Дипломная работа: О минимальных замкнутых тотально насыщенных не формациях конечных групп
Министерство образования Республики Беларусь
Учреждение образования
«Гомельский государственный университет им. Ф. Скорины»
Математический факультет
Курсовая работа
О МИНИМАЛЬНЫХ
-ЗАМКНУТЫХ ТОТАЛЬНО НАСЫЩЕННЫХ
НЕ 
-ФОРМАЦИЯХ КОНЕЧНЫХ ГРУПП
Исполнитель:
Студентка группы М-32 Макаренко Л.А.
Научный руководитель:
Канд. физ-мат. наук, доцент Сафонов В.Г.
Гомель 2006
Содержание
Введение
1. Определения и обозначения
2. Используемые результаты
3. Основные результаты
Заключение
Литература
Введение
Все рассматриваемые в работе группы предполагаются конечными. Используемую терминологию можно найти в [1, 2].
При изучении внутреннего строения,
а также классификации насыщенных формаций важную роль играют так называемые минимальные
насыщенные не -формации [3] или
-критические формации [4]. Напомним,
что насыщенная формация 
, называется
минимальной насыщенной не -формацией,
если все собственные насыщенные подформации 
содержатся
в классе групп . Задача изучения
формаций такого рода впервые была поставлена Л.А. Шеметковым на VI симпозиуме по теории групп [3]. Ее решение, в классе насыщенных
формаций, получено А.Н. Скибой [5].
В теории тотально насыщенных
формаций изучение минимальных тотально насыщенных не -формаций было начато А.Н.Скибой
в книге [2], где было дано описание разрешимых минимальных тотально насыщенных не
-формаций ( – формация всех разрешимых
групп нильпотентной длины 
). В работах
автора [6-10] теория минимальных -замкнутых
тотально насыщенных не -формаций получила
свое дальнейшее развитие. Основными результатами в этом направлении являются следующие
теоремы.
Теорема 1 [10]. Пусть и
– -замкнутые тотально насыщенные
формации, . Тогда и только тогда – минимальная -замкнутая тотально насыщенная
не -формация, когда 
, где 
– такая монолитическая -минимальная не -группа с монолитом 
, что выполняется одно из следующих
условий:
1) 
– группа простого порядка 
;
2) 
– неабелева группа и 
, где 
– совокупность всех собственных
-подгрупп группы ;
3) 
,
где 
– самоцентрализуемая минимальная
нормальная подгруппа в 
при всех
, а 
либо группа простого порядка
, либо такая монолитическая
-минимальная не 
-группа с неабелевым монолитом
, что 
, совпадает с -корадикалом группы и
где 
– совокупность всех собственных
-подгрупп группы .
Теорема 2 [10]. Пусть и
– -замкнутые тотально насыщенные
формации, . Тогда и только тогда – минимальная -замкнутая тотально насыщенная
не -формация когда удовлетворяет одному из следующих
условий:
1) , где – такая монолитическая -минимальная не -группа с неабелевой минимальной
нормальной подгруппой 
, что справедливо
включение 
, где – совокупность всех собственных
-подгрупп группы ;
2) 
,
где 
и 
;
3) 
,
где 
, а – такая монолитическая группа
с неабелевой минимальной нормальной подгруппой 
,
что совпадает с 
-корадикалом группы , 
и 
.
В настоящей работе, основываясь
на результатах работы [10], мы даем описание 
-критических
формаций для некоторых наиболее известных формаций .
1. Определения и обозначения
Напомним, что всякую формацию
групп называют 0-кратно насыщенной. При 
формацию
называют 
-кратно насыщенной, если
она имеет такой локальный экран, все непустые значения которого – 
-кратно насыщенные формации.
Формацию -кратно насыщенную для любого
целого неотрицательного называют
тотально насыщенной.
Подгрупповым функтором [2] называют отображение сопоставляющее каждой группе
такую систему ее подгрупп 
, что: 1) 
; 2) для любых групп 
и 
и любого эпиморфизма 
имеет место 
и 
Тотально насыщенную формацию
называют -замкнутой, если 
для любой группы 
. -Замкнутую тотально насыщенную
формацию называют минимальной -замкнутой тотально насыщенной
не -формацией (или, иначе,
-критической), если , но все собственные -замкнутые тотально насыщенные
подформации из содержатся в классе
групп .
Пусть – -замкнутая формация. Группа
называется -минимальной не -группой, если 
, но 
для любой собственной подгруппы
из .
Для всякой совокупности групп
через 
обозначают -замкнутую тотально насыщенную
формацию, порожденную классом групп , т.е.
пересечение всех -замкнутых тотально
насыщенных формаций, содержащих . Если 
, то 
называют однопорожденной
-замкнутой тотально насыщенной
формацией. Для любых -замкнутых тотально
насыщенных формаций и полагают 
. Частично упорядоченное по
включению 
множество всех -замкнутых тотально насыщенных
формаций 
с операциями 
и 
образует полную решетку. Формации
из называют -формациями. Экран, все
непустые значения которого -формации,
называют -значным. Если – -формация, то через 
обозначают её минимальный
-значный локальный экран.
Для произвольной последовательности
простых чисел 
и всякой совокупности
групп класс групп 
определяют следующим образом:
1) 
; 2) 
.
Последовательность простых
чисел называют подходящей для
, если 
и для любого 
число 
. Множество всех подходящих
для последовательностей обозначают
через 
. Символом 
обозначают совокупность всех
таких последовательностей из , у которых 
при всех 
.
Пусть – некоторая подходящая для
последовательность. Тогда -значный локальный экран 
определяют следующим образом:
1) 
; 2) 
.
В дальнейшем через 
будем обозначать некоторое
непустое множество простых чисел.
2. Используемые результаты
Лемма 2.1 [9]. Пусть –
монолитическая группа, 
– неабелева
группа. Тогда имеет единственную
максимальную -подформацию 
, где – совокупность всех собственных
-подгрупп группы . В частности, 
.
Лемма 2.2 [2, c. 33]. Пусть 
, где – непустой класс групп. Тогда
если 
– минимальный -значный экран формации , то справедливы следующие утверждения:
1) 
;
2) 
при всех простых числах
;
3) если 
– произвольный -значный экран формации , то при любом 
имеет место 
Следующая лемма является частным случаем теоремы 2.5.5 [2, c. 94].
Лемма 2.3. Пусть ,
– -замкнутые тотально насыщенные
формации, , – канонический экран формации
. Тогда является -критической формацией в том
и только в том случае, когда , где – такая монолитическая -минимальная не -группа с монолитом , что для всех 
формация 
-критична.
3. Основные результаты
Теоремы 1 и 2 могут быть использованы
для нахождения описания минимальных -замкнутых
тотально насыщенных не -формаций для большинства
«классических», наиболее часто используемых в приложениях классов групп , поскольку большинство из них
являются наследственными тотально насыщенными формациями. Приведем описание -критических формаций для некоторых
конкретных классов групп.
Минимальные -замкнутые тотально насыщенные
не -разрешимые формации.
Напомним, что группу называют -разрешимой, если 
для каждого ее главного 
-фактора 
. Пусть – формация всех -разрешимых групп. Тогда, очевидно,
. Класс всех -разрешимых групп является наследственной
тотально насыщенной формацией.
Теорема 3.1. Тогда и только тогда – минимальная -замкнутая тотально насыщенная
не -разрешимая формация, когда
, где – монолитическая -минимальная не -разрешимая группа с таким неабелевым
монолитом , что 
и группа 
-разрешима.
Доказательство. Необходимость. Пусть – минимальная -замкнутая тотально насыщенная
не -разрешимая формация. По теореме
1 имеем , где – такая монолитическая -минимальная не -разрешимая группа с монолитом
, что выполняется одно из следующих
условий:
1) – группа простого порядка ;
2) – неабелева группа и , где – совокупность всех собственных
-подгрупп группы ;
3) ,
где – самоцентрализуемая минимальная
нормальная подгруппа в при всех
, а либо группа простого порядка
, либо такая монолитическая
-минимальная не -группа с неабелевым монолитом
, что , совпадает с -корадикалом группы и
где – совокупность всех собственных
-подгрупп группы .
Поскольку , то – неабелева группа и . Таким образом, группа удовлетворяет условию теоремы.
Достаточность. Пусть ,
где – группа из условия теоремы.
Ввиду леммы 2.1 формация имеет единственную
максимальную -замкнутая тотально насыщенную
подформацию 
, где – совокупность всех собственных
-подгрупп группы . Поскольку 
и 
, то 
. Следовательно, – минимальная -замкнутая тотально насыщенная
не -разрешимая формация. Теорема
доказана.
Следствие 3.1.1. Тогда и только тогда – минимальная -замкнутая тотально насыщенная
не -разрешимая формация, когда
, где – монолитическая -минимальная не -разрешимая группа с таким неабелевым
монолитом , что и группа -разрешима.
Следствие 3.1.2 [9]. Тогда и только тогда – минимальная -замкнутая тотально насыщенная
неразрешимая формация, когда , где
– монолитическая -минимальная неразрешимая группа
с таким неабелевым монолитом , что группа
разрешима.
Если – тривиальный подгрупповой
функтор, т.е. 
из теоремы 3.1 вытекает
Следствие 3.1.3. Тогда и только тогда – минимальная тотально насыщенная
не -разрешимая формация, когда
, где – монолитическая группа с таким
неабелевым монолитом , что и группа -разрешима.
Следствие 3.1.4 [7]. Тогда и только тогда – минимальная тотально насыщенная
неразрешимая формация, когда , где
– монолитическая группа с таким
неабелевым монолитом , что группа разрешима.
В случае, когда 
– совокупность всех подгрупп
группы из теоремы 3.1 получаем
Следствие 3.1.5. Тогда и только тогда – минимальная наследственная
тотально насыщенная не -разрешимая формация,
когда 
, где – простая неабелева минимальная
не -разрешимая группа.
Следствие 3.1.6. Тогда и только тогда – минимальная наследственная
тотально насыщенная не -разрешимая формация,
когда , где – простая неабелева минимальная
не -разрешимая группа.
Следствие 3.1.7. Тогда и только тогда – минимальная наследственная
тотально насыщенная неразрешимая формация, когда , где – простая неабелева минимальная
неразрешимая группа.
Если 
– совокупность всех нормальных
подгрупп группы имеем
Следствие 3.1.8. Тогда и только тогда – минимальная нормально наследственная
тотально насыщенная не -разрешимая формация,
когда 
, где – простая неабелева -группа.
Следствие 3.1.9. Тогда и только тогда – минимальная нормально наследственная
тотально насыщенная не -разрешимая формация,
когда , где – простая неабелева 
-группа.
Следствие 3.1.10. Тогда и только тогда – минимальная нормально наследственная
тотально насыщенная неразрешимая формация, когда , где – простая неабелева группа.
Минимальные -замкнутые тотально насыщенные
не -нильпотентные формации.
Группа называется -нильпотентной, если она имеет
нормальную 
-холловскую подгруппу для каждого
. Класс всех -нильпотентных групп совпадает
с произведением 
и является наследственной
тотально насыщенной формацией.
Теорема 3.2. Тогда и только тогда – минимальная -замкнутая тотально насыщенная
не -нильпотентная формация, когда
, где – не -нильпотентная группа Шмидта.
Доказательство. Пусть формацию
всех -нильпотентных групп.
Необходимость. Пусть –
минимальная -замкнутая тотально насыщенная
не -нильпотентная формация. В силу
теоремы 1 имеет место , где – такая монолитическая -минимальная не -нильпотентная группа с монолитом
, что выполняется одно из следующих
условий:
1) – группа простого порядка ;
2) – неабелева группа и , где – совокупность всех собственных
-подгрупп группы ;
3) ,
где – самоцентрализуемая минимальная
нормальная подгруппа в при всех
, а либо группа простого порядка
, либо такая монолитическая
-минимальная не -группа с неабелевым монолитом
, что , совпадает с -корадикалом группы и
где – совокупность всех собственных
-подгрупп группы .
Поскольку 
, то первые два случая невозможны.
Поэтому – абелева 
-группа, где 
. По лемме 2.2 имеем 
. Поэтому 
, где – группа простого порядка.
Таким образом, – не -нильпотентная группа Шмидта.
Достаточность. Пусть ,
где – не -нильпотентная группа Шмидта.
Поскольку насыщенная формация, то без
ограничения общности можно считать, что 
.
Поэтому 
, где 
– минимальная нормальная -подгруппа группы , 
а – группа простого порядка 
. Так как группа и все собственные подгруппы
из нильпотентны, а следовательно,
и -нильпотентны, то – -минимальная не -нильпотентная группа и – -нильпотентный корадикал группы
. Используя теперь теорему 1
заключаем, что – минимальная -замкнутая тотально насыщенная
не -нильпотентная формация. Теорема
доказана.
Используя теорему 2, получим
Следствие 3.2.1. Тогда и только тогда – минимальная -замкнутая тотально насыщенная
не -нильпотентная формация, когда
, где и – различные простые числа,
.
В случае, когда 
из теорем 3.2 и 2 вытекают
Следствие 3.2.2. Тогда и только тогда – минимальная -замкнутая тотально насыщенная
не -нильпотентная формация, когда
, где – не -нильпотентная группа Шмидта.
Следствие 3.2.3. Тогда и только тогда – минимальная -замкнутая тотально насыщенная
не -нильпотентная формация, когда
, где – отличное простое число.
Если теперь – множество всех простых чисел
из теоремы 3.2 получаем
Следствие 3.2.4. Тогда и только тогда – минимальная -замкнутая тотально насыщенная
ненильпотентная формация, когда , где
– некоторая группа Шмидта.
Следствие 3.2.5. Тогда и только тогда – минимальная -замкнутая тотально насыщенная
ненильпотентная формация, когда , где
и – различные простые числа.
Следствие 3.2.6 [7]. Тогда и только тогда – минимальная тотально насыщенная
ненильпотентная формация, когда , где
и – различные простые числа.
Минимальные -замкнутые тотально насыщенные
не -замкнутые формации.
Напомним, что группа называется
-замкнутой, если она имеет нормальную
-холловскую подгруппу. Формация
всех -замкнутых групп, очевидно,
совпадает с произведением 
и является
наследственной тотально насыщенной формацией.
Теорема 3.3. Тогда и только тогда – минимальная -замкнутая тотально насыщенная
не -замкнутая формация, когда
, где – не -замкнутая группа Шмидта.
Доказательство. Обозначим через формацию всех -замкнутых групп.
Необходимость. Пусть –
минимальная -замкнутая тотально насыщенная
не -замкнутая формация. По теореме
1 имеем , где – такая монолитическая -минимальная не -замкнутая группа с монолитом
, что выполняется одно из следующих
условий:
1) – группа простого порядка ;
2) – неабелева группа и , где – совокупность всех собственных
-подгрупп группы ;
3) ,
где – самоцентрализуемая минимальная
нормальная подгруппа в при всех
, а либо группа простого порядка
, либо такая монолитическая
-минимальная не -группа с неабелевым монолитом
, что , совпадает с -корадикалом группы и
где – совокупность всех собственных
-подгрупп группы .
Так как 
, то 
. Если – неабелева группа, то по лемме
2.2 имеем 
. Значит, 
Противоречие. Поэтому – абелева -группа, где 
. Значит, 
для некоторой максимальной
подгруппы группы . В силу леммы 2.3 получаем,
что – 
-критическая формация. Согласно
лемме 2.2 имеем 
. Так как 
, то – группа простого порядка 
. Таким образом, – не -замкнутая группа Шмидта.
Достаточность. Пусть ,
где – не -замкнутая группа Шмидта. Так
как – насыщенная формация, то не
ограничивая общности можно считать, что .
Поэтому , где – минимальная нормальная -подгруппа , 
, – группа простого порядка . Так как группа и любая собственная подгруппа
из нильпотентны, а значит, и -замкнуты, то – -минимальная не -замкнутая группа и её -замкнутый корадикал. Теперь,
в силу теоремы 1, мы можем заключить, что –
минимальная -замкнутая тотально насыщенная
не -замкнутая формация. Теорема
доказана.
Следствие 3.3.1. Тогда и только тогда – минимальная -замкнутая тотально насыщенная
не -замкнутая формация, когда
, где и 
.
В случае, когда из теоремы 3.3 вытекает
Следствие 3.3.2. Тогда и только тогда – минимальная -замкнутая тотально насыщенная
не -замкнутая формация, когда
, где – не -замкнутая группа Шмидта.
Следствие 3.3.3. Тогда и только тогда – минимальная -замкнутая тотально насыщенная
не -замкнутая формация, когда
, где – отличное от простое число.
Минимальные -замкнутые тотально насыщенные
не -специальные формации.
Группа называется -специальной, если она обладает
нильпотентной нормальной -холловской
подгруппой. Понятно, что совокупность всех -специальных
групп совпадает с классом 
и является
наследственной тотально насыщенной формацией.
Теорема 3.4. Тогда и только тогда – минимальная -замкнутая тотально насыщенная
не -специальная формация, когда
, где – не -специальная группа Шмидта.
Доказательство. Пусть обозначает
формацию всех -специальных групп.
Необходимость. Если –
минимальная -замкнутая тотально насыщенная
не -специальная формация, то по
теореме 1 имеет место , где – такая монолитическая -минимальная не -специальная группа с монолитом
, что выполняется одно из следующих
условий:
1) – группа простого порядка ;
2) – неабелева группа и , где – совокупность всех собственных
-подгрупп группы ;
3) ,
где – самоцентрализуемая минимальная
нормальная подгруппа в при всех
, а либо группа простого порядка
, либо такая монолитическая
-минимальная не -группа с неабелевым монолитом
, что , совпадает с -корадикалом группы и
где – совокупность всех собственных
-подгрупп группы .
Поскольку 
, то случай 1) не имеет место
и 
. Если – неабелева группа, то в силу
леммы 2.1 имеем 
. Поэтому 
и 
. Пусть 
и 
. Тогда в силу леммы 2.1 имеет
место включение
. Противоречие. Поэтому
невозможен и случай 2). Следовательно, –
абелева -группа. Так как имеют место
равенства 
, то , где – группа порядка . Таким образом, – не -специальная группа Шмидта.
Достаточность. Пусть ,
где – не -специальная группа Шмидта.
Тогда . Поскольку – насыщенная формация, то без
ограничения общности можно считать, что .
Поэтому , где – минимальная нормальная -подгруппа , а – группа простого порядка . Ввиду того, что группа и любая собственная подгруппа
из нильпотентны, а следовательно,
и -специальны, то – -минимальная не -специальная группа и её -специальный корадикал. Привлекая
теперь теорему 1 заключаем, что – минимальная
-замкнутая тотально насыщенная
не -специальная формация. Теорема
доказана.
Следствие 3.4.1. Тогда и только тогда – минимальная -замкнутая тотально насыщенная
не -специальная формация, когда
, где и – различные простые числа,
.
В случае, когда из теоремы 3.4 вытекает
Следствие 3.4.2. Тогда и только тогда – минимальная -замкнутая тотально насыщенная
не -специальная формация, когда
, где – не -специальная группа Шмидта.
Следствие 3.4.3. Тогда и только тогда – минимальная -замкнутая тотально насыщенная
не -специальная формация, когда
, где – отличное от простое число.
Минимальные -замкнутые тотально насыщенные
не -разложимые формации.
Группа называется -разложимой, если она одновременно
-специальна и 
-замкнута.
Класс всех -разложимых групп совпадает
с пересечением 
и является наследственной
тотально насыщенной формацией.
Теорема 3.5. Тогда и только тогда – минимальная -замкнутая тотально насыщенная
не -разложимая формация, когда
, где – не -разложимая группа Шмидта.
Доказательство. Обозначим через формацию всех -разложимых групп.
Необходимость. Пусть –
минимальная -замкнутая тотально насыщенная
не - разложимая формация.
В силу теорем 3.3 и 3.4 имеем , где 
– такая группа Шмидта, что
. Таким образом, – не - разложимая группа Шмидта.
Достаточность. Пусть ,
где – не -разложимая группа Шмидта. Поэтому
. Ввиду насыщенности формации
можно считать, что . Значит, , где – минимальная нормальная -подгруппа , а – группа простого порядка.
Поскольку группа и любая собственная
подгруппа из нильпотентны, а значит, и -разложимы, то – -минимальная не -разложимая группа и её -разложимый корадикал. В силу
теоремы 1 имеем – минимальная -замкнутая тотально насыщенная
не -разложимая формация. Теорема
доказана.
Следствие 3.5.1. Тогда и только тогда – минимальная -замкнутая тотально насыщенная
не -разложимая формация, когда
, где 
.
В случае, когда из теоремы 3.24 вытекает
Следствие 3.5.2. Тогда и только тогда – минимальная -замкнутая тотально насыщенная
не -разложимая формация, когда
, где – не -разложимая группа Шмидта.
Следствие 3.5.3. Тогда и только тогда – минимальная -замкнутая тотально насыщенная
не -разложимая формация, когда
, где – отличное от простое число.
Минимальные -замкнутые тотально насыщенные
не -формации.
Класс всех разрешимых групп
с нильпотентной длиной не превосходящей 
совпадает
с произведением 
(число сомножителей
равно ) и является наследственной
тотально насыщенной формацией.
Теорема 3.6. Тогда и только тогда – минимальная тотально насыщенная
не -формация, когда , где – минимальная не -группа, – самоцентрализуемая минимальная
нормальная подгруппа в при всех
и – группа простого порядка.
Доказательство. Обозначим через формацию .
Необходимость. Пусть –
минимальная -замкнутая тотально насыщенная
не -формация. По теореме 1
, где – такая монолитическая -минимальная не -группа с монолитом , что выполняется одно из следующих
условий:
1) – группа простого порядка ;
2) – неабелева группа и , где – совокупность всех собственных
-подгрупп группы ;
3) ,
где – самоцентрализуемая минимальная
нормальная подгруппа в при всех
, а либо группа простого порядка
, либо такая монолитическая
-минимальная не -группа с неабелевым монолитом
, что , совпадает с -корадикалом группы и
где – совокупность всех собственных
-подгрупп группы .
Поскольку 
, то случай 1) невозможен.
Если группа неабелева, то по лемме 2.1
, что невозможно. Следовательно,
имеет место случай 3). Поскольку группа разрешима,
то , где – самоцентрализуемая минимальная
нормальная подгруппа в при всех
, а группа простого порядка . Таким образом, группа удовлетворяет условию теоремы.
Достаточность вытекает из теоремы 1. Теорема доказана.
Следствие 3.6.1 [2, с.
94]. Пусть – разрешимая формация.
Тогда и только тогда – минимальная
тотально насыщенная не -формация, когда
, где – минимальная не -группа, – самоцентрализуемая минимальная
нормальная подгруппа в при всех
и – группа простого порядка.
Следствие 3.6.2. Тогда и только тогда – минимальная тотально насыщенная
не -формация, когда 
для некоторой последовательности
из 
.
Следствие 3.6.3 [2, с.
94]. Пусть – разрешимая формация.
Тогда и только тогда – минимальная
тотально насыщенная не -формация, когда для некоторой последовательности
из .
Отметим, что полученные результаты
могут быть использованы для описания -критических
формаций и в случаях, когда формация не является
тотально насыщенной.
Минимальные -замкнутые тотально насыщенные
не 
-формации.
Класс всех групп с нильпотентным
коммутантом, очевидно, совпадает с произведением ,
где 
– класс всех нильпотентных,
а 
– класс всех абелевых групп.
Формация не является тотально насыщенной,
но содержит единственную максимальную наследственную тотально насыщенную подформацию
. Следовательно, любая минимальная
-замкнутая тотально насыщенная
не -формация является минимальной
-замкнутой тотально насыщенной
не -формацией. Таким образом, привлекая
следствия 3.2.4 и 3.2.5, получим
Теорема 3.7. Тогда и только тогда – минимальная -замкнутая тотально насыщенная
не -формация, когда , где – некоторая группа Шмидта.
Следствие 3.7.1. Тогда и только тогда – минимальная -замкнутая тотально насыщенная
не -формация, когда , где и – различные простые числа.
Минимальные -замкнутые тотально насыщенные
несверхразрешимые формации.
Пусть формация всех сверхразрешимых
групп. Как известно (см., например, [2, с. 28]), формация не является тотально насыщенной.
Однако содержит единственную максимальную
наследственную тотально насыщенную подформацию .
Поэтому любая минимальная -замкнутая
тотально насыщенная несверхразрешимая формация является минимальной -замкнутой тотально насыщенной
ненильпотентной формацией. Значит, в силу следствий 3.2.4 и 3.2.5, имеют место
Теорема 3.8. Тогда и только тогда – минимальная -замкнутая тотально насыщенная
несверхразрешимая формация, когда ,
где – некоторая группа Шмидта.
Следствие 3.8.1. Тогда и только тогда – минимальная -замкнутая тотально насыщенная
несверхразрешимая формация, когда ,
где и – различные простые числа.
Заключение
В работе изучаются минимальные
-замкнутые тотально насыщенные
не -формации конечных групп. При
этом -замкнутую тотально насыщенную
формацию называют минимальной -замкнутой тотально насыщенной
не -формацией или -критической, если , но все собственные -замкнутые тотально насыщенные
подформации из содержатся в классе
групп . Получено описание -критических формаций для таких
классов групп , как классы всех
-разрешимых, -нильпотентных, -замкнутых, -специальных, -разложимых групп ( – некоторое непустое подмножество
множества всех простых чисел), класс разрешимых групп нильпотентной длины не превосходящей
( – некоторое натуральное число),
класс всех групп с нильпотентным коммутантом, класс всех сверхразрешимых групп.
Литература
1. Шеметков, Л.А. Формации алгебраических систем / Л. А. Шеметков, А. Н. Скиба // М.: Наука, 1989.
2. Скиба, А.Н. Алгебра формаций / А. Н. Скиба // Мн.: Беларуская навука, 1997.
3. Шеметков, Л.А. Экраны ступенчатых формаций / Л. А. Шеметков // Тр. VI Всесоюзн. симпозиум по теории групп. – Киев: Наукова думка, 1980. – С. 37-50.
4. Скиба, А.Н. О критических формациях / А. Н. Скиба // Изв. АН БССР. Сер. физ.-мат. наук. 1980. – № 4. – С. 27-33.
5. Скиба, А.Н. О критических формациях / А. Н. Скиба // В кн.: Бесконечные группы и примыкающие алгебраические структуры. Киев: Ин-т математики АН Украины, 1993. – С. 258-268.
6. Сафонов, В.Г. О тотально насыщенных формациях конечной длины / В. Г. Сафонов // Известия Гомельского госуниверситета, 2004. – № 6. – С. 150-155.
7. Сафонов, В.Г. О двух задачах теории тотально насыщенных формаций / В. Г. Сафонов // Докл. НАН Беларуси, 2005. – Т. 49, № 5, – C. 16-20.
8. Сафонов, В.Г. О приводимых тотально насыщенных формациях нильпотентного дефекта 3 / В. Г. Сафонов // Известия Гомельского госуниверситета, 2005. № 4 (31). – С. 157-162.
9. Сафонов, В.Г. Характеризация разрешимых однопорожденных тотально насыщенных формаций конечных групп / В.Г. Сафонов // Сибирский матем. журнал, 2007 – Т. 48, № 1. – С. 185-191.
10. Сафонов, В.Г. -критические формации / В. Г.
Сафонов // Известия Гомельского госуниверситета, 2008. № 2 (47). – С. 169-176.