Контрольная работа: Экстремальная задача на индексационных классах
Содержание
Введение
Глава 1. Неравенство Маркова на индексационных классах
§ 1. Экстремальная задача
§ 2. Свойства отображения
§ 3. Доказательство теоремы
Глава 2. О чебышевской экстремальной задаче на [0, ¥)
Литература
Введение
В работе вводится понятие индекса функции на [0,¥) относительно произвольного класса F функций на [0, ¥), основанное на сравнении двух функций через количество перемен знака их разности. С помощью понятия индекса аксиоматически определяется индексационный класс F. На индексационных классах изучается конечная проблема моментов.
Определение 1. Скажем, что функция D(t), tÎR1, имеет k строгих перемен знака, если существуют множества A1<A2<…<Ak+1, такие, что
а) ;
б) знаки функции D(t) на множествах A1, A2, …, Ak+1 перемежаются.
Пусть f(t) и g(t) – функции на R1. Пишем , если функция D=g-f имеет k-1 строгих перемен знака,
причем на последнем множестве строгого знакопостоянства она отрицательна.
Нетрудно
видеть, что отношение выполнено тогда и только тогда,
когда
а) не существует точки x1, …, xk (-¥<x1<…<xk<¥) такие, что
(-1)k-i
f(xi) > (-1)k-i g(xi), ;
б) существуют точки y1, …, yk (-¥<y1<…<yk<¥) такие, что
(-1)k-i
f(yi) > (-1)k-i g(yi), .
Пусть F – некоторый класс непрерывных слева функций на [0, ¥) и f, g Î F.
Определение
2. Пишем ,
если для любой функции hÎF, h¹g, выполнено одно из отношений:
,
,
,
. Пишем
, если для любой функции hÎF, h¹f, выполнено одно из
отношений:
,
,
,
.
Функция f имеет индекс k- в F, если выполнено
отношение и
не выполнено
. Функция g имеет индекс k+ в F, если выполнено
и не выполнено
.
Через Ik- (Ik+), k³1, обозначим совокупность всех функций с индексом k- (k+) в F.
Пусть U – семейство функций на [0, ¥).
Через FU обозначим множество функций fÎF, для которых интегралы
, uÎU,
абсолютно сходятся.
В случае положим
, fÎFU, AÌFU,
:
, Fi(A)={Fi(f): fÎA},
,
,
.
Множество называется
моментным пространством класса F относительно системы функций
.
Лемма 1.
Пусть системы u1(t),
…, un(t) и u1(t), …, un(t), un+1(t) образуют T+-системы на [0, ¥) такие, что . Тогда отношение
невозможно для
и, если
, то
.
Доказательство. Допустим, что , где k£n, и A1, …, Ak –
множества строгого знакопостоянства функции D=g - f. Для векторов
рассмотрим
матрицу
.
Так как
,
,
то есть
, (1)
где di(-1)k-i, и di=0,
для всех векторов
.
Из (1)
следует, что detH()=0 для любых
. С другой стороны,
применив k
раз теорему о среднем к H(
), получим
, (2)
где 0£x1<x2<…<xk<¥. Так как векторы линейно зависимы, то их можно
дополнить до системы линейно независимых векторов
. Из (2) получаем
.
Пусть теперь
и
.
Так как
, (3)
где di=(-1)n+1-i, , то
,
где H – матрица, записанная в
(3) слева, -
матрица, получаемая из H удалением (n+1)-ых строки и столбца. Применив теорему о среднем, получаем
detH>0,
. Вместе с равенством dn+1=1 это означает, что d>0.
Определение
3. Скажем, что последовательность {fi}i³1 функций на [0, ¥) относительно класса U слабо сходится к функции
f , если
для всех uÎU.
Определение
4. Множество AÌFU назовем (k, U) окрестностью функции f в F, если fÎA и множество А имеет вид , где V открыто,
при
,
при
.
Множество AÌFU назовем (k, U)-открытым, если каждая функция fÎA имеет (k, U) окрестность, состоящую из функций множества А.
Определение 5. Класс F непрерывных слева, неотрицательных функций на [0, ¥) назовем нижним U-индексационным с дефектом n, если:
1. Класс F равномерно ограничен, то есть существует L>0, такое, что f(t)£L при t³0, fÎF;
2. ;
3. Множества Ik- (k-1, U) – открыты для всех k>n+1;
4. Из любой последовательности {fi}i³1ÌI-k+1 (k>n) такой, что
,
можно
выделить подпоследовательность, слабо относительно класса U сходящуюся к некоторой
функции .
Пусть система
образует T+ - систему на [0, ¥).
Рассмотрим
систему функций , такую, что wi=ui для
и
- T+ - системы для m³n (см. [1]).
Теорема 1.
Пусть система образует T+ - систему на [0, ¥), F-нижний W-индексационный с дефектом n класс функций на [0, ¥). Тогда
.
Доказательство.
Пусть . Согласно условию 2 определения
индексационного класса, существует последовательность {fj}j³1ÌIk- такая, что
. Зафиксируем
произвольное fl.
Если flÎIk-, где k£n+1, то положим fl*=fl.
Пусть k>n+1 и s={} – (k-1, W) окрестность fl в Ik-.
Рассмотрим
произвольные и
. Допустим, что
. Согласно лемме 1,
отношения
и
невозможны для s£k-1. Следовательно,
и
, что невозможно.
Таким
образом, отображение непрерывно и взаимно однозначно.
Из принципа инвариативности области (см. [3]) следует, что
- открытое множество в Rk-1, содержащее
.
Пусть ,
и
- многочлен
по системе
,
имеющий k-2
нулей x1, …, xk-2. Условие bk-1=0 противоречит
чебышевости системы
. Положим bk-1>0. Тогда (см. [5]) P(t)>0 при t>xk-2.
Имеем
,
где cli – i-ая компонента вектора , и,
следовательно,
.
Так как константа К не зависит от f, то ml >-¥.
Кроме того, .
Возьмем
последовательность , такую, что
Fk-1(flp)>Fk-1(flq)=ml при p<q и
,
Рассмотрим
произвольные flp и flq, где p<q. Так как , то отношения
и
невозможны для s£k-2. Отношения
и
невозможны, так как flp, flqÎIk-. Из леммы 1 получаем
.
Так как , то найдется
функция
,
такая, что Fk-1(fl’)=ml.
Отношение fl’ÎIk- невозможно, в силу определения числа ml и принципа
инвариативности области. Отношения fl’ÎIm- для m<k-1 невозможны, так как . Следовательно
.
Продолжая
таким образом, через k-n-2 шагов получим функцию , такую, что
. Из условия
следует
утверждение теоремы 1.
Замечание 1. Класс F непрерывных слева, неотрицательных функций на [0, ¥) назовем верхним U-индексационным с дефектом n, если:
1. Класс F равномерно ограничен;
2. ;
3. Множества Ik+ (k-1, U) – открыты для всех k>n+1;
4. Для k>n из любой последовательности {fi}i³1ÌIk+ такой, что
,
можно
выделить подпоследовательность, относительно класса U слабо сходящуюся к
некоторой функции ;
5. Ik+ÌFU для k³n+1.
Теорема 2.
Пусть система образует T+-систему на [0, ¥), F-верхний W-индексационный с дефектом n класс функций на [0, ¥). Тогда
.
Определение
6. Систему непрерывных
на [0, ¥) функций назовем T+1-системой, если она
является T+-системой, и, кроме того, системы u1, …, ul-1, ul+1, …, un также являются T+-системами для
.
Лемма 2.
Пусть - T+1-система на [0, ¥), функции f и g таковы, что
(-1)n-i
Fi(f) ³ (-1)n-i Fi(g),
.
Тогда
отношения ,
и
,
, невозможны.
Доказательство.
Допустим, что имеет место отношение и 1£p£n.
Пусть x1, …, xp-1 (-¥<x1<…<xp-1<¥) – точки перемен знака
функции ; xо=-¥, xn=¥;
. Выберем точки xn-1<xn-2<…<xp<xp-1 так, чтобы
,
,
. Рассмотрим систему
равенств
, (4)
где hi=±1. Из условия следует, что hn=1. С другой стороны, из
(4) получаем
,
где А –
матрица, записанная в (4) слева, Ani – матрица, получаемая из
А удалением i-ой
строки и n-го
столбца. Так как - T+1-система на [0, ¥), то detA>0, detAni>0,
. Следовательно, hn£0. Получили противоречие.
Случай ,
,
рассматривается аналогично.
Теорема 3.
Пусть - T+1-система на [0, ¥), F-нижний W-индексационный с дефектом n класс функций на [0, ¥). Тогда
.
Доказательство.
Пусть .
Возьмем последовательность векторов
так, чтобы
при
и
для , j³1.
Согласно
теореме 1, для любого найдется последовательность
такая, что
.
Существует j1, такое, что , где r - какая-либо метрика в Rn, и
,
.
Выберем j2 так, чтобы и
,
.
Продолжая
таким образом, получим последовательность такую, что
и
(5)
Рассмотрим
произвольные и
. Отношения
и
для k>n невозможны, в силу
условий
.
Из неравенств (5), в силу леммы 2, имеем
,
т. е.
существует функция такая, что
. Включение
противоречит
условию
,
в силу принципа инвариативности области.
Из
произвольности
следует утверждение теоремы 2.
Глава 1 Неравенство Маркова на индексационных классах
§ 1 Экстремальная задача
Пусть Â – некоторый класс
функций распределения (ФР) на [a, b], -¥<a<b<¥; W(t) – (n+1) раз непрерывно
дифференцируемая функция на [a, b], причем W(k)(t)>0 для tÎ[a,
b] и ; c1, …, cn – вещественные
константы; xÎ[a, b].
Экстремальная задача. Найти супремум и инфимум интеграла
на множестве
ФР из Â, удовлетворяющих
ограничениям
,
.
Для классов Âo - всех ФР на [a, b] и ВL – ФР на [a, b], удовлетворяющих
условию , -¥<x<y<¥, задача решена в [1].
Важность решение экстремальных задач на разных классах ФР обоснована, например, в [1 - 5].
Задача при x=b решена в [4] для мажоризационных классов.
Анализ задачи на мажоризационных классах в общем случае наталкивается на трудности. Выход мы видим в рассмотрении классов с иной структурой – индексационных классов ФР.
Ниже предполагается, что Â - индексационный с дефектом n класс ФР на [a, b]. Определение индексационного с дефектом n класса приведено в [5]. Индексационными являются многие важные классы ФР, например, Âo, BL, класс унимодальных ФР на [a, b] и др.
Обозначим (k³1, AÌÂ, sÎÂ): Ik+ (Ik-) –множество всех ФР из Â, имеющих индекс k+ (k-); ;
- пространство моментов
порядка k;
;
;
,
.
Основной результат работы содержится в утверждении.
Теорема.
Пусть ,
. Тогда:
1.
,
2.
,
3.
,
4.
.
§ 2 Свойства отображения
Нам понадобятся два факта из [6].
1. Для любого
существует и единственная
ФР
.
2. Если , то множество
одноэлементно. Если
, то существуют
непрерывные, однопараметрические семейства
(т. е.
при
и
(значок Þ обозначает слабую
сходимость)) и
ФР такие, что
,
,
, для aÎ(0,1) и
для bÎ(0,1).
Пусть и
, где
, xÎ[a, b].
Функция Ás непрерывна слева на [a, b] и Ás(a)=0 для всех sÎÂ. Так как W(t)>0 при tÎ[a, b], то Ás(x) не убывает по x.
Далее, из skÞs при k®¥ следует Á
ÞÁs. Следовательно,
семейства распределений {Á
} и {Á
} непрерывны.
Определение
1. Функция f
имеет на [a,
b] m строгих перемен знака,
если существуют множества B0(f)<…<Bm(f) (под X<Y (X, YÌR1) понимаем x<y для всех xÎX, yÎY) из [a, b] такие, что (-1)j f(x)>0 (или (-1)j+1f(x)>0 при xÎBj(f), и f(x)=0 при
.
Лемма 1. Для
любого распределения Á (Á
) и для любого Ám,
, функция Ám - Á
(Ám - Á
) имеет либо n+1, либо n+2 строгих перемен знака
на [a,
b].
Доказательство.
Предположим, что функция Ám - Áимеет более n+2 строгих перемен знака.
Тогда существуют a<x0<x1<…<xn+3£b такие, что (-1)i [Ám
-Á
] > 0,
. Кроме того, Ám(a)=Á
(a)=0. Следовательно, существуют точки y0Î[a,
x0), y1Î[x0, x1), …, yn+3Î[xn+2, xn+3) такие, что функция (-1)i [m(t) - ha(t)] возрастает в точке yi,
, что противоречит
условию
.
Равенство запишем в виде
Ás(t)=ci,
,
где ,
, с0
= 1.
Очевидно, что
последовательности u0, …, uk, , образуют T+ - системы на [a, b]. Из условия W(k)(t)>0 для tÎ[a,
b] и
следует (см. [1]), что
последовательности –u0, …,-uk
, также образуют T+ - системы.
Следовательно, выполнены условия мажоризационной теоремы (см. [4]) и функция Ám - Á
не может иметь n+1 строгих перемен знака.
Пусть функция f(t) имеет k строгих перемен знака на [a, b]. Наряду с множествами Bi(f) строгого знакопостоянства рассмотрим множества P0(f)=(-¥, infB1(f)], Pi(f)=[supBi-1(f), infBi+1(f)],
, Pk(f)=[supBk-1(f), +¥).
Зафиксируем
ФР .
Рассмотрим два класса функций
{Da=Ás - Á:aÎ[0,1]} и {db=Ás - Á
:bÎ[0,1]}.
Число a (число b) назовем: параметром первого типа, если функция Da (db) имеет n+2 строгих перемен знака (в этом случае на последнем множестве строго знакопостоянства функция Da (db) отрицательна (положительна)); параметром второго типа, если функция Da (db) имеет n+1 строгих перемен знака, причем на последнем множестве строгого знакопостоянства она отрицательна; параметром третьего типа, если функция Da (db) имеет n+1 перемен знака, причем на последнем множестве строгого знакопостоянства она положительна.
Каждому aÎ[0,1] (bÎ[0,1]) сопоставим набор из n+3 множеств X0(a), …, Xn+2(a) (Y0(b), …, Yn+2(b)) следующим образом. Если a (b) есть:
1.параметр первого типа, то
Xi(a)=Pi(Da), (Yi(b)=Pi(db),
);
2.
3.параметр второго типа, то
Xi(a)=Pi-1(Da), , X0(a)=(-¥, infB0(Da)],
(Yi(b)=Pi(db), , Yn+2(b)=(supBn+1(db), +¥));
4.параметр третьего типа, то
Xi(a)=Pi(Da), , Xn+2(a)=[supBn+1(Da), +¥)),
(Yi(b)=Pi-1(db), , Y0(b)=(-¥, infB0(db)]).
Таким образом:
(-1)n-iDa(t)£0 при tÎIntXi(a), , (1)
(-1)n-idb(t)³0 при tÎIntYi(b), .
При этом ни для какого i не существует интервала X, для которого выполнено строгое включение XÉIntXi(a) и (-1)n-iDa(t)£0 при tÎX. Ни для какого i не существует интервала YÉIntYi(b) и (-1)n-idb(t)³0 при tÎY.
Заметим также, что Xi(0)=Yi+1(0), Xi+1(1)=Yi(1).
Определение 2. Отображение Z(g): gÎ[0, 1]®Z(g)ÌR1 непрерывно, если из gi®g0, xi®x0, где g0, gi Î[0, 1], xiÎZ(gi), i³1, следует x0ÎZ(g0).
Лемма 2.
Отображения Xi(a), Yi(b), непрерывны.
Доказательство.
Пусть aj®a, j®¥. Обозначим через границы отрезка Xi(aj). Определим a0=-¥. Возьмем произвольную точку a1 сгущения
последовательности {a1(j)}j³1. Пусть для удобства
. Проделаем ту
же операцию с последовательностями {ai(j)}j³1,
и {bi(j)}j³1,
. Положим bn+2=+¥.
Итак,
,
,
(2)
причем -¥=a0<a1£b0£a2£b1£…£an+1£bn£an+2£bn+1<bn+2=+¥.
Из (1) и (2) следует,
что для
.
(-1)n-iDa(t)£0 (3)
при tÎ(ai, bi), если ai¹bi.
Из (3) и следует, что ai¹bi,
, так как в противном случае
функция Da имело бы не более n строгих перемен знака,
что противоречит лемме 1. Отсюда и из определения Xi(a) следует [ai, bi]ÌXi(a),
. Для любого i из xjÎ[ai(j), bi(j)] и xj®x0 вытекает, что x0Î[ai, bi]. Следовательно, x0ÎXi(a).
Непрерывность отображений Yi(b) доказывается аналогично.
§ 3 Доказательство теоремы
В случае утверждение
теоремы очевидно.
Пусть .
Лемма 3. Для
любого ФР и
любой точки xÎ[a, b] существует ФР
такая, что Áv(t)³Ás(t) (Áv(t)£Ás(t)) в некоторой
окрестности точки x.
Доказательство.
Если не существует такого i, 0£i£n+2, что n-1 четно и xÎYi(0), то в некоторой
окрестности точки x имеет место d0£0. В этом случае положим .
Пусть существует i такое, что n-i четно и xÎYi(0).
Случай I, i¹n+2. a) Предположим, что xÏYi(1). Пусть . Согласно лемме 2, xÎYi(b¢). В силу сделанного предположения, b¢<1 и, следовательно,
существует последовательность {bj}j³1 такая, что xÎYi(bj) и bj®b¢. Пусть для некоторого bl не существует такого k, что n-k четно и xÎYk(bl). Тогда
в некоторой окрестности
точки x. В этом случае полагаем
. Если же для всех bj, j³1, существует kj такие, что n-kj четны и
, то существует m, m¹i, такое, что n-m четно и xÎYm(bj) для бесконечного числа
элементов последовательности {bj}. По лемме 2 xÎYm(b¢). Так как n-i и n-m
четны, то m¹i-1, m¹i+1. Вместе с m¹i это противоречит включению xÎYi(b¢).
б) Предположим, что xÎYi(1)=Xi+1(1). Пусть a¢=inf{a:xÎXi+1(a)}. Согласно лемме 2, xÎXi+1(a¢). Если a¢=0, то xÎXi+1(0)=Yi+2(0). Это противоречит условию xÎXi+1(a¢). Поэтому a¢¹0 и дальнейшее рассмотрение аналогично приведенному в а).
Случай II, i=n+2. а) При x¹Yn+2(1) доказательство аналогично доказательству пункта а) случая I.
б) Пусть xÎYn+2(1). Так как Yn+2(1)ÌYn+1(1), то xÎYn+1(1). Точка x не может совпадать с
левым концом отрезка Yn+1(1), так как в этом случае множества Yn+1(1) и Yn+2(1) совпадают, что
невозможно. Так как xÎYn+1(1) и не совпадает с
левым концом отрезка Yn+1(1), то d1(t)£0 в некоторой окрестности
точки x. В этом случае полагаем .
Итак,
доказано существование такой ФР , что Ás-Án£0 в некоторой окрестности
точки x.
Случай Ás-Án³0 рассматривается
аналогично.
Теорема следует из леммы 3 и утверждения:
Ás(x) и
Ás(x+0) достижимы. Докажем
последнее.
Пусть d=Ás(x) . Пусть
последовательность ФР
, i³1,
такова, что Á
. Выберем подпоследовательность
последовательности {si}, слабо сходящуюся к
некоторой ФР
. Покажем, что Ás(x)=d. Для произвольного e>0 выберем x¢<x такое, что Ás(x)-Ás(x¢)<e¤2 и x¢- точка непрерывности Ás. Существует номер N такой, что для любого j>N выполнено неравенство ½Á
(x¢)-Ás(x¢)½<e¤2, из которого следует,
что Ás(x¢) - Á
(x¢)<e,
j>N. Так как Á
(x¢) £ Á
(x), то Ás(x) - Á
(x)<e,
откуда следует Ás(x)
- d£e. Последнее неравенство
влечет Ás(x)=d.
Глава 2 О чебышевской экстремальной задаче на [0, ¥)
В настоящей работе на конкретных классах функций распределения (ФР) даны два подхода к решению чебышевской экстремальной задачи на [0, ¥).
Чебышевская экстремальная задача. Пусть Â - выпуклый класс ФР на [0, ¥), системы u0º1 на [0, ¥) функций образуют T+-системы на [0, ¥).
Положим (1£i£n, sÎÂ):
,
,
- моментное пространство
класса Â относительно системы
.
Пусть .
Найти , где
.
10. Первый подход заключается в урезании справа класса  в точке x>0, наложении условий, при которых задача на «урезанном» классе Âх решается, и в переносе предельным переходом x®¥ решения на класс Â.
Для любого x>0 введем подкласс класса Â: Âх={sÎÂ:s(x+0)=1}.
Очевидно, для любых x1<x2
(1)
Предположим, что для любого x>0 Âх - индексационный с дефектом n класс ФР на [0, x] ([5]).
Примерами
таких классов служат: класс всех ФР на [0, ¥), класс ФР вогнутых на
[0, ¥),класс ФР s на [0, ¥), удовлетворяющих при 0£x<y<¥ неравенству , L>0 и т. д.
Перечисленные выше классы являются нижними индексационными ([2]), т. е. для них выполнено включение
(
-замыкание
множества XÌRn),
где Ii- - множество всех ФР, имеющих индекс i- в Â.
Кроме того,
для этих классов справедливо включение , и следовательно,
(2)
Лемма 1. .
Доказательство.
Пусть .
Из выпуклости множества
следует, что точка
является внутренней
точкой некоторого (n+1)-мерного симплекса, лежащего в
, т. е. существуют векторы
, и числа l1>0, …, ln>0, ln+1>0 такие, что
.
Из (2)
следует существование последовательностей , таких, что
.
Тогда для достаточно больших k выполнено равенство
,
где ,
.
Следовательно,
.
Из леммы 1
следует, что для достаточно больших x. Так как класс Âx является индексационным на [0, x], то ([5])
,
,
где ,
(
) – ФР с нижним
(верхним) индексом n+1 в классе Âx.
Так как ФР
имеет индекс (n+1)-
в Â и
, то
.
Из (1) следует, что
.
Вид
экстремальных ФР и
для рассматриваемых классов
имеется в [5].
20. Второй подход продемонстрируем на примере класса Â0 всех ФР на [0, ¥).
Лемма 2. Если
u0, u1, …, un – T+-система на [0, ¥), то для всех i и j существуют пределы .
Доказательство. Из определения T+-системы следует, что для произвольных i, j и чисел a, b функции uj(t) и auj(t)+buj(t) обращаются в нуль более, чем в n+1 точках.
Пусть х – наибольшее решение уравнения uj(t)=0. Рассмотрим уравнение
auj(t)+buj(t)=0, t>x. (3)
Уравнение (ui(t)¹0, t>x) имеет не более (n+1) решений на (x, ¥) при любых a, b.
Пусть ,
.
Допустим, что
не
существует, т. е. А<B.
Введем последовательности {ti}i³1, {ti}i³1, удовлетворяющие условиям:
а) tk®¥, tk®¥ при k®¥;
б) ,
;
в) t1<t1<t2<t2<…<tm<tm<… .
Пусть cÎ(A, B).
Из-за
непрерывности функции на (x, ¥) уравнение
имеет бесконечное множество решений на (x, ¥).
Выберем 0£j0£n так, чтобы для всех
и обозначим
.
Пусть число t0 таково, что при t>t0.
Рассмотрим
функцию
Пусть ,
,
.
Легко видеть, что системы v0, v1, …, vn и v0, v1, …, vn, W являются T+-системами на [0, ¥).
Предположим, что эти системы являются T+-системами также на [0, ¥], т. е. для любых 0£t0<t1<…<tn-1<tn<¥
,
,
где .
Через обозначим
множество ФР sÎÂ0, для которых интегралы
,
, абсолютно
сходятся.
Пусть - моментное
пространство класса
относительно системы
.
Рассмотрим
класс непрерывных слева и неубывающих на [0, ¥) функций .
Имеем , т. е.
.
Заметим, что
отображение является взаимно однозначным,
причем
.
Таким
образом, -
множество всех неубывающих, непрерывных слева функций ограниченной вариации на
[0, ¥).
Пусть .
Необходимо найти
. (4)
Из равенств (sÎÂ0U)
следует, что задача (4) эквивалентна следующей.
Найти
, (5)
где - множество
функций
,
удовлетворяющих равенствам
,
,
.
Таким образом, задача в классе Â0 сведена к задаче (5), решение которой приведено, например, в [3].
Именно для
любого
,
где - ступенчатая функция,
имеющая положительные скачки в точках
при нечетном n и в точках
при четном n,
- ступенчатая функция,
имеющая положительные скачки в точках
при нечетном n и в точках
при четном n.
Из приведенных выше рассуждений следует, что
,
,
где ,
,
r
- величина скачка функции в точке ¥.
Литература
1. Крейн М.Г., Нудельман А.А. Проблема моментов Маркова и экстремальные задачи. – Москва: Наука, 1973.
2. Таталян К.Р. Экстремальные задачи проблемы моментов на классах распределений. – Дисс. на соиск. ученой степени кандидата физ.-мат. наук. Москва, МИЭМ, 1988.
3. Карлин С., Стадден В. Чебышевские системы и их применение в анализе и статистике. – Москва: Наука, 1976.
4. Даниэлян Э.А., Таталян К.Р. О проблеме моментов на мажоризируемых классах. – Ереван: Межвуз. сб. научн. трудов “Прикладная математика”, № 7, 1988.
5. Манукян В.Р. О проблеме моментов для индексационных классов распределений. – Ереван: ДАН РА, том XCI, № 4, 1990.