Курсовая работа: Произведение двух групп
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ
Учреждение образования
"Гомельский государственный университет
имени Франциска Скорины"
математический факультет
Кафедра алгебры и геометрии
Произведение двух групп
Курсовая работа
Исполнитель:
студентка группы H.01.01.01 М-31
Закревская С.А.
Научный руководитель:
доктор физико-математических наук,
профессор кафедры Алгебры и геометрии
Монахов В. С.
Гомель 2005
Содержание
Введение
1
О произведении двух групп, одна из которых содержит циклическую подгруппу
индекса 
2
О произведении двух групп с циклическими подгруппами индекса 2
3
Произведение разрешимой и циклической групп
3.1.
Вспомогательные результаты
3.2.
Доказательства теорем 1 и 2
Заключение
Список литературы
Введение
Данную
работу можно рассматривать как продолжение трудов Б. Хупперта и В. Скотта. В
ней приводятся свойства конечных групп, являющихся произведением двух групп, а
именно являющихся произведением двух групп, одна из которых содержит
циклическую подгруппу индекса ,
произведением двух групп с циклическими подгруппами индекса 2, произведением
разрешимой и циклической групп.
Рассматриваются вопросы разрешимости, сверхразрешимости и изоморфизма конечных групп, с приведенными выше свойствами и приводится описание двух классов неразрешимых факторизуемых групп. Так же приводятся доказательства следующих теорем:
Теорема
1.1 . Если 
и 
- группы с циклическими
подгруппами индексов , то конечная
группа 
разрешима.
Теорема
1.2 . Пусть - группа Шмидта, а - группа с циклической
подгруппой индекса . Если и 
- конечная неразрешимая
группа, то 
изоморфна подгруппе 
, содержащей 
, для подходящего 
.
Теорема
1.3 . Пусть - 2-разложимая группа, а
группа имеет циклическую
инвариантную подгруппу нечетного порядка и индекса 4. Если и - конечная неразрешимая
группа, то изоморфна подгруппе , содержащей , для подходящего .
Теорема
2.1 . Пусть конечная группа 
, где и - группы с циклическими
подгруппами индексов . Тогда разрешима, 
и 
для любого простого
нечетного 
.
Теорема
2.2 . Если группы и содержат циклические
подгруппы нечетных порядков и индексов ,
то конечная группа сверхразрешима.
Теорема
2.3 . Пусть конечная группа , где - циклическая подгруппа
нечетного порядка, а подгруппа содержит
циклическую подгруппу индекса . Если в
нет нормальных секций,
изоморфных 
, то сверхразрешима.
Теорема
3.1 . Пусть конечная группа является
произведением разрешимой подгруппы и
циклической подгруппы и пусть 
. Тогда 
, где 
- нормальная в подгруппа, 
и 
или 
для подходящего .
Теорема 3.2 . Конечная группа, являющаяся произведением 2-нильпотентной подгруппы и циклической подгруппы, непроста. Если циклический фактор имеет нечетный порядок, то группа разрешима.
Теорема
3.3 . Если - простая группа, где - холловская собственная в
подгруппа, а - абелева -группа, то 
есть расширение группы,
изоморфной секции из 
, с помощью
элементарной абелевой 2-группы. В частности, если циклическая,
то есть расширение абелевой
группы с помощью элементарной абелевой 2-группы.
1.
О произведении двух групп, одна из которых содержит циклическую подгруппу
индекса
Доказывается,
что конечная группа разрешима, если
группы и содержат циклические
подгруппы индексов 
. Приводится
описание двух классов неразрешимых факторизуемых групп. Библ. 18 назв.
В
работе Б. Хупперт установил разрешимость конечной группы, которая является
произведением двух диэдральных подгрупп. В. Скотт получил разрешимость группы , допустив в качестве
множителей и еще так называемые
дициклические группы. Диэдральные и дициклические группы содержат циклические
подгруппы индекса 2, но не исчерпывают весь класс групп с циклическими
подгруппами индекса 2. В настоящей заметке доказана
Теорема
1 . Если и - группы с циклическими
подгруппами индексов , то конечная
группа разрешима.
Если
подгруппа нильпотентна, а в есть циклическая подгруппа
индекса 2, то, как показали H. Ито и Б. Хупперт, конечная группа разрешима. Дополнением
этого результата являются теоремы 2 и 3.
Теорема
2 . Пусть - группа Шмидта, а - группа с циклической
подгруппой индекса . Если и - конечная неразрешимая
группа, то изоморфна подгруппе , содержащей , для подходящего .
обозначает
наибольшую разрешимую инвариантную в подгруппу.
Группой Шмидта называется ненильпотентная группа, все собственные подгруппы
которой нильпотентны.
Теорема
3 . Пусть - 2-разложимая группа, а
группа имеет циклическую
инвариантную подгруппу нечетного порядка и индекса 4. Если и - конечная неразрешимая
группа, то изоморфна подгруппе , содержащей , для подходящего .
Частным
случаем теоремы 3, когда -
абелева, а имеет порядок 
, - простое число, является
теорема 8 Б. Хупперта.
Доказательства теорем 1--3 и составляют содержание настоящей заметки.
Рассматриваются только конечные группы. Все используемые определения и обозначения стандартны, их можно найти в обзоре С. А. Чунихина и Л. А. Шеметкова.
Вначале докажем несколько лемм.
Лемма
1 . Пусть в группе существует циклическая подгруппа индекса . Тогда каждая подгруппа и
фактор-группа обладает, циклической подгруппой индекса . Доказательство осуществляется
непосредственной проверкой.
Лемма
2 . Пусть , - собственная подгруппа
группы , - подгруппа четного
порядка с циклической силовской 2-подгруппой. Если 
,
то содержит подгруппу индекса
2.
Доказательство.
Если содержит инвариантную в подгруппу 
, то фактор-группа 
удовлетворяет условиям
леммы. По индукции обладает
подгруппой индекса 2, поэтому и в есть
подгруппа индекса 2.
Пусть
не содержит инвариантных в
подгрупп 
. Тогда представление
группы подстановками правых
смежных классов по есть точное
степени 
, где 
. Группу можно отождествить с ее
образом в симметрической группе 
степени
. Так как в силовская 2-подгруппа 
циклическая, то 
, где 
- инвариантное
2-дополнение. Пусть 
, 
. 
, 
и 
. Подстановка 
разлагается в произведение
циклов
т.
е. подстановка имеет 
циклов, каждый длины 
. Декремент подстановки
равен 
и есть нечетное число,
поэтому - нечетная подстановка.
Теперь 
, а так как индекс 
в равен 2, то 
- подгруппа индекса 2 в
группе .
Лемма 2 обобщает лемму А. В. Романовского.
Замечание.
Простая группа 
является
произведением двух подгрупп и , причем 
, а - группа порядка 
с циклической силовской
2-подгруппой. Этот пример показывает, что требование отбросить нельзя.
Лемма
3 . Пусть - дважды транзитивная
группа подстановок на множестве 
и пусть
- стабилизатор некоторой
точки 
. Тогда все инволюции из
центра содержатся в 
.
Доказательство.
Пусть 
. Допустим, что существует 
, причем 
. Так как транзитивна на 
, то 
. Ho 
, поэтому 
и 
- тождественная
подстановка. Противоречие. Следовательно, фиксирует
только 
. Теперь подстановка содержит только один цикл
длины 1, а так как - инволюция, то 
нечетен. Но 
, поэтому существует
силовская 2-подгруппа 
из с 
и 
. Если 
, то 
, отсюда 
и 
, т. е. 
. Теперь 
и из теоремы Глаубермана
следует, что 
.
Лемма
4 . Пусть центр группы имеет четный
порядок и силовская 2-подгруппа из либо
циклическая, либо инвариантна в . Если - группа с циклической
подгруппой индекса , то группа непроста.
Доказательство.
Пусть 
- циклическая подгруппа в , для которой 
, а 
- максимальная в подгруппа, содержащая . Тогда 
. Если 
, то 
и по лемме С. А. Чунихина
группа непроста. Значит, 
.
Допустим,
что порядок нечетен. Если 
, то 
. Если 
, то ввиду леммы 2 
и поэтому опять . Рассмотрим представление подстановками смежных
классов по . Так как - максимальная в подгруппа, то - примитивная группа
подстановок степени 
. Если - простое число, то либо разрешима, либо
дважды транзитивна. Если -
составное число, то, так как -
регулярная группа подстановок при этом представлении, - опять дважды
транзитивна. Из леммы 3 следует, что непроста.
Пусть
порядок четен. Если 
, то 
непроста по лемме 2.
Значит, 
и . Пусть - силовская 2-подгруппа из
. Если инвариантна в , то инвариантна и в . Следовательно, - циклическая группа. Но не является силовской в , поэтому содержится как подгруппа
индекса 2 в некоторой группе 
. Теперь
для инволюции из центра имеем 
, т. е. не максимальная в . Противоречие.
Следствие.
Пусть группа , где группа содержит циклическую
подгруппу индекса . Если - 2-разложимая группа
четного порядка, то группа непроста.
Лемма
5 . Пусть группа содержит
циклическую инвариантную подгруппу нечетного порядка и индекса 2. Если - 2-разложимая группа, то
группа разрешима.
Доказательство.
Применим индукцию к порядку . Если 
, то ввиду леммы 1
фактор-группа удовлетворяет
условиям леммы. По индукции, разрешима,
отсюда разрешима и .
Пусть
. Если - циклическая, то разрешима по теореме В. А.
Ведерникова. Поэтому 
, - циклическая подгруппа
индекса 2, 
. Пусть 
, где 
- силовская 2-подгруппа из
, - ее дополнение. Если 
, то 
разрешима. Теперь 
и 
можно считать силовской
2-подгруппой в . Так как 
и 
, то 
. Пусть 
и 
. Тогда 
и 
. По лемме С. А. Чунихина
подгруппа 
максимальна в и 
. Представление группы подстановками смежных
классов по подгруппе дважды
транзитивное: если - простое число,
если - составное. Из леммы 3
вытекает теперь, что .Противоречие.
Доказательство
теоремы 1 . Применим индукцию к порядку группы G. Пусть 
и 
- циклические инвариантные
подгруппы в и в соответственно, чьи
индексы равны 1 или 2, а и - те силовские 2-подгруппы
из и , для которых 
и 
есть силовская 2-подгруппа
. Будем считать, что 
. Если 
, то 
и 
разрешима по теореме
Ито-Хупперта. Поэтому в дальнейшем полагаем, что 
.
Ввиду леммы 1 каждая фактор-группа удовлетворяет условиям теоремы, поэтому
Допустим,
что . Если 
, то 
и 
. Так как разрешима, то 
. Если 
, то 
и разрешима.
Пусть
теперь . Тогда и 
. Так как не является силовской
подгруппой в , то содержится как подгруппа
индекса 2 в некоторой 2-группе 
.
Обозначим через 
силовскую
2-подгруппу из . Очевидно, что инвариантна в .
Предположим,
что 
и пусть - инволюция из 
. В все подгруппы
характеристические и инвариантна в , поэтому 
и 
. Пусть - максимальная в подгруппа, которая
содержит 
. Тогда 
разрешима по индукции.
Если 
, то 
содержится в и . Значит, 
. Так как - собственная в подгруппа, то , 
и 
. Теперь - дважды транзитивная
группа степени 
на множестве
смежных классов по : если - простое число, то
применимо утверждение из, стр. 609; если составное.
Из леммы 3 получаем, что .
Противоречие.
Следовательно,
. Если 
, то 
и 
.Так как не содержит подгрупп,
инвариантных в 
, то
представление группы подстановками по
подгруппе - точное степени 4.
Поэтому - группа диэдра порядка 8,
и 
. В этом случае неабелева. Напомним, что 
и . Таким образом, для
силовской 2-подгруппы из имеем: - группа порядка 4 или
неабелева группа порядка 8 (если 
).
Предположим,
что порядки групп и делятся одновременно на
нечетное простое число и пусть 
и 
- силовские -подгруппы из и соответственно. Так как инвариантна в , a инвариантна в , то 
и 
- силовская -подгруппа в . Без ограничения общности
можно считать, что 
. По теореме
VI.10.1 из группа содержит
неединичную подгруппу 
, инвариантную в . Но теперь 
и , а так как инвариантна в , a 
разрешима, то по лемме С. А. Чунихина.
Противоречие. Следовательно, порядки и не имеют общих нечетных
делителей. В частности, в группе силовские
подгруппы для нечетных простых чисел циклические.
Пусть
- минимальная инвариантная
в подгруппа и - силовская 2-подгруппа из
, которая содержится в 
. Так как , то неразрешима и 
. Подгруппа даже простая потому, что
силовские подгруппы по нечетным простым числам циклические.
Пусть
вначале 
. Тогда 
и неабелева. По теореме П.
Фонга из группа диэдральная или
полудиэдральная. Но в этих случаях 
.
Непосредственно проверяется, что диэдральная и полудиэдральная группа порядка
16 не является произведением двух групп порядка 4.
Предположим
теперь что 
. Тогда - элементарная абелева
подгруппа или диэдральная. Если абелева,
то 
или группа Янко 
порядка 175560. Так как неабелева, то 
и индекс в четен. Группа разрешима, поэтому 
и 
или 
. Ho 
группа порядка 3, a 
. Противоречие. Если - диэдральная группа
порядка 8, то 
- нечетное
простое число или 
. Но группы 
и не допускают нужной
факторизации, поэтому - собственная в подгруппа. Теперь 
или 
. Если 
, то - диэдральная группа
порядка 16, а так как 
, то 
. Противоречие. Если 
, то 
и в существует подгруппа
порядка 
или 
.
Пусть,
наконец, 
. Тогда 
и 
. Так как фактор-группа разрешима по индукции, то и 
. Используя
самоцентрализуемость силовской -подгруппы
в 
, нетрудно показать, что не допускает требуемой
факторизации. Теорема доказана.
Доказательство
теоремы 2 . Допустим, что теорема неверна и группа -
контрпример минимального порядка. Фактор-группа группы Шмидта есть либо группа
Шмидта, либо циклическая -группа.
Поэтому в силу индукции и теоремы 1 мы можем считать, что . Пусть - произвольная минимальная
инвариантная в подгруппа. Если 
, то 
, а так как 
- нильпотентная группа, то
разрешима по теореме
Ито--Хупперта или по теореме Виландта--Кегеля. Отсюда разрешима и . Противоречие. Значит, 
, в частности, разрешима. Допустим, что 
. Тогда 
и 
удовлетворяет условиям
леммы. Поэтому 
изоморфна
подгруппе группы , содержащей для подходящего . Так как есть прямое произведение
изоморфных простых неабелевых групп, то 
и
. Отсюда 
. Подгруппа 
инвариантна в так как 
, то разрешима и . Теперь изоморфна некоторой группе
автоморфизмов , т. е. из заключения теоремы.
Противоречие. Значит, 
.
Таким
образом, если - произвольная
инвариантная в подгруппа, то 
.
Пусть
, - инвариантная силовская 
-подгруппа, - силовская -подгруппа. Через обозначим циклическую
подгруппу в , для которой 
. Допустим, что 
. В этом случае 
и если 
- подгруппа индекса 2 в , то 
- циклическая подгруппа
индекса 2 в . По теореме 1 группа разрешима. Противоречие.
Значит, 
. Теперь, если в есть инвариантная
подгруппа четного индекса, то 
есть группа Шмидта с
инвариантной силовской 2-подгруппой, что противоречит лемме 1.
Следовательно,
и в нет инвариантных подгрупп
четного индекса.
Допустим,
что 
, тогда - группа нечетного
порядка. Силовская 2-подгруппа из является силовской
подгруппой в и по результату В. Д.
Мазурова группа диэдральная или
полудиэдральная. Если диэдральная, то
по теореме 16.3 группа изоморфна или подгруппе группы . Так как не допускает требуемой
факторизации, то следует из
заключения теоремы. Противоречие. Значит, -
полудиэдральная группа. Если -
центральная инволюция из , то 
, поэтому 
и разрешима. По теореме
Мазурова группа изоморфна 
или 
. Нетрудно проверить, что и не допускают требуемой
факторизации. Значит, 
.
Пусть
- максимальная в подгруппа, содержащая . Тогда, если 
, то 
и содержит подгруппу , инвариантную в по лемме Чунихина. В этом
случае, 
и . Противоречие.
Следовательно, 
.
Допустим,
что не является силовской
2-подгруппой в . Тогда немаксимальна в , а так как и 
, то по лемме 2 порядок нечетен. Теперь 
и содержит подгруппу индекса
2. Противоречие.
Таким
образом, - силовская 2-подгруппа
группы . Теперь, 
и - максимальная в подгруппа. Представление
подстановками смежных классов по дважды
транзитивное и по лемме 3 порядок центра нечетен.
Отсюда следует, что - абелева
группа.
Пусть
- минимальная инвариантная
в подгруппа. Группа не является -группой, поэтому некоторая
силовская в подгруппа циклическая и - простая группа. Теперь
можно применить результат Уолтера. Так как и группе Янко и в группах типа и нормализатор силовской
2-подгруппы имеет порядок 
, a 
, то изоморфна , где 
или 
. Фактор-группа разрешима, поэтому и изоморфна некоторой группе
автоморфизмов , т. е. из заключения теоремы.
Противоречие. Теорема доказана.
Доказательство
теоремы 3 . Пусть группа -
контрпример минимального порядка, -
циклическая подгруппа в и 
, где . Пусть 
, где - силовская 2-подгруппа , а - ее 2-дополнение в . Если - силовская 2-подгруппа , то 
и 
разрешима по теореме
Ведерникова. Противоречие. Теперь 
можно
считать силовской 2-подгруппой группы .
Предположим,
что 
. Фактор-группа 
и 
- 2-разложимая группа.
Очевидно, что циклическая подгруппа 
нечетного
порядка инвариантна в 
и ее индекс
равен 1, 2 или 4. В первых двух случаях группа 
разрешима
по лемме 5, поэтому разрешима и .
Противоречие. Если индекс равен 4, то по индукции и учитывая, что 
, получаем: группа изоморфна подгруппе , содержащей для некоторых . Противоречие.
Следовательно, в нет разрешимых
инвариантных подгрупп, отличных от единицы.
Теперь
покажем, что силовская 2-подгруппа является
диэдральной группой порядка 4 или 8. Если 
,
то 
, и так как неразрешима, то диэдральная. Пусть не содержится в .
Предположим,
что 
и пусть 
, где - инволюция из 
. Теперь 
и 
. Пусть вначале 
и максимальна в . Тогда - дважды транзитивная
группа на множестве смежных классов по подгруппе :
если - простое число; если - непростое число. Из
леммы 3 получаем, что . Противоречие.
Пусть - максимальная в подгруппа, которая
содержит . Тогда и . Кроме того, . Пусть - минимальная инвариантная
в подгруппа, которая
содержится в , существует по лемме
Чунихина, а так как , то , а следовательно, и неразрешимы. По индукции 
изоморфна подгруппе , содержащей , для некоторых . Все инвариантные в подгруппы неразрешимы,
поэтому 
, а так как - минимальная инвариантная
в подгруппа, то . B силу леммы 5 
, поэтому 
разрешима. Но тогда и изоморфна группе
автоморфизмов группы , т. е. из заключения теоремы.
Противоречие.
Значит,
, поэтому не содержит инвариантных в
подгрупп, отличных от 1.
Следовательно, представление группы подстановками
смежных классов по подгруппе точное
степени 4. Отсюда группа есть
группа диэдра порядка 8.
Таким
образом, силовская 2-подгруппа в
группе есть диэдральная группа
порядка 4 или 8. По результату Горенштейна - Уолтера группа изоморфна , или подгруппе группы . Так как , не допускает требуемой
факторизации, то группа - из
заключения теоремы. Противоречие. Теорема доказана.
В
заключение отметим, что, используя технику доказательств теорем 1--3 и
следствие леммы 4, можно получить описание неразрешимых групп при условии, что - 2-разложимая группа, а в
группе существует циклическая подгруппа
индекса .
2.
О произведении двух групп с циклическими подгруппами индекса 2
В
1953 г. Б. Хупперт установил разрешимость конечной группы, которая является
произведением двух диэдральных подгрупп. Развивая этот результат, В. Скотт
получил разрешимость конечной группы ,
допустив в качестве множителей еще так называемые дициклические группы. Эти
результаты достаточно подробно изложены в монографии. Диэдральные и
дицикдические группы содержат циклические подгруппы индекса 2, но далеко не
исчерпывают весь класс групп с циклическими подгруппами индекса 2.
В
1974 г. автор установил разрешимость конечной группы при условии, что факторы и содержат циклические
подгруппы индексов 2, тем самым решив задачу, рассматриваемую Хуппертом и
Скоттом. В настоящей заметке показывается, что 2-длина таких групп не превышает
2, а -длина равна 1 для любого
нечетного 
. Эти оценки точные, на что
указывает пример симметрической группы 
.
Получены также два признака сверхразрешимости конечной факторизуемой группы.
Все
встречающиеся определения и обозначения общеприняты. В частности, 
- множество простых
делителей порядка , a 
- циклическая группа
порядка .
Лемма
1 . Метациклическая группа порядка 
для
нечетного простого неразложима в
полупрямое произведение нормальной элементарной абелевой подгруппы порядка 
и подгруппы порядка .
Доказательство.
Допустим противное и пусть 
-
метациклическая группа порядка ,
разложимая в полупрямое произведение нормальной элементарной абелевой подгруппы
порядка и подгруппы порядка , - нечетное простое число.
Ясно, что неабелева. Если содержит нормальную
подгруппу 
порядка с циклической
фактор-группой 
, то содержится в центре и абелева по лемме 1.3.4,
противоречие. Следовательно, содержит
циклическую подгруппу индекса и
подгруппа 
, порожденная элементами
порядка , является элементарной
абелевой подгруппой порядка по
теоремам 5.4.3 и 5.4.4. Теперь 
, и
подгруппы порядка не существует. Значит,
допущение неверно и лемма справедлива.
При
утверждение леммы неверно,
контрпримером служит диэдральная группа порядка 8.
Лемма 2 . Разрешимая конечная группа с циклической подгруппой Фиттинга сверхразрешима.
Доказательство.
Пусть - конечная разрешимая
группа с циклической подгруппой Фиттинга 
.
Так как 
, то 
как группа автоморфизмов
циклической группы будет абелевой по теореме 1.3.10, поэтому сверхразрешима.
Лемма 3 . Если в сверхразрешимой группе нет неединичных нормальных 2-подгрупп, то силовская 2-подгруппа абелева.
Доказательство. Коммутант сверхразрешимой группы нильпотентен (теорема VI.9.1), поэтому силовская 2-подгруппа из коммутанта нормальна в группе. Если коммутант имеет нечетный порядок, то силовская 2-подгруппа в группе абелева.
Напомним,
что 
- наибольшая нормальная в 
-подгруппа, 
- центр группы , а - наименьшая нормальная в подгруппа, содержащая . Через 
обозначается -длина группы .
Лемма
4 . Пусть и - подгруппы конечной
группы , обладающие, следующими
свойствами:
1)
для всех 
;
2)
, где 
.
Тогда
.
Доказательство. См. лемму 1.
Теорема
1 . Пусть конечная группа , где и - группы с циклическими
подгруппами индексов . Тогда разрешима, и для любого простого
нечетного .
Доказательство.
По теореме из группа разрешима. Для
вычисления -длины воспользуемся
индукцией по порядку группы .
Вначале рассмотрим случай нечетного . По
лемме VI.6.4 подгруппа Фраттини единична и в группе единственная
минимальная нормальная подгруппа. По теореме III.4.5 подгруппа Фиттинга 
- минимальная нормальная
подгруппа. Так как 
, то - -группа. Если 
, то 
- абелева группа порядка,
делящего 
, а так как 
, то 
. Силовская -подгруппа в метациклическая по теореме
III.11.5, поэтому - элементарная
абелева порядка и изоморфна подгруппе из 
, в которой силовская -подгруппа имеет порядок . Так как 
для некоторой максимальной
в подгруппы , то из леммы 1 получаем
что - силовская в подгруппа и .
Рассмотрим
теперь 2-длину группы . Ясно, что 
и - единственная минимальная
нормальная в подгруппа, которая
является элементарной абелевой 2-подгруппой. Пусть 
и
- 
-холловские подгруппы из и соответственно. По условию
теоремы - циклическая нормальная в
подгруппа, - циклическая нормальная в
подгруппа. Теперь 
- -холловская в подгруппа по теореме
VI.4.6, и можно считать, что 
. Для
любого элемента 
имеем: 
, a по лемме 4 либо 
, либо 
. Но если 
, то 
и централизует , что невозможно. Значит, , а так как в только одна минимальная
нормальная подгруппа, то 
и - 2-группа. Фактор-группа не содержит нормальных
неединичных 2-подгрупп, поэтому подгруппа Фиттинга 
имеет
нечетный порядок. Но -холловская в подгруппа циклическая, а по лемме 2
фактор-группа сверхразрешима и
силовская 2-подгруппа в абелева
по лемме 3, Теперь 
по теореме
VI.6.6 и 
. Теорема доказана.
Лемма
5 . Конечная группа с подгруппой Фиттинга индекса сверхразрешима.
Доказательство.
Проведем индукцией по порядку группы. Пусть -
конечная группа, в которой подгруппа Фиттинга имеет
индекс . По индукции можно считать,
что подгруппа Фраттини единична и в группе только
одна минимальная нормальная подгруппа. Поэтому F - минимальная нормальная в подгруппа. Пусть 
- инволюция из . Если 
, то 
- нормальная в подгруппа. Если 
, то 
и 
- неединичная нормальная в
подгруппа. Итак, в группе имеется нормальная
подгруппа 
простого порядка. По
индукции сверхразрешима, значит,
сверхразрешима и группа .
Лемма
6 . Конечная группа, являющаяся произведением двух подгрупп порядков, делящих 
, сверхразрешима.
Доказательство.
Воспользуемся индукцией по порядку группы. Пусть конечная группа , где подгруппы и имеют порядки, делящие , - простое число. Все
фактор-группы группы удовлетворяют
условиям леммы, поэтому по индукции нетривиальные фактор-группы группы сверхразрешимы.
Следовательно, подгруппа Фраттини группы единична,
а подгруппа Фиттинга - минимальная
нормальная в подгруппа. По лемме 2
подгруппа нециклическая.
Если
- 2-группа, то 
и изоморфна подгруппе группы
, поэтому - группа порядка 3, а
группа имеет порядок 12 и
содержит подгруппу порядка 6. Следовательно, сверхразрешима.
Пусть
теперь - -группа. Так как сверхразрешима по
индукции, то 2-нильпотентна. Но 
, так как 
, значит, - 2-группа, которая по
лемме 5 имеет порядок 4. Группа неприводимо
действует на подгруппе , поэтому циклическая по теореме
Машке. С другой стороны, и
силовская 2-подгруппа 
из есть произведение двух
подгрупп 
и 
порядков 2. Противоречие.
Лемма доказана.
Теорема
2. Если группы и содержат циклические
подгруппы нечетных порядков и индексов ,
то конечная группа сверхразрешима.
Доказательство.
Воспользуемся индукцией по порядку группы. По теореме 1 группа разрешима. Поскольку
условия теоремы переносятся на все фактор-группы, то по индукции все
нетривиальные фактор-группы группы сверхразрешимы.
Поэтому подгруппа Фраттини группы единична,
а подгруппа Фиттинга - единственная
минимальная нормальная в подгруппа.
Ясно, что имеет непростой порядок.
Если - 2-группа, то порядка 4 и изоморфна подгруппе группы
. Но теперь порядок делит 12, и сверхразрешима по лемме 6.
Следовательно,
- -группа порядка 
. Силовская -подгруппа в метациклическая по теореме
III.11.5, поэтому - элементарная
абелева порядка и изоморфна подгруппе группы
, в которой силовская -подгруппа имеет порядок . Так как 
для некоторой максимальной
в подгруппы , то из леммы 1 получаем,
что - силовская в подгруппа и можно считать,
что 
, где 
.
Через
- обозначим разность 
. Так как -холловские подгруппы 
из и 
из нормальны в и соответственно, то 
- -холловская в подгруппа. Если 
, то сверхразрешима по лемме 6.
Пусть 
. Для любого элемента имеем: 
и по лемме 4 либо 
, либо 
. Если , то из минимальности получаем, что 
и централизует , что невозможно. Значит, 
и . Но в единственная минимальная
нормальная подгруппа, поэтому 
и делит 
. Но если 
, то 
нормальна в , противоречие. Значит, 
.
Так
как сверхразрешима и 
- -холловская подгруппа в , то нормальна в и по лемме Фраттини 
содержит силовскую
2-подгруппу из . Ясно, что 
. Подгруппа ненормальна в , значит, 
, но теперь 
нормальна в и нормальна в , противоречие. Теорема
доказана.
Теорема
3 . Пусть конечная группа , где - циклическая подгруппа
нечетного порядка, а подгруппа содержит
циклическую подгруппу индекса . Если в
нет нормальных секций,
изоморфных , то сверхразрешима.
Доказательство.
Воспользуемся индукцией по порядку группы. По теореме 1 группа разрешима, а так как
условия теоремы переносятся на все фактор-группы, то подгруппа Фиттинга - единственная минимальная
нормальная в подгруппа. Если - 2-группа, то содержится в и поэтому порядок равен 4, a изоморфна подгруппе группы
. Если силовская
3-подгруппа 
из неединична, то действует на неприводимо и 
- нормальная в подгруппа, изоморфная , противоречие. Если 
, то - 2-группа и сверхразрешима.
Следовательно,
- -группа порядка . Так как силовская -подгруппа в метациклическая по теореме
III.11.5, то - элементарная абелева
порядка и изоморфна подгруппе из , в которой силовская -подгруппа имеет порядок . Так как для некоторой максимальной
в подгруппы , то из леммы 1 получаем,
что - силовская в подгруппа и можно считать,
что , где 
, a 
.
Через
обозначим . Как и в теореме 2, легко
показать, что -холловская
подгруппа из неединична, а 
. Так как 
- -холловская в подгруппа и сверхразрешима, то нормальна в и 
содержит силовскую
2-подгруппу из , которая совпадает с
силовской 2-подгруппой в .
Подгруппа ненормальна в , поэтому 
. Но теперь 
нормальна в , а значит, и в , противоречие. Теорема доказана.
3.
Произведение разрешимой и циклической групп
В настоящей заметке доказывается следующая
Теорема
1. Пусть конечная группа является
произведением разрешимой подгруппы и
циклической подгруппы и пусть . Тогда , где - нормальная в подгруппа, и или для подходящего .
означает
произведение всех разрешимых нормальных в подгрупп.
Следствие.
Если простая группа является
произведением разрешимой и циклической подгрупп, то 
.
Несмотря
на то, что среди при нечетном 
нет групп факторизуемых
разрешимой подгруппой и циклической, группы 
допускают
указанную факторизацию для каждого .
Из теоремы 1 вытекает
Теорема 2. Конечная группа, являющаяся произведением 2-нильпотентной подгруппы и циклической подгруппы, непроста. Если циклический фактор имеет нечетный порядок, то группа разрешима.
Работа
состоит из двух параграфов. В первом параграфе приводятся необходимые
вспомогательные результаты. Кроме того, доказывается теорема 3, которая
является обобщением теоремы Виландта о разрешимости внешней группы
автоморфизмов простой группы, содержащей подгруппу простого индекса. В 3.2 доказываются теоремы 1
и 2.
Все
обозначения и определения стандартны. Запись означает,
что конечная группа является
произведением своих подгрупп и .
3.1
Вспомогательные результаты
Пусть
- подгруппа группы . Тогда 
означает наибольшую
нормальную в подгруппу, которая
содержится в , a 
- наименьшую нормальную в подгруппу, которая
содержит .
Лемма
1. Если и 
содержит подгруппу , нормальную в , то 
.
Лемма
2. Пусть 
и - нормальная в подгруппа. Если 
, то 
.
Доказательство.
Поскольку 
, то 
. Так как 
, то 
Лемма
3 . Если 
и абелева, то 
.
Доказательство.
Пусть 
. Ясно, что 
и 
. Если 
, то 
и 
. Таким образом, и 
.
Лемма
4 . Пусть 
и 
не делит 
. Тогда 
не сопряжен ни с одним
элементом из .
Доказательство.
Если 
, то 
и 
делит 
. Но 
по лемме VI.4.5 из,
поэтому 
. Противоречие.
Лемма
5 . Пусть - минимальная нормальная
подгруппа группы и . Если разрешима, то и изоморфна подгруппе из 
.
Доказательство.
. Так как разрешима, то 
и . По лемме 1.4.5 из группа есть группа автоморфизмов .
Лемма
6 . Пусть , где - собственная подгруппа , а циклическая. Если 
, то справедливо одно из
следующих утверждений:
1)
и - нормализатор силовской
2-подгруппы, а 
;
2)
, а 
;
3)
, а 
.
Доказательство. См. теорему 0.8 из.
Лемма
7 . Группа при любом является произведением
разрешимой подгруппы и циклической.
Доказательство.
Если 
, то утверждение следует из
леммы 6. Пусть 
, и - силовская -подгруппа в 
. Известно, что 
циклическая и в есть циклическая подгруппа
порядка 
. Так как 
и 
, то 
.
Лемма
8 . Если 
, то является произведением
разрешимой и циклической подгрупп.
Доказательство.
Известно, что 
, где 
- циклическая группа
порядка, делящего , и нормализует подгруппу 
, где - силовская 2-подгруппа в . Так как 
, где - циклическая группа
порядка 
, то 
и 
разрешима.
Лемма
9 . Группа 
является произведением
разрешимой подгруппы и циклической. Группа 
не
допускает указанной факторизации.
Доказательство.
Группа 
имеет порядок 
и в ней содержится
подгруппа 
индекса 2. Так как дважды транзитивна на
множестве из 13 символов, то стабилизатор точки имеет порядок 
и является разрешимой
группой. Поэтому является
произведением разрешимой подгруппы порядка и
циклической подгруппы порядка 13.
Покажем,
что 
не содержит подгруппы
индекса 13. Допустим противное и пусть -
подгруппа порядка 
. Так как дважды транзитивна на
смежных классах по , то центр 
имеет нечетный порядок по
лемме 2.2, а по лемме Берноайда 
, где 
.
Пусть
- подгруппа Фиттинга
группы , где 
. Известно, что
нормализатор силовской 3-подгруппы в имеет
порядок 
, поэтому 
. Так как разрешима, то 
и 
изоморфна подгруппе из 
.
Предположим,
что 
. Тогда 
делит порядок , а значит и 
. Но это невозможно, так
как . Противоречие.
Следовательно,
. Далее 
, так как - подгруппа нечетного
порядка, поэтому 
. Ясно, что 
, a 
и 
. Силовская 2-подгруппа из является силовской в , значит, она
полудиэдральная порядка 16, все инволюции сопряжены и централизатор каждой
инволюции изоморфен 
порядка 
. Поэтому 
. 
как подгруппа из полудиэдральна при 
, либо циклическая, либо
кватернионная, либо диэдральная порядка 4 или 8. В любом случае порядок 
не делится на 9. Таким
образом, 
. Противоречие. Итак, не содержит подгруппы
индекса 13.
Пусть
, где - разрешимая подгруппа, а - циклическая. В силовокие 13-подгруппы
самоцентрализуемы, поэтому 13 делит порядок .
Так как в нет 
- холловской подгруппы, то
3 делит порядок . Но в силовская 3-подгруппа
имеет экспоненту 3, поэтому в есть
подгруппа порядка 
. Теперь силовская
13-подгруппа из не
самоцентрализуема. Противоречие. Лемма 9 доказана.
Теорема
3 . Если - простая группа, где - холловская собственная в
подгруппа, а - абелева -группа, то есть расширение группы,
изоморфной секции из , с помощью
элементарной абелевой 2-группы. В частности, если циклическая,
то есть расширение абелевой
группы с помощью элементарной абелевой 2-группы.
Доказательство.
Из простоты и леммы Чунихина вытекает,
что и максишльна в . Представление группы перестановками на смежных
классах подгруппы будет точным и
дважды транзитивным, следовательно, есть подгруппа перестановок симметрической
группы S степени, равной порядку . Так
как - регулярная и
транзитивная группа и 
, то 
также транзитивна. Но 
по теореме 1.6.5, поэтому самоцентрализуема в .
Группа
автоморфизмов 
, индуцированная
элементами из 
, называется
группой подстановочных автоморфизмов. Очевидно 
,
а по теореме 3 подгруппа нормальна
в 
и 
- элементарная абелева
2-группа.
По
лемме Фраттини 
, поэтому
обозначив 
будем иметь 
. Так как 
, то 
изоморфна секции из . В частности, если циклическая, то абелева и есть расширение абелевой
группы с помощью элементарной абелевой 2-группы.
3.2
Доказательства теорем 1 и 2
Доказательство
теоремы 1 . Предположим, что теорема неверна и пусть - контрпример минимального
порядка. Так как 
, то 
и по лемме 3.
Допустим,
что не максимальна в и пусть 
- прямое произведение
минимальных нормальных в подгрупп
и - наибольшее. Очевидно, содержит все минимальные
нормальные в подгруппы. Так как 
, то и . Поэтому изоморфна подгруппе из 
.
Допустим,
что 
для некоторого . Тогда 
и 
разрешима. Значит, 
. Пусть - подгруппа в , собственно содержащая . Так как 
и 
- нормальная в неединичкая подгруппа, то 
. Теперь минимальная
нормальная в подгруппа из 
совпадает с 
и 
, противоречие. Таким
образом, 
для любого . По индукции 
изоморфна подгруппе 
, где - есть прямое
произведение, построенное из групп 
.
Очевидно, что 
, поэтому также есть прямое
произведение, построенное из групп .
Следовательно, обладает этим же
свойством и - подгруппа из . Противоречие.
Итак,
максимальна в . Поэтому представление перестановками на
множестве смежных классов подгруппы будет
точным и примитивным. Так как , то в этом представлении
регулярна и дважды транзитивна. Пусть минимальная нормальная в подгруппа. Применяя
теорему 11.3 и результат Берноайда, заключаем, что проста
и примитивна, т.е. 
максимальна в . Так как 
, то разрешима и по лемме 5. Таким образом,
изоморфна подгруппе из .
Предположим,
что 
. Тогда неразрешима, 
и 
. Так как 
, то по индукции изоморфна подгруппе из , а 
или и из заключения теоремы.
Следовательно, и по лемме 2.
Пусть
порядок четен. Тогда содержит подгруппу индекса
2 по лемме 4.1. По теореме Хольта подгруппа 2-транзитивна
и изоморфна 
- степень нечетного
простого числа или группа типа Ри в их обычных 2-транзитивных представлениях.
Если 
, то из заключения теоремы.
Внешняя группа автоморфизмов группы типа Ри имеет нечетный порядок, поэтому не содержится в группе
автоморфизмов группы типа Ри.
Пусть
теперь изоморфна 
- простое нечетное число.
Тогда 
, где 
и 
, где - силовская -подгруппа из и 
. Из леммы 2 получаем 
. Так как в 
все инволюции сопряжены и имеет четный порядок, то
по лемме 4 подгруппа 
имеет нечетный
порядок, в частности не делит 
.
Предположим,
что существует простое число 
,
делящее и 
. Если 
, то по лемме 2.5 порядок делит 
, а так как 
, то делит 
. Если 
, то делит и элементарные вычисления
и применение леммы 2.5 показывают, что 
делит
. Так как 
, то в любом случае 
. Известно, что 
, поэтому 
и 
. Противоречие с леммой
2.5.
Следовательно,
не может быть изоморфна . Случай, когда порядок четен, рассмотрен
полностью.
Пусть
порядок подгруппы нечетен. Тогда 
содержит некоторую
силовскую 2-подгруппу из . По
теореме О'Нэна [??] подгруппа изоморфна
или 
и 
нечетное число.
Пусть
изоморфна 
.Тогда 
и делит 
. Поэтому содержит силовскую
2-подгруппу из и, используя
информацию о подгруппах в 
,
получаем, что 
делит 
, a 
делит 
или 
. Теперь делится на , которое делится на или на . Противоречие.
Пусть
изоморфна 
. Так как имеет нечетный порядок, то
силовская 2-подгруппа из содержится в . Если 
, то 
и по лемме 3.3 имеем 
. Если 
, то нормальна в , так как разрешимая группа
с силовской 2-подгруппой имеет
2-длину 1. Итак, в любом случае . Но 
дважды транзитивна на
смежных классах по 
, поэтому 
и нормальна в .
Поскольку
и . Кроме того, 
, поэтому - нечетное число, делящее 
. Так как - циклическая группа
нечетного порядка в , то либо делит , либо делит . Поэтому 
делится на , либо на . Очевидно, 
при 
. Случай 
исключается
непосредственно. Следовательно, неизоморфна
.
Предположим,
что 
- нечетное и 
. Так как - стабилизатор точки и разрешима индекса , то 
, либо 
. Группа 
не допускает требуемой
факторизации по лемме 9. Поэтому либо 
,
либо 
. Теорема 1 доказана.
Доказательство
теоремы 2 . Пусть 
-
2-нильпотентная группа и - ее
силовская 2-подгруппа, - циклическая.
Очевидно, мы можем считать, что . Пусть - максимальная в подгруппа, содержащая . Так как , то . Предположим, что 
. Тогда 
и группа непроста. Если порядок нечетен, то по индукции разрешима и 
, противоречие. Таким
образом, 
, кроме того, максимальна в . Теперь - дважды транзитивна на
множестве смежных классов по . Если
порядок четен, то группа непроста по лемме 4.1.
Пусть порядок нечетен. Тогда - силовская в подгруппа. По теореме
Виландта-Кегеля 
, а по лемме 3.3 
и 
2-разложимая подгруппа. По
теореме 1V.2.6 подгруппа неабелева.
Так как из теоремы 1 в случае, когда порядок нечетен
следует, что силовская 2-подгруппа в абелева,
то имеем противоречие. Теорема доказана.
Симметрическая группа пяти символов факторизуется 2-нильпотентной подгруппой порядка 20 и циклической подгруппой порядка 6. Поэтому условие нечетности порядка циклического фактора существенно.
Заключение
В
данной курсовой работе были приведены некоторые результаты, полученные
Монаховым В. С. (Гомельская лаборатория института математики), проливающие свет
на такие важные вопросы в теории конечных групп, как разрешимость и
сверхразрешимость конечных групп, являющихся произведением двух групп с
различными свойствами, а именно содержащих циклическую подгруппу индекса , содержащих циклические
подгруппы индекса 2, разрешимые и циклические группы.
Эти полученные данные изложены в теоремах 1.1, 1.2, 1.3, 2.1, 2.2, 2.3, 3.1, 3.2 и 3.3. Так же представляют интерес данные изложенные в леммах, которые были использованы при доказательстве выше упомянутых теорем. В особенности следует выделить лемму 1.2, которая обобщает лемму А. В. Романоского и теорему 1.3, являющеюся обобщением теоремы Б. Хупперта.
Список использванных источников
1. Монахов В.С. О
произведении двух групп, одна из которых содержит циклическую подгруппу индекса
.// Математические
заметки.-1974.-Т.16, №2-с. 285-295
2. Монахов В.С. Произведение разрешимой и циклической групп// Сб. VI всес. симпозиум по теории групп.-Киев: Наукова думка, 1980-с.189-195
3. Монахов В.С. О произведении двух групп с циклическими подгруппами индекса 2// Весцi АН Беларусi. сер. фiз.-мат. навук.-1996, №3-с.21-24