Курсовая работа: Расчёт и анализ нерекурсивного цифрового фильтра

1. Краткое математическое описание методов расчёта

1.1. Общие положения

Цифровой фильтр полностью описывается своим разностным уравнением:

                                                             (1)

Для нерекурсивного цифрового фильтра  и уравнение принимает вид:

                                                                                (2)

Зная коэффициенты разностного уравнения, можно легко получить выражение для передаточной функции фильтра (для НЦФ):

                                                                                  (3)

Для образа выходного сигнала НЦФ справедливо выражение

,                                                                             (4)

где  – z-преобразования выходного и входного сигналов фильтра.

Зная выражение (4) и учитывая, что z-преобразование функции единичного скачка  равно 1, можно получить выражение для z-образа импульсной характеристики :

                                                                      (5)    

Из (5) следует, что отсчеты импульсной характеристики НЦФ численно равны коэффициентам разностного уравнения НЦФ, а сама импульсная характеристика и передаточная функция связаны парой z-преобразований (прямым и обратным).

Заменив в (4) z на , получим комплексную частотную характеристику:

                                                                          (6)

Импульсная характеристика и комплексная частотная характеристика связаны парой преобразований Фурье:

                                                                (7)

                                                                       (8)

Из комплексной частотной характеристики можно получить выражения для АЧХ и ФЧХ:

           (9)

                                              (10)

Во все вышеприведённые формулы входит интервал квантования . Чтобы от него избавиться, частоту обычно нормируют. Это можно сделать с помощью замены:

                                                                                            (11)

Так как интервал определения , то интервал определения . Исходными данными для проектирования фильтра является его АЧХ. Как правило, в зонах неопределённости АЧХ некоторым образом доопределяют с тем, чтобы избежать явления Гиббса («выбросы» характеристики в точках разрыва первого рода – «скачках»). В простейшем случае доопределить АЧХ можно линейным законом. В этом случае АЧХ проектируемого полосового фильтра будет выглядеть таким образом.

Аналитически АЧХ будет записываться в виде:

                                                         (12)

При проектировании часто полагают, что ФЧХ фильтра является линейной. В [1] показывается, что в этом случае импульсная характеристика фильтра является либо симметричной (), либо антисимметричной (). Учитывая, что порядок фильтра  может быть чётным и нечётным, существует четыре вида ИХ с линейной ФЧХ:

1.  N – нечётное, ИХ – симметричная

2.  N – чётное, ИХ – симметричная

3.  N – нечётное, ИХ – антисимметричная

4.  N – чётное, ИХ – антисимметричная

цифровой фильтр выборка частотный

1.2 Метод частотной выборки

Основная идея метода частотной выборки – замену в выражениях (7) и (8) непрерывную частоту дискретизированной. В этом случае выражения (7) и (8) превращаются в пару дискретных преобразований Фурье:

                                                                            (13)

                                                                         (14)

Существует 2 метода дискретизации частоты (выражения записаны для нормированной частоты):

                                                                                            (15)

                                                                                       (16)

Выражения (13) и (14) записаны для первого метода дискретизации частоты. По условию задания необходимо использовать второй метод дискретизации частоты, в этом случае выражение (14) приобретает вид:

                                                                    (17)

Из (17) следует, что для определения импульсной характеристики необходимо знать частотную характеристику. Её можно записать в показательной форме:

                                                                              (18)

                                                         (19)

При чётном N:

                                      (20)

При нечётном N:

                                      (21)

Подставляя вместо  , по выражениям (20) и (21) можно найти , а из (17) – .

1.3 М етод наименьших квадратов

При расчете коэффициентов импульсной характеристики используется формула вида:

после чего решается система уравнений:

 и находятся коэффициенты Ск.

Далее из найденных Ск можно найти коэффициенты импульсной характеристики:

2. Расчётная часть

2.1 Расчёт методом частотной выборки

2.1.1 Расчёт импульсной характеристики

Расчёт импульсной характеристики для нечётных N осуществлялся по формулам (21) и (17), для чётных – по формулам (20) и (17). Результаты расчёта импульсной характеристики для N=15, 25 и 32 представлены в таблице 1.

Таблица 1. Результаты расчёта импульсной характеристики методом частотной выборки

2.1.2 Расчёт АЧХ и ФЧХ

Расчёт АЧХ и ФЧХ осуществлялся по формулам (9) и (10) для 50 значений частоты , взятой с шагом 0,01 (). На рисунках приведены графики рассчитанной АЧХ фильтра.

Для расчёта точности аппроксимации запишем функцию ошибки аппроксимации:

,                                                                          (32)

В таблице 2 приведены результаты расчёта точности аппроксимации .

Таблица 2. Результаты расчета точности аппроксимации для метода частотной выборки

График функции точности аппроксимации для N=25

Максимальные ошибки аппроксимации (абсолютная погрешность) для трёх значений N приведены в таблице 3:

Абсолютная погрешность аппроксимации АЧХ, рассчитанной методом частотной выборки

2.2 Расчёт методом наименьших квадратов

2.2.1 Расчёт импульсной характеристики

Результаты расчёта импульсной характеристики для N=13, 25 и 32 представлены в таблице. Учитывая симметрию импульсной характеристики, приведена только половина отсчётов.

Результаты расчёта импульсной характеристики методом наименьших квадратов

2.2.2 Расчёт АЧХ и ФЧХ

Расчёт АЧХ и ФЧХ осуществлялся по формулам (9) и (10) для 50 значений частоты , взятой с шагом 0,01 ().

Заданная по условию и рассчитанная АЧХ фильтра для N=25 (метод наименьших квадратов)

2.2.3 Расчёт точности аппроксимации

Точность аппроксимации оценивалась по формуле (32). В таблице (5) приведены результаты расчёта

Результаты расчета точности аппроксимации для метода наименьших квадратов

В таблице 6 приведена максимальная (абсолютная) погрешность аппроксимации для различных значений N.

Абсолютная погрешность аппроксимации для метода наименьших квадратов

2.3 Сравнение методов расчёта

Сравнивая результаты расчётов точности аппроксимации, приведённые в таблицах 2 и 6, можно сделать вывод, что метод наименьших квадратов обеспечивает более точную аппроксимацию при N=25 амплитудно-частотной характеристики по сравнению с методом частотной выборки. С увеличением порядка фильтра N точность аппроксимации увеличивается для обоих методов, но точность метода наименьших квадратов начинает уменьшаться по сравнению с методом частотной выборки.

Заключение

В данной курсовой работе был рассмотрен расчёт нерекурсивного цифрового фильтра двумя методами: методом наименьших квадратов и методом частотной выборки. Результаты расчётов точности аппроксимации для каждого метода позволяют сделать следующие выводы:

·  Точность аппроксимации увеличивается с увеличением N (порядка фильтра)

·  Метод наименьших квадратов обеспечивает более точную аппроксимацию при средних значениях N.