Реферат: Випадкова величина
1 Випадкова величина. Функція розподілу випадкової величини
Зіставимо кожну елементарну подію
конкретного випробування з деяким числом. Наприклад, розглянемо випробування,
що полягає в підкиданні монети. Маємо простір елементарних подій – множину з
двох можливих рівно ймовірних наслідків випробування: w1 – випадання "решки" та w2 – випадання герба. Введемо до
розгляду функцію x= f(w), що визначається за формулами: f(w1)=0, f(w2)=1. Це – числова функція (випадкова
величина), яка залежить від випадку. Позначимо її через :
Для значень, яких у результаті
випробувань може рівно ймовірно набувати функція , застосуємо символи
та
. Відповідно з
нашою угодою, вони дорівнюють
і
У загальному випадку задовільної
випадкової величини позначатимемо її однією з грецьких літер x,h,..., а значення, яких вона
набуває літерами латинської абетки: х, y,..... Відповідність між цими значеннями
та ймовірностями, з якими їх набуває така функція , зручно задати у вигляді табл. 1,
що називається законом розподілу дискретної випадкової величини:
Таблиця 1
|
|
|
|
... |
|
|
|
|
|
... |
|
У випадку зазначеної конкретної випадкової величини, пов’язаної з випадінням сторін підкинутої монети, табл. 1 конкретизується у вигляді табл. 2:
Таблиця 2
|
0 |
1 |
|
1/2 |
1/2 |
Цю закономірність можна також наочно
представити на площині xOy, розмістивши на горизонтальній осі значення і
, а на
вертикальній осі, що доцільно було перемістити з її традиційного положення –
відповідні їм ймовірності (рис. 1). При цьому графік функції
складається тільки з
двох точок (
,
) і (
,
). В інших точках
горизонтальної осі функція
взагалі принципово не визначена.
Ще більш наочно закон розподілу дискретної випадкової величини зображається специфічною функцією
що називається функцією розподілу
випадкової величини .
Рисунок 1
У відповідності з її визначенням, вона дає в точці x ймовірність того, що випадкова величина розташована на осі Ox зліва від цієї точки x. Зокрема, для випадкової величини, заданої законом розподілу в табл. 2, ця функція має складний вигляд із різними представленнями на різних інтервалах
На рис. 2 наведено її графік з двома неусувними розривами 1-го роду.
Рисунок 2
Розглянемо ще один приклад введення
випадкової величини. Нехай є мішень – круг радіуса а, влучення до якого
гарантовано. Як випадкову величину, що позначимо як , візьмемо відстань від центра
мішені до точки влучення. Ймовірність того, що ця випадкова величина набуває
різних значень r від нуля до а, обчислюється
за формулою геометричної ймовірност:
При цьому функція розподілу
графік якої зображено на рис. 3, має вигляд
Рисунок 3
Модифікуємо попередній приклад: нехай всередині круга радіуса а, влучення до якого гарантовано, проведено два концентричні кола (рис. 4) з радіусами a/3 і 2a/ В залежності від відстані точки влучення від центра мішені стрілець одержує 10, 5 чи 1 бал, відповідно.
Рисунок 4
За випадкову величину, що позначимо
як ,
візьмемо тепер кількість очок, набраних при пострілі по мішені. Її можливі
значення: 10, 5, 1. Обчислимо ймовірності випадків прийняття цих значень
величиною
,
,
При цьому закон розподілу випадкової
величини має
вигляд табл. 3:
Таблиця 3
|
1 | 5 | 10 |
|
5/9 | 1/3 | 1/9 |
За цим законом розподілу випадкової
величини знаходимо
функцію її розподілу та будуємо її графік (рис. 5).
Рисунок 5
Властивості функції розподілу:
1. F(x) – неубутна функція. Дійсно, якщо x1<x2 (рис. 6).
Рисунок 6
F(x2)=P(x<x2)=P(x<x1)+P(x1<x<x2)>P(x<x1)=F(x1); F(x1)<F(x2);
2. F(+¥)=1; F(-¥)=0; F(+¥)=P(x<¥)=1;
P(-¥<x<¥)=1; F(-¥)=0;
P(a£x<b)=P(x<b) - P(x<a)=Fx(b) - Fx(a).
Якщо функція розподілу в деякій точці x=а має неусувний розрив 1-го роду – стрибок на величину р, (рис. 7) то Р(x=а)=р.
Рисунок 7
Дійсно, розглянемо [а, b), b® a+0.
P(x=а)=.
Найбільш важливими типами випадкових величин є дискретні і неперервні випадкові величини, які будуть розглянуті більш докладно.
2 Дискретна випадкова величина
Нехай х1,х2,…,хn – можливі значення дискретної випадкової величини в порядку зростання.
Випадкові події [x=x1], [x=x2], …[x=xn] утворять повну систему елементарних подій. При цьому
,
Закон розподілу дискретної випадкової величини можна задати таблицею (табл. 1) чи геометрично – точками на площині (xi, pi); або ламаною, що з'єднує ці точки та називається багатокутником розподілу (рис. 8):
Рисунок 8
Цьому закону розподілу є
відповідною функція розподілу
Fx(x)=P(x<x)=
або
де
Її графік наведено на рис. 9
Рисунок 9
Як видно з рис. 9, функція
розподілу дискретної випадкової величини є кусково неперервною. У точці хi
вона зростає на величину . При цьому
.
3 Найважливіші закони розподілу дискретних випадкових величин
Біноміальний розподіл. Розглядається серія з n випробувань, у кожному з яких подія А відбувається або не відбувається. Ймовірність появи події А в кожному випробуванні постійна і не залежить від результатів інших випробувань. Це схема Бернуллі:
Р(А)=р; .
Як випадкову величину, яку
позначимо ,
розглянемо кількість появ події А у n випробуваннях. Не важко перевірити, що
ймовірність появи події
визначається формулою Бернуллі у
вигляді
; (1)
де – кількість сполучень з
елементів по
(1).
Відповідний цїй формулі закон розподілу випадкової величини називається біноміальним, тому що його коефіцієнти збігаються з коефіцієнтами членів розкладання бінома Ньютона (p+q)n (табл. 4).
Таблиця 4
xn |
0 | 1 | … | k | … |
n |
pn |
qn |
npqn-1 |
… |
|
… |
pn |
Розподіл
Пуассона. Якщо в біноміальному розподілі випадкової величини кількість
випробувань
і
наслідків
дуже
велика, знаходження ймовірностей за формулою Бернуллі (1) стає обтяжливим у
зв’язку з необхідністю обчислення факторіалів великого порядку. У цьому випадку
було отримано наслідки формули Бернуллі, один з яких полягає у наступному.
Нехай кількість випробувань необмежено зростає, але так, щоб
її добуток на ймовірність появи події A в кожному випробуванні,
тобто
,
залишався скінченою величиною порядку одиниці. Це передбачає дуже мале значення
ймовірності
,
отже розглядаються дуже рідкі події та дуже довгі серії випробувань. При
формалізації відзначених умов у формулі Бернуллі (1) можна перейти до границі
або остаточно отримати формулу
Пуассона для ймовірності появи разів дуже рідкої події A у
практично нескінченних випробуваннях
Розподіл випадкової величина за цією
формулою називається законом Пуассона (законом рідкісних подій). Число l називається параметром розподілу. Цей закон можна
подати у вигляді:
Таблиця 5
x | 0 | 1 | … | k | … |
p |
e-l |
le-l |
… |
|
… |
Розглянемо типову задачу, що приводить до розподілу Пуассона. Нехай подія А означає відмову складного пристрою протягом малого проміжку часу. Причиною відмови є вихід з ладу будь-якої деталі. Режим роботи пристрою не змінюється з часом, відмова окремих деталей відбувається незалежно одна від одної, причому за одиницю часу "в середньому" відбувається l відмовлень.
При цих допущеннях з великим ступенем точності виконуються такі умови:
1. Ймовірність появи відмови на проміжку часу (0, Т) така сама, як і на задовільному проміжку довжиною T (t,t+T).
2. Появи відмовлень на проміжках часу, що не перекриваються, незалежні.
Ймовірність появи відмовлення за нескінченно малий проміжок часу визначається за формулою:
р(А)=l Dt+o(Dt), Dt®0.
4. Імовірність появи більше однієї відмови є о(Dt), Dt®0.
Розіб'ємо інтервал (t,t+T) на n рівних
частин .
Розглядатимемо реєстрацію відмови як окреме випробування
При цьому приходимо до розподілу Пуассона для кількості відмовлень за час Т
Геометричний закон розподілу. Проводиться серія випробувань до першої появи події А. Ймовірність появи події А в кожному випробуванні дорівнює р і не залежить від інших випробувань.
Як випадкову величину розглядатимемо
кількість проведених випробувань, необхідних для першої появи події А.
Очевидно, що закон розподілу цієї випадкової величини можна подати таблицею:
Таблиця 6
x | 1 | 2 | 3 | … |
k |
P | P | qp |
q2p |
… |
qk-1p |