Курсовая работа: Дослідження функцій гіпергеометричного рівняння
Курсова робота з математики
«Дослідження функцій гіпергеометричного рівняння»
Введення
У зв'язку із широким розвитком чисельних методів і зростанням ролі чисельного експерименту у великому ступені підвищився інтерес до спеціальних функцій. Це пов'язане із двома обставинами. По-перше, при розробці математичної моделі фізичного явища для з'ясування відносної ролі окремих ефектів вихідну задачу часто доводиться спрощувати для того, щоб можна було одержати рішення в легко аналізованій аналітичній формі. По-друге, при рішенні складних задач на ЕОМ зручно використовувати спрощені задачі для вибору надійних і економічних обчислювальних алгоритмів. Дуже рідко при цьому можна обмежитися задачами, що приводять до елементарних функцій. Крім того, знання спеціальних функцій необхідно для розуміння багатьох важливих питань теоретичної й практичної фізики.
Найбільше часто вживаними функціями є так звані спеціальні функції математичної фізики: класичні ортогональні поліноми (поліноми Якоби, Лагерра, Ермита), циліндричні, сферичні й гіпергеометричні. Теорії цих функцій і їхніх додатків присвячений цілий ряд досліджень.
1. Гіпергеометричне рівняння
1.1 Визначення гіпергеометричного ряду
Гіпергеометричним рядом називається статечної ряд виду
де z – комплексна змінна, 
, 
, 
- параметри, які можуть приймати
будь-які речовинні або комплексні значення (
0,-1,-2,…),і символ 
позначає
величину
=
=1
Якщо й – нуль або ціле негативне число,
ряд обривається на кінцевому числі членів, і сума його являє собою поліном
відносно z. За винятком цього випадку, радіус збіжності гіпергеометричного ряду
рівняється одиниці, у чому легко переконатися за допомогою ознаки збіжності
Даламбера: думаючи
zk
маємо
=
,
коли k
, тому гіпергеометричний ряд
сходиться при <1 і розходиться при >1.
Сума ряду
F( , , ,z) = , <1 (1.1)
називається гіпергеометричною функцією.
Дане визначення гіпергеометричної функції придатне
лише для значень z, що належать колу збіжності, однак надалі буде показано, що
існує функція комплексного змінного z, регулярна в площині з розрізом (1, ) яка при <1
збігається з F( , , ,z). Ця функція є аналітичним
продовженням F( , , 
,z) у розрізану площину й
позначається тим же символом.
Щоб виконати аналітичне продовження припустимо
спочатку що R( )>R( )>0 і скористаємося
інтегральним поданням
(1.2)
k=0,1,2,..
Підставляючи (1.2) в (1.1) знаходимо
F( , , ,z) = 
= =
причому законність зміни порядку інтегрування й підсумовування випливає з абсолютної збіжності.
Дійсно, при R( )>R( ) >0 і <1
=
=
F(
, R( ),R( ), )
На підставі відомого біноминального розкладання
=(1-tz)-a(1.3)
0 t 1, <1
тому для F( , , ,z) виходить подання
F( , , ,z)= 
(1.4)
R( )>R( ) >0 і <1
Покажемо, що інтеграл у правій частині останньої
рівності зберігає зміст і представляє регулярну функцію комплексного змінного z
у площині з розрізом (1, ).
Для z приналежні області 
, 
(R – довільно велике, 
і 
довільно малі
позитивні числа), і 0 < t < 1 підінтегральне вираження є регулярна
функція z і безперервна функція t ; тому досить показати що інтеграл сходиться
рівномірно в розглянутій області. Доказ треба з оцінки
(М – верхня границя модуля функції (1-tz)-a, безперервної в замкнутій області
, , 0 t 1)
що показує, збіжність інтеграла буде при R( )>R( ) >0
інтеграл
сходиться
Таким чином, умова <1 в (1.4) може бути
відкинуто, і шукане аналітичне продовження гіпергеометричної функції в
розрізану площину дається формулою
F( , , ,z)= (1.5)
R( )>R( ) >0; 
У загальному випадку, коли параметри мають довільні
значення, аналітичне продовження F( , , ,z) площина з розміром (1, ) може бути
отримане у формі контурного інтеграла, до якого приводить підсумовування ряду
(1.1) за допомогою теорії відрахувань.
Більше елементарний метод продовження, що не дає, однак, можливість одержати в явній формі загальне аналітичне вираження гіпергеометричної функції, полягає у використанні рекурентного співвідношення (1.6)
F( , , ,z) = 
+ 
справедливість якого може бути встановлена підстановкою в нього ряду (1.1). Після підстановки й приведення подібних членів коефіцієнт при zk у правій частині (1.6) буде
+
- 
= =
{
-
-
}= = (
Шляхом повторного застосування цієї тотожності можна
представити функцію F( , , ,z) з довільними параметрами ( 0,-1,-2,…)у вигляді
суми
F( , , ,z)= 
F( +s, +p, +2p, z) (1.7)
де р – ціле позитивне число 
( , 
, ,z) – поліном відносно z. Якщо
вибрати число р досить більшим, так, щоб R( )>-p і R( - )>-p, то аналітичне
продовження кожної з функцій F( +s, +p, +2p, z) може бути виконане по
формулі (1.5). Підставляючи отримані вираження в (1.7) одержимо функцію,
регулярну в площині з розрізом (1, ), що при <1 збігається із сумою
гіпергеометричного ряду (1.1) і, отже, є шуканим аналітичним продовженням.
Гіпергеометрична функція F( , , ,z) відіграє важливу роль в
аналізі і його додатках. Введення цієї функції дає можливість одержати рішення
багатьох цікавих проблем теоретичного й прикладного характеру, до яких,
зокрема, ставиться задача конформного відображення трикутника, обмеженого
пересічними прямими або дугами окружностей, різні задачі квантової механіки й
так далі.
Велика кількість спеціальних функцій може бути
виражене через функцію F( , , ,z), що дозволяє розглядати теорію
цих функцій як відповідні спеціальні випадки загальної теорії, даної в
справжньому пункті.
1.2 Елементарні властивості гіпергеометричної функції
У справжньому розділі ми розглянемо деякі властивості гіпергеометричної функції, які безпосередньо випливають із її визначення за допомогою ряду (1.1).
1. Беручи до уваги, що члени ряду не змінюються при
перестановці параметрів і маємо співвідношення симетрії
F( , , ,z)= F( , , ,z), (2.1)
2. Диференціюючи розглянутий ряд по членне, знаходимо
F( , , ,z)=
=
=
=
=
F( +1, +1, +1,z)
Таким чином, F( , , ,z)= F( +1, +1, +1,z) (2.2)
3. Повторне застосування цієї формули приводить до рівностей
F( , , ,z)= 
F( +m, +m, +m,z) (2.3)
m=1,2,...
Покладемо надалі для скорочення запису
F( , , ,z)= F,
F(
1, , ,z)= F( 1),
F( , 1, ,z)= F( 1),
F( , , 1,z)= F( 1).
Функції F( 1), F( 1), F( 1) називаються суміжними з F.
4. Ми покажемо, що F і будь-які дві суміжні функції зв'язані між собою рекурентним співвідношенням з коефіцієнтами, що є лінійними функціями змінного z. Як основні співвідношення цього типу можуть бути обрані рівності (2.4), (2.5), (2.6) відповідно.
( -
- )F+ (1-z)F( +1)-( - )F( -1)=0,
( - -1)F+ F( +1)-( - 1)F( -1)=0,
(1-z)F- F( -1)+( - )F( +1)=0.
Підставляючи ряд (1.1) в (2.4) маємо (2.4)
( - - )F+ (1-z)F( +1)-( - )F( -1)=
=(
- - ) + (1-z)
-( -
)
=
=
{( - - ) +
-( - )
-
}zk=
=
{( - - )( +k-1)+( +k)( +k-1)-( - )( -1)
( -k-1)k} zk=0,
тому що
z
=
=
= ( +1)...( +k-1)
=( +1)...( +k-1)( +k)
=( -1) ( +1)...( +k-2)
= ( +1)…(+k-2)
=( +1)…(+k-2)(+k-1)
=(-1)(+1).......( +k-3)
Формули (2.5) і (2.6) доводяться аналогічним способом:
( - - )F+ F ( +1)-( - 1)F( -1)=
= { ( - -1) + -( - 1)
=
= { - -1 + + k-( +k-1)}zk=0,
(1-z)F- F ( -1)+( - )zF( +1)=
= { -
-
+( - )
}zk
=
{
(
+ k -1)( + k-1)- ( + k -1)k- ( -1)( + k-1)
+( - ) k}zk=0,
З (2.4)-(2.6) і властивості симетрії (2.1) треба три інших рівності:
( - - )F+ (1-z)F( +1)-( - )F( -1)=0, (2.7)
( - -1)F+ F ( -1)-( - 1)F( -1)=0, (2.8)
(1-z)F- F ( -1)+( - )zF( +1)=0. (2.9)
( - - )F+ (1-z)F( +1)-( - )F( -1)=
= {( - - ) +
-
-(
-
) } zk =
=
{( -
-
)( +k-1)+
(
+ k -1)(
+k)-
( +k-1)k -( - )( -
1)}zk=0,
( - -1)F+ F ( -1)-( - 1)F( -1)=
= {( - -1) + 
-( - 1) } zk =
= { - -1+
( + k )- 
( +k-1)}zk=0,
(1-z)F- F ( -1)+( - )zF( +1)=
= { - - +( - ) } zk
=
{
( +k-1)( +k-1)- k( +k-1)- ( +k-1)( -1)+k
( - )}zk=0.
Інші рекурентні співвідношення виходять із (2.4) - (2.9) шляхом виключення з відповідної пари формул загальної суміжної функції. Наприклад, комбінуючи (2.5) і (2.8) або (2.6) і (2.9) одержуємо
( - )F- F ( +1)+ F( +1)=0 (2.10)
( - )(1-z)F+( - )F ( -1)-( - )F( -1)=0 (2.11)
і так далі
( - )F- F ( +1)+ F( +1)=
= {( - ) + + } zk=
= { - -
( +k)+ 
( +k)} zk =0.
( - )(1-z)F+( - )F ( -1)-( - )F( -1)=
=
{( - ) -( - ) +( - ) -( -
) } zk=
=
{( -
)(
+k-1)(
+k-1)-(
-
)( +k-1)k+( - )( -1)( +k-1)-
( - )( +k-1)( -1)}zk=0.
Крім розповсюджених рекурентних співвідношень існують
аналогічні співвідношення, що зв'язують гіпергеометричну функцію виду F( , , ,z) з який –
або парою родинних функцій виду F( +1, +m, +n,z), де l,m,n – довільні цілі
числа.
Найпростішими рекурентними співвідношеннями цього типу є
F( , , ,z)-F( , , -1,z)= 
F( +1, +1, +1,z) (2.12)
F( , +1, ,z)- F( , , ,z)= 
F( +1, +1, +1,z) (2.13)
F( , +1, +1,z)- F( , , ,z)= 
F( +1, +1, +2,z)(2.14)
F( -1, +1, ,z)- F( , , ,z)= 
F( , +1, +1,z) (2.15)
До даного класу ставляться також рівність (1.6)
Формули (2.12) і (2.15) доводяться підстановкою в них ряду (1.1) або виводяться на основі вже відомих рекурентних співвідношень для суміжних функцій.
1.3 Гіпергеометричне рівняння
Помітимо, що гіпергеометрична функція u= F( , , ,z) є
інтегралом лінійного диференціального рівняння
z(1-z) 
+[ -(
+ +1)] 
- u=0 (2.16)
регулярним в околиці крапки z=0.
Рівняння (2.16) називається гіпергеометричним і включає, як окремі випадки, багато диференціальних рівнянь, що зустрічаються в додатках.
Якщо привести це рівняння до стандартної форми,
розділивши його на коефіцієнт при другій похідній, то коефіцієнти отриманого
рівняння будуть регулярними функціями змінного z в області 0< <1 <1, наявними
при z=0 полюс першого порядку або звичайну крапку, залежно від значень
параметрів ,
, .
Із загальної теорії лінійних диференціальних рівнянь треба, що в такому випадку розглянуте рівняння повинне мати приватне рішення виду
u=zs
zk (2.17)
де s – належне обране число, 
0, статечної ряд сходиться при <1
u= zk+s
= (k+s)zk+s-1
= (k+s)(k+s-1)zk+s-2
Підставляючи (2.17) у рівняння (2.16) знаходимо
z(1-z) ( zk+s
+[ -( + +1)z] ( zk+s
- zk+s=0,
z(1-z) ( zk+s-1(k+s)(k+s-1))+[
-( + +1)z] ( zk+s-1(k+s))-
zk+s=
= ( zk+s-1(k+s)(k+s-1))- ( zk+s(k+s)(k+s-1))+ ( zk+s-1 (k+s))-
- zk+s( + +1)(k+s))- zk+s =
= zk+s-1(k+s)(k+s-1+ )- zk+s(s+k+ )(s+k+ )=0,
звідки для визначення показника s і виходить система
рівнянь
s(s-1-)=0,
(s+k)(s+k-1+ ) - 
(s+k-1+ )(s+k-1+ )=0,
k=1,2,...,
перше з яких дає s=0 або s=1-
Припустимо, що 0,-1,-2,…і виберемо s=0
Тоді для обчислення коефіцієнтів одержимо рекурентне
співвідношення
=
k=1,2,…,
звідки, якщо прийняти =1, треба
= k=0,1,2,…,
де для скорочення запису уведене позначення
=
( +1)…(+k-1),
=1,k=1,2,…,
У такий спосіб перше приватне рішення рівняння (2.16)
при 0,-1,-2,…буде
u=
= F( , , ,z)= zk, <1 (2.18)
Аналогічно, вибираючи s=1- одержуємо в припущенні, що 2,3,4,…
=
k=1,2,…,
звідки, якщо взяти =1 знаходимо
=
k=0,1,2,...,
Таким чином, при 2,3,4,…рівняння (2.16) має друге
приватне рішення
u=
= 
= F(1- + ,1- + ,2- ,z), (2.19)
<1, 
Якщо не є цілим числом ( 0, 1, 2,…),те обоє рішення (2.18-2.19)
існують одночасно й лінійно незалежні між собою, так, що загальне рішення
рівняння (2.17) може бути представлене у формі
u=A F( , , ,z)+B F(1- + ,1- + ,2- ,z), (2.20)
де А и В довільні постійні <1,
2. Подання різних функцій через гіпергеометричну
Гіпергеометрична функція F( , , ,z) приводиться до полінома, коли =0,-1,-2,…або =0,-1,-2.
Наприклад,
F( , 0, ,z)= 
zk=
=1,
тому що
=0(0+1)(0+2)…....(0+k-1)=0.
F( , -2, ,z)= 
zk=
z0+
z+
z2
=
=1-2
z+
z2,
тому що
=1, 
=-2,
=(-2)(-1)=2, 
=(-2)(-1)0=0, 
=(-2)(-1)01=0
і так далі.
Перетворення
F( , , ,z)=(1-z
F( - , - , ,z)
- =0
=
показує, що гіпергеометрична функція при - =0,-1,-2,…або - =0,-1,-2,…виражається
через алгебраїчні функції. Зокрема,
F( , , ,z)= (1-z
, (3.1)
Надаючи параметрам , спеціальні значення, знаходимо
(1-z)v= F(-v, 1, 1,z)
(1-z
= F(
, 1, 1,z (3.2)
(1-z)n= F(-n, , ,z)
n=0,1,2,...
Щоб одержати подання логарифмічної функції, скористаємося розкладанням
ln(1-z)= - 
=-z
<1
звідки треба
ln(1-z)=-zF(1,1,2,z) 
(3.3)
Аналогічним образом виводяться формули для зворотних кругових функцій:
arctg z=zF( ,1, 
,-z2) 
(3.4)
arcsin z=zF( , , ,z2) 
arctg z= (-1)k
=z
=z
=
=z
=z 
=z
=zF( ,1, ,-z2),
тому що 
=1*2*…*k=k!
arcsinz=z+
=z[1+
]=
=z[1+
]=z[1+
]=z[1+
]=
=z[1+
]=z[1+
=zF( , , ,z2)...
3. Вироджена гіпергеометрична функція
Поряд з гіпергеометричною функцією F( , , ,z), важливу роль у
теорії спеціальних функцій грає так звана Вироджена гіпергеометрична функція F( , ,z).
Щоб визначити цю функцію, помітимо, що статечної ряд
де z – комплексне змінне, і - параметри, які можуть приймати
будь-які речовинні або комплексні значення, крім =0,-1,-2,…і символ позначає величину
= =1
сходиться при будь-яких кінцевих z.
Тому що, якщо позначити через 
загальний член ряду, те
=
0, коли k .
Вироджена гіпергеометрична функція F( , ,z) визначається як сума
розглянутого ряду
F( , ,z)= , 
0,-1,-2,…,<
(4.1)
З даного визначення випливає, що F( , ,z) функція комплексного
змінного z.
Якщо покласти
f( , ,z)= 
F( , ,z)= 
, (4.2)
те f( , ,z) при фіксованому z буде цілою
функцією від і . Дійсно, члени ряду (6.2) є
цілими функціями цих змінних, і ряд сходиться рівномірно в області <A, 
<C.
Думаючи
, маємо для досить більших k
=
Звідси треба, що при заданому z функція F( , ,z)
представляє цілую функцію й мероморфну функцію із простими
полюсами в крапках =0,-1,-2,…
Функція F( , ,z) досить часто зустрічається в
аналізі, причому головне її значення полягає в тому, що багато спеціальних
функцій можуть розглядатися як її окремі випадки, що значною мірою полегшує
побудову теорії цих функцій і надає їй загальний і компактний характер.
Зв'язок функції F( , ,z) з гіпергеометричною функцією
дається співвідношенням
F( , ,z)=lim F( , , ,
) (4.3)
З визначення виродженої гіпергеометричної функції безпосередньо випливають рівності
F( , ,z)= F( +1, +1,z) (4.4)
F( , ,z)= 
F( +m, +m,z) m=1,2,... (4.5)
і рекурентні співвідношення
( - -1)F+ F ( +1)-( -1)F( -1)=0 (4.6)
F- F( -1)-zF( +1)=0 (4.7)
( -1+z)F+( - )F( -1)-( -1)F( -1)=0 (4.8)
( +z)F- F( +1)-( - )zF( +1)=0 (4.9)
( - )F( -1)+(2 - +z)F- F( +1)=0 (4.10)
( -1)F( -1)- ( -1+z)F+( - )zF( +1)=0 (4.11)
єднальну функцію F F( , ,z) із двома будь-якими суміжними
функціями
F( 1) F( 1, ,z) і F( 1) F( , 1,z)
Формули (4.6) і (4.7) доводяться шляхом підстановки ряду (4.1) інші рекурентні співвідношення виходять із них у результаті простих алгебраїчних операцій.
( - -1)F+ F ( +1)-( -1)F( -1)=
= {( - -1) 
+
-( -1) 
}zk=
= { - -1+ ( +k)- 
( +k-1)} zk=
= { - -1+ +k- -k+1)} zk=0
F- F( -1)-zF( +1)=
= { -
-
} zk=
=
{ ( +k-1)- ( -1)-k } zk=
= { + k- - - -k } zk=0.
Повторне застосування рекурентних формул приводить до
лінійних співвідношень, що зв'язують функцію F( , ,z) з родинними функціями F( +m, +n,z), де m,n-
задані цілі числа. Прикладами подібних співвідношень можуть служити рівності:
F( , ,z) = F( +1, ,z)- 
F( +1, +1,z) (4.12)
F( , ,z)= 
F( , +1,z) + F( +1, +1,z) (4.13)
4. Диференціальне рівняння для виродженої гіпергеометричної функції. Вироджена гіпергеометрична функція другого роду
Покажемо, що вироджена гіпергеометрична функція є приватним рішенням диференціального рівняння
z +( -z) - u=0 (5.1)
де 0,-1,-2,…
u=F( , ,z)= zk
=
zk-1
=
zk-2
Дійсно, позначаючи ліву частину рівняння l(u) і полога
u= 
= F( , ,z), маємо
l( ) = zk-2+( -z) zk-1- zk=
=[
- ]+ [k
+ -k- ] 0.
Щоб одержати друге лінійне незалежне рішення
розглянутого рівняння, припустимо, що 
, і виконаємо підстановку 
.
Рівняння (5.1) перетвориться тоді в рівняння того ж виду
z 
+( -z) 
-
=0
с новими значеннями параметрів 
=1+ , 
=2- . Звідси треба, що при 2,3,…функція також є
рішенням рівняння (5.1).
Якщо 0, 1, 2,…обоє рішення (
) мають сенс і лінійно
незалежні між собою, тому загальний інтеграл рівняння (5.1) може бути
представлений у вигляді
u= F( , ,z)+B
F(1+ - ,2- ,z) (при =1 u= ) (5.2)
0, 1, 2,…
Щоб одержати вираження загального інтеграла у формі,
придатної для будь-яких значень (крім =0,-1,-2,…), краще увести вироджену
гіпергеометричну функцію другого роду
G , ,z)=
F( , ,z)+ 
F(1+ - ,2- ,z)(5.3)
0, 1, 2,…
Формула (5.3) визначає функцію G , ,z) для будь-яких , відмінних від
цілого числа. Покажемо, що при n+1 (n=0,1,2,…)права частина (5.3)
прагнути до певної межі. Для доказу замінимо гіпергеометричні функції
відповідними рядами й скористаємося співвідношенням теорії Г-Функції. Тоді
одержимо (5.4)
G , ,z)=
[
-
]=
= (
)
Ми маємо
=
=
n=0,1,2,…
=
=
=
=
,
тому вираження в правій частині (5.4) при n+1 приймає невизначений
вид і прагне до межі, значення якого може бути знайдене за правилом Лопиталя.
Відповідно до цього результату покладемо
G( , ,z)= 
G , ,z)= (-1)n+1[
] (5.5)
n=0,1,2,…
Виконавши обчислення, знаходимо:
=
[
],
= [
]+
+
,
звідки для G( ,n+1,z) виходить явне вираження у
формі ряду (5.6)
G( ,n+1,z)= 
[
]+
+
,
n=0,1,2,…,0,-1,-2,…,
Тут 
- логарифмічна похідна Г-Функція,
і для випадку n=0 порожня сума 
приймається рівної 0.
Якщо =-m (m=0,1,2,…),те граничний
перехід n+1 (n=0,1,2…)у
формулі (5.3) приводить до вираження
G(-m,n+1,z)= 
F(-m,n+1,z), (5.7)
m=0,1,2,... , n=0,1,2,...
З (5.3) безпосередньо треба, що Вироджена гіпергеометрична функція другого роду задовольняє функціональному співвідношенню
G( , ,z)= G( - +1,2- ,z), (5.8)
На підставі цієї формули можна визначити функцію G( , ,z) при , рівному нулю
або цілому негативному числу, за допомогою рівності
G( ,1-n,z)= G( , ,z)= zn G( +n,n+1,z) (5.9)
n=1,2,…,
Таким чином, функція має сенс при будь-яких значеннях
її параметрів. З донного визначення випливає, що G( , ,z) регулярна функція від z у
площині з розрізом (- ,0) і ціла функція й .
Покажемо, що функція G( , ,z) є рішенням диференціального
рівняння (5.1).
При 0, 1, 2,…доказ треба безпосередньо з
(5.3). Для цілих необхідний результат може бути
обґрунтований шляхом застосування принципу аналітичного продовження.
Якщо 0, 1, 2,…інтеграли F( , ,z) і G( , ,z) лінійно незалежні
між собою, у чому легко переконатися, склавши вронскиан цієї пари рішень.
З (5.1) треба W{F,G}=C
ez. Порівнюючи обидві
частини цієї рівності при z 0, знаходимо
C=
W{ F( , ,z),G( , ,z)}= - ez (5.10)
0, -1, -2,…,
Загальний інтеграл рівняння (7.1) у цьому випадку може бути представлений у формі
u = AF( , ,z)+BG( , ,z) (5.11)
, 0, -1, -2,…,
Функція G( , ,z) володіє рядом властивостей,
аналогічних властивостям функції F( , ,z). Так, наприклад, мають місце
формули диференціювання:
G( , ,z)= - G( +1, +1,z)
G( , ,z)= (-1)m
G( +m, +m,z) (5.12)
m=1,2,...
рекурентні співвідношення:
G- G(
+1)-G( -1)=0, (5.13)
( - )G+G( -1) -zG( +1)=0, (5.14)
( -1+z)G - G( -1)+( 
- +1)G( -1)=0, (5.15)
( +z)G+ ( - -1)G( +1)-zG( +1)=0, (5.16)
G( -1)+(2 - +z)G + ( - +1)G( +1)=0, (5.17)
( - -1)G( -1)- ( -1+z)G + zG( +1)=0, (5.18)
G G( , ,z), G( 1) G( 1, ,z), G( 1) G( , 1,z)
і так далі.
Справедливість цих формул випливає з визначення функції G і відповідних властивостей функції F.
5. Подання різних функцій через вироджені гіпергеометричні функції
Як ми вже відзначали, багато елементарних і
спеціальних функцій, що зустрічаються в аналізі, можуть бути вироджені через
функцію F(
, ,z).
Ми маємо, наприклад,
1) F( , ,z)= 
=
тому що
F(1,2,z)= 
=
,
тому що
3) F(-2,1,z)= 
Висновок
Курсова робота присвячена дослідженню гіпергеометричних функцій. Можна зробити висновок:
Гіпергеометричні функції застосовуються в різних розділах математичного аналізу, зокрема, при рішенні диференціальних рівнянь і при розгляді інших спеціальних функцій.
За допомогою гіпергеометричних функцій виражаються не тільки сферичні, еліптичні, але й ряд інших, у тому числі й елементарні функції.
У роботі розглянуті визначення гіпергеометричного ряду й гіпергеометричної функції, доведені деякі елементарні властивості гіпергеометричної функції, функціональні й спеціальні функціональні співвідношення, подання різних функцій через гіпергеометричну, вироджену функція 1 і 2 роди, диференціальне рівняння для виродженої гіпергеометричної функції і його інтеграли, подання різних функцій через вироджені гіпергеометричні функції.
Література
1. Балк М.Б. Математичний аналіз: теорія аналітичних функцій. – К., 2000
2. Гурвиц А.І., Теорія функцій. – К., 2004
3. Евграфов М.О. Аналітичні функції. – К., 2003
4. Лебедєв І.І. Спеціальні функції і їхні додатки. – К., 2000
5. Маркушевич. М.М. Введення в теорію аналітичних функцій. – К., 1999
6. Смирнов В.И. Курс вищої математики тім 3,4. – К., 2005
7. Уиттекер І, Ватсон У. Курс сучасного аналізу тім 1,2. – К., 2000
8. Фихтенгольд К. Курс диференціального й інтегрального вирахування. – К., 2004
9. Фильчаков М. Довідник по вищій математиці. – К., 2000