Контрольная работа: Математические последовательности. Предел функции

Задание 1

Вычислите  и  последовательности .

Решение.

Рассмотрим последовательность .

 для любого натурального

Следовательно, множество  является ограниченным сверху. Это означает, что последовательность  имеет верхнюю точную грань: .

Следовательно, множество  не является ограниченным снизу. Это означает, что нижняя грань  последовательности  не существует.

Ответ.   не существует

Задание 2

Пользуясь определением предела последовательности, докажите, что .

Доказательство.

Число  называется пределом последовательности , если для любого положительного числа  существует номер  такой, что при  выполняется неравенство .

Используя определение предела последовательности, докажем, что .

Возьмем любое число .

Если взять , то для всех  будет выполняться неравенство . Следовательно, .

Доказано

Задание 3

Пользуясь определением предела функции, докажите, что .

Доказательство

Число  называется пределом функции  при , если для любого числа  существует число  такое, что для всех , удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство .

Используя определение предела функции, докажем, что .

Возьмем любое .

Положим .

Если взять , то для всех , удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство . Следовательно, .

Доказано.

Задание 4

Вычислите предел .

Решение.

Ответ.

Задание 5

Вычислите предел .

Решение.

Ответ.

Задание 6

Вычислить предел .

Решение.

Ответ.

Задание 7

Вычислить предел .

Решение.

Ответ.

Задание 8

Вычислить предел .

Решение

Ответ.

Задание 9

Вычислить предел .

Решение.

Ответ.

Задание 10

Вычислить предел .

Решение.

Ответ.

Задание 11

Вычислить предел .

Решение.

Ответ.

Задание 12

Вычислить предел .

Решение.

Ответ.

Задание 13

Вычислить предел .

Решение.

Ответ.

Задание 14

Вычислить предел .

Решение.

 при  функция  является бесконечно малой

 для любого  функция  является ограниченной.

Известно, что произведение бесконечно малой функции и ограниченной функции есть бесконечно малая функция. Следовательно, функция  является бесконечно малой при . Это означает, что .

Ответ.