цілком вироджений підпростір і  - база підпростору . Тоді існує регулярний підпростір  простору  виду , де  - регулярні площини й , .

Доказ. Випадок  очевидний. При  застосовуємо індукцію по . Покладемо  й . Тоді , звідки  через 18. Виберемо  й покладемо . Тоді , , і, отже, . Виходить,  - регулярна площина, що містить . У силу 17 можна записати . Тоді , тому що  й  отже, . Залишається застосувати припущення індукції до  розглянутого як підпростір знакозмінного простору .

Пропозиція 21 Якщо  - максимальне цілком вироджений підпростір регулярного знакозмінного простору , те . Доказ. Тому що  цілком вироджене, те, тому через 18 , звідки .

Якщо допустити, що , то нескладне застосування тверджень 20 і 17 дасть цілком вироджений підпростір, що строго містить  у протиріччя з максимальністю . Тому .

Пропозиція .22 Якщо  й  - максимальні цілком вироджені підпростору регулярного знакозмінного простору , що задовольняють умові , то для кожної бази  простору М існує така база  простору , що  - симплектична база простору .

Доказ. Зрозуміло,  (через 21). Нехай , - база підпростору . Тоді  - база простору .

Нехай  - сполучена до неї база відносно  (див. 14). Оскільки , те елементи  лежать в.  Виходить,  - база простору , а  симплектична база в.

Пропозиція 23 Нехай  - регулярний знакозмінний простір і  його симплектична база.

Нехай  - максимальне цілком вироджений простір . Тоді матричний ізоморфізм, асоційований з , відображає групу лінійних перетворень  на групу матриць виду

де  - оборотна  - матриця, а  - матриця  задовольняє співвідношенню .

Доказ. Це легко перевіряється належним застосуванням твердження 8.

Теорема Витта 24 Нехай  і  - ізометричні регулярні знакозмінні простори над тим самим полем . Якщо  - довільний підпростір простору  й  - ізометрія  в , то її можна продовжити до ізометрії простору  на .

Доказ. Візьмемо радикальне розкладання , і нехай  - база підпростору  (мається на увазі, що , якщо ). Застосовуючи 20 до регулярного знакозмінного простору , ми бачимо, що в ньому існує підпростір  виду  е  - регулярні площини й , . Тому що  регулярно, те воно розщеплює ; отже, існує регулярний підпростір  простору , таке, що

Покладемо ,  і  для . Тоді  Крім того, радикальне розкладання. Ми можемо повторити попередні міркування й одержати розкладання у якомуде  - регулярна площина й  для . За допомогою 7 знайдемо ізометрію простору  на , погоджену з  на кожному , а отже, на . Крім того, дане  відображає  на . Виходить, існує продовження ізометрії  до ізометрії простору  на .

Далі , тому що  ізометричне , тому  й, отже, по теоремі 19 існує ізометрія простору  на . Таким чином, існує продовження ізометрії  до ізометрії простору  на .

Геометричне перетворення  абстрактного векторного простору  на абстрактний векторний простір  - це біекція  з наступною властивістю: підмножина  простору  тоді й тільки тоді є підпростором в , коли  - підпростір в.

Очевидно, що композиція геометричних перетворень - геометричне перетворення й перетворення, зворотне до геометричного, - також геометричне. Геометричне перетворення зберігає включення, об'єднання й перетинання підпросторів, а також ряди Жордана - і Гельдера, що тому справедливо випливає пропозиція.

Пропозиція 25 Якщо  - геометричне перетворення простору  на , те для будь-яких підпросторів ,  простори  виконуються співвідношення

Під проективним простором  простору  ми будемо розуміти множину всіх підпросторів простору . Таким чином,  складається з елементів множини , що є підпросторами в ; . Будь-які два елементи  й  з  мають об'єднання й перетинання, а саме  й , так що  - ґрати; вона має найбільший елемент  і найменший елемент . Кожному елементу  простору  зіставляється число . Кожне  з  володіє поруч Жордана - Гельдера , і всі такі ряди мають довжину . Покладемо

і назвемо , ,  множинами прямих, площин і гіперплощин простору  відповідно.

Проективність  простору  на  - це біекция  з наступною властивістю: для будь-яких ,  із  включення  має місце тоді й тільки тоді, коли .

Очевидно, що композиція проективностей - проективність і відображення, зворотне до проективності, - також проективність. Проективність простору  на  зберігає порядок, об'єднання, перетинання й ряди Жордана - Гельдера для елементів просторів  і , що тому справедливо випливає пропозиція.

Пропозиція 26 Якщо  - проективність простору  на , те для будь-яких елементів ,  з  виконуються співвідношення

Зокрема,  відображає  на  й визначається своїми значеннями на , тобто на прямих.

Якщо  - геометричне перетворення, то відображення , отримане зі  звуженням, є проективністю простору  на . Усяка проективність , що має вид  для деякого такого , буде називатися проективним геометричним перетворенням простору  на . Чортові ми будемо завжди використовувати для позначення проективного геометричного перетворення , отриманого описаним способом з геометричного перетворення . Таким чином,  переводить підпростір  простору , тобто крапку  з , у підпростір  простору . Маємо

Зокрема, композиція проективних геометричних перетворень і перетворення, зворотне до проективного геометричного, самі є проективними геометричними.

Геометричне перетворення простору  є по визначенню геометричне перетворення простору  на себе. Множина геометричних перетворень простору  є підгрупою групи підстановок множини . Вона буде позначатися через  і називатися загальною геометричною групою простору . Під групою геометричних перетворень простору  ми будемо розуміти довільну підгрупу групи . Загальна лінійна група  й спеціальна лінійна група  є, отже, групами геометричних перетворень. Під групою лінійних перетворень будемо розуміти будь-яку підгрупу групи .

Проективність простору  є по визначенню проективність цього простору на себе. Множина проективностей простору  - підгрупа групи підстановок множини , що ми будемо називати загальною групою проективностей простору . Застосування риси індуцирує гомоморфізм

Іноді ми будемо використовувати  замість , думаючи  для образа  підмножини  із  при . Зокрема,  і  - підгрупи групи проективностей простору , вони називаються проективною загальною лінійною групою й проективною спеціальною лінійною групою простору .

Було доведено, що  збігається із групою всіх проективностей простору , тому ми використовуємо це позначення для обох груп. Під групою проективностей простору  будемо розуміти будь-яку підгрупу групи , а під проективною групою лінійних перетворень простору  - будь-яку підгрупу групи .

Для кожного ненульового елемента  з  визначимо лінійне перетворення , думаючи Ясно, що . Перетворення  з  виду  для якогось  будемо називати розтяганням простору .

Множина розтягань простору  є нормальною підгрупою групи , що буде позначатися через . Очевидно, має місце ізоморфізм . Мають місце наступні дві пропозиції.

Пропозиція 27 Елемент  групи  тоді й тільки тоді належить групі , коли  для всіх прямих  з . Зокрема,

Пропозиція. 28 Централізатор у  будь-якого елемента з , що не є розтяганням, абелев.

Нехай тепер  - регулярний знакозмінний простір. Тоді  буде, звичайно, групою геометричних перетворень простору . Під групою симплектичних перетворень знакозмінного простору  ми будемо розуміти довільну підгрупу з . Група , одержувана із  застосуванням гомоморфізму , називається проективної симплектичною групою знакозмінного простору . Під проективною групою симплектичних перетворень простору  будемо розуміти будь-яку підгрупу групи .

Пропозиція 29 Якщо  - ненульовий регулярний знакозмінний простір, те

Доказ є легкою вправою й тому опускається.

Пропозиція 30 Якщо  - регулярний знакозмінний простір і , те .

Доказ. Взявши симплектичну базу простору , за допомогою 8 без праці переконуємося, що елемент  із  тоді й тільки тоді лежить в , коли .

Полярністю абстрактного векторного простору  над полем  називається біекция , , така, що 1) , 2)  для всіх ,  з . Якщо  - регулярний знакозмінний простір над , те, мабуть,  - полярність; вона називається полярністю, певною знакозмінною формою , наявної на .

Пропозиція 31 Нехай  - абстрактний векторний простір над полем  і . Припустимо, що  - регулярний знакозмінний простір щодо кожної із двох знакозмінних форм  і . Форми  й  тоді й тільки тоді визначають ту саму полярність, коли найдеться такий ненульовий елемент  із , що .

Доказ. Якщо , то твердження очевидно. Залишається довести зворотне твердження. Тому що  регулярно відносно  й , те через Пропозиція11 і 12 асоційовані лінійні відображення  й  біективні, тобто  й . З 16 і припущення про те, що  й  визначають ту саму полярність, треба, що  для всіх підпросторів  з . Отже,  - елемент групи , щодо якого інваріантні всі підпростори з , Зокрема, щодо нього інваріантні всі прямі з . Виходить, через 27 . Інакше кажучи, найдеться такий ненульовий елемент  із , що  для всіх  з . Але тоді  для всіх  з . Тому .

Пропозиція 32 Якщо поле  нескінченно, те групи ,  над  також нескінченні.

Доказ. Число трансвекцій  з  нескінченно.

Теорема 33 Порядок групи  дорівнює

Порядок групи  дорівнює

Доказ. Друге твердження треба з першого, тому що група  ізоморфна групі . Доведемо перше твердження індукцією по . Якщо , то  й можна вважати .

Під парою будемо розуміти впорядковану пару векторів , , таку, що . Якщо  фіксовано, то існує єдина пара , де  належить даній прямій, не ортогональної к. Тому число пар з  на першому місці дорівнює числу прямих, що не лежать в , тобто

Таким чином, є  пара з  на першому місці, а всього  пара.

Зафіксуємо яку-небудь пару . По теоремі Витта для кожної пари  найдеться принаймні один елемент групи , що переводить  в.  Отже, є точно

елементів з , що переводять пари  в парі . По припущенню індукції це число дорівнює

Далі, кожний елемент групи  переводить  точно в одну пару. Отже, група  містить

елементів, що й було потрібно довести.

Пропозиція 34 Якщо , те число максимальних цілком вырожденных підпросторів простору  дорівнює

Доказ.1) Покажемо спочатку, що підгрупа  групи , що залишає на місці довільне максимальне цілком вироджений підпростір  простору , має порядок

Щоб переконатися в цьому, зафіксуємо симплектичну базу

простору , у якій вектори  породжують . Із 23 треба, що матриця довільного перетворення  має вигляд

де , а  - симетрична матриця порядку  над ; ці  й  визначаються перетворенням  однозначно. Крім того, будь-які такі  й  відповідають якомусь  із . Наше твердження виходить тепер, якщо помножити порядок групи  на число симетричних матриць порядку  над полем , тобто .

2) Зафіксуємо максимальне цілком вироджений підпростір  простору . По теоремі Витта всі максимальні цілком выроджені підпростору простору  даються формулою , де  пробігає групу . Із зауваження 1) легко треба, що в цьому процесі кожне максимальне цілком вироджений підпростір повторюється точно

раз, тому загальне число таких підпросторів дорівнює порядку групи , діленому на зазначену величину. Очевидно, це і є необхідне число.

Пропозиція 35 Якщо , те число регулярних площин у просторі  дорівнює

Доказ. Надходячи, як при доказі твердження 34, переконаємося, що  повинне містити

регулярних площин. Це число збігається із зазначеним вище (застосувати теорему 33).

Пропозиція 36 Група  ізоморфна симетричній групі .

Доказ. Будемо називати конфігурацією довільна підмножина  з  елементів в  - мірному регулярному знакозмінному просторі  над полем , що володіє тим властивістю, що будь-які два його різних елементи не ортогональні. Кожний ненульовий вектор  з  належить рівно двом конфігураціям  і , так що вони перетинаються по . Щоб переконатися в цьому, візьмемо симплектическую базу  простору , у якій . Ясно, що

і

дві різні конфігурації, що перетинаються по множині . Легка перевірка перебором показує, що інших конфігурацій, що містять елемент , немає. Якщо тепер виписати всі різні конфігурації  в просторі , то кожний вектор  із  з'явиться точно у двох з них, звідки  й . Нехай  - Множина всіх конфігурацій в.

Якщо  - довільний елемент із , то  тоді й тільки тоді є конфігурацією, коли  - конфігурація, тому  індуцирує відображення . Ясно, що це відображення на й, виходить, перестановка на . Очевидно, що  є гомоморфне відображення . Щоб знайти його ядро, візьмемо в  елемент . Нехай  такий, що . Нехай  і  - дві конфігурації, що містять . Тоді  не належить однієї з них, скажемо, . Звідси  й . Інакше кажучи, ядро тривіально, і ми маємо інективный гомоморфізм . По теоремі 33 група  складається з  елементів, тому .

Помітимо, що група  неабелева. Щоб переконатися в цьому, досить взяти нетривіальні проективні трансвекції із  із прямими. Отже, група  також неабелева.

Пропозиція 37 Група  має тривіальний центр, а .

Доказ. Розглянемо довільний елемент  із центра групи . Нехай  - довільна пряма з . Нехай  - проективна трансвекція із  із прямій . Тоді прямій перетворення  є . Але , тому що  лежить у центрі. Отже,  для всіх . Тому  й, виходить, група  дійсно не має центра. Друге твердження треба з першого, якщо застосувати гомоморфізм .

Пропозиція 38 Якщо ,  - довільні прямі з , та множина трансвекцій із  із прямої  й множину трансвекцій з прямій  сполучені відносно .

Доказ. По теоремі Витта в групі  існує такий елемент , що . Тоді сполучення елементом  відображає множина трансвекцій із  із прямій  на множину трансвекцій із  із прямій .

Приклад 39 Дві трансвекції з  не обов'язково сполучені в.  Наприклад, трансвекції з прямій , сполучені з , мають вигляд , де  пробігає .

Зауваження 40 Нехай  - симплектическая база простору . Якщо  - довільна симетрична матриця порядку 2 над  і  - лінійне перетворення, певне матрицею  те ми знаємо, що  належить групі . Якщо перетворити  в , роблячи 1) додаток кратного одного стовпця до іншого з наступним аналогічним перетворенням відповідних рядків або 2) перестановку двох стовпців з наступною перестановкою відповідних рядків, то лінійне перетворення  з матрицею знову буде належати групі , тому що  теж буде симетричною. У дійсності  й  сполучені в.  Щоб переконатися в цьому, помітимо, що  при підходящій матриці  з . Перетворення , певне матрицею  належить групі , і , тому що .

Пропозицію 41 Припустимо, що , ,  і нехай  - нормальна підгрупа групи , що містить регулярний елемент  із відрахуванням , у вигляді добутку двох трансвекцій з . Тоді .

Доказ. Маємо розкладання , де  - регулярна площина. Розглянемо групу

Тоді . Крім того, . Це очевидно, якщо ; якщо ж , те застосовуємо 2.1.12 і теорему 2.1.11 [6]. Тому  - нормальна підгрупа в , що не втримується в.  Звідси треба, що . Зокрема, якщо  - фіксована пряма в , те  містить всі трансвекції площини  з прямій . Отже,  містить всі трансвекції із  із прямій , а тому в силу 38 взагалі всі трансвекції з  і .

Пропозицію 42 Припустимо, що ,  або , , і нехай  - нормальна підгрупа групи , що містить елемент  із відрахуванням 2, у вигляді добутку двох трансвекцій з . Тоді .

Доказ.1) Модифікація міркувань, використаних при доказі твердження 41, дозволяє вважати, що , якщо , і , якщо .

2) Розглянемо спочатку випадок , . Тоді  має вигляд , причому , а зірочки рівні . Далі ці трансвекції перестановочні, тому що , тому ми можемо, якщо потрібно, замінити  на  й уважати, що насправді . Можна вважати, що ця нова  є . Справді, якщо , те за допомогою теореми Витта виберемо таке , що , . Тоді . Замінимо тепер  на . Отже, можна вважати, що . Доповнимо  до симплектичної бази

простору  й помітимо, що

Підходящим сполученням ми можемо знайти в  лінійні перетворення з матрицями

у базі . Добуток цих перетворень дорівнює елементу із  із матрицею

Отже, група  містить . Таким чином, вона містить всі (= обидві) трансвекції із  із прямій . Через 38 звідси треба, що  містить всі трансвекції з  і, виходить, .

3) Нехай тепер , . Тоді  й . Доповнимо  до симплектичної бази  Тоді

Сполучення дає нам у  лінійні перетворення з матрицями

а тому й з матрицями

а виходить, і з матрицею

Інакше кажучи,  містить  і, отже, всі трансвекції з , звідки . Пропозиція 43 Якщо , те  за одним виключенням: . Доказ. Нехай , для якогось . По теоремі Витта існує таке , що  - площина й

Покладемо

Залишилося застосувати 41 й 42. У винятковому випадку застосовуємо 36 й добре відомі властивості групи .

Пропозиція 44 Якщо , те  за одним виключенням: .

Теорема 45 Для будь-якого парного числа  й кожного поля  група  проста за винятком групи , що простій не є.

Доказ.1) Виняткове поводження групи  треба з 44. Будемо припускати тому, що  в загальному випадку й  при . Замість проективної групи ми будемо мати справу із групою . Досить розглянути нормальну підгрупу  групи , що не втримується в підгрупі , і довести, що .

2) Спочатку покажемо, що є , , такі, що  - регулярна площина. Для цього візьмемо в групі  елемент.   зрушує принаймні одну пряму з , тобто існує така пряма  з , що . Нехай  - нетривіальна трансвекция із  із прямій . Тоді елемент  належить групі  і є добутком двох трансвекцій із  із різними прямими  й . Тому простір перетворення  є площина , зокрема, . Якщо  - гіперболічне перетворення, то  - інволюція. Застосуємо тепер твердження 1.18, якщо характеристика дорівнює , і твердження 1.13, якщо характеристика не дорівнює . Тоді, зокрема, ми одержимо, що  не є добутком  трансвекції з , що суперечить допущенню. Отже,  не може бути гіперболічним. Виходить, існує такий вектор , що , тобто  - регулярна площина.

3) Можна також показати, що є вектор  і перетворення , такі, що  - вироджена площина. Справді, візьмемо в  елемент . Існує такий вектор , що .

Якщо , то ціль досягнута, тому будемо вважати, що .

Виберемо  так, щоб було

По теоремі Витта в  найдеться перетворення , таке, що , . Тоді перетворення  належить  і переводить  в , тому  - вироджена площина.

4) Візьмемо ,  так, щоб площина  була регулярної при  й виродженій при . Тоді перетворення

належить групі , є добутком двох трансвекцій з  і його простір є площина . Тому .

Пропозиція 46 Якщо  й  - нормальна підгрупа групи , те  або , за винятком групи , що, мабуть, не має цю властивість.

Доказ. Із приводу виключення див. 43. Далі, застосовуючи до  теорему 45, одержимо, що  або . Допустимо останнє. Тоді

Пропозиція доведена.

Теорему про простоту можна також довести, використовуючи групи підстановок. Нагадаємо, що групою підстановок непустої множини  називається підгрупа  групи всіх підстановок множини . Далі,  називається транзитивної, якщо для будь-яких ,  існує така підстановка  з , що . Нагадаємо, що розбивкою множини  називається множина  попарно непересічних підмножин, об'єднання яких дорівнює . Тривіальними називаються дві розбивки, що складаються відповідно із самого  й із всіх одноелементних підмножин. Транзитивна група  підстановок множини , якщо існує така нетривіальна розбивка  множини , що  для всіх , . У противному випадку група називається примітивної. Наступний результат є тут ключовим.

Пропозиція 47 Примітивна група підстановок  множини  проста, якщо виконані наступні умови:

1) ,

2) для якогось  стабілізатор  містить таку нормальну абелеву підгрупу , що  породжується підгрупами , .

Для доказу теореми 45 з використанням цього результату розглянемо  як групу підстановок множини прямі  простори . Це можливо через те, що , будучи підгрупою групи проективностей простору , точно діє на  й, виходить,  природно ізоморфна групі підстановок множини . Ми знаємо, що група  транзитивна (теорема Витта),  (див. 44) і, нарешті, множина проективних трансвекцій із  із прямій  разом з тотожним перетворенням утворить нормальну абелеву підгрупу стабілізатора прямій  в , що разом зі своїми сполученими в  породжує групу . Тому все, що залишилося зробити, перш ніж послатися на 47, - це перевірити, що група  примітивна.

Пропозиція 48 При  група  підстановок множини  прямі простори  примітивна.

Доказ.1) Розглянемо розбивку  множини , що містить принаймні дві підмножини, одне із яких, скажемо , містить не менш двох прямих. Нам потрібно знайти елемент групи , що не зберігає цю розбивку. Допустимо, що такого елемента не існує.

2) Нехай спочатку  містить дві різні не ортогональні прямі , . Тоді кожні дві різні прямі , ,  з  повинні бути не ортогональні. Справді, якщо це не так, то найдуться різні ,  з , такі, що . Візьмемо пряму  з , не приналежній підмножині . Якщо , то по теоремі Витта існує таке перетворення  з , що , , і, отже, воно порушує розбивку. Якщо , то знову по теоремі Витта є таке , що ,  і, виходить,  знову порушує розбивка. Отже, ніякі дві різні прямі з  не є ортогональними. Тільки що проведені міркування показують, що якщо  - довільна пряма з , те  містить всі прямі з , не ортогональні к. Тепер очевидно, що можна знайти в  пряму , не ортогональну до , але ортогональну до  тоді перша умова спричиняє, що , а друге - що , - протиріччя.

3) Ми можемо, таким чином, уважати, що всі прямі з  попарно ортогональні. Міркування, використані в п.2), показують тоді, що якщо  - довільна пряма з , те  містить всі прямі, ортогональні до , а це неможливо. Пропозиція доведена.

Нехай  - кінцева група,  і  - підгрупи групи . Будемо говорити, що група  допускає факторізацію , якщо для всякого  має місце рівність , де , . Факторізація називається максимальної, якщо  й  максимальні підгрупи в групі . Ми розглянемо максимальні факторізації симплектичної групи , певної над кінцевим полем .

Нехай  і  - цілі числа, , . Якщо  - просте число, що ділить  і не ділить числа  для , то  називають примітивним простим дільником числа .

Добре відомо, що при ,  і  завжди є примітивний простий дільник числа . Нехай , де  - просте число,  - ціле позитивне число. Позначимо  найбільший примітивний простий дільник числа  (так, що  ділить  і не ділить  для ). Визначимо  як добуток всіх примітивних простих дільників . Ми будемо розглядати максимальні факторізації групи . Відзначимо, що

Теорема. 49 Нехай , де  - непарне число. Якщо , де  й  - максимальні підгрупи групи , тоді , де  - максимальна параболічна підгрупа групи , ізоморфна  й, яка має порядок

Доказ. Припустимо, що  ділить . Із [6] треба, що  є однієї з наступних груп , ,  або . Нехай спочатку . У цьому випадку . Із [6] треба, що  це в точності максимальна параболічна підгрупа групи   й . З порівняння порядків групи  й добутки  одержуємо наступну максимальну факторізацію:

Нехай тепер  є однієї з наступних груп ,  або . Із сказаного вище випливає, що  не ізоморфно . З пункту 2.4 [7] одержимо, що  є  або . По теоремі 2.4D [7]  є 3 або 7. Якщо , тоді 5 ділить . У цьому випадку із [6] треба, що  одна із груп , , . Оскільки , те  ділить . Однак  не ділиться на . Протиріччя з тим, що . Отже,  і . Тому що 27 ділить, то  є параболічною підгрупою групи  й має місце факторизация:

Теорема 49 доведена.

Нехай , де  - позитивне число. Тоді ортогональна група  й .  позначає сплетення групи  із групою , тобто , де . Очевидно, що ;  - максимальна параболічна підгрупа в  порядку ;  - група Судзуки порядку , де .

Лема 50 Нехай . Тоді

Доказ. Із [8] треба, що  є максимальною підгрупою в.  Нехай  і . Позначимо

де  матриця в канонічному базисі симплектичного простору , , , .

Тоді  - група, що фіксує розкладання:

Із [8] треба, що стабілізатор цього розкладання ,  і .

Лема доведена.

У наведених позначеннях з урахуванням таблиці 1 [7] і леми 50 одержимо:

Теорема 51 Нехай , де . Якщо , де  й  - максимальні підгрупи в групі . Тоді

1) ,

2) ,

3) ,

4) ,

5) .

У дипломній роботі знайдені максимальні факторізації симплектичних груп . Доведено наступні теореми.

Теорема 1. Нехай , де  - непарне число. Якщо , де  й  - максимальні підгрупи групи , тоді , де  - максимальна параболічна підгрупа групи , ізоморфна  й має порядок

Теорема 2. Нехай , де . Якщо , де  й  - максимальні підгрупи в групі . Тоді

1) ,

2) ,

3) ,

4) ,

5) .

1.  Монахов В.С. Введення в теорію кінцевих груп і їхніх класів. - К., 2004

2.  Каргаполов М.І., Мерзляків Ю.И., Основи теорії груп. - К., 2004

3.  Хол Ф., Теорія груп. - К., 2003

4.  Горенстейн Д., Кінцеві прості групи: введення в їхню класифікацію., - К., 2003

5.  Казарін Л.С., Факторізації кінцевих груп розв'язними підгрупами // Укр. мат. журн. 1991. Т.43, N 7 - і 8. С.947 - і 950.

6.  Mitchel H.H., Determination of the finite quaternary linear groups. Trans. Amer. Math. Soc. V.14, 1913. p.123--142.

7.  Liebek M.W., Praeqer C.E., Saxl J., The maximal factorizations of the finite simple groups and their automorphism groups. Mem. Amer. Math. Soc. V.86, N.432. p.1--151.

8.  Suzuki M., A new type of simple groups of finite order. Proc. Nat. Acad. Sci. US 46, 1960. p.868--870.