Учебное пособие: Определенный интеграл

Определенный интеграл

Содержание

Лекция 1. Определенный интеграл

1. Понятие определенного интеграла

2. Геометрический смысл определенного интеграла

3. Основные свойства определенного интеграла

4. Формула Ньютона–Лейбница

5. Замена переменной в определенном интеграле

6. Интегрирование по частям

Лекция 2. Применение определенных интегралов. несобственные интегралы

1. Площадь криволинейной трапеции

2. Объем тела вращения

3. Длина дуги плоской кривой

4. Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования

5. Несобственные интегралы от неограниченных функций

Литература

Лекция 1. Определенный интеграл

1.  Понятие определенного интеграла

Пусть функция  определена на отрезке , . Выполним следующие операции:

1)  разобьем отрезок  точками  на n частичных отрезков ;

2)  в каждом из частичных отрезков ,  выберем произвольную точку  и вычислим значение функции в этой точке: ;

3)  найдем произведения , где  – длина частичного отрезка , ;

4)  составим сумму

, (1)

которая называется интегральной суммой функции y = f(x) на отрезке [а, b]. С геометрической точки зрения интегральная сумма  представляет собой сумму площадей прямоугольников, основаниями которых являются частичные отрезки , а высоты равны  соответственно (рис. 1). Обозначим через  длину наибольшего частичного отрезка ;

5)  найдем предел интегральной суммы, когда .

Рис. 1

Определение. Если существует конечный предел интегральной суммы (1) и он не зависит ни от способа разбиения отрезка  на частичные отрезки, ни от выбора точек  в них, то этот предел называется определенным интегралом от функции  на отрезке  и обозначается .

Таким образом, .

В этом случае функция  называется интегрируемой на . Числа а и b называются соответственно нижним и верхним пределами интегрирования,  – подынтегральной функцией,  – подынтегральным выражением,  – переменной интегрирования; отрезок  называется промежутком интегрирования.

Теорема 1. Если функция  непрерывна на отрезке , то она интегрируема на этом отрезке.

2.  Геометрический смысл определенного интеграла

Пусть на отрезке  задана непрерывная неотрицательная функция . Криволинейной трапецией называется фигура, ограниченная сверху графиком функции y = f(x), снизу – осью Ох, слева и справа – прямыми x = a и x = b (рис. 2).

Рис. 2

Определенный интеграл  от неотрицательной функции  с геометрической точки зрения численно равен площади криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции , слева и справа – отрезками прямых  и , снизу – отрезком  оси Ох.

3. Основные свойства определенного интеграла

1.  Значение определенного интеграла не зависит от обозначения переменной интегрирования: .

2. Определенный интеграл с одинаковыми пределами интегрирования равен нулю:

3.  Если , то, по определению, полагаем

4.  Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла:

5.  Определенный интеграл от алгебраической суммы двух функций равен алгебраической сумме определенных интегралов от этих функций:

.

6.  Если функция  интегрируема на  и , то

.

7.  (теорема о среднем). Если функция  непрерывна на отрезке , то на этом отрезке существует точка , такая, что .

4. Формула Ньютона–Лейбница

Вычисление определенных интегралов через предел интегральных сумм связано с большими трудностями. Поэтому существует другой метод, основанный на тесной связи, существующей между понятиями определенного и неопределенного интегралов.

Теорема 2. Если функция  непрерывна на отрезке  и  – какая-либо ее первообразная на этом отрезке, то справедлива следующая формула:

, (2)

которая называется формулой Ньютона–Лейбница. Разность  принято записывать следующим образом:

,

где символ называется знаком двойной подстановки.

Таким образом, формулу (2) можно записать в виде:

.

Нахождение определенных интегралов с помощью формулы Ньютона-Лейбница осуществляется в два этапа: на первом этапе находят некоторую первообразную  для подынтегральной функции ; на втором – находится разность  значений этой первообразной на концах отрезка .

Пример 1. Вычислить интеграл .

Решение. Для подынтегральной функции  произвольная первообразная имеет вид . Так как в формуле Ньютона-Лейбни-ца можно использовать любую первообразную, то для вычисления ин-
теграла возьмем первообразную, имеющую наиболее простой вид: . Тогда .

Пример 2. Вычислить интеграл .

Решение. По формуле Ньютона-Лейбница имеем:

.

5. Замена переменной в определенном интеграле

Теорема 3. Пусть функция  непрерывна на отрезке . Тогда, если: 1) функция  и ее производная  непрерывны при ; 2) множеством значений функции  при  является отрезок ; 3) , , то справедлива формула

, (3)

которая называется формулой замены переменной в определенном интеграле.

Заметим, что как и в случае неопределенного интеграла, использование замены переменной позволяет упростить исходный интеграл, приблизив его к табличному. При этом в отличие от неопределенного интеграла в данном случае нет необходимости возвращаться к исходной переменной интегрирования – достаточно лишь найти новые пределы интегрирования  и  (для этого надо решить относительно переменной t уравнения  и )).

На практике часто вместо подстановки  используют подстановку . В этом случае нахождение новых пределов интегрирования по переменной t упрощается: , .

Пример 3. Вычислить интеграл

Решение. Введем новую переменную по формуле . Определим  и . Возведя в квадрат обе части равенства , получим , откуда  . Находим новые пределы интегрирования. Для этого в формулу подставим старые пределы  и . Получим: , откуда  и, следовательно, ; , откуда  и, следовательно, . Таким образом:

.

Пример 4. Вычислить интеграл .

Решение. Воспользуемся универсальной тригонометрической подстановкой. Положим , откуда  , . Найдем новые пределы интегрирования: если , то ; если , то . Значит, . Следовательно:

.

Пример 5. Вычислить интеграл .

Решение. Положим , тогда , откуда . Находим новые пределы интегрирования: ; . Имеем: . Следовательно:

.

6.  Интегрирование по частям

Теорема 4. Пусть функции  и  имеют непрерывные производные на отрезке . Тогда имеет место следующая формула интегрирования по частям:

. (4)

Доказательство

Так как , то функция  является первообразной для функции . Тогда по формуле Ньютона–Лейбница получаем

,

откуда

.

Пример 6. Вычислить .

Решение. Положим , отсюда . По формуле (4) находим

.

Пример 7. Вычислить .

Решение. Пусть , тогда . Применяя формулу интегрирования по частям, получаем

.

Пример 8. Вычислить .

Решение. Полагая , определяем . Следовательно:

[к полученному интегра-лу снова применяем формулу интегрирования по частям: ; следовательно: ] =  =

.

Лекция 2. Применение определенных интегралов. Несобственные интегралы

1.  Площадь криволинейной трапеции

Пусть функция  неотрицательна и непрерывна на отрезке . Тогда, согласно геометрическому смыслу определенного интеграла, площадь криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком этой функции, снизу – осью , слева и справа – прямыми  и  (см. рис. 2) вычисляется по формуле

. (5)

Пример 9. Найти площадь фигуры, ограниченной линией  и осью .

Решение. Графиком функции  является парабола, ветви которой направлены вниз. Построим ее (рис. 3). Чтобы определить пределы интегрирования, найдем точки пересечения линии (параболы) с осью  (прямой ). Для этого решаем систему уравнений

Получаем: , откуда , ; следовательно, , .

Рис. 3

Площадь фигуры находим по формуле (5):

 (кв. ед.).

Если функция  неположительна и непрерывна на отрезке , то площадь криволинейной трапеции, ограниченной снизу графиком данной функции, сверху – осью , слева и справа – прямыми  и , вычисляется по формуле

. (6)

В случае если функция  непрерывна на отрезке  и меняет знак в конечном числе точек, то площадь заштрихованной фигуры (рис. 4) равна алгебраической сумме соответствующих определенных интегралов:

. (7)

Рис. 4

Пример 10. Вычислить площадь фигуры, ограниченной осью  и графиком функции  при .

Рис. 5

Решение. Сделаем чертеж (рис. 5). Искомая площадь представляет собой сумму площадей  и . Найдем каждую из этих площадей. Вначале определим пределы интегрирования, решив систему  Получим , . Следовательно:

 ;

.

Таким образом, площадь  заштрихованной фигуры равна

 (кв. ед.).

Рис. 6

Пусть, наконец, криволинейная трапеция ограничена сверху и снизу графиками непрерывных на отрезке  функций  и ,
а слева и справа – прямыми  и  (рис. 6). Тогда ее площадь вычисляется по формуле

. (8)

Пример 11. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями  и .

Решение. Данная фигура изображена на рис. 7. Площадь ее вычислим по формуле (8). Решая систему уравнений  находим , ; следовательно, , . На отрезке  имеем: . Значит, в формуле (8) в качестве  возьмем x, а в качестве  – . Получим:

   (кв. ед.).

Более сложные задачи на вычисление площадей решают путем разбиения фигуры на непересекающиеся части и вычисления площади всей фигуры как суммы площадей этих частей.

Рис. 7

Пример 12. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями ,  , .

Решение. Сделаем чертеж (рис. 8). Данную фигуру можно рассматривать как криволинейную трапецию, ограниченную снизу осью , слева и справа – прямыми  и , сверху – графиками функций  и . Так как фигура ограничена сверху графиками двух функций, то для вычисления ее площади разобьем данную фигуру прямой  на две части (1 – это абсцисса точки пересечения линий  и ). Площадь каждой из этих частей находим по формуле (4):

 (кв. ед.);  (кв. ед.). Следовательно:

 (кв. ед.).

Рис. 8

Рис. 9

В заключение отметим, что если криволинейная трапеция ограничена прямыми  и , осью  и непрерывной на  кривой  (рис. 9), то ее площадь находится по формуле

.

2.  Объем тела вращения

Пусть криволинейная трапеция, ограниченная графиком непрерывной на отрезке  функции , осью , прямыми  и , вращается вокруг оси  (рис. 10). Тогда объем полученного тела вращения вычисляется по формуле

. (9)

Пример 13. Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг оси  криволинейной трапеции, ограниченной гиперболой , прямыми ,  и осью .

Решение. Сделаем чертеж (рис. 11).

Из условия задачи следует, что , . По формуле (9) получаем

.

Рис. 10

Рис. 11

Объем тела, полученного вращением вокруг оси Оу криволинейной трапеции, ограниченной прямыми у = с и у = d, осью Оу и графиком непрерывной на отрезке  функции  (рис. 12), определяется по формуле

. (10)

Рис. 12

Пример 14. Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг оси Оу криволинейной трапеции, ограниченной линиями х² = 4у, у = 4, х = 0 (рис. 13).

Решение. В соответствии с условием задачи находим пределы интегрирования: , . По формуле (10) получаем:

.

Рис. 13

3.  Длина дуги плоской кривой

Пусть кривая , заданная уравнением , где , лежит в плоскости  (рис. 14).

Рис. 14

Определение. Под длиной дуги  понимается предел, к которому стремится длина ломаной линии, вписанной в эту дугу, когда число звеньев ломаной стремится к бесконечности, а длина наибольшего звена стремится к нулю.

Если функция  и ее производная  непрерывны на отрезке , то длина дуги кривой  вычисляется по формуле

. (11)

Пример 15. Вычислить длину дуги кривой , заключенной между точками, для которых .

Решение. Из условия задачи имеем . По формуле (11) получаем:

.

4.  Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования

При введении понятия определённого интеграла  предполагалось, что выполняются следующие два условия:

а) пределы интегрирования а и  являются конечными;

б) подынтегральная функция  ограничена на отрезке .

Если хотя бы одно из этих условий не выполняется, то интеграл называется несобственным.

Рассмотрим вначале несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования.

Определение. Пусть функция  определена и непрерывна на промежутке , тогда

 (12)

называется несобственным интегралом с бесконечным верхним пределом интегрирования (несобственным интегралом I рода).

Если  существует и конечен, то несобственный интеграл  называется сходящимся; если данный предел не существует или равен , то несобственный интеграл называется расходящимся.

Геометрически несобственный интеграл  от неотрицательной функции  выражает площадь бесконечной криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции , снизу – осью , слева – отрезком прямой  и неограниченной справа (рис. 15).

Если несобственный интеграл сходится, то эта площадь является конечной; если несобственный интеграл расходится, то эта площадь бесконечна.

Рис. 15

Аналогично определяется несобственный интеграл с бесконечным нижним пределом интегрирования:

. (13)

Этот интеграл сходится, если предел в правой части равенства (13) существует и конечен; в противном случае интеграл называется расходящимся.

Несобственный интеграл с двумя бесконечными пределами интегрирования определяется следующим образом:

, (14)

где с – любая точка интервала . Интеграл  сходится только в том случае, когда сходятся оба интеграла в правой части равенства (14).

Пример 16. Исследовать на сходимость несобственные интегралы:

а) ; б); в) ; г) .

Решение. а)  , следовательно, данный интеграл расходится;

б)

. Так как при  предел  не существует, то интеграл  расходится;

в)

 Значит, несобственный интеграл  сходится и его значение равно ;

г)  = [выделим в знаменателе полный квадрат: ] =  [замена:

] =

Значит, несобственный интеграл сходится и его значение равно .

5.  Несобственные интегралы от неограниченных функций

Пусть функция  непрерывна на конечном промежутке , но не ограничена на этом промежутке.

Определение. Несобственным интегралом  от функции у=f(x) на промежутке  называется предел , т.е.

. (15)

Если предел, стоящий в правой части равенства (15) существует и конечен, то несобственный интеграл называется сходящимся, в противном случае – расходящимся.

Интеграл (15) иногда называют несобственным интегралом второго рода.

Аналогично вводится понятие несобственного интеграла от функции  непрерывной, но не ограниченной на промежутке :

. (16)

Если функция  не ограничена при , где , и непрерывна при  и , то несобственный интеграл от функции у=f(x) на отрезке  обозначается  и определяется равенством

. (17)

Несобственный интеграл (17) называется сходящимся, если сходятся оба несобственных интеграла в правой части равенства (17).
В противном случае данный интеграл называется расходящимся.

Пример 17. Исследовать на сходимость несобственные интегралы:

а) ; б) .

Решение: а) данный интеграл является интегралом от неограниченной функции (подынтегральная функция  не определена в точке , при  эта функция неограниченно возрастает).

По определению имеем

[замена:  ] =  , следовательно, данный интеграл сходится.

б) по определению

.

Значит, данный интеграл является расходящимся.

Литература

1. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. Ч. I. – М.: Наука, 1982. – 616 с.

2. Гусак А.А. Математический анализ и дифференциальные уравнения. – Мн.: ТетраСистемс, 1998. – 416 с.

3. Гусак А.А. Высшая математика: Учеб. пособие для студентов вузов: В 2 т. – Мн., 1998. – 544 с. (1 т.), 448 с. (2 т.).

4. Кремер Н.Ш., Путко Б.А., Тришин И.М., Фридман М.Н. Высшая математика для экономистов: Учебник для вузов / Под ред. проф. Н.Ш. Кремера. – М.: ЮНИТИ, 2002. – 471 с.

5. Яблонский А.И., Кузнецов А.В., Шилкина Е.И. и др. Высшая математика. Общий курс: Учебник / Под общ. ред. С.А. Самаля. – Мн.: Выш. шк., 2000. – 351 с.