Контрольная работа: Расчет электрических цепей синусоидального тока

з дисципліни

“Електротехніка в будівництві”

Задача 1

Рассчитать электрическую цепь синусоидального тока с последовательным соединением приемников.

Для схемы, изображенной на рис.1, известно, что U = 110 B, R₁ = 10 Oм, R₂ = 10 Oм, L₂ = 80 мГн, С₂ = 200 мкФ, R₃ = 10 Oм.

Определить ток цепи, падение напряжений на элементах цепи, активную, реактивную и полную мощность цепи, коэффициент мощности / cosj / цепи. Построить топографическую векторную диаграму.

Рис. 1

Решение. Определяем реактивные сопротивления участков цепи:

 Ом

 Ом

Общее сопротивление цепи:

 Ом

Комплексное значение тока в цепи в показательной форме:

 А

Если начальная фаза напряжения не задана, удобнее принять ее равной нулю и расположить вектор напряжения совпадающим с вещественной осью комплексной плоскости. В этом случае мнимая составляющая комплекса напряжения также равна нулю:                                           110 В.

Рассчитываем комплексные значения напряжений на элементах цепи в показательной и алгебраической формах:

 В

 В

 В

 В

 В

Активную, реактивную и полную мощности цепи определяем из соотношения:

,

где  - сопряженный комплекс тока,

Знак “ + “ перед реактивной мощностью говорит о том, что она имеет индуктивный характер.

Правильность решения проверяем, составив баланс мощностей:

 Вт;

 113.23 вар.

Активную и реактивную мощности можно найти следующим образом:

110·3.5·cos(-17⁰)=368.54 Вт;

110·3.5·sin(-17⁰)=113.23 вар,

где j — угол между векторами тока и напряжения.

Проверка баланса напряжений показывает, что задача решена правильно:

 В

Угол между током и напряжением определяем, сравнивая комплексы напряжений  и тока :

 В,         А,            -17⁰,             0.956.

При построении векторной диаграммы на комплексной плоскости считаем, что потенциал точки е равен 0. Тогда из точки е, помещенной в начало координат, под углом -17⁰ относительно вещественной оси в выбранном масштабе строим вектор U_R3. Конец этого вектора будет определять потенциал точки д. Под углом -107⁰ к вещественной оси строим вектор U_C2 определяя потенциал точки г. Из точки г под углом 73⁰ строим вектор U_L2, определяя потенциал точки в. Из точки в строим вектор напряжения U_R2, определяя потенциал точки б. Из точки б строим вектор напряжения U_R1, определяя потенциал точки а.  Конец вектора U_R1 должен определять потенциал точки а, которая должна лежать на вещественной оси, а длина отрезка еа в соответствии с выбранным масштабом должна быть равной U=110 В.

Задача 2

Рассчитать электрическую цепь синусоидального тока со смешанным соединением приемников, схема которой изображена на рис. 2. Дано: U = 380 B, L₀ = 19 мГн, R₀ = 8 Oм, L₁ = 25,5 мГн, R₁ = 6 Oм, R₂ = 10 Oм, С₂ = 396 мкФ.

Определить общий ток цепи  и токи в ветвях  и , напряжения на участках цепи, активную, реактивную и полную мощности, построить потенциальную диаграмму на комплексной плоскости.

Рис. 2

Решение. Определяем реактивные сопротивления цепи:

 Ом

 Ом

 Ом

Выражаем сопротивление ветвей цепи в комплексном виде:

 Ом

 Ом

 Ом

Перевод комплексных чисел в показательную форму не обязателен, но при умножении и делении комплексных чисел показательная форма записи удобнее.

Находим эквивалентное сопротивление параллельных ветвей:

 Ом

Схема рассчитываемой цепи теперь имеет вид цепи с последовательным соединением приемников.

Комплексное сопротивление всей цепи:

 Ом

Определим ток  в неразветвленной цепи. Для этого выразим приложенное к цепи напряжение  в комплексной форме. Так как в условии задачи начальная фаза напряжения не задана, принимаем ее равной нулю, располагая тем самым вектор напряжения с вещественной осью комплексной плоскости:

 А

Определяем комплексное действующее значение на разветвленном участке цепи:

 В

Комплексное действующее значение на неразветвленной части цепи

 В

Определяем токи в ветвях цепи:

 А

 А

Вычисляем полную, активную и реактивную мощности цепи:

=

Отсюда 8170.73 В·А;   7291.56 Вт;   3687.01 вар.

Реактивная мощность имеет индуктивный характер, так как положительна. Правильность решения можно проверить, составив баланс мощностей, баланс токов / первый закон Кирхгофа / , баланс напряжений / второй закон Кирхгофа / :

7291.56 Вт;

3687.01 вар.

4.87+j3.9 А.

380 В.

Потенциальную векторную диаграмму построим, начиная с вектора  380 В, совместив его с вещественной осью. Далее построение аналогично построению из предыдущей задачи.

Задача 3

В трехфазную четырехпроводную сеть с линейным напряжением 220 В включен звездой несимметричный приемник, сопротивления которого равны: X_ca=6 Ом;

20 Ом; 20 Ом; 10 Ом /рис.3/.

Определить токи в линейных и нейтральных проводах, полную, активную и реактивную мощность каждой фазы и всей цепи. Построить векторную диаграмму токов и напряжений.

Рис. 3

Решение. Принимаем начальную фазу напряжений  равной нулю. Тогда, учитывая, что = В,

 В;

 В;

 В;

Комплексные сопротивления фаз:

 Ом;  Ом;  Ом

Линейные комплексные токи:

 А

 А

 А

Комплексный ток нейтрального провода

 А.

Действующее значение токов:

= 21.17 А; = 4.49А; = 12.7 А; = 26.18 А.

Определяем полную, активную и реактивную мощности каждой фазы:

 ВА

 ВА

ВА

Отсюда

S_a=2688.89 ВА; S_b=570.4 ВА; S_с=1613.33 ВА; Р_a=0  Вт; Р_b=403.33.41 Вт; Р_с=0 Вт;

Q_a= -2688.89 вар; Q_b= -403.33 вар; Q_с=1613.33 вар

Полная активная и реактивная мощности всей цепи:

403.33-j1478.89 В·А

Порядок построения векторной диаграмы /рис./следующий.

В выбранном масштабе строим фазные и линейные напряжения, совмещая вектор напряжения  с вещественной осью комплексной плоскости.

В масштабе, выбранном для тока, строим векторы токов, используя фазовые сдвиги (показательная форма записи) или координаты активной и реактивной составляющей (алгебраическая форма записи).

Геометрическая сумма векторов линейных токов представляет собой вектор тока нейтрального провода.

Задача 4

В трехфазную сеть с напряжением 220 В включен треугольником несимметричный приемник, сопротивления которого равны: 3 Ом; 4 Ом; 15 Ом; 15 Ом; 19 Ом; /рис.4/. Определить токи в линейных проводах, активную и реактивную мощности цепи. Построить векторную диаграмму.

Рис. 4

Решение. Принимаем начальную фазу напряжения равной нулю, т.е. совмещаем вектор его напряжения с вещественной осью комплексной плоскости.

Тогда комплексные линейные напряжения:

 В;  В;  В

Комплексные сопротивления фаз приемника:

 Ом;  Ом;

 Ом

Комплексные фазные токи:

 А;

 А;

 А

Линейные токи находим по первому закону Кирхгофа:

 А;

 А;

 А

Активную и реактивную мощности всей цепи определяем как сумму мощностей отдельных фаз приемника:

 ВА

Отсюда  Вт;  вар.

Векторную диаграмму /рис./ строим в такой последовательности. На комплексной плоскости в выбранном масштабе наносим векторы линейных напряжений причем вектор  совмещается с вещественно осью. Выбираем масштаб изображения векторов тока и наносим их на векторную диаграмму напряжений, совмещая начала одноименных векторов напряжения и токов. Углы наклона относительно вещественной оси токов  берем из результатов расчета. Чтобы найти линейные токи , необходимо к концам векторов  прибавить соответственно векторы  с обратным знаком. Геометрическая сумма каждой пары векторов будет представлять собой векторы линейных токов.

Литература

1. Волынский В.А. и др. Электротехника /Б.А. Волынский, Е.Н. Зейн, В.Е. Шатерников: Учеб. пособие для вузов. – М.: Энергоатомиздат, 2007. – 528 с., ил.

2. Касаткин А.С., Немцов М.В. Электротехника: Учеб. пособие для вузов. – 4-е изд., перераб. – М.: Энергоатомиздат, 2009. – 440 с., ил.