Контрольная работа: Прогнозирование урожайности различными методами

Содержание

1. Задание

2. Аналитическое выравнивание

3. Метод экспоненциального сглаживания

4. Метод скользящих средних

5. Выравнивание при помощи рядов Фурье

Выводы


1. Задание

По имеющимся исходным данным урожайности озимой пшеницы в Волгоградский области провести расчеты прогнозных значений на последующие шесть лет для выявления закономерных или случайных изменений.

Исходные данные урожайности:

1947 1948 1949 1950 1951 1952 1953 1954 1955 1956 1957 1958
3,5 5,2 2,2 3,6 7,1 6,9 4,1 5,3 10,1 4,8 7,7 16,8
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
1959 1960 1961 1962 1963 1964 1965 1966 1967 1968 1969
9,8 14,5 13,7 19,0 5,0 12,0 11,3 17,5 13,1 17,9 9,6
13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23

2. Аналитическое выравнивание

Выберем в качестве функций регрессии – линейную, параболическую, гиперболическую и показательную:

 .

Гиперболическую и показательную можно линеаризовать и применить МНК к этим функциям как к линейным. Для гиперболической функции введем новую переменную:

.

Тогда получим:

,

где

.

Для показательной функции проведем следующие преобразования. Прологарифмируем обе части уравнения: . Сделаем замены:

, , .

Получим:

,

откуда найдем: , , .

Применим ПО MS Excel 2003 и Stata 7.0. Посчитаем коэффициент корреляции:

Коэффициент корреляции значим.

Построим линейную регрессию

Регрессионная статистика
Множественный R 0,717687
R-квадрат 0,515074
Нормированный R-квадрат 0,491982
Стандартная ошибка 3,693991
Наблюдения 23
Дисперсионный анализ
  df SS MS F Значимость F
Регрессия 1 304,3725 304,3725 22,30559 0,000116
Остаток 21 286,557 13,64557
Итого 22 590,9296      
  Коэффициенты Стандартная ошибка t-статистика P-Значение Нижние 95% Верхние 95%
Y-пересечение 3,014625 1,592152 1,893427 0,072162 -0,29644 6,325686
Переменная X 1 0,548419 0,11612 4,722879 0,000116 0,306935 0,789903

Регрессия для гиперболической функции:

Регрессия для параболической функции:


Регрессия для показательной функции:

Как видно из этих данных, коэффициент детерминации у регрессии для гиперболической функции значительно хуже, чем у других моделей. А константа и коэффициент при переменной  в модели параболической регрессии не значимы согласно t-критерию Стьюдента.

Коэффициенты детерминации для моделей линейной и показательной регрессий примерно одиноковы, причем R-квадрат больше у показательной регрессии. Сравним эти 2 модели по другим показателям. Рассчитаем среднюю квадратическую ошибку уравнения тренда и информационные критерии Акейка и Шварца:

, ,

Чем меньше значение информационных критериев, тем лучше модель.

Итак, для модели линейной регрессии получим:

AIC=5,131843277

BIC=2,658769213 σ=3,694

Для модели регрессии показательной функции имеем:

AIC= 5,477785725 BIC= 2,831740437 σ=4,028

Все 3 показателя лучше в первом случае.

Применим модель линейной регрессии для аналитического выравнивания исходного ряда. Модель такова:

у=3,01+0,55t;

Значения уровней ряда, полученных по модели, и остатков представлены в следующей таблице:

Наблюдение Предсказанное Y Остатки
1 3,563043478 -0,063043478
2 4,111462451 1,088537549
3 4,659881423 -2,459881423
4 5,208300395 -1,608300395
5 5,756719368 1,343280632
6 6,30513834 0,59486166
7 6,853557312 -2,753557312
8 7,401976285 -2,101976285
9 7,950395257 2,149604743
10 8,498814229 -3,698814229
11 9,047233202 -1,347233202
12 9,595652174 7,204347826
13 10,14407115 -0,344071146
14 10,69249012 3,807509881
15 11,24090909 2,459090909
16 11,78932806 7,210671937
17 12,33774704 -7,337747036
18 12,88616601 -0,886166008
19 13,43458498 -2,13458498
20 13,98300395 3,516996047
21 14,53142292 -1,431422925
22 15,0798419 2,820158103
23 15,62826087 -6,02826087

Спрогнозируем урожайность озимой пшеницы на последующие 6 лет

Прогнозные значения
 t  y
24 16,17667984
25 16,72509881
26 17,27351779
27 17,82193676
28 18,37035573
29 18,9187747

Из графика видно, что урожайность с каждым последующим годом будет возрастать и достигнет через шесть лет значения практически в 2 раза большего, чем в 1969 году. Этот результат достигнут в результате существенного роста урожайности зерновых культур.

Проверим наличие автокорреляции в данном динамическом ряду. Для этого составим следующие таблицы:

Расчет коэффициента автокорреляции 1-го порядка

Год Фактические уровни y(t) Уровни, сдвинутые на год y(t-1) y(t)y(t-1) y(t)^2
1 3,5 9,6 33,6 12,25
2 5,2 3,5 18,2 27,04
3 2,2 5,2 11,44 4,84
4 3,6 2,2 7,92 12,96
5 7,1 3,6 25,56 50,41
6 6,9 7,1 48,99 47,61
7 4,1 6,9 28,29 16,81
8 5,3 4,1 21,73 28,09
9 10,1 5,3 53,53 102,01
10 4,8 10,1 48,48 23,04
11 7,7 4,8 36,96 59,29
12 16,8 7,7 129,36 282,24
13 9,8 16,8 164,64 96,04
14 14,5 9,8 142,1 210,25
15 13,7 14,5 198,65 187,69
16 19 13,7 260,3 361
17 5 19 95 25
18 12 5 60 144
19 11,3 12 135,6 127,69
20 17,5 11,3 197,75 306,25
21 13,1 17,5 229,25 171,61
22 17,9 13,1 234,49 320,41
23 9,6 17,9 171,84 92,16
Сумма 220,7 220,7 2353,68 2708,69
Средняя 9,595652174 102,333913 117,76913
Дисперсия 25,69258979 Автокорреляция присутствует ( с вероятностью 0,95)
Коэффициент автокорреляции 0,399234662

Расчет коэффициента автокорреляции 2-го порядка

Год Фактические уровни y(t) Уровни, сдвинутые на 2 года y(t-2) y(t)y(t-2) y(t)^2
1 3,5 17,9 62,65 12,25
2 5,2 9,6 49,92 27,04
3 2,2 3,5 7,7 4,84
4 3,6 5,2 18,72 12,96
5 7,1 2,2 15,62 50,41
6 6,9 3,6 24,84 47,61
7 4,1 7,1 29,11 16,81
8 5,3 6,9 36,57 28,09
9 10,1 4,1 41,41 102,01
10 4,8 5,3 25,44 23,04
11 7,7 10,1 77,77 59,29
12 16,8 4,8 80,64 282,24
13 9,8 7,7 75,46 96,04
14 14,5 16,8 243,6 210,25
15 13,7 9,8 134,26 187,69
16 19 14,5 275,5 361
17 5 13,7 68,5 25
18 12 19 228 144
19 11,3 5 56,5 127,69
20 17,5 12 210 306,25
21 13,1 11,3 148,03 171,61
22 17,9 17,5 313,25 320,41
23 9,6 13,1 125,76 92,16
Сумма 220,7 220,7 2349,25 2708,69
Средняя 9,595652174 102,141304 117,76913
Дисперсия 25,69258979 Автокорреляция присутствует ( с вероятностью 0,99)
Коэффициент автокорреляции 0,391737999

Расчет коэффициента автокорреляции 3-го порядка

Год Фактические уровни y(t) Уровни, сдвинутые на 3 года y(t-3) y(t)y(t-3) y(t)^2
1 3,5 13,1 45,85 12,25
2 5,2 17,9 93,08 27,04
3 2,2 9,6 21,12 4,84
4 3,6 3,5 12,6 12,96
5 7,1 5,2 36,92 50,41
6 6,9 2,2 15,18 47,61
7 4,1 3,6 14,76 16,81
8 5,3 7,1 37,63 28,09
9 10,1 6,9 69,69 102,01
10 4,8 4,1 19,68 23,04
11 7,7 5,3 40,81 59,29
12 16,8 10,1 169,68 282,24
13 9,8 4,8 47,04 96,04
14 14,5 7,7 111,65 210,25
15 13,7 16,8 230,16 187,69
16 19 9,8 186,2 361
17 5 14,5 72,5 25
18 12 13,7 164,4 144
19 11,3 19 214,7 127,69
20 17,5 5 87,5 306,25
21 13,1 12 157,2 171,61
22 17,9 11,3 202,27 320,41
23 9,6 17,5 168 92,16
Сумма 220,7 220,7 2218,62 2708,69
Средняя 9,595652174   96,4617391 117,76913
Дисперсия 25,69258979 Автокорреляция отсутствует
Коэффициент автокорреляции 0,170679504

Как видно из таблиц, обнаружилась автокорреляция только первого и второго порядков. Это говорит о том, что значительное влияние на урожайность озимой пшеницы в данном году оказывает урожайность двух предыдущих лет.

3. Метод экспоненциального сглаживания

Выберем теперь форму зависимости (линейную или параболическую) методом экспоненциального сглаживания.

Рассчитаем начальные условия экспоненциального сглаживания для линейной тенденции:

,

где  – параметр сглаживания;.

Выберем =0,3

На основе расчета начальных условий определяем оценки коэффициентов и характеристики сглаженных значений.

Формулы расчета оценок коэффициентов:


Формулы расчета характеристик сглаживания динамического ряда:

Расчет оценок коэффициентов, характеристик сглаженных значений, прогнозных значений по линейной форме экспоненциального сглаживания () и квадратов ошибок сведем в таблицу:

S1 S2 a0 a1

 

 

3,5 3,692 4,2548 3,1292 -0,3752 2,754 0,556516
5,2 4,2952 4,27096 4,31944 0,01616 4,3356 0,74718736
2,2 3,45712 3,945424 2,968816 -0,325536 2,64328 0,196497158
3,6 3,514272 3,772963 3,255581 -0,1724608 3,08312 0,267164934
7,1 4,9485632 4,243203 5,653923 0,47024 6,1241632 0,95225746
6,9 5,7291379 4,837577 6,620699 0,594373888 7,21507264 0,099270768
4,1 5,0774828 4,933539 5,221426 0,095962266 5,31738842 1,482034555
5,3 5,1664897 5,026719 5,30626 0,093180119 5,39943995 0,009888303
10,1 7,1398938 5,871989 8,407798 0,845269727 9,25306811 0,717293628
4,8 6,2039363 6,004768 6,403105 0,13277883 6,53588335 3,013291001
7,7 6,8023618 6,323806 7,280918 0,319037494 7,5999555 0,010008902
16,8 10,801417 8,11485 13,48798 1,791044614 15,2790286 2,313354018
9,8 10,40085 9,02925 11,77245 0,914400039 12,6868503 8,333904844
14,5 12,04051 10,23375 13,84727 1,204503986 15,0517701 0,304450249
13,7 12,704306 11,22197 14,18664 0,988220769 15,174858 2,17520614
19 15,222584 12,82222 17,62295 1,600243488 19,2231924 0,049814834
5 11,13355 12,14675 10,12035 -0,67546729 9,44488196 19,75697565
12 11,48013 11,8801 11,08016 -0,26664841 10,8135091 1,407760654
11,3 11,408078 11,69129 11,12486 -0,18880986 10,9360534 0,132457117
17,5 13,844847 12,55271 15,13698 0,861421592 15,9984008 2,254800093
13,1 13,546908 12,95039 14,14342 0,397677461 14,5411018 2,076774272
17,9 15,288145 13,88549 16,6908 0,93510118 17,6258978 0,075132009
9,6 13,012887 13,53645 12,48932 -0,34904247 12,1402807 6,453026248
53,38506621

Определим начальные условия экспоненциального сглаживания при параболической тенденции:

Выберем

Соответственно: = -3,5166014; =-8,3384654; =-13,4803294

На основе расчета начальных условий определяем оценки коэффициентов и характеристики сглаженных значений. Расчет оценок коэффициентов, характеристик сглаженных значений, прогнозных значений по параболической форме экспоненциального сглаживания и квадратов ошибок сведем в таблицу:


yi Характеристики Оценки коэффициентов
S1 S2 S3 a0 a1 a2
3,5 -2,1132811 -7,09343 -12,2029 2,737493 1,176307311 -0,00808583 3,91383304 0,171257789
5,2 -0,6506249 -5,80487 -10,9233 4,539396 1,307567679 0,002236112 5,84696599 0,41856499
2,2 -0,0804999 -4,65999 -9,67067 4,067818 0,915810984 -0,02694854 4,98399185 7,7506106
3,6 0,6556001 -3,59688 -8,45591 4,301519 0,740885761 -0,03790978 5,04312342 2,082605212
7,1 1,9444801 -2,4886 -7,26245 6,036806 0,927243389 -0,02129738 6,96427656 0,018420853
6,9 2,935584 -1,40377 -6,09071 6,927341 0,900178696 -0,02172458 7,82775603 0,860731248
4,1 3,1684672 -0,48932 -4,97043 6,002929 0,477055074 -0,05145785 6,4813078 5,670626841
5,3 3,5947738 0,327499 -3,91085 5,890979 0,300937696 -0,06069189 6,19375797 0,798803306
10,1 4,895819 1,241163 -2,88044 8,083524 0,66559622 -0,02918445 8,74954607 1,823725828
4,8 4,8766552 1,968261 -1,9107 6,814478 0,21148275 -0,06066067 7,02780093 4,963096995
7,7 5,4413242 2,662874 -0,99599 7,339363 0,226893959 -0,05502572 7,56777081 0,017484558
16,8 7,7130593 3,672911 -0,06221 12,05824 1,172083885 0,01906433 13,2305026 12,741312
9,8 8,1304475 4,564418 0,863117 11,5612 0,819644091 -0,00845449 12,3808846 6,660965133
14,5 9,404358 5,532406 1,796975 13,41283 1,040514466 0,008532533 14,4533811 0,00217332
13,7 10,263486 6,478622 2,733304 14,0879 0,967225013 0,002471645 15,0551249 1,836363466
19 12,010789 7,585056 3,703655 16,98086 1,395610031 0,034020784 18,3770439 0,388074354
5 10,608631 8,189771 4,600878 11,85746 -0,01686454 -0,07312702 11,8432687 46,83032672
12 10,886905 8,729198 5,426542 11,89966 -0,06882696 -0,07155927 11,8333975 0,027756394
11,3 10,969524 9,177263 6,176686 11,55347 -0,19385244 -0,07551973 11,3624686 0,003902328
17,5 12,275619 9,796934 6,900736 14,33679 0,397867259 -0,02609459 14,7349986 7,645232881
13,1 12,440495 10,32565 7,585718 13,93026 0,196638702 -0,03906748 14,1276666 1,056098587
17,9 13,532396 10,967 8,261974 15,95817 0,567175299 -0,00872643 16,5253867 1,88956183
9,6 12,745917 11,32278 8,874135 13,14354 -0,18901755 -0,06409432 12,956581 11,26663598
114,9243312

Определим начальные условия экспоненциального сглаживания при параболической тенденции:

Выберем

Соответственно:

= 1,91758335

=-1,2595453

=-4,60049885

На основе расчета начальных условий определяем оценки коэффициентов и характеристики сглаженных значений.

Расчет оценок коэффициентов, характеристик сглаженных значений, прогнозных значений по параболической форме экспоненциального сглаживания () и квадратов ошибок сведем в таблицу:


yi Характеристики Оценки коэффициентов
S1 S2 S3 a0 a1 a2
3,5 4,0123083 0,322011 -3,12375 7,947147 1,813620275 0,04491565 9,76177562 0,742657215
5,2 5,7486158 1,949992 -1,60162 9,794246 1,862385849 0,045368582 11,6576611 3,450904714
2,2 5,9440311 3,148204 -0,17668 8,210805 0,696151358 -0,09717296 8,91167811 6,308526949
3,6 5,9308218 3,982989 1,071224 6,914721 -0,07996759 -0,17704896 6,8504266 0,903310726
7,1 7,9915752 5,185565 2,305526 10,72356 1,132323907 -0,01359714 11,8559729 0,891187203
6,9 8,6841027 6,235126 3,484406 10,83134 0,76321248 -0,05542235 11,5960834 1,679832129
4,1 8,6888719 6,97125 4,530459 9,683325 0,049851182 -0,13282693 9,74199756 1,085758914
5,3 9,0822103 7,604538 5,452683 9,8857 -0,00649776 -0,12382952 9,88686868 0,012798695
10,1 10,857547 8,580441 6,39101 13,22233 1,059105338 0,01610373 14,2815645 0,516149625
4,8 9,910283 8,979393 7,167525 9,960194 -0,43707812 -0,16181241 9,53620743 3,371657732
7,7 12,007198 9,887735 7,983588 14,34198 1,112672366 0,039547931 15,4554323 2,086775904
16,8 13,055039 10,83793 8,83989 15,49123 1,158089937 0,040238477 16,650127 1,322792148
9,8 14,238527 11,85811 9,745355 16,88662 1,274192695 0,049163686 18,162018 1,35028586
14,5 15,666969 13,00077 10,72198 18,72059 1,510309073 0,07115812 20,23343 1,521349651
13,7 17,026878 14,2086 11,76796 20,2228 1,56621064 0,069363232 21,791418 2,532611258
19 17,978815 15,33966 12,83947 20,75693 1,262936101 0,025523494 22,0201889 3,313087501
5 15,34517 15,34132 13,59003 13,60159 -1,65662782 -0,32095738 11,9964693 7,820240766
12 16,531619 15,69841 14,22254 16,72218 -0,25277423 -0,11803844 16,4763703 7,972884921
11,3 16,612133 15,97252 14,74754 16,66636 -0,28139592 -0,10751882 16,3907461 0,167488742
17,5 18,018493 16,58632 15,29917 19,5957 0,751423356 0,0266386 20,347482 0,907290518
13,1 16,092945 16,4383 15,64091 14,60483 -1,23246052 -0,20989346 13,3944003 3,219872312
17,9 16,845062 16,56033 15,91674 16,77093 -0,21852822 -0,06591395 16,5545712 4,183779005
9,6 16,321543 16,4887 16,08832 15,58687 -0,61020409 -0,10423889 14,9820974 0,013901034
55,37514352

Определим начальные условия экспоненциального сглаживания при параболической тенденции:

Выберем

Соответственно:

= 3,0313761

=1,06416203

=-0,970755225

На основе расчета начальных условий определяем оценки коэффициентов и характеристики сглаженных значений.

Расчет оценок коэффициентов, характеристик сглаженных значений, прогнозных значений по параболической форме экспоненциального сглаживания () и квадратов ошибок сведем в таблицу:


yi Характеристики Оценки коэффициентов
S1 S2 S3 a0 a1 a2
3,5 5,3788257 2,790027 0,533558 8,299952 2,24282099 0,147701582 10,5536813 2,734661735
5,2 7,1472954 4,532935 2,133309 9,976391 2,076938886 0,095437634 12,0578839 5,098039615
2,2 6,8483772 5,459112 3,46363 7,631426 -0,01682611 -0,26942947 7,65089649 1,564742023
3,6 6,4690263 5,863078 4,423409 6,241255 -0,89293167 -0,37054215 5,41697437 0,233313758
7,1 9,0014158 7,118413 5,50141 11,15042 1,669114 0,118222485 12,8265216 0,000703397
6,9 9,5208495 8,079388 6,532601 10,85699 0,797136961 -0,04681077 11,6552198 1,836620752
4,1 9,1925097 8,524636 7,329415 9,333035 -0,37506983 -0,23437677 8,98543167 0,081471237
5,3 9,5155058 8,920984 7,966043 9,749608 -0,16430499 -0,1601865 9,59813271 0,161497319
10,1 11,709303 10,03631 8,79415 13,81313 1,78550802 0,191480082 15,6169656 0,380646557
4,8 10,105582 10,06402 9,302098 9,426785 -1,09285126 -0,32015981 8,38518453 0,469477846
7,7 12,823349 11,16775 10,04836 15,01515 1,937829195 0,238313566 16,9813782 0,006622415
16,8 13,89401 12,25825 10,93232 15,83958 1,572441642 0,137696713 17,4215037 3,692176522
9,8 15,136406 13,40952 11,9232 17,10387 1,525483554 0,106920913 18,6350679 2,673447105
14,5 16,681843 14,71845 13,0413 18,93149 1,75420453 0,127220923 20,6937846 2,86890619
13,7 18,089106 16,06671 14,25146 20,31865 1,67049331 0,092065566 21,9933807 3,216214243
19 18,933464 17,21341 15,43624 20,5964 1,057851513 -0,02538566 21,6545716 2,115778599
5 15,040078 16,34408 15,79938 11,88738 -3,74509187 -0,82164528 8,47983483 0,518637869
12 16,744047 16,50407 16,08125 16,8012 -0,12441845 -0,08125883 16,6800788 6,863987211
11,3 16,766428 16,60901 16,29236 16,76461 -0,14275806 -0,07077229 16,6243542 0,030851434
17,5 18,579857 17,39735 16,73435 20,28188 1,596467573 0,230894027 21,9049998 0,366024715
13,1 15,787914 16,75358 16,74204 13,84506 -2,16385405 -0,43430858 11,7755167 0,030806121
17,9 16,912748 16,81724 16,77212 17,05863 0,142041992 0,022392189 17,2009276 1,957403589
9,6 16,187649 16,56541 16,68944 15,55616 -0,64652505 -0,11276768 14,9159978 0,033856812
36,93588706

Постоим соответственно графики значений  по исходным данным линейной и параболической формы сглаживания.

Линейная форма:

Параболическая форма:

1) =0,2

2) =0,3


3) =0,4

Видно,что параболическая форма зафисимости экспоненциального сглаживания лучше подогнана к исходным данным.Следовательно, параболическая форма более подходит для прогноза. Сделаем прогноз на 6 лет и представим графической формой.

t 24 25 26 27 28 29

14,916 14,28855 13,67381 13,0718 12,4825 11,90591

4. Метод скользящих средних

Выберем в качестве параметров скольжения 3, 5, 9. Причем при параметре, равном 5, используем весовые коэффициенты для расчета скользящей средней. Для определения этих весовых коэффициентов применим треугольник Паскаля. Таким образом, весовыми коэффициенты будут следующие числа: 1, 2, 4, 2, 1.

Для начала проведем расчеты при параметре скольжения 3. Данные приведем в следующей таблице:

t y Скользящая сумма Скользящая средняя Прирост Ускорения
1 3,5        
2 5,2 25,1 8,367    
3 2,2 22,1 7,367 -1  
4 3,6 25,1 8,367 1 2
5 7,1 29 9,667 1,3 0,3
6 6,9 31,8 10,6 0,933 -0,367
7 4,1 29 9,667 -0,933 -1,867
8 5,3 33,7 11,233 1,567 2,500
9 10,1 32,7 10,9 -0,333 -1,900
10 4,8 39,6 13,2 2,300 2,633
11 7,7 40,1 13,367 0,167 -2,133
12 16,8 49,4 16,467 3,100 2,933
13 9,8 51,5 17,167 0,700 -2,400
14 14,5 56,2 18,733 1,567 0,867
15 13,7 59,4 19,8 1,067 -0,500
16 19 49,6 16,533 -3,267 -4,333
17 5 48,7 16,233 -0,300 2,967
18 12 45,3 15,1 -1,133 -0,833
19 11,3 57,4 19,133 4,033 5,167
20 17,5 49,7 16,567 -2,567 -6,600
21 13,1 51,5 17,167 0,600 3,167
22 17,9 45,3 15,1 -2,067 -2,667
23 9,6        

Построим модель регрессии на ряд скользящих средних. Сравним модели линейной регрессии и параболической:

Выберем модель параболической регрессии на основании лучших коэффициента детерминации и скорректированного коэффициента детерминации у этой модели. Получим следующую модель:

y=1.4+1.03t-0.02

Спрогнозируем значения скользящих средних на последующие 6 лет:

t

23 16,4389
24 16,0816
25 15,6469
26 15,1348
27 14,5454
28 13,8786

Рассчитаем значения исходного ряда на будущий период, используя формулу:

и приведем в следующей таблице:

Значения скользящих средних, полученные по модели t Значения у
1 3,5
8,51976912 2 5,2
9,052236652 3 2,2
9,584704185 4 3,6
10,11717172 5 7,1
10,64963925 6 6,9
11,18210678 7 4,1
11,71457431 8 5,3
12,24704185 9 10,1
12,77950938 10 4,8
13,31197691 11 7,7
13,84444444 12 16,8
14,37691198 13 9,8
14,90937951 14 14,5
15,44184704 15 13,7
15,97431457 16 19
16,50678211 17 5
17,03924964 18 12
17,57171717 19 11,3
18,1041847 20 17,5
18,63665224 21 13,1
19,16911977 22 17,9
16,3222 23 9,6
Прогноз на будущее
16,9218 24 21,47
17,5214 25 19,70
18,1209 26 11,40
18,7205 27 23,27
19,3201 28 21,50
29 13,20

Значения урожайности по годам вместе с прогнозными значениями представим на графике:

Проведем расчеты для параметра 5 с применением треугольника Паскаля.

t y Скользящая сумма Скользящая средняя Прирост Ускорения
1 3,5
2 5,2
3 2,2 37 3,700
4 3,6 45,1 4,510 0,81
5 7,1 55,7 5,570 1,06 0,25
6 6,9 58,9 5,890 0,320 -0,740
7 4,1 58 5,800 -0,090 -0,410
8 5,3 61,3 6,130 0,330 0,420
9 10,1 72,4 7,240 1,110 0,780
10 4,8 76,9 7,690 0,450 -0,660
11 7,7 93,9 9,390 1,700 1,250
12 16,8 121,5 12,150 2,760 1,060
13 9,8 123,2 12,320 0,170 -2,590
14 14,5 140,8 14,080 1,760 1,590
15 13,7 136,6 13,660 -0,420 -2,180
16 19 139,9 13,990 0,330 0,750
17 5 107 10,700 -3,290 -3,620
18 12 117,1 11,710 1,010 4,300
19 11,3 122,3 12,230 0,520 -0,490
20 17,5 148,7 14,870 2,640 2,120
21 13,1 144,1 14,410 -0,460 -3,100
22 17,9
23 9,6

Построим модель регрессии на ряд скользящих средних. Сравним модели линейной регрессии и параболической:


Выберем модель параболической регрессии на основании лучших R-квадрата и скорректированного R-квадрата у этой модели. Получим следующую модель:

y=1.88+1.11t-0.02

Отобразим ее на графике:

Спрогнозируем значения скользящих средних на последующие 6 лет:

t

23 17,1962
24 17,8133
25 18,4303
26 19,0474
27 19,6644
28 20,2815

Рассчитаем значения исходного ряда на будущий период, используя формулу:

и приведем в следующей таблице:

Значения скользящих средних, полученные по модели t Значения у
  1 3,5
  2 5,2
8,8125 3 2,2
9,3924 4 3,6
9,9723 5 7,1
10,5522 6 6,9
11,1321 7 4,1
11,7120 8 5,3
12,2919 9 10,1
12,8718 10 4,8
13,4517 11 7,7
14,0316 12 16,8
14,6115 13 9,8
15,1914 14 14,5
15,7713 15 13,7
16,3512 16 19
16,9311 17 5
17,5109 18 12
18,0908 19 11,3
18,6707 20 17,5
19,2506 21 13,1
15,9621 22 17,9
16,5792 23 9,6
Прогноз на будущее
17,1962 24 25,12
17,8133 25 28,25
18,4303 26 -22,12
19,0474 27 49,53
  28 92,10
  29 -175,87

Из таблицы видно, что при t=29 значение урожайности отрицательное, чего не может быть в принципе. Этот факт объясняется тем, что исходный ряд плохо аппроксимируется нормальным распределением.

Проведем расчеты при параметре скольжения 9. Данные приведем в следующей таблице:

t y Скользящая сумма Скользящая средняя Прирост Ускорения
1 3,5
2 5,2
3 2,2
4 3,6
5 7,1 48 5,333
6 6,9 49,3 5,478 0,144
7 4,1 51,8 5,756 0,278 0,133
8 5,3 66,4 7,378 1,622 1,344
9 10,1 72,6 8,067 0,689 -0,933
10 4,8 80 8,889 0,822 0,133
11 7,7 86,8 9,644 0,756 -0,067
12 16,8 101,7 11,300 1,656 0,900
13 9,8 101,4 11,267 -0,033 -1,689
14 14,5 103,3 11,478 0,211 0,244
15 13,7 109,8 12,200 0,722 0,511
16 19 119,6 13,289 1,089 0,367
17 5 115,9 12,878 -0,411 -1,500
18 12 124 13,778 0,900 1,311
19 11,3 119,1 13,233 -0,544 -1,444
20 17,5
21 13,1
22 17,9
23 9,6

Построим модель регрессии на ряд скользящих средних. Сравним модели линейной регрессии и параболической:


Выберем модель параболической регрессии на основании лучших R-квадрата и скорректированного R-квадрата у этой модели. Получим следующую модель:

y=3.49+1.1t-3.49

Спрогнозируем значения скользящих средних на последующие 6 лет:

t

23 17,8644
24 18,5200
25 19,1756
26 19,8311
27 20,4867
28 21,1422

Рассчитаем значения исходного ряда на будущий период, используя формулу:

и приведем в следующей таблице:

Значения скользящих средних, полученные по модели t Значения у
  1 3,5
  2 5,2
  3 2,2
  4 3,6
9,9721 5 7,1
10,5981 6 6,9
11,2241 7 4,1
11,8501 8 5,3
12,4761 9 10,1
13,1021 10 4,8
13,7281 11 7,7
14,3541 12 16,8
14,9801 13 9,8
15,6061 14 14,5
16,2321 15 13,7
16,8580 16 19
17,4840 17 5
18,1100 18 12
18,7360 19 11,3
15,2422 20 17,5
15,8978 21 13,1
16,5533 22 17,9
17,2089 23 9,6
Прогноз на будущее
16,6847 24 51,99
16,2773 25 18,31
  26 3,56
  27 9,82
  28 8,38
  29 13,83

5. Выравнивание при помощи рядов Фурье

Пусть ряд содержит циклическую составляющую, выраженную некоторой функцией от времени y(t) c известными периодами, нацело делящими n. То есть периоды y(t) задаются числами n/kj, j=1, …, m, где (k1, …,km) – подмножество последовательности целых чисел 1, …, (n-1)/2, если n нечетное. Представим y(t) в виде ряда Фурье – линейной комбинации синусов и косинусов для n нечетного:

Рассмотрим теперь задачу гармонического анализа ряда, состоящую в оценивании параметров a0, ak, bk:

Последовательные значения t определяются 0 с увеличением, равным .

Расчет показателей, необходимых для выравнивания с помощью ряда Фурье, представлен в следующей таблице:


Год t y y cos t y sin t

y cos 2t y sin 2t

1 0 3,5 3,5 0 7,765 18,192 3,5 0 8,132 21,456
2 0,273 5,2 5,007 1,403 6,611 1,992 4,443 2,702 6,252 1,107
3 0,546 2,2 1,880 1,143 5,679 12,103 1,012 1,953 4,698 6,242
4 0,820 3,6 2,457 2,631 5,037 2,065 -0,246 3,592 3,721 0,015
5 1,093 7,1 3,266 6,304 4,733 5,602 -4,094 5,800 3,464 13,220
6 1,366 6,9 1,403846 6,756 4,790 4,452 -6,329 2,749 3,938 8,775
7 1,639 4,1 -0,280 4,090 5,203 1,217 -4,062 -0,558 5,016 0,839
8 1,912 5,3 -1,775 4,994 5,942 0,412 -4,111 -3,345 6,474 1,379
9 2,185 10,1 -5,824 8,251 6,952 9,910 -3,382 -9,517 8,049 4,207
10 2,459 4,8 -3,723 3,029 8,158 11,276 0,977 -4,700 9,500 22,090
11 2,732 7,7 -7,06253 3,068 9,471 3,135 5,256 -5,627 10,667 8,803
12 3,005 16,8 -16,644 2,288 10,792 36,090 16,177 -4,533 11,495 28,143
13 3,278 9,8 -9,709 -1,334 12,026 4,953 9,437 2,644 12,030 4,971
14 3,551 14,5 -13,300 -5,777 13,0785 2,021 9,897 10,597 12,383 4,482
15 3,825 13,7 -10,627 -8,646 13,873 0,030 2,787 13,413 12,680 1,040
16 4,098 19 -10,9569 -15,522 14,350 21,618 -6,363 17,903 13,008 35,905
17 4,371 5 -1,674 -4,711 14,475 89,779 -3,879 3,155 13,374 70,119
18 4,644 12 -0,819 -11,972 14,238 5,009 -11,888 1,634 13,698 2,884
19 4,917 11,3 2,299 -11,064 13,657 5,553 -10,364 -4,502 13,836 6,430
20 5,190 17,5 8,051 -15,538 12,774 22,336 -10,092 -14,297 13,620 15,056
21 5,464 13,1 8,941446 -9,574 11,656 2,087 -0,894 -13,069 12,922 0,032
22 5,737 17,9 15,294 -9,301 10,3844 56,485 8,235 -15,893 11,702 38,410
23 6,010 9,6 9,244 -2,590 9,055 0,297 8,202 -4,988 10,041 0,194
n=23 220,7 -21,050 -52,072 220,7 316,615 4,219 -14,886 220,700 295,799

Год t y y cos 3t y sin 3t

 

(yi-yi2)

1 0 3,5 3,5 0 6,496 8,976
2 0,273 5,2 3,549 3,800 3,47017 2,992
3 0,546 2,2 -0,150 2,195 2,5366 0,113
4 0,820 3,6 -2,793 2,272 3,55156 0,002
5 1,093 7,1 -7,034 -0,967 5,39523 2,906
6 1,366 6,9 -3,979 -5,637 6,74298 0,025
7 1,639 4,1 0,834 -4,014 6,91425 7,920
8 1,912 5,3 4,528 -2,754 6,26056 0,923
9 2,185 10,1 9,725 2,725 5,85861 17,989
10 2,459 4,8 2,208 4,262 6,72393 3,702
11 2,732 7,7 -2,579 7,255 9,06763 1,870
12 3,005 16,8 -15,409 6,693 12,0877 22,206
13 3,278 9,8 -8,989 -3,904 14,4381 21,512
14 3,551 14,5 -4,856 -13,663 15,0781 0,334
15 3,825 13,7 6,303 -12,164 13,9511 0,063
16 4,098 19 18,295 -5,126 12,0474 48,339
17 4,371 5 4,272 2,598 10,7918 33,545
18 4,644 12 2,441 11,749 11,1343 0,749
19 4,917 11,3 -6,516 9,232 12,9175 2,616
20 5,190 17,5 -17,337 2,383 14,9303 6,603
21 5,464 13,1 -10,162 -8,267 15,6291 6,396
22 5,737 17,9 -1,222 -17,858 14,0876 14,534
23 6,010 9,6 6,553 -7,016 10,5895 0,979
n=23 220,7 -18,815 -26,207 220,7 205,297

Рассчитаем параметры:

a0 a1 b1 a2 b2 a3 b3
9,596 -1,830 -4,528 0,367 -1,294 -1,636 -2,279

Таким образом, получили модели:

- для гармоники первого порядка = 9,569-1,83 cos t-4.528 sin t

- для гармоники второго порядка = 9,569-1,83 cos t-4.528 sin t +

+ 0,367 соs 2t-1.294 sin 2t

- для гармоники третьего порядка =9,569-1,83 cos t-4.528 sin t +

+ 0,367 соs 2t-1.294 sin 2t-1.636 cos3t-2.279 sin 3t

Исследуем модель с гармоникой первого порядка

Прогнозные значения

Год t

24 6,283 7,765199
25 6,556 6,611
26 6,830 5,679
27 7,103 5,037
28 7,376 4,733
29 7,649 4,790

Изучим модель с гармоникой второго порядка

Прогнозные значения

Год t

24 6,283 8,132054
25 6,556 6,252
26 6,830 4,698
27 7,103 3,721
28 7,376 3,464
29 7,649 3,938

Исследуем модель с гармоникой третьего порядка

Прогнозные значения

Год t

24 6,283 6,496
25 6,556 3,470
26 6,830 2,537
27 7,103 3,552
28 7,376 5,395
29 7,649 6,743

Выводы

Были рассмотрены четыре метода прогнозирования – аналитическое выравнивание методом наименьших квадратов, метод экспоненциального сглаживания, метод скользящих средних, и выравнивание при помощи рядов Фурье. Выберем наиболее подходящий метод, который дает наиболее правдоподобный прогноз.

Выравнивание с помощью рядов Фурье дает сумму квадратов ошибок от 200 до 300 (в зависимости от гармоники). Метод экспоненциального сглаживания дает результат получше: для параболического тренда сумма квадратов ошибок колеблется от 36 до 115 (при  сумма квадратов ошибок равна 115; при =0,4 сумма квадратов ошибок 36);Для линейной тенденции сумма квадратов ошибок равна 55. Аналитическое выравнивание МНК дает сумму квадратов ошибок, равную 272. Лучше всего описывает тренд метод скользящих средних с параметром n=3. Он дает сумму квадратов ошибок, равную 63.