Реферат: О вариационности некоторых ДУЧП с отклоняющимися аргументами
Современные качественные исследования устойчивости
О вариационности некоторых ДУЧП
с отклоняющимися аргументами
И.А. Колесникова
Российский университет дружбы народов
117198, Россия, Москва, ул. Миклухо-Маклая, 6.
тел.: (095) 952-35-83, e-mail Vsavchin@mx.pfu.edu.ru
Исследована задача
существования вариационных принципов для дифференциальных уравнений с отклоняющимися
аргументами вида 
 |
1. Постановка задачи. Пусть N – оператор, заданный в области D(N) линейного нормированного пространства U над полем действительных чисел R, а область значений R(N) принадлежит линейному нормированному пространству V над полем R, т.е.
 |
В дальнейшем всюду предполагается, что в каждой точке
существует производная Гато 
оператора N,
определяемая формулой
(1)
Решается задача существования вариационных принципов для заданных ДУЧП с отклоняющимися аргументами вида
(2)
где
-ограниченная область в
, с кусочногладкой границей
в предположении достаточной гладкости всех рассматриваемых функций.
Зададим область определения оператора N равенством
(3)
Здесь 
- заданные функции, 
- неизвестная функция.
Числа 
зависят соответственно от 
. Если - четны, то 
При нечетном полагаем 
Обозначим
Введем классическую билинейную форму вида 
где 
(4)
 |
Будем говорить, что уравнение (2) допускает прямую вариационную формулировку на множестве D(N), относительно билинейной формы (4), если существует функционал FN: D(FN )=D(N)—>R такой, что
Функционал FN называется потенциалом оператора N, а N – градиентом функционала FN. Записывают N=gradфFN. Оператор N называется потенциальным на множестве D(N) относительно Ф.
Обозначая через 
замыкание области 
, будем предполагать, что 
- выпуклое множество, 
, для любых фиксированных
элементов 
функция 
Как известно [2., стр.15], необходимым и достаточным условием потенциальности оператора N на множестве D(N) относительно заданной формы является условие симметричности
 |
Искомый функционал в этом случае имеет вид:
где F0 произвольный фиксированный элемент из R.
Для уравнения вида (2) устанавливается, что существует вариационный принцип в указанном выше смысле тогда и только тогда, когда справедлива
Теорема 1. Для потенциальности оператора (2) на множестве (3) относительно билинейной формы (4) необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия
Современные качественные исследования
устойчивости
Доказательство теоремы может быть проведено по схеме изложенной в работе [1, стр.43].
2.Примеры.
 |
А. Рассматривается дифференциальное уравнение с отклоняющимися аргументами вида (частный случай уравнения (2))
с граничными условиями
Для решения вопроса о вариационности задачи (7),(8) воспользуемся теоремой 1. Из условий (6) получим
Отсюда заключаем, что в случае потенциальности рассматриваемого оператора коэффициенты a-1, a 0 ,a 1 могут зависеть только от x, а b-1, b0, b1 – только от t.
С учетом условий (9), уравнение (7) может быть записано в виде
Таким образом, уравнение (7’) c граничными
условиями (8) допускает вариационную формулировку.
Соответствующий функционал имеет вид
 |
 |
||
В. Рассматривается уравнение
где a,b – const, u – неизвестная функция с граничными условиями
Для оператора задачи(10),(11) условия (6) не выполняются. В этой связи рассматривается следующая задача.
Найти функцию [2] М=М(x,t,u,ui) в Ω для любого u из D(N) и соответствующий функционал F[u] так, что
Используя условия (6), находим вариационный
множитель М=еu(x,t). Тогда
получим, что оператор вида
 |
является потенциальным.
Соответствующее эквивалентное уравнение будет иметь вид:
Таким образом, задача (13’), (11) допускает вариационную формулировку с функционалом
ЛИТЕРАТУРА.
[1] Савчин В.М. Условия потенциальности Гельмгольца для ДУЧП с отклоняющимися аргументами.// XXXII Научная конференция факультета физико-математических и естественных наук. Тезисы докладов.1996г.С. 25.
[2] Филиппов В.М., Савчин В.М., Шорохов С.Г., Вариационные принципы для непотенциальных операторов. Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Новейшие достижения. Том 40.М.1992.