Реферат: Основная теорема алгебры
Федеральное агентство по образованию Российской Федерации
САРАТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ИМЕНИ Н.Г.ЧЕРНЫШЕВСКОГО
Кафедра компьютерной алгебры и теории чисел
Основная теорема алгебры
Курсовая работа
студента 1 курса 121 группы механико-математического факультета
Батура Ирина Сергеевна
Научный руководитель Е.В. КОРОБЧЕНКО, ассистент
Зав. кафедрой В.Н.КУЗНЕЦОВ, д.т.н., профессор
САРАТОВ
2009 год
СОДЕРЖАНИЕ
1. Введение
2. Основные определения, используемые в курсовой работе
3. Элементы теории пределов для комплексных чисел
4. Доказательство основной теоремы
5. Список используемой литературы
1. ВВЕДЕНИЕ
Данная работа посвящена
Основной теореме Алгебры, изучению существования корней в поле 
. Как предположение эта
теорема впервые встречается у немецкого математика Питера Роуте(1617г.).
Д’Аламбер первым в 1746г. опубликовал доказательство этой теоремы. Его
доказательство основывалось на лемме. Доказательство это было бы совершенно
строгим, если бы Д’Аламбер мог доказать, что-то на комплексной плоскости
значение модуля многочлена достигает наименьшего значения. Во второй половине
18 века появляются доказательства Эйлера, Лапласа, Лагранжа и других. Во всех
этих доказательствах предполагается заранее, что какие-то "идеальные"
корни многочлена существуют, а затем доказывается, что, по крайней мере, один
из них является комплексным числом. Со времен доказательства теоремы в алгебре
было открыто очень много нового, поэтому сегодня "основной" эту
теорему назвать уже нельзя: это название теперь является историческим.
Целью моей работы
является выявления, что поле комплексных
чисел алгебраически замкнуто. Для доказательства Основной теоремы Алгебры я
использовала ряд лемм: лемма Даламбера и лемма о достижении точной нижней грани
значений.
При написании работы мною была использована следующая литература: Д.К.Фадеев "Лекции по алгебре", Л.Д.Кудрявцев "Курс математического анализа". А.Г.Курош "Курс высшей алгебры".
2. Основные определения, используемые в курсовой работе
Множества, удовлетворяющие требованиям:1-операция сложения,2-операция умножения,3-связь операций сложения и умножения, и содержащие хотя бы один элемент, отличный от нуля, называется полями.
Множество комплексных
чисел можно определить как
множество упорядоченных пар 
действительных
чисел, 
, 
, в котором введены
операции сложения и умножения согласно следующему определению:
В результате этого определения множество указанных пар превращается в поле, т.е. удовлетворяет условиям 1,2,3. Полученное таким образом поле, называется полем комплексных чисел.
Последовательность комплексных чисел - это функция, определенная на множестве натуральных чисел и имеющая своими значениями комплексные числа.
Последовательность 
называется подпоследовательностью 
,
если для любого k существует такое
натуральное 
, что 
=
, причем 
Б
тогда и только тогда,
когда 
.
Комплексное число – расширение множества вещественных чисел, обычно
обозначается. Любое комплексное число
может быть представлено как формальная сумма 
,
где x и y— вещественные числа, i— мнимая единица, то есть число,
удовлетворяющее уравнению 
.
Вещественное число (действительное число) – любое положительное число, отрицательное число или нуль.
Функция – 1) Зависимая переменная величина; 2) Соответствие 
между переменными
величинами, в силу которого каждому рассматриваемому значению некоторой
величины x (аргумента или независимой переменной) соответствует определенное значение
величины y (зависимой переменной или функции в значении 1).
Теорема Больцано-Вейерштрасса: из любой ограниченной последовательности можно извлечь сходящуюся подпоследовательность.
Последовательность
называется ограниченной на множестве Е, если существует
такая постоянная М>0, что для всех 
и
всех 
выполняется неравенства 
Последовательность
сходится к функции f равномерно на
множестве Е, если для любого 
существует
такой номер 
, что если 
, то для всех выполняется неравенство
. Последовательность
называется равномерно сходящейся на множестве Е, если существует функция f, к которой она равномерно сходится
на Е.
3. Элементы теории пределов для комплексных чисел
В моей работе полиномы
рассматриваются только над полями и 
как функции от комплексной
или вещественной переменной, так что моя работа является скорее главой математического
анализа, а не алгебры, хотя теорема о существовании корня у любого отличного от
константы полинома с комплексными коэффициентами (т.е. установление
алгебраической замкнутости поля ) носит
название основной теоремы алгебры.
Определение: Пусть задана
последовательность комплексных чисел 
.
Число 
называется ее пределом,
если для любого действительного числа существует
такой номер , что при выполняется неравенство 
. В этом случае пишут lim 
, а=lim
, b=lim
. Предельное соотношение lim
=c
равносильно соотношению 
, ибо
max
Последовательность такая, что 
R, при некотором R, называется ограниченной.
Для вещественных переменных известная теорема Больцано-Вейерштрасса: из любой ограниченной последовательности можно извлечь сходящуюся подпоследовательность. То же самое верно и для последовательностей, составленных из комплексных чисел.
Действительно, пусть 
ограниченная
последовательность, т.е. 
, тогда 
, так что есть ограниченная
последовательность вещественных чисел. Из нее можно выбрать сходящуюся подпоследовательность
. Рассмотрим
соответствующую подпоследовательность мнимых частей 
.
Она ограничена, и из нее можно извлечь сходящуюся подпоследовательность 
.
Соответствующая
подпоследовательность комплексных чисел имеет сходящиеся последовательности
вещественных и мнимых частей и, следовательно, сходятся, и ее предел равен 
.
4. Доказательство основной теоремы
Прежде чем приступить к
формальному доказательству, наметим его идею. Пусть 
-полином,
рассматриваемый как функция от комплексной переменной 
.Представим себе "график"
функции 
, считая , что значения изображаются на
горизонтальной плоскости, перпендикулярной к плоскости чертежа, а значения 
откладываются вверх в
направлении оси 
. Мы установим,
что
являются непрерывными
функциями от на всей плоскости
комплексной переменной. Функция 
от
комплексной переменной называется
непрерывной в точке 
, если достаточно
близким к значениями соответствует сколь угодно близкие к 
значения .В более точных терминах -
для любого найдется такое 
, что 
, как только 
.
Непрерывность дает основания
представлять себе график в виде
непрерывной поверхности, накрывающей плоскость 
,
и местами доходящей до этой плоскости. Собственно говоря, нам и нужно доказать,
что существует такое значение , в котором 
, и, тем
самым, 
, т.е. что поверхность доходит до плоскости в точке . Мы докажем, что если дана точка на поверхности ,которая расположена выше
плоскости , то в ее окрестности
найдется точка поверхности расположенная ниже данной точки. Тогда останется
только доказать, что на поверхности существует
самая низкая точка, скажем, при 
. Она не может находиться выше плоскости , ибо тогда она была бы
самой низкой точкой. Следовательно, и ,
следовательно , т.е. корень полинома .
Теперь приступим к доказательству основной теоремы, разбив это доказательство на цепочку лемм.
Лемма 1. Дан полином 
c нулевым свободным членом.
Тогда для любого найдется такое , что 
, как только 
.
Доказательство: Пусть 
. Тогда
Положим
Если 
то 
что и требовалось доказать.
Лемма 2. Полином есть непрерывная функция во всех точках плоскости комплексной переменной.
Доказательство: Пусть дан
полином и точка . Расположим
полином по степеням
,
Тогда 
так что
Правая часть есть полином
от 
с нулевым
свободным членом.
По лемме 1 для любого найдется такое, что 
как только 
что и требовалось
доказать.
Лемма 3. Модуль полинома есть непрерывная функция.
Доказательство: Из
неравенства 
следует, что для данного то 
, которое "обслуживает"
, подходит и для . Действительно, при имеем
Лемма 4. (о возрастании
модуля полинома). Если -полином,
отличный от константы, то для любого М>0 существует такое R>0, что 
M,как только 
.
Это означает, что любая
горизонтальная плоскость 
отрезает
от поверхности конечный кусок,
накрывающий часть круга |z|≤R.
Доказательство: Пусть
где 
полином от 
c нулевым свободным членом.
В силу леммы 1 для 
найдется такое , что при 
, будет 
. Модуль 
может быть
сделан сколь угодно большим, именно, при 
будет
. Возьмем 
Тогда
при будет
и 
так
что 
Лемма 5. Точная нижняя
грань значений достигается,
т.е. существует такое, что 
при всех .
Доказательство: Обозначим
точную нижнюю грань через 
. Возьмем
последовательностью 
стремящихся к сверху. Каждая из этих чисел не
является нижней гранью значений , ибо -точная нижняя грань.
Поэтому найдутся 
такие, что 
. Воспользуемся теперь
леммой о возрастании модуля. Для 
найдем
такое 
, что при будет 
Отсюда следует, что 
при все 
. Последовательностью оказалась
ограниченной, и из нее можно извлечь сходящуюся подпоследовательность 
. Пусть ее предел равен . Тогда 
в силу
непрерывности . Кроме того, 
. Поэтому 
Итак 
, что и требовалось
доказать.
Лемма 6. (Лемма
Даламбера). Пусть полином отличный
от константы, и пусть 
. Тогда найдется
такая точка
, что
Геометрический смысл этой
леммы: если на поверхности дана
точка, находящаяся выше плоскости , то на
ней найдется другая точка, расположенная ниже первой.
Доказательство:
Расположим полином по степеням
Тогда 
Идея доказательства
состоит в том, чтобы за счет первого отличного от нуля слагаемого "откусить
кусочек" от 
, а влияние дальнейших слагаемых сделать
незначительным. Пусть 
– первое
отличное от нуля слагаемое после , так
что 
(если k>1). Такое слагаемое имеется, так
как не константа. Тогда
+
+( 
+…+ 
))=
= c0 (1+ +
).
Здесь
=
есть полином от 
с нулевым свободным
членом. По лемме 1 для 
=
найдется такое ,что ||<,
как только ||<. Положим
=(
) и 
. Тогда
.
Выберем 
так, что 
. Для этого нужно взять 
. Далее, положим 
, т.е. возьмем 
. При таком выборе будет 
. Теперь положим
при 
и . Тогда 
и
|
|=
.
Лемма доказана.
Заметим, что с тем же
успехом мы могли бы взять 
при 
так что при k>1 (т.е. в случае, когда 
-корень кратности 
полинома 
)имеется k направлений спуска по поверхности 
. Они разделяются направлениями подъема при 
Действительно, в этих направлениях
и 
Так что если есть корень производной
кратности , то поверхность в окрестности точки "гофрирована"
так, что на ней имеется "долин"
cпуска, раздельных "хребтами"
подъема.
Теорема: Полином с
комплексными коэффициентами, отличный от постоянной, имеет по меньше мере один
комплексный корень (т.е. поле ,
комплексных чисел алгебраически замкнуто).
Доказательство: Пусть - данный полином, отличный
от константы. Пусть, далее, 
и - точка, в которой 
; Она существует по лемме
5. Тогда 
ибо иначе, согласно лемме
6, нашлась бы такая точка 
что 
невозможно.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Д.К.Фадеев Лекции по алгебре. - СПб.: Изд-во "Лань", 2007. - 416с.
Л.Д.Кудрявцев Курс математического анализа. – М.: Изд-во "Высш. Школа", 1981г. – 687с.
А.Г.Курош Курс высшей алгебры. – М.: Изд-во "Наука", 1971 г. – 431с.