Курсовая работа: Формации конечных групп
Министерство образования Республики Беларусь
Учреждение образования
«Гомельский государственный университет
имени Франциска Скорины»
Математический факультет
Кафедра алгебры и геометрии
Допущена к защите
Зав. кафедрой Шеметков Л.А.
« » 2007 г.
Об одной проблеме теории
Формации конечных групп
Курсовая работа
Исполнитель:
студент группы М-51 А.И. Рябченко
Научный руководитель:
к.ф.- м.н., старший преподаватель В.Г. Сафонов
Гомель 2007
Оглавление
Введение
Вспомогательные факты
Основные результаты
Заключение
ЛИТЕРАТУРА
Введение
Все рассматриваемые в работе группы предполагаются конечными. Кроме общепринятой терминологии [1–3], нам потребуются некоторые определения и обозначения работы [4].
Пусть 
–
некоторое непустое подмножество множества всех простых чисел; 
– дополнение к во множестве всех простых
чисел. Формация 
называется -насыщенной, если ей
принадлежит всякая группа 
,
удовлетворяющая условию 
, где 
. Всякая формация считается
0-кратно -насыщенной. При 
формация называется 
-кратно -насыщенной [4], если 
, где все непустые значения
-локального спутника 
являются 
-кратно -насыщенными формациями.
Для любых двух -кратно
-насыщенных формаций 
и 
полагают 
, а 
, где 
– пересечение всех -кратно -насыщенных формаций,
содержащих 
. Через 
обозначают решетку -кратно -насыщенных формаций,
заключенных между 
и . Длину решетки обозначают 
и называют 
-дефектом формации . -Кратно -насыщенную формацию называют 
-приводимой, если она может
быть представлена в виде решеточного объединения некоторых своих собственных -кратно -насыщенных подформаций в
решетке . В противном случае
формацию называют -неприводимой.
Группа называют
критической, если – группа минимального
порядка из 
для некоторых формаций и . Критическая группа 
называется -базисной, если у формации,
ею порожденной, имеется лишь единственная максимальная подформация , причем 
.
В работе [4] А.Н. Скибой и Л.А. Шеметковым
была поставлена задача описания -кратно -насыщенных формаций -дефекта 
(вопрос 5, [4]). Полученные
нами теоремы 1–3 завершают описание -кратно -насыщенных формаций такого
типа. В частности, теорема 1 и теорема 2 позволяют классифицировать -приводимые -кратно -насыщенные формации,
имеющие -дефект 
, а в теореме 3 получено
описание конечных групп, порождающих -неприводимые
формации -дефекта 2 (
). Отметим, что при 
решение данной задачи
получено в работе [5].
Вспомогательные факты
Следствием теоремы 3.4.3 работы [6] является
Лемма 1. Пусть – -кратно -насыщенная ненильпотентная
формация. Тогда в имеется по
крайней мере одна минимальная -кратно -насыщенная ненильпотентная
подформация.
Доказательство следующей леммы аналогично доказательству леммы 20.4 [2].
Лемма 2. Пусть , 
и – -кратно -насыщенные формации,
причем 
. Тогда если 
и 
соответственно 
-дефекты формаций и и 
, то 
.
Лемма 3 [4]. Для всех 
решетка
модулярна.
Аналогично лемме 14 [7] доказывается
Лемма 4. Пусть 
, где – некоторая -кратно -насыщенная нильпотентная
подформация формации , 
– минимальная -кратно -насыщенная ненильпотентная
подформация формации . Тогда в
формации не существует минимальных -кратно -насыщенных ненильпотентных
формаций, отличных от .
Лемма 5. Пусть , и – -насыщенная формации и 
. Тогда 
.
Доказательство аналогично лемме 20.3 [2].
Лемма 6 [8]. При всякая -кратно насыщенная
формация, имеющая -дефект 2, приводима.
Лемма 7 [4]. Пусть
–
-кратно -насыщенная формация 
. Тогда спутник является 
-значным.
Лемма 8 [9]. Пусть 
–
такая полная решетка формаций, что 
. Пусть – 
-локальная формация с
каноническим -локальным спутником 
, – -локальная формация с
минимальным -локальным -значным спутником 
. Тогда в том и только в
том случае – 
-критическая формация,
когда 
, где 
– такая монолитическая
группа с монолитом 
, что либо 
, 
и 
– 
-критическая формация для
всех 
, либо 
и 
– 
-критическая формация.
Лемма 9 [4]. Пусть 
,
где 
, и пусть – минимальный -значный спутник формации . Тогда справедливы
следующие утверждения: 1) 
; 2) 
для всех 
; 3) 
, спутник 
является 
-значным и 
– некоторый фиксированный
элемент из , то 
, где 
для всех 
, 
и, кроме того, 
; 4) 
, где 
и 
для всех .
Лемма 10 [4]. Пусть 
такой
внутренний -кратно -локальный спутник формации
, что 
, 
. Тогда 
, где 
.
Лемма 11 [10]. Тогда и только тогда является минимальной -кратно -насыщенной ненильпотентной
формацией, когда 
, где – такая монолитическая
группа с цоколем 
, что либо 
, либо 
и выполняется одно из
следующих условий:
1) 
–
группа Шмидта с 
, где 
– абелева -группа, и 
– простое число;
2) 
–
неабелева 
-группа, 
, где , причем, если 
, то и 
– простая неабелева
группа.
Лемма 12 [6]. Пусть –
монолитическая группа с неабелевым монолитом 
.
Тогда если простое число 
делит
порядок группы , то 
.
Лемма 13 [1, с. 26]. Пусть –
произвольная непустая формация и пусть у каждой группы 
-корадикал 
не имеет фраттиниевых -главных факторов. Тогда
если 
– монолитическая группа из
, то 
.
Лемма 14 [2, с.168]. Пусть и
– формации, причем – локальна и – группа минимального
порядка из 
. Тогда монолитична, ее монолит
совпадает с 
и если – -группа, то 
.
Лемма 15 [2, с.171]. Если в группе имеется лишь одна
минимальная нормальная подгруппа и 
( – некоторое простое
число), то существует точный неприводимый 
-модуль,
где 
– поле из элементов.
Лемма 16 [4]. Пусть –
-насыщенная формация и – ее -локальный спутник. Если 
, то 
.
Лемма 17 [4]. Пусть 
и
– минимальные -локальные 
-значные спутники формаций 
и 
соответственно. Тогда 
в том и только в том
случае, когда 
.
Лемма 18 [10]. Пусть 
(
), где – такая монолитическая
группа с неабелевым монолитом 
, что 
и 
. Тогда имеет единственную
максимальную 
-кратно -насыщенную подформацию , причем 
.
Основные результаты
Теорема 1. Пусть – -кратно -насыщенная формация. Тогда
в том и только в том случае -дефект
формации равен 1, когда 
, где – -кратно -насыщенная нильпотентная
подформация формации , – минимальная -кратно -насыщенная ненильпотентная
подформация формации , при этом: 1) всякая
-кратно -насыщенная нильпотентная
подформация из входит в 
; 2) всякая -кратно -насыщенная ненильпотентная
подформация из имеет вид 
Доказательство. Необходимость. Пусть -дефект формации равен 1. Так как не является
нильпотентной формацией, то по лемме 1 в входит
некоторая минимальная -кратно -насыщенная ненильпотентная
подформация . По условию 
– максимальная -кратно -насыщенная подформация в . Значит, .
Достаточность. Пусть ,
где – -кратно -насыщенная нильпотентная
подформация формации , – минимальная -кратно -насыщенная ненильпотентная
подформация . Понятно,
что 
. Пусть -дефекты -кратно -насыщенных формаций , и равны соответственно , 
и . Поскольку – -кратно -насыщенная нильпотентная
подформация формации , то
. Так как – минимальная -кратно -насыщенная ненильпотентная
формация, то ее -дефект равен 1. В силу леммы 2
имеет место неравенство 
. Если 
, то – нильпотентная
формация, что противоречит условию . Таким
образом, -дефект формации равен 1.
Докажем теперь справедливость
утверждения 1) второй части теоремы. Так как 
–
максимальная -кратно -насыщенная подформация в , то, в силу леммы 3, имеет
место решеточный изоморфизм
Следовательно, 
– максимальная -кратно -насыщенная подформация в . Тогда, поскольку , то всякая -кратно -насыщенная нильпотентная
подформация из входит в .
Докажем утверждение 2). Используя
лемму 4, получаем, что в формации нет
минимальных -кратно -насыщенных ненильпотентных
подформаций, отличных от .
Пусть теперь – произвольная -кратно -насыщенная ненильпотентная
подформация из . Тогда в
силу уже доказанного и леммы 4 получаем, что 
.
Следовательно, применяя лемму 3, получаем 
.
Теорема доказана.
Теорема 2. Пусть – -приводимая формация, . Тогда и только тогда -дефект формации равен 2, когда удовлетворяет одному из
следующих условий: 1) 
, где 
, и 
– различные минимальные -кратно -насыщенные ненильпотентные
формации; 2) 
, где , – -неприводимая формация -дефекта 2, 
, причем если 
, то 
.
Доказательство. Заметим, что при 
, справедливость
утверждения теоремы вытекает из теоремы 1.1 [5], а также теоремы 1 работы [11].
Поэтому мы можем считать, что .
Необходимость. Пусть -дефект
формации равен 2, – такая максимальная -кратно -насыщенная подформация
формации , что -дефект формации равен 1. По теореме 1
получаем 
, где – минимальная -кратно -насыщенная ненильпотентная
формация, а . Если в формации имеется еще одна
минимальная -кратно -насыщенная ненильпотентная
подформация , отличная от , то, в силу леммы 4, 
. Значит,
и выполнено условие 1).
Пусть теперь в формации нет отличных от минимальных -кратно -насыщенных ненильпотентных
подформаций. Поскольку – -приводимая формация, то в 
найдется такая группа , что 
. Понятно, что 
. Ввиду леммы 5 -дефект формации 
меньше или равен 2.
Поскольку 
и -дефект формации равен 1, то -дефект формации не равен 0. Допустим, что -дефект формации равен 1. Тогда по теореме 1
и предположению о единственности получаем,
что 
, где 
. Значит, 
где 
. Но тогда в силу леммы 2 -дефект формации равен 1. Противоречие.
Поэтому -дефект формации равен 2. Тогда 
, так как иначе 
, что противоречит
максимальности формации в
формации . Таким образом, 
Предположим, что – -неприводимая формация.
Заметим, что если 
и – -насыщенная формация, то является насыщенной
формацией. Действительно, из -насыщенности
формации получаем, что для любой
группы из условия 
следует, что 
. Но 
. Значит, 
. Тогда получаем, что из
условия 
следует, что . Таким образом, является насыщенной
формацией. Ввиду леммы 6 всякая -кратно
насыщенная формация, имеющая нильпотентный дефект 2, приводима. В этом случае – приводимая -кратно насыщенная
формация. Противоречие. Поэтому 
. Тогда
получаем, что формация удовлетворяет
условию 2).
Пусть теперь – -приводимая формация.
Воспользуемся индукцией по числу разрешимых -кратно
-насыщенных подформаций
однопорожденной формации .
Обозначим через 
максимальную -кратно -насыщенную подформацию
формации , имеющую -дефект, равный 1. Так как – -приводимая формация, то в 
существует такая группа 
, что 
. Ввиду максимальности
формации в формации справедливо 
. По теореме 1 и
предположению единственности получаем,
что 
, где 
– некоторая нильпотентная -кратно -насыщенная подформация
формации .
Тогда 
.
Заметим, что повторяя приведенные выше рассуждения для , получаем, что либо
формация 
(где 
) удовлетворяет условию 2),
и необходимость доказана, либо формация 
является
-приводимой формацией -дефекта 2. Понятно, что 
, так как иначе 
, что противоречит
максимальности формации в .
Поскольку –
собственная -кратно -насыщенная подформация
формации , то число разрешимых подформаций
формации меньше чем у . Ввиду замечания 3 [4] в
однопорожденной формации имеется
лишь конечное множество разрешимых -кратно -насыщенных подформаций.
Поэтому, повторяя описанные выше действия, через конечное число шагов мы придем
к ситуации, когда либо формация 
(где 
) удовлетворяет условию 2)
и необходимость доказана, либо 
, где 
– -приводимая формация -дефекта 2, 
– наименьшая неединичная
разрешимая подформация формации , такая
что 
.
Обозначим через 
максимальную -кратно -насыщенную подформацию
формации , имеющую нильпотентный -дефект, равный 1. Так как – -приводимая формация, то в 
существует такая группа 
, что 
. Ввиду максимальности
формации в формации справедливо 
. По теореме 1 и
предположению единственности получаем,
что 
, где 
– некоторая нильпотентная -кратно -насыщенная подформация формации
. Тогда
Но 
по
предположению индукции. Следовательно, формация не
может быть -приводимой формацией.
Значит, 
, где 
, 
– -неприводимая формация -дефекта 2. Необходимость
доказана.
Достаточность. Пусть 
,
где , и – различные минимальные -кратно -насыщенные ненильпотентные
формации. Пусть , 
, и -дефекты формаций , 
, и соответственно. Тогда по
лемме 2 -дефект формации не превосходит
. С другой стороны по лемме
5 -дефект формации больше либо равен . Таким образом, -дефект формации равен 2.
Аналогично рассматривается случай,
когда 
, где , – -неприводимая формация -дефекта 2. Теорема
доказана.
Теорема 3. Пусть – -кратно -насыщенная формация 
. Тогда и только тогда
формации – -неприводимая формация -дефекта 2, когда 
, где – такая монолитическая
группа с цоколем 
, что выполняется
одно из следующих условий:
1) 
,
где 
– -группа, , а 
– группа, удовлетворяющая
одному из следующих условий:
1.1) циклическая примарная группа
порядка 
;
1.2) неабелева группа порядка 
простой нечетной
экспоненты
;
1.3) монолитическая группа с цоколем 
и 
– 
-группа;
2) –
неабелева группа, 
, а группа 
удовлетворяет одному из следующих
условий:
2.1) 
-группа,
где 
;
2.2) элементарная абелева -группа, 
;
2.3) подпрямое произведение групп
изоморфных 
, где – такая монолитическая
группа с цоколем 
, что 
– неабелева группа, 
;
3) –
-группа, формация 
имеет -дефект 1, – -базисная группа, где 
, 
, а – такая монолитическая
группа с цоколем 
, что выполнено
одно из следующих условий:
3.1) 
–
группа Шмидта с 
, где 
– абелева -группа, и 
– простое число,
;
3.2) –
неабелева группа, причем 
;
3.3) –
-группа.
Доказательство.
Необходимость. Пусть
– -неприводимая формация -дефекта 2, – максимальная -кратно -насыщенная подформация
формации с каноническим спутником 
. Заметим, что ввиду леммы 7
спутник является -кратно -локальным. Тогда является минимальной -кратно -насыщенной не -формацией. Пусть и – минимальные -кратно -локальные спутники
формаций и соответственно. В силу
замечания 2 [4] имеем 
, для всех .
Применяя лемму 8, получим,
что , где – такая монолитическая
группа с цоколем 
, что либо 
(, и 
– 
-критическая формация для
всех 
, либо 
и 
– 
-критическая формация. По
теореме 1 
, где 
– минимальная -кратно -насыщенная ненильпотентная
подформация формации , 
.
Предположим, что 
. Тогда найдется простое
число 
. Пусть 
– группа порядка . Тогда 
. Так как – максимальная -кратно -насыщенная подформация
формации и 
, то 
. Но формация является -неприводимой по условию
теоремы. Противоречие. Следовательно, 
.
Пусть 
и 
– минимальные -кратно -локальные спутники
формаций и 
соответственно. По лемме 9
формации и имеют такие внутренние -кратно -локальные спутники 
и 
, принимающие
соответственно значения 
, при 
, 
, при 
, 
, при 
, и 
, при 
, 
, при , 
, при 
. Ввиду леммы 10
справедливо равенство 
.
В силу леммы 11 
, где – такая монолитическая
группа с цоколем , что либо 
, либо 
и выполняется одно из
следующих условий:
(1) –группа Шмидта с , где 
– абелева 
-группа, 
и – простое число;
(2) – неабелева 
-группа 
, где 
.
Заметим, что если 
, то любая -насыщенная подформация из является насыщенной.
Следовательно, любая -кратно -насыщенная подформация
формации является -кратно насыщенной. По
лемме 6 при всякая -кратно насыщенная формация
с -дефектом 2 приводима.
Поэтому при формация не может быть -неприводимой
формацией, что противоречит условию. Таким образом, 
.
Допустим, что – неабелев цоколь группы . Пусть и . Тогда по лемме 12 имеем 
. Значит, 
Пусть для формации выполнено условие (1).
Предположим, что 
. Так как 
, то имеем 
. Тогда 
– минимальная -кратно -насыщенная не 
-формация. Значит, 
, 
и -дефект формации равен 1 по лемме 11.
Противоречие. Поэтому 
. Используя лемму
9, имеем
.
Следовательно, 
.
Покажем, что . Действительно, если 
, то найдется такое 
, что 
. Поскольку 
, то 
. Тогда 
. Так как 
делит порядок , то по лемме 12 имеем 
. Тогда 
– минимальная -кратно -насыщенная не 
-формация. Поскольку
и 
, то 
. Так как при этом 
и 
, то 
. Но . Противоречие. Поэтому .
По лемме 9 имеем 
Следовательно, 
и 
является минимальной -кратно -насыщенной не 
-формацией.
Ясно также, что 
, поскольку в противном
случае -дефект формации равен 1 в силу
леммы 11.
Если 
, то 
. Значит, 
является минимальной -кратно -насыщенной не 
-формацией. Поэтому 
. Значит, 
, и формация удовлетворяет условию 2.1)
теоремы.
Если , то 
. Тогда 
. Так как , то 
, т.е. является элементарной
абелевой -группой, и формация удовлетворяет условию 2.2)
теоремы.
Пусть для формации выполнено условие (2).
Покажем, что 
. Предположим,
что существует 
. Тогда 
. Значит, 
– минимальная -кратно -насыщенная не 
-формация. Последнее
невозможно, так как 
. Поэтому 
. Но 
. Следовательно, 
.
Ввиду леммы 12, 
. Так как 
, то – минимальная не 
-формация. Значит, 
. Но, как нетрудно показать,
. Если 
, то по лемме 11 -дефект формации равен 1. Противоречие.
Следовательно, и 
. Но тогда 
Так как при этом группа является монолитической
группой с неабелевым цоколем , то
применяя лемму 13 получим, что –
подпрямое произведение групп изоморфных группе .
Таким образом, группа удовлетворяет
условию 2.3) теоремы.
Пусть теперь – такая формация, что – монолитическая группа с
цоколем , . Так как 
, то 
. Но тогда – минимальная -кратно -насыщенная не -формация. Значит, и по лемме 11 получаем,
что -дефект формации равен 1. Противоречие.
Таким образом, данный случай невозможен.
Пусть – абелева -группа, . Тогда по лемме 14 имеем 
. Пусть формация удовлетворяет условию (1).
Предположим, что . Тогда . Значит, 
– минимальная -кратно -насыщенная не -формация. Пусть – группа минимального
порядка из 
. Тогда является монолитической
группой с цоколем . Ясно, что 
и 
. Применяя лемму 15,
получаем, что существует точный неприводимый 
-модуль
. Обозначим через 
. Ввиду леммы 16 группа 
. Так как 
, то 
. Поскольку 
и формация разрешима, то – абелева -группа для некоторого
простого числа 
. Но 
. Если 
, то группа нильпотентна. Поскольку 
, то 
– группа простого порядка . Но тогда по лемме 11 получаем,
что -дефект формации равен 1. Противоречие.
Поэтому 
. Так как при этом 
, то 
, что невозможно. Поэтому .
Но тогда 
и – минимальная -кратно -насыщенная не -формация.
Рассмотрим группу 
. Тогда является монолитической
группой с цоколем 
. Поскольку 
и формация разрешима, то – абелева -группа для некоторого
простого числа . Ясно, что . Применяя лемму 15,
получаем, что существует точный неприводимый -модуль
. Обозначим через . Ввиду леммы 16 группа . Так как , то . Но 
. Значит, 
. Но – монолитическая группа.
Значит, – -группа. Если 
, то , что невозможно. Значит, 
. Если , то по лемме 11 -дефект формации равен 1. Противоречие.
Следовательно, 
. Поскольку 
, то 
. Таким образом, 
и 
. Тогда – минимальная не 
-формация. Поскольку группа
нильпотентна, то любая
собственная подгруппа из принадлежит
. Таким образом, – минимальная не -группа. Так как при этом – -группа, то либо циклическая примарная
группа порядка , либо неабелева
группа порядка простой нечетной
экспоненты . Но тогда группа 
удовлетворяет условию 1.1)
или 1.2) теоремы.
Пусть для формации выполнено условие (2).
Допустим, что . Тогда . Значит, – минимальная -кратно -насыщенная не -формация. Поскольку 
, то 
. Так как при этом , то 
. Если 
, то , что невозможно. Значит, 
. Но . Следовательно, 
. Противоречие. Таким
образом, .
Тогда 
и – минимальная -кратно -насыщенная не -формация. Выберем в 
группу минимального порядка.
Тогда – монолитическая группа с
цоколем 
и . Применяя лемму 15,
получаем, что существует точный неприводимый -модуль
. Обозначим через . Ввиду леммы 16 группа . Так как , то 
. Предположим, что – неабелев цоколь
группы . Ввиду того, что 
и
то 
. Следовательно, по лемме 13
имеем 
. Поскольку 
и 
, то группа изоморфна группе . Но тогда 
. Однако 
. Поэтому 
и -дефект формации равен 1. Противоречие.
Следовательно, – абелева -группа, для некоторого
простого числа . Допустим, что . Пусть 
– группа порядка . Тогда 
. Пусть – точный неприводимый 
-модуль и 
. Применяя лемму 16,
получим 
. Ввиду леммы 11 формация 
имеет -дефект 1. Поскольку 
и 
, то мы получаем
противоречие с леммой 5. Значит, 
. Поскольку
и
то . Следовательно, по лемме 13
имеем 
Так как и , то группа изоморфна группе . Но – неабелева -группа. Противоречие.
Следовательно, данный случай невозможен.
Пусть формация такая, что . Так как , то . Но тогда – минимальная -кратно -насыщенная не -формация. Пусть – группа минимального
порядка из . Тогда является монолитической
группой с цоколем . Понятно, что и . Применяя лемму 15
получаем, что существует точный неприводимый -модуль
. Обозначим через . Ввиду леммы 16 группа . Так как , то .
Пусть – абелева -группа для некоторого
простого числа . Если , то 
. Противоречие. Значит, . Кроме того, понятно, что 
. Так как в противном
случае 
и по лемме 11 формация имеет -дефект 1, что невозможно. Поскольку
и 
, то . Тогда по лемме 13
получим, что . Так как и 
, то группа изоморфна группе .
Пусть – неабелев цоколь группы . Тогда так как и 
, то . Применяя теперь лемму 13,
заключаем, что 
. Так как и получаем, ввиду
монолитичности , что группы и изоморфны.
Кроме того, заметим, что . Поскольку иначе найдется
группа простого порядка , такая, что 
. Пусть – точный неприводимый 
-модуль и 
. Применяя лемму 16,
получим . Ввиду леммы 11 формация имеет -дефект 1. Поскольку и , то мы получаем
противоречие с леммой 5. Значит, . Таким
образом, группа удовлетворяет
условию 1.3) теоремы.
Пусть теперь – -группа и пусть формация удовлетворяет условию (1)
или (2). Тогда 
или,
соответственно,
. Если 
, то 
или 
. Но – -группа. Значит, 
. Противоречие. Поэтому 
. Но тогда 
– единственная
максимальная подформация 
и – -базисная группа. Если 
, то по лемме 11 формация имеет -дефект 1. Противоречие.
Значит, 
. Так как при этом, 
, то -дефект формации 
равен 1. Значит, удовлетворяет условию 3.1)
или 3.2) теоремы.
Пусть теперь для формации
выполняется условие 
. Тогда по лемме 8 
– минимальная -кратно -насыщенная не -формация. Снова применяя
лемму 8, получим, что 
– 
-критическая формация, …, – минимальная не -формация и – -базисная группа. Если , то по лемме 11 формация имеет -дефект 1. Противоречие.
Значит, . Так как при этом, , то -дефект формации равен 1. Таким образом,
группа удовлетворяет условию 3.3)
теоремы.
Достаточность. Пусть для формации выполнено условие 1)
теоремы и – циклическая примарная
группа порядка , . Пусть – минимальный -кратно -локальный спутник формации
. По лемме 14 имеем 
. Так как , то 
. Заметим, что 
является единственной
максимальной подформацией формации 
, где 
– группа порядка .
Построим -кратно -локальный спутник , принимающий следующие
значения 
, при 
, 
, при 
. Рассмотрим -кратно -насыщенную формацию 
. Пусть – минимальный -кратно -локальный спутник формации
. Тогда так как 
, то, ввиду леммы 17, .
Пусть – произвольная собственная
-кратно -насыщенная подформация
формации . И пусть 
– минимальный -кратно -локальный спутник формации
. Если 
, то так как 
, получаем 
. Следовательно, 
. Противоречие. Значит, 
. Тогда, так как 
– единственная
максимальная подформация , то 
и 
для 
, т.е. 
. По лемме 17 получаем, что
. Таким образом, – единственная
максимальная -кратно -насыщенная подформация
формации , т.е. является -неприводимой формацией.
Поскольку 
, то ввиду леммы 15
существует точный неприводимый 
-модуль , где 
– поле из элементов. Пусть 
. Тогда, так как 
, то, ввиду леммы 16, 
. Если предположить, что 
, то по лемме 17 получаем 
, где – минимальный -кратно -насыщенный спутник
формации . Но тогда 
. Противоречие. Значит, 
, т.е. формация порождается группой Шмидта
и имеет нильпотентный -дефект 1. Но
тогда -дефект формации равен 2.
Случаи, когда – неабелева группа порядка
простой нечетной
экспоненты , и – монолитическая группа с
цоколем , где – -группа, рассматриваются
аналогично.
Пусть для формации выполнено условие 2)
теоремы. Построим -значный -локальный спутник , принимающий следующие
значения: 
, при , , при 
. Ясно, что 
.
Рассмотрим -кратно -насыщенную формацию , порожденную спутником . Пусть – минимальный -кратно -локальный спутник формации
. Тогда так как , то, ввиду леммы 17, .
Пусть – произвольная собственная
-кратно -насыщенная подформация
формации , – ее минимальный 
-значный -локальный спутник. Тогда для любого . Кроме того, как нетрудно
показать, имеет место включение
Поэтому . Таким образом, – единственная
максимальная -кратно -насыщенная подформация
формации , т.е. является -неприводимой формацией.
В силу леммы 11 -дефект -кратно -насыщенной формации равен 1. Но тогда -дефект -неприводимой формации равен 2.
Пусть для формации выполнено условие 3). Построим
-локальный спутник 
– такой, что 
и 
для любого 
. Так как группа является -базисной, то всякая
подформация из содержится в . Следовательно, формация 
по лемме 8 является -критической. Пусть теперь – такой 
-значный -локальный спутник, что 
и 
для любого . Снова применяя лемму 8,
получаем, что формация 
является 
-критической и т.д. Построим
-значный -локальный спутник 
такой, что 
и 
для любого . Опять применяя лемму 8,
получим, что формация 
является 
-критической. Заметим
также, что ввиду леммы 11 -дефект -кратно -насыщенной формации равен 1. Следовательно, -дефект -неприводимой формации равен 2. Теорема доказана.
Дано решение проблемы описания -кратно -насыщенных формаций -дефекта 2,
поставленной А.Н. Скибой и Л.А. Шеметковым в работе «Кратно -локальные формации и
классы Фиттинга конечных групп» (Матем. Труды. – 1999. – Т.2, №2. – С. 114-147,
проблема 5). В частности, установлено внутреннее решеточное строение -приводимых формаций -дефекта 
2; получено описание
конечных групп, порождающих -неприводимые
формации -дефекта 2.
ЛИТЕРАТУРА
1. Шеметков Л.А. Формации конечных групп. – М., 1978. – 267 с.
2. Шеметков Л.А., Скиба А.Н. Формации алгебраических систем. – М., 1989. – 256 с.
3. Скиба А.Н. Алгебра формаций. – Мн.: Беларуская навука, 1997. – 240 c.
4.
Скиба А.Н.,
Шеметков Л.А. Кратно -локальные
формации и классы Фиттинга конечных групп // Матем. труды. –1999. – Т.2, №2. –
С. 114–147.
5. Частично локальные формации с заданными системами подформаций: отчет о НИР (заключительный): ГБЦМ 20-07 / УО «Гомельский государственный университет имени Ф.Скорины»; рук. В.Г.Сафонов; исполн.: В.М.Селькин, В.В.Аниськов. – Гомель, 2001. – 69 с. – Библиогр.: с. 66-69. – № ГР 2000419.
6.
Шаблина И.П.
Модулярные и алгебраические решетки -кратно -насыщенных формаций
конечных групп: Дис. … канд. физ.-мат. наук. – Гомель, 2003. – 92 с.
7.
Рябченко А. И О
частично насыщенных формациях с 
-дефектом
1 // Изв. НАН Беларуси. Сер. физ.-мат. наук. – 2008. – № 1 .– С.28–34.
8.
Сафонов В.Г. О
минимальных кратно локальных не -формациях
конечных групп // Вопросы алгебры. Гомель: Изд-во Гом-го ун-та, 1995. – Вып. 8.
– С. 109–138.
9.
Селькин В.М.,
Скиба А.Н. О -критических формациях //
Вопросы алгебры. – Гомель: Изд-во ГГУ им. Ф.Скорины, 1999. – Вып. 14. – С. 127–131.
10.
Рябченко А. И. О
минимальных -кратно -насыщенных ненильпотентных
формациях // Вестник Полоцкого государственного университета. Сер. С. – 2008. –
№5. – C. 41–46.
11. Рябченко А. И. К теории частично насыщенных формаций // Изв. Гом.гос.унив.им.Ф.Скорины. – 2008. – №6(51). Ч.2.– С. 153–160.